선 사이의 각도를 계산하는 공식입니다. 평면에서 선 사이의 각도
공간에 줄을 놓으십시오. 엘그리고 중. 공간의 어떤 점 A를 통해 우리는 직선을 그립니다 엘 1 || 엘그리고 중 1 || 중(그림 138).
점 A는 임의로 선택할 수 있으며 특히 주어진 선 중 하나에 있을 수 있습니다. 스트레이트인 경우 엘그리고 중교차하면 A는 이 선의 교차점으로 간주할 수 있습니다( 엘 1 =l그리고 중 1 = m).
평행하지 않은 선 사이의 각도 엘그리고 중는 직선을 교차하여 형성되는 인접한 각 중 가장 작은 값입니다. 엘 1 그리고 중 1 (엘 1 || 엘, 중 1 || 중). 평행선 사이의 각도는 0으로 가정합니다.
선 사이의 각도 엘그리고 중\(\widehat((l;m)) \)로 표시됩니다. 정의에서 도 단위로 측정하면 0 ° < \(\와이드햇((l;m)) \) < 90°, 라디안인 경우 0 < \(\와이드햇((l;m)) \) < π / 2 .
작업.큐브 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1이 제공됩니다(그림 139).
직선 AB 와 DC 1 사이의 각도를 찾으십시오.
직선 AB 및 DC 1 교차점. 선 DC는 선 AB와 평행하므로 정의에 따라 선 AB와 DC 1 사이의 각도는 \(\widehat(C_(1)DC)\)와 같습니다.
따라서 \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°입니다.
직접 엘그리고 중~라고 불리는 수직, 만약 \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. 예를 들어 큐브에서
선 사이의 각도 계산.
공간에서 두 직선 사이의 각도를 계산하는 문제는 평면에서와 같은 방식으로 해결됩니다. 선 사이의 각도를 φ로 표시 엘 1 그리고 엘 2 및 ψ - 방향 벡터 사이의 각도 하지만 그리고 비 이 직선들.
그렇다면 만약
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90°(그림 206.6), φ = 180° - ψ. 두 경우 모두 cos φ = |cos ψ|가 참이라는 것은 분명합니다. 공식에 따르면 (사이 각도의 코사인 0이 아닌 벡터와 b는 같음 내적이 벡터의 길이를 곱으로 나눈 값)
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
따라서,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
선이 정규 방정식으로 주어집니다.
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; 그리고 \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
그런 다음 선 사이의 각도 φ는 다음 공식을 사용하여 결정됩니다.
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\제곱((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
선 중 하나(또는 둘 다)가 비정규 방정식으로 제공된 경우 각도를 계산하려면 이러한 선의 방향 벡터 좌표를 찾은 다음 공식 (1)을 사용해야 합니다.
작업 1.선 사이의 각도 계산
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
직선의 방향 벡터에는 좌표가 있습니다.
a \u003d (-√2; √2; -2), 비 = (√3 ; √3 ; √6 ).
공식 (1)에 의해 우리는
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
따라서 이 선 사이의 각도는 60°입니다.
작업 2.선 사이의 각도 계산
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) 및 \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(케이스) $$
가이드 벡터 뒤에 하지만 첫 번째 직선 우리는 법선 벡터의 벡터 곱을 취합니다. N 1 = (3, 0, -12) 및 N 2 = (1; 1; -3) 이 선을 정의하는 평면. 공식에 의해 \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) 우리는
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
마찬가지로 두 번째 직선의 방향 벡터를 찾습니다.
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
그러나 공식 (1)은 원하는 각도의 코사인을 계산합니다.
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
따라서 이 선 사이의 각도는 90°입니다.
작업 3.삼각형 피라미드 MAVS에서 가장자리 MA, MB 및 MC는 서로 수직입니다(그림 207).
그들의 길이는 각각 4, 3, 6과 같습니다. 점 D는 중간 [MA]입니다. 선 CA와 DB 사이의 각도 φ를 찾으십시오.
SA와 DB를 선 SA와 DB의 방향 벡터라고 하자.
좌표의 원점으로 점 M을 취합시다. 작업 조건에 따라 A(4, 0, 0), B(0, 0, 3), C(0, 6, 0), D(2, 0, 0)가 있습니다. 따라서 \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3)입니다. 우리는 공식 (1)을 사용합니다:
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$
코사인 표에 따르면 직선 CA와 DB 사이의 각도가 약 72 °임을 알 수 있습니다.
지침
노트
기간 삼각함수접선은 180도와 같으며, 이는 직선의 경사각이 모듈로 이 값을 초과할 수 없음을 의미합니다.
기울기 계수가 서로 같으면 이러한 선이 일치하거나 평행하기 때문에 이러한 선 사이의 각도는 0입니다.
교차하는 선 사이의 각도를 결정하려면 교차로 평행이동 방식으로 두 선(또는 그 중 하나)을 새 위치로 이동해야 합니다. 그런 다음 결과 교차 선 사이의 각도를 찾아야합니다.
필요할 것이예요
- 자, 정삼각형, 연필, 각도기.
지침
따라서 벡터 V = (a, b, c)와 평면 A x + B y + C z = 0이 주어집니다. 여기서 A, B 및 C는 법선 N의 좌표입니다. 그런 다음 각도의 코사인 벡터 V와 N 사이의 α는 cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))입니다.
각도 값을 도 또는 라디안으로 계산하려면 결과 표현식에서 코사인에 대한 역함수를 계산해야 합니다. 아크코사인: α \u003d 아르스코스 ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
예: 찾기 주입~ 사이 벡터(5, -3, 8) 및 비행기, 일반 방정식 2 x - 5 y + 3 z = 0으로 지정됩니다. 솔루션: 평면 N = (2, -5, 3)의 법선 벡터 좌표를 기록합니다. 모든 것을 대체 알려진 값위 공식에서: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.
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원과 하나의 공통점을 갖는 직선은 원에 접합니다. 접선의 또 다른 특징은 접선과 반지름이 직선을 이루는 접점에 그려진 반지름에 항상 수직이라는 것입니다. 주입. 원 AB와 AC에 대한 두 접선을 한 점 A에서 그린 경우 항상 서로 같습니다. 접선 사이의 각도 정의( 주입 ABC)는 피타고라스 정리를 사용하여 생성됩니다.
지침
각도를 결정하려면 원 OB와 OS의 반지름과 원의 중심에서 접선의 시작점까지의 거리 - O를 알아야 합니다. 따라서 각도 ABO와 ACO는 동일하고 반지름 OB, 예를 들어, 10cm이고 원 AO의 중심까지의 거리는 15cm입니다. 피타고라스 정리에 따라 공식으로 접선의 길이를 결정하십시오. AB = 제곱근 AO2 - OB2 또는 152 - 102 = 225 - 100 = 125에서;
이 재료는 교차하는 두 직선 사이의 각도와 같은 개념에 전념합니다. 첫 번째 단락에서는 그것이 무엇인지 설명하고 그림으로 보여줍니다. 그런 다음이 각도의 사인, 코사인 및 각도 자체를 찾는 방법을 분석하고 (평면과 3 차원 공간이있는 경우를 별도로 고려할 것입니다) 필요한 공식을 제공하고 예제와 함께 정확히 적용되는 방법을 보여줍니다 실제로.
Yandex.RTB R-A-339285-1
두 선의 교차점에서 형성되는 각이 무엇인지 이해하기 위해서는 각, 직각도, 교차점의 정의 자체를 상기할 필요가 있습니다.
정의 1
하나의 공통점이 있으면 교차하는 두 선을 호출합니다. 이 점을 두 선의 교차점이라고 합니다.
각 선은 교차점에 의해 광선으로 나뉩니다. 이 경우 두 선은 4개의 각을 형성하며 그 중 2개는 수직이고 2개는 인접합니다. 우리가 그들 중 하나의 척도를 알면 나머지 나머지를 결정할 수 있습니다.
각 중 하나가 α와 같다는 것을 알고 있다고 가정해 봅시다. 이러한 경우 수직 각도도 α와 같습니다. 나머지 각도를 찾으려면 차이 180 ° - α 를 계산해야 합니다. α가 90도이면 모든 각도가 옳습니다. 직각으로 교차하는 선을 수직이라고 합니다(별도의 기사에서 직각 개념에 대해 설명함).
사진을 보세요:
주요 정의의 공식화를 진행합시다.
정의 2
두 개의 교차 선이 이루는 각은 이 두 선을 형성하는 4개의 각 중 작은 각도의 척도입니다.
정의에서 다음을 만들 필요가 있습니다. 중요한 결론: 이 경우 모서리의 크기는 다음과 같이 표시됩니다. 실수간격 (0 , 90 ] . 선이 수직이면 선 사이의 각도는 어떤 경우에도 90도와 같습니다.
교차하는 두 선 사이의 각도 측정값을 찾는 기능은 많은 실제 문제를 해결하는 데 유용합니다. 솔루션 방법은 여러 옵션에서 선택할 수 있습니다.
우선 기하학적 방법을 사용할 수 있습니다. 추가 각도에 대해 알고 있으면 같거나 유사한 모양의 속성을 사용하여 필요한 각도에 연결할 수 있습니다. 예를 들어 삼각형의 변을 알고 있고 이 변이 있는 선 사이의 각도를 계산해야 하는 경우 코사인 정리가 해결에 적합합니다. 조건에 직각 삼각형이 있는 경우 계산을 위해 각도의 사인, 코사인 및 탄젠트도 알아야 합니다.
좌표 방법은 또한 이러한 유형의 문제를 해결하는 데 매우 편리합니다. 올바르게 사용하는 방법을 설명하겠습니다.
두 개의 직선이 있는 직사각형(직교) 좌표계 O x y가 있습니다. 문자와 b로 표시합시다. 이 경우 직선은 모든 방정식을 사용하여 설명할 수 있습니다. 원래 선에는 교차점 M 이 있습니다. 이 선들 사이의 원하는 각도(α로 표시합시다)를 결정하는 방법은 무엇입니까?
주어진 조건에서 각도를 찾는 기본 원리의 공식화부터 시작하겠습니다.
방향성 및 법선 벡터와 같은 개념은 직선의 개념과 밀접한 관련이 있음을 알고 있습니다. 어떤 직선의 방정식이 있으면 이 벡터의 좌표를 가져올 수 있습니다. 한 번에 두 개의 교차하는 선에 대해 이 작업을 수행할 수 있습니다.
두 개의 교차 선이 이루는 각도는 다음을 사용하여 찾을 수 있습니다.
- 방향 벡터 사이의 각도;
- 법선 벡터 사이의 각도;
- 한 선의 법선 벡터와 다른 선의 방향 벡터 사이의 각도.
이제 각 방법을 개별적으로 살펴보겠습니다.
1. 방향 벡터가 a → = (a x , a y)인 선 a와 방향 벡터가 b → (b x , b y)인 선 b가 있다고 가정합니다. 이제 교차점에서 두 벡터 → 및 b →를 따로 설정해 보겠습니다. 그 후, 우리는 그들이 각각 자신의 라인에 위치하는 것을 볼 것입니다. 그런 다음 우리에게는 네 가지 옵션이 있습니다. 상대 위치. 그림 참조:
두 벡터 사이의 각도가 둔각이 아닌 경우 교차하는 선과 b 사이에 필요한 각도가 됩니다. 둔각이면 원하는 각도는 각도 a → , b → ^에 인접한 각도와 같습니다. 따라서 α = a → , b → ^ 이면 a → , b → ^ ≤ 90 ° , α = 180 ° - a → , b → ^ 이면 a → , b → ^ > 90 ° .
등각의 코사인이 같다는 사실에 기초하여 결과 등식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. cos α = cos a → , b → ^ if a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ 이면 a → , b → ^ > 90 ° .
두 번째 경우에는 감소 공식이 사용되었습니다. 이런 식으로,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
마지막 공식을 단어로 작성해 보겠습니다.
정의 3
두 개의 교차 선에 의해 형성된 각도의 코사인은 방향 벡터 사이의 각도 코사인 계수와 같습니다.
두 벡터 a → = (a x, a y)와 b → = (b x, b y) 사이의 각도 코사인 공식의 일반적인 형식은 다음과 같습니다.
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
이로부터 주어진 두 선 사이의 각도 코사인 공식을 도출할 수 있습니다.
코스 α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
그런 다음 각도 자체는 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.
α = a rc cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
여기서 a → = (a x , a y) 및 b → = (b x , b y)는 주어진 선의 방향 벡터입니다.
문제 해결의 예를 들어 보겠습니다.
실시예 1
직교 좌표계에서 두 개의 교차 선 a와 b가 평면에 주어집니다. 매개변수 방정식 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R 및 x 5 = y - 6 - 3 으로 설명할 수 있습니다. 이 선 사이의 각도를 계산하십시오.
해결책
조건에 매개변수 방정식이 있습니다. 즉, 이 선에 대해 방향 벡터의 좌표를 즉시 기록할 수 있습니다. 이렇게하려면 매개 변수에서 계수 값을 가져와야합니다. 직선 x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R 은 방향 벡터 a → = (4 , 1) 을 갖습니다.
두 번째 직선은 표준 방정식 x 5 = y - 6 - 3 을 사용하여 설명됩니다. 여기에서 분모에서 좌표를 가져올 수 있습니다. 따라서 이 선은 방향 벡터 b → = (5 , - 3) 을 갖습니다.
다음으로, 우리는 직접 각도 찾기를 진행합니다. 이렇게 하려면 두 벡터의 사용 가능한 좌표를 위의 공식 α = a rc cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 에 대입하면 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다.
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45°
답변: 이 선들은 45도의 각도를 형성합니다.
법선 벡터 사이의 각도를 찾아 유사한 문제를 해결할 수 있습니다. 법선 벡터가 na → = (nax, nay)인 선 a와 법선 벡터가 nb → = (nbx, nby)인 선 b가 있는 경우 두 선 사이의 각도는 na →와 사이의 각도와 같습니다. nb → 또는 na → , nb → ^ 에 인접할 각도입니다. 이 방법은 그림에 나와 있습니다.
법선 벡터의 좌표를 사용하여 교차하는 선 사이의 각도와 이 각도 자체의 코사인을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
여기서 n a → 및 n b →는 주어진 두 선의 법선 벡터를 나타냅니다.
실시예 2
3 x + 5 y - 30 = 0 및 x + 4 y - 17 = 0 방정식을 사용하여 직교 좌표계에 두 개의 직선이 제공됩니다. 사인, 그들 사이의 각도의 코사인, 그리고 그 각도 자체의 크기를 찾으십시오.
해결책
원래 직선은 A x + B y + C = 0 형식의 일반 직선 방정식을 사용하여 제공됩니다. 법선 벡터 n → = (A , B) 를 나타냅니다. 한 직선에 대한 첫 번째 법선 벡터의 좌표를 찾아 다음과 같이 작성해 보겠습니다. n a → = (3, 5) . 두 번째 라인 x + 4 y - 17 = 0의 경우 법선 벡터의 좌표는 n b → = (1, 4) 입니다. 이제 얻은 값을 공식에 추가하고 총계를 계산하십시오.
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
각도의 코사인을 알면 기본을 사용하여 사인을 계산할 수 있습니다. 삼각 아이덴티티. 직선으로 형성된 각도 α가 둔하지 않기 때문에 sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34입니다.
이 경우 α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34 입니다.
답: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34
한 선의 방향 벡터와 다른 선의 법선 벡터의 좌표를 알고 있는 경우 선 사이의 각도를 찾는 마지막 경우를 분석해 보겠습니다.
선 a에 방향 벡터 a → = (a x , a y) 가 있고 선 b에 법선 벡터 n b → = (n b x , n b y) 가 있다고 가정합니다. 교차점에서 이러한 벡터를 연기하고 상대적 위치에 대한 모든 옵션을 고려해야 합니다. 그림을 보십시오:
주어진 벡터 사이의 각도가 90도 이하이면 b와 b 사이의 각도를 직각으로 보완합니다.
a → , n b → ^ = 90 ° - α 이면 a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
90도 미만이면 다음을 얻습니다.
a → , n b → ^ > 90 °, a → , n b → ^ = 90 ° + α
같은 각도의 코사인 평등 규칙을 사용하여 다음과 같이 씁니다.
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α 에서 a → , n b → ^ > 90 ° .
이런 식으로,
sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
결론을 공식화합시다.
정의 4
평면에서 교차하는 두 선 사이의 각도의 사인을 찾으려면 첫 번째 선의 방향 벡터와 두 번째 선의 법선 벡터 사이의 각도 코사인 계수를 계산해야 합니다.
필요한 공식을 적어 봅시다. 각도의 사인 찾기:
죄 α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
모서리 자체 찾기:
α = a rc 죄 = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
여기서 a →는 첫 번째 라인의 방향 벡터이고 n b →는 두 번째 라인의 법선 벡터입니다.
실시예 3
두 개의 교차 선은 방정식 x - 5 = y - 6 3 및 x + 4 y - 17 = 0으로 제공됩니다. 교차 각도를 찾으십시오.
해결책
주어진 방정식에서 방향 및 법선 벡터의 좌표를 가져옵니다. a → = (- 5 , 3) 및 n → b = (1 , 4) 입니다. 우리는 공식 α \u003d a rc sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2를 취하고 다음을 고려합니다.
α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34
우리는 이전 문제에서 방정식을 가져왔고 정확히 같은 결과를 얻었지만 다른 방식으로 얻었습니다.
답변:α = a rc sin 7 2 34
다음은 주어진 선의 기울기 계수를 사용하여 원하는 각도를 찾는 또 다른 방법입니다.
y = k 1 · x + b 1 방정식을 사용하여 직교 좌표계에서 정의되는 선 a 와 y = k 2 · x + b 2 로 정의되는 선 b가 있습니다. 이것은 기울기가 있는 선의 방정식입니다. 교차 각도를 찾으려면 다음 공식을 사용하십시오.
α = a rc cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, 여기서 k 1 및 k 2는 다음과 같습니다. 기울기 계수주어진 라인. 이 기록을 얻기 위해 법선 벡터의 좌표를 통해 각도를 결정하는 공식을 사용했습니다.
실시예 4
한 평면에서 두 직선이 교차하고, 방정식으로 주어진 y = - 3 5 x + 6 및 y = - 1 4 x + 17 4 . 교차 각도를 계산합니다.
해결책
우리 선의 기울기는 k 1 = - 3 5 및 k 2 = - 1 4 와 같습니다. 이를 공식 α = a rc cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1에 추가하고 다음을 계산해 보겠습니다.
α = a rc cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 17 16 = a rc cos 23 2 34
답변:α = a rc cos 23 2 34
이 단락의 결론에서 여기에 주어진 각도를 찾는 공식을 암기할 필요는 없다는 점에 유의해야 합니다. 이렇게 하려면 주어진 선의 가이드 및/또는 법선 벡터의 좌표를 알고 다음에서 결정할 수 있으면 충분합니다. 다른 유형방정식. 그러나 각도의 코사인 계산 공식은 기억하거나 적어 두는 것이 좋습니다.
공간에서 교차하는 선 사이의 각도를 계산하는 방법
이러한 각도의 계산은 방향 벡터의 좌표 계산 및 이러한 벡터에 의해 형성되는 각도의 크기의 결정으로 축소될 수 있습니다. 그러한 예에 대해 우리는 이전에 제공한 것과 동일한 추론을 사용합니다.
3D 공간에 직교 좌표계가 있다고 가정해 보겠습니다. 여기에는 교차점 M 이 있는 두 개의 선 a 와 b 가 있습니다. 방향 벡터의 좌표를 계산하려면 이러한 선의 방정식을 알아야 합니다. 방향 벡터 a → = (a x , a y , a z) 와 b → = (b x , b y , b z) 를 나타냅니다. 그들 사이의 각도의 코사인을 계산하기 위해 다음 공식을 사용합니다.
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
각도 자체를 찾으려면 다음 공식이 필요합니다.
α = a rc cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
실시예 5
x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 방정식을 사용하여 3D 공간에서 정의된 직선이 있습니다. Oz축과 교차하는 것으로 알려져 있다. 교차 각도와 해당 각도의 코사인을 계산합니다.
해결책
문자 α로 계산할 각도를 표시합시다. 첫 번째 직선 a → = (1 , - 3 , - 2) 에 대한 방향 벡터의 좌표를 적어 보겠습니다. 적용 축의 경우 좌표 벡터 k → = (0, 0, 1)을 가이드로 사용할 수 있습니다. 필요한 데이터를 받았으며 원하는 공식에 추가할 수 있습니다.
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
결과적으로 필요한 각도는 rc cos 1 2 = 45 °와 같습니다.
답변:코스 α = 1 2 , α = 45 ° .
텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
수학 시험을 준비하는 모든 학생이 "선 사이의 각도 찾기" 주제를 반복하는 것이 유용할 것입니다. 통계에서 알 수 있듯이 인증 테스트를 통과할 때 이 스테레오메트리 섹션의 작업은 큰 수재학생. 동시에 직선 사이의 각도를 찾아야 하는 작업은 기본 및 프로필 수준에서 모두 USE에서 찾을 수 있습니다. 이것은 모든 사람이 문제를 해결할 수 있어야 함을 의미합니다.
기본적인 순간들
공간에서 선의 상호 배열에는 4가지 유형이 있습니다. 그것들은 일치하거나, 교차하거나, 평행하거나 교차할 수 있습니다. 그들 사이의 각도는 예리하거나 직선일 수 있습니다.
통합 국가 시험 또는 예를 들어 솔루션에서 선 사이의 각도를 찾기 위해 모스크바 및 기타 도시의 학생들은 입체 측정의이 섹션에서 문제를 해결하기 위해 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 고전적인 구성으로 작업을 완료할 수 있습니다. 이를 위해서는 입체 측정의 기본 공리와 정리를 배울 가치가 있습니다. 학생은 작업을 평면 문제로 가져오기 위해 논리적으로 추론을 구축하고 그림을 작성할 수 있어야 합니다.
간단한 공식, 규칙 및 알고리즘을 사용하여 벡터 좌표 방법을 사용할 수도 있습니다. 이 경우 가장 중요한 것은 모든 계산을 올바르게 수행하는 것입니다. 그것은 스테레오메트리 및 학교 과정의 다른 섹션에서 문제를 해결하는 기술을 연마하는 데 도움이 될 것입니다. 교육 프로젝트"슈콜코보".
하지만. 두 개의 선이 주어지면 이 선은 1장에서 설명한 것처럼 다양한 양의 각과 음의 각을 형성하며 이 경우 예각과 둔각이 될 수 있습니다. 이 각도 중 하나를 알면 다른 각도를 쉽게 찾을 수 있습니다.
그건 그렇고, 이러한 모든 각도에 대해 접선의 숫자 값은 동일하고 차이는 부호에만있을 수 있습니다
선의 방정식. 숫자는 첫 번째 선과 두 번째 선의 방향 벡터의 투영으로, 이러한 벡터 사이의 각도는 직선이 이루는 각도 중 하나와 같습니다. 따라서 문제는 벡터 사이의 각도를 결정하는 것으로 축소됩니다.
단순화를 위해 예를 들어 양의 각도를 이해하기 위해 두 직선 사이의 각도에 동의할 수 있습니다(예: 그림 53).
그러면 이 각도의 접선은 항상 양수가 됩니다. 따라서 식 (1)의 오른쪽에서 빼기 기호가 얻어지면 이를 버려야 합니다. 즉, 절대값만 유지해야 합니다.
예시. 선 사이의 각도 결정
공식 (1)에 의해 우리는
에서. 각도의 어느 쪽이 시작이고 어느 쪽이 끝인지 표시되면 항상 각도의 방향을 시계 반대 방향으로 계산하여 공식 (1)에서 더 많은 것을 추출할 수 있습니다. 그림에서 쉽게 알 수 있듯이 53 공식 (1)의 오른쪽에서 얻은 기호는 예각 또는 둔각 중 어느 것이 첫 번째 선과 두 번째 선을 형성하는지 나타냅니다.
(실제로, 그림 53에서 우리는 첫 번째 방향 벡터와 두 번째 방향 벡터 사이의 각도가 선 사이의 원하는 각도와 같거나 ±180°만큼 다르다는 것을 알 수 있습니다.)
디. 선이 평행하면 방향 벡터도 평행합니다 두 벡터의 평행 조건을 적용하면 다음을 얻습니다!
이것은 두 직선이 평행하기 위한 필요충분조건이다.
예시. 직접
평행하기 때문에
이자형. 선이 수직이면 방향 벡터도 수직입니다. 두 벡터의 수직성 조건을 적용하면 두 선의 수직성 조건, 즉
예시. 직접
수직이기 때문에
평행도 및 직각도의 조건과 관련하여 다음 두 가지 문제를 해결합니다.
에프. 한 점을 지나는 주어진 선에 평행한 선을 그립니다.
결정은 이렇게 합니다. 원하는 선이 주어진 선과 평행하기 때문에 방향 벡터에 대해 주어진 선과 같은 선, 즉 투영 A와 B가 있는 벡터를 사용할 수 있습니다. 그러면 원하는 선의 방정식이 작성됩니다 형식 (§ 1)
예시. 직선에 평행한 점 (1; 3)을 지나는 직선의 방정식
다음 것입니다!
G. 주어진 선에 수직인 점을 지나는 선을 그립니다.
여기에서 투영 A가 있는 벡터와 방향 벡터를 취하는 것은 더 이상 적합하지 않지만 이에 수직인 벡터를 구하는 것이 필요합니다. 따라서 이 벡터의 투영은 두 벡터가 수직이라는 조건에 따라 선택되어야 합니다.
이 조건은 두 개의 미지수를 갖는 하나의 방정식이 있기 때문에 무한한 방법으로 충족될 수 있습니다. 그러나 가장 쉬운 방법은 그것을 취하는 것입니다. 그러면 원하는 직선의 방정식은 다음 형식으로 작성됩니다
예시. 수직선에서 한 점(-7; 2)을 지나는 선의 방정식
(두 번째 공식에 따르면) 다음과 같습니다!
시간. 선이 다음 형식의 방정식으로 주어지는 경우
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