근을 알고 이차 방정식을 작성하는 방법. 이차 방정식 - 솔루션, 기능 및 공식이 있는 예

우리는 주제를 계속 연구합니다 방정식의 해". 우리는 이미 선형 방정식에 대해 알게 되었고 이제 다음과 같이 알게 될 것입니다. 이차 방정식.

먼저 이차 방정식이 무엇인지, 일반 형식으로 어떻게 작성되는지 논의하고 관련 정의를 제공합니다. 그런 다음 예제를 사용하여 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 자세히 분석합니다. 다음으로 완전한 방정식 풀기, 근에 대한 공식 구하기, 2차 방정식의 판별식에 대해 익히고 일반적인 예에 ​​대한 솔루션을 살펴보겠습니다. 마지막으로 근과 계수 간의 연결을 추적합니다.

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이차 방정식이란 무엇입니까? 그들의 유형

먼저 이차 방정식이 무엇인지 명확하게 이해해야 합니다. 따라서 이차 방정식의 정의와 관련 정의로 이차 방정식에 대해 이야기하는 것이 논리적입니다. 그 후, 이차 방정식의 주요 유형인 축소 및 비 축소, 완전 및 불완전 방정식을 고려할 수 있습니다.

이차 방정식의 정의와 예

정의.

이차 방정식형식의 방정식입니다 a x 2 +b x+c=0, 여기서 x는 변수이고, a, b 및 c는 일부 숫자이며 0과 다릅니다.

2차 방정식을 종종 2차 방정식이라고 부릅니다. 이것은 이차 방정식이 대수 방정식두번째 등급.

정확한 정의를 통해 이차 방정식의 예를 제공할 수 있습니다. 따라서 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 등입니다. 이차 방정식입니다.

정의.

숫자 a, b 및 c가 호출됩니다. 이차 방정식의 계수 a x 2 + b x + c \u003d 0이고 계수 a는 첫 번째 또는 선임 또는 x 2의 계수, b는 x의 두 번째 계수 또는 계수이고 c는 자유 구성원입니다.

예를 들어, 5 x 2 −2 x−3=0 형식의 이차 방정식을 가정해 보겠습니다. 여기서 선행 계수는 5, 두 번째 계수는 -2, 자유 항은 -3입니다. 방금 주어진 예에서와 같이 계수 b 및/또는 c가 음수일 때 5 x 2 +(- 2 )x+(−3)=0 .

계수 a 및 / 또는 b가 1 또는 -1과 같을 때 일반적으로 이러한 표기법의 특성으로 인해 2차 방정식의 표기법에 명시적으로 나타나지 않습니다. 예를 들어, 이차 방정식 y 2 −y+3=0에서 선행 계수는 1이고 y에서의 계수는 -1입니다.

기약 및 비기약 이차 방정식

선행 계수의 값에 따라 축소 및 비 축소 이차 방정식이 구별됩니다. 해당하는 정의를 내리자.

정의.

선행 계수가 1인 이차 방정식을 감소된 이차 방정식. 그렇지 않으면 이차 방정식은 환원되지 않은.

이 정의에 따르면 이차 방정식 x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 등입니다. - 감소, 각각에서 첫 번째 계수는 1과 같습니다. 그리고 5 x 2 −x−1=0 등. - 환원되지 않은 이차 방정식의 선행 계수는 1과 다릅니다.

기약되지 않은 이차 방정식에서 두 부분을 선행 계수로 나누면 기약 된 것으로 이동할 수 있습니다. 이 동작은 등가 변환입니다. 즉, 이러한 방식으로 얻은 기약 이차 방정식은 원래의 비기약 이차 방정식과 같은 근을 갖거나 마찬가지로 근이 없습니다.

기약 이차 방정식에서 기약 이차 방정식으로의 전환이 어떻게 수행되는지 예를 들어 보겠습니다.

예시.

방정식 3 x 2 +12 x−7=0에서 해당 기약 2차 방정식으로 이동합니다.

결정.

원래 방정식의 두 부분을 선행 계수 3으로 나누는 것으로 충분하며 0이 아니므로 이 작업을 수행할 수 있습니다. (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 이며, 이는 (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 과 같은 식으로 계속됩니다(3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , 어디서 . 그래서 우리는 원래의 것과 동일한 감소된 이차 방정식을 얻었습니다.

답변:

완전 및 불완전 이차 방정식

이차 방정식의 정의에는 a≠0이라는 조건이 있습니다. 이 조건은 방정식 a x 2 +b x+c=0 이 정확히 제곱이 되기 위해 필요합니다. a=0 이면 실제로 b x+c=0 형식의 선형 방정식이 되기 때문입니다.

계수 b와 c는 별도로 또는 함께 0과 같을 수 있습니다. 이러한 경우 이차 방정식을 불완전이라고 합니다.

정의.

이차 방정식 a x 2 +b x+c=0이 호출됩니다. 불완전한, 계수 b 중 하나 이상이면 c는 0입니다.

차례대로

정의.

완전한 이차 방정식모든 계수가 0이 아닌 방정식입니다.

이 이름은 우연히 주어진 것이 아닙니다. 이것은 다음 논의에서 분명해질 것이다.

계수 b가 0과 같으면 이차 방정식은 a x 2 +0 x+c=0 형식을 취하고 방정식 a x 2 +c=0 과 같습니다. c=0 , 즉 이차 방정식의 형식이 a x 2 +b x+0=0 이면 a x 2 +b x=0 으로 다시 작성할 수 있습니다. 그리고 b=0 및 c=0일 때 우리는 이차 방정식 a·x 2 =0을 얻습니다. 결과 방정식은 좌변에 변수 x가 있는 항이나 자유 항 또는 둘 다를 포함하지 않는다는 점에서 전체 이차 방정식과 다릅니다. 따라서 그들의 이름은 불완전한 이차 방정식입니다.

따라서 방정식 x 2 +x+1=0 및 −2 x 2 −5 x+0,2=0은 완전한 이차 방정식의 예이고 x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 은 불완전한 이차 방정식입니다.

불완전한 이차 방정식 풀기

이전 단락의 정보에 따르면 다음과 같습니다. 세 종류의 불완전 이차 방정식:

• a x 2 =0 , 계수 b=0 및 c=0은 이에 해당합니다.
• b=0일 때 a x 2 +c=0 ;
• 및 a x ​​2 +b x=0 일 때 c=0 .

이러한 각 유형의 불완전한 이차 방정식이 어떻게 해결되는지 순서대로 분석해 보겠습니다.

x 2 \u003d 0

계수 b와 c가 0인 불완전한 이차 방정식, 즉 a x 2 =0 형식의 방정식을 푸는 것으로 시작하겠습니다. 방정식 a·x 2 =0은 방정식 x 2 =0과 동일하며, 원본에서 두 부분을 0이 아닌 숫자 a로 나누어 얻습니다. 분명히 방정식 x 2 \u003d 0의 근은 0 2 \u003d 0이므로 0입니다. 이 방정식에는 다른 근이 없으므로 실제로 0이 아닌 숫자 p에 대해 부등식 p 2 >0이 발생합니다. 이는 p≠0에 대해 같음 p 2 =0이 결코 달성되지 않는다는 것을 의미합니다.

따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 \u003d 0에는 단일 루트 x \u003d 0이 있습니다.

예를 들어, 불완전한 이차 방정식 −4·x 2 =0의 해를 제공합니다. 방정식 x 2 \u003d 0과 동일하며 유일한 루트는 x \u003d 0이므로 원래 방정식에는 단일 루트 0이 있습니다.

이 경우 짧은 해결책은 다음과 같이 발행할 수 있습니다.
-4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

이제 계수 b가 0이고 c≠0, 즉 a x 2 +c=0 형식의 방정식인 불완전한 이차 방정식이 해결되는 방법을 고려하십시오. 반대 부호를 사용하여 방정식의 한 변에서 다른 변으로 항을 옮기고 방정식의 양변을 0이 아닌 숫자로 나누면 등가 방정식이 제공된다는 것을 알고 있습니다. 따라서 불완전 이차 방정식 a x 2 +c=0에 대해 다음과 같은 등가 변환을 수행할 수 있습니다.

• c를 오른쪽으로 이동하여 방정식 a x 2 =−c를 제공합니다.
• 두 부분을 모두 로 나누면 .

결과 방정식을 통해 그 뿌리에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. a 및 c의 값에 따라 표현식의 값은 음수(예: a=1 및 c=2 인 경우) 또는 양수(예: a=−2 및 c=6인 경우)일 수 있습니다. , ), 조건 c≠0 에 따라 0이 아닙니다. 경우와 .을 별도로 분석하겠습니다.

이면 방정식에 근이 없습니다. 이 진술은 임의의 수의 제곱이 음수가 아니라는 사실에서 비롯됩니다. 이로부터 , 어떤 수 p에 대해 평등은 참일 수 없습니다.

이면 방정식의 근이 있는 상황이 다릅니다. 이 경우에 대해 기억하면 방정식의 근이 즉시 명백해집니다. 그것은 숫자이기 때문입니다. 숫자가 방정식의 근이기도 하다는 것을 쉽게 추측할 수 있습니다. 이 방정식에는 예를 들어 모순으로 나타낼 수 있는 다른 근이 없습니다. 해보자

방정식의 유성근을 x 1 및 −x 1 로 표시합시다. 방정식에 표시된 근 x 1 및 −x 1 과 다른 또 다른 근 x 2가 있다고 가정합니다. 근의 x 대신 방정식으로 대입하면 방정식이 진정한 수치 평등으로 바뀌는 것으로 알려져 있습니다. x 1 과 −x 1 의 경우 , x 2 의 경우 . 수치 평등의 속성을 통해 진정한 수치 평등의 항목별 뺄셈을 수행할 수 있으므로 등식의 해당 부분을 빼면 x 1 2 − x 2 2 =0이 됩니다. 숫자 연산의 속성을 통해 결과 평등을 (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 으로 다시 작성할 수 있습니다. 두 숫자의 곱은 둘 중 하나 이상이 0인 경우에만 0과 같다는 것을 알고 있습니다. 따라서 얻은 등식에서 x 1 −x 2 =0 및/또는 x 1 +x 2 =0 , x 2 =x 1 및/또는 x 2 = −x 1 입니다. 처음에 방정식 x 2 의 근이 x 1 및 −x 1 과 다르다고 말했기 때문에 우리는 모순에 이르렀습니다. 이것은 방정식에 및 이외의 다른 근이 없음을 증명합니다.

이 단락의 정보를 요약해 보겠습니다. 불완전한 이차 방정식 a x 2 +c=0은 다음 방정식과 같습니다.

• 이면 뿌리가 없다.
• 에는 두 개의 뿌리와 if 가 있습니다.

a·x 2 +c=0 형식의 불완전한 이차 방정식을 푸는 예를 고려하십시오.

이차 방정식 9 x 2 +7=0 부터 시작하겠습니다. 자유 항을 방정식의 오른쪽으로 옮기면 9·x 2 =−7의 형식을 취합니다. 결과 방정식의 양변을 9로 나누면 에 도달합니다. 우변에서 음수가 얻어지기 때문에 이 방정식에는 근이 없으므로 원래 불완전 이차 방정식 9 x 2 +7=0에는 근이 없습니다.

불완전한 이차 방정식 −x 2 +9=0을 하나 더 풀어 보겠습니다. 9를 오른쪽으로 옮깁니다: -x 2 \u003d -9. 이제 두 부분을 −1로 나누면 x 2 =9가 됩니다. 오른쪽은 양수를 포함하며 여기서 또는 . 최종 답을 작성한 후: 불완전한 이차 방정식 −x 2 +9=0에는 x=3 또는 x=−3의 두 근이 있습니다.

a x 2 +b x=0

c=0 에 대한 마지막 유형의 불완전한 이차 방정식의 해를 처리해야 합니다. a x 2 +b x=0 형식의 불완전한 이차 방정식을 사용하면 다음을 풀 수 있습니다. 인수분해 방법. 분명히, 우리는 방정식의 왼쪽에 위치할 수 있으며, 대괄호에서 공약수 x를 빼는 것으로 충분합니다. 이를 통해 원래의 불완전한 이차 방정식에서 x·(a·x+b)=0 형식의 등가 방정식으로 이동할 수 있습니다. 그리고 이 방정식은 두 방정식 x=0 및 a x+b=0 의 집합과 동일하며, 마지막 방정식은 선형이고 근이 x=−b/a 입니다.

따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 +b x=0은 x=0과 x=−b/a의 두 근을 갖습니다.

자료를 통합하기 위해 특정 예의 솔루션을 분석합니다.

예시.

방정식을 풉니다.

결정.

대괄호에서 x를 빼면 방정식이 나옵니다. 두 방정식 x=0 및 . 결과 선형 방정식을 풀고 혼합 수를 일반 분수로 나눈 후 . 따라서 원래 방정식의 근은 x=0이고 .

필요한 연습을 한 후 이러한 방정식의 솔루션을 간략하게 작성할 수 있습니다.

답변:

x=0, .

판별식, 이차 방정식의 근 공식

이차 방정식을 풀기 위해 근 공식이 있습니다. 적어보자 이차 방정식의 근의 공식: , 어디 D=b 2 −4 a c- 소위 이차 방정식의 판별식. 표기법은 본질적으로 .

근 공식이 어떻게 구해졌으며 이 공식이 이차 방정식의 근을 찾는 데 어떻게 적용되는지 아는 것이 유용합니다. 이것을 처리합시다.

이차 방정식의 근 공식 유도

이차 방정식 a·x 2 +b·x+c=0 을 풀어야 합니다. 몇 가지 동등한 변환을 수행해 보겠습니다.

• 이 방정식의 두 부분을 0이 아닌 숫자 a로 나눌 수 있으며 결과적으로 축소된 이차 방정식을 얻습니다.
• 지금 완전한 정사각형을 선택하십시오왼쪽: . 그 후, 방정식은 형식을 취합니다.
• 이 단계에서 마지막 두 항을 반대 기호로 오른쪽으로 옮기는 것이 가능합니다.
• 그리고 오른쪽의 표현식도 변환해 보겠습니다: .

결과적으로 원래의 이차 방정식 a·x 2 +b·x+c=0 과 동일한 방정식에 도달합니다.

우리는 분석할 때 이전 단락에서 형식이 유사한 방정식을 이미 풀었습니다. 이를 통해 방정식의 근과 관련하여 다음과 같은 결론을 도출할 수 있습니다.

• 이면 방정식에는 실제 솔루션이 없습니다.
• 이면 방정식은 , 따라서 , 형식을 갖습니다. 여기서 유일한 루트가 표시됩니다.
• if , then or 는 or 와 동일합니다. 즉, 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

따라서 방정식의 근의 존재 여부, 따라서 원래의 이차 방정식의 존재 여부는 오른쪽에 있는 식의 부호에 따라 달라집니다. 차례로, 이 식의 부호는 분자의 부호에 의해 결정됩니다. 분모 4 a 2 는 항상 양수, 즉 식 b 2 −4 a c 의 부호이기 때문입니다. 이 표현은 b 2 −4 a c라고 합니다. 이차 방정식의 판별식그리고 문자로 표시한 디. 여기에서 판별식의 본질은 명확합니다. 그 값과 부호에 따라 이차 방정식에 실제 근이 있는지 여부가 결정되고, 그렇다면 그 수는 1 또는 2입니다.

방정식으로 돌아가서 판별식의 표기법을 사용하여 다시 작성합니다. . 그리고 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다.

• 만약 D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0이면 이 방정식은 단일 근을 갖습니다.
• 마지막으로 D>0이면 방정식은 두 개의 근 또는 를 가지며, 또는 형식으로 다시 작성할 수 있으며 분수를 공통 분모로 확장 및 축소한 후 .

그래서 우리는 2차 방정식의 근에 대한 공식을 도출했습니다. 그들은 처럼 보입니다. 여기서 판별식 D는 공식 D=b 2 −4 a c 에 의해 계산됩니다.

그들의 도움으로 양의 판별식을 사용하여 이차 방정식의 두 실수근을 모두 계산할 수 있습니다. 판별식이 0일 때 두 공식은 이차 방정식의 유일한 해에 해당하는 동일한 근값을 제공합니다. 그리고 음의 판별식을 사용하여 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하려고 할 때 음수에서 제곱근을 추출해야 하는 문제에 직면하게 되며, 이는 학교 커리큘럼의 범위를 벗어납니다. 음의 판별식을 사용하면 이차 방정식에는 실수근이 없지만 쌍이 있습니다. 복잡한 켤레우리가 얻은 것과 동일한 루트 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

근 공식을 사용하여 이차 방정식을 푸는 알고리즘

실제로 이차 방정식을 풀 때 루트 공식을 즉시 사용하여 값을 계산할 수 있습니다. 그러나 이것은 복잡한 뿌리를 찾는 것에 관한 것입니다.

그러나 학교 대수학 과정에서 우리는 일반적으로 복소수가 아니라 이차 방정식의 실제 근에 대해 이야기합니다. 이 경우 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 찾고 음수가 아닌지 확인하는 것이 좋습니다(그렇지 않으면 방정식에 실수근이 없다는 결론을 내릴 수 있음). 뿌리의 값을 계산하십시오.

위의 추론을 통해 다음을 작성할 수 있습니다. 이차 방정식을 푸는 알고리즘. 이차 방정식 a x 2 + b x + c \u003d 0을 풀려면 다음이 필요합니다.

• 판별식 D=b 2 −4 a c를 사용하여 그 값을 계산합니다.
• 판별식이 음수이면 이차 방정식에 실수근이 없다는 결론을 내립니다.
• D=0인 경우 공식을 사용하여 방정식의 유일한 근을 계산합니다.
• 판별식이 양수이면 근 공식을 사용하여 이차 방정식의 두 실수근을 찾습니다.

여기서 우리는 판별식이 0과 같으면 공식도 사용할 수 있으며 동일한 값을 제공합니다.

이차 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 적용하는 예제로 넘어갈 수 있습니다.

이차 방정식 풀기의 예

판별식이 양수, 음수 및 0인 세 개의 이차 방정식의 해를 고려하십시오. 그들의 솔루션을 다루면 유추에 의해 다른 이차 방정식을 푸는 것이 가능할 것입니다. 시작하자.

예시.

방정식 x 2 +2 x−6=0 의 근을 찾습니다.

결정.

이 경우 이차 방정식의 계수는 다음과 같습니다. a=1 , b=2 및 c=−6 . 알고리즘에 따르면 먼저 판별식을 계산해야 합니다. 이를 위해 표시된 a, b 및 c를 판별식으로 대입합니다. D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. 28>0, 즉 판별식이 0보다 크므로 이차 방정식은 두 개의 실수근을 갖습니다. roots의 공식으로 그것들을 찾자, 우리는 , 여기서 우리는 루트의 부호를 빼내다다음에 분수 감소:

답변:

다음 전형적인 예를 살펴보겠습니다.

예시.

이차 방정식 −4 x 2 +28 x−49=0 을 풉니다.

결정.

판별식을 찾는 것으로 시작합니다. D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. 따라서 이 2차 방정식은 단일 근을 가지며, 이는 , 즉,

답변:

x=3.5 .

음의 판별식이 있는 이차 방정식의 해를 고려해야 합니다.

예시.

방정식 5 y 2 +6 y+2=0 을 풉니다.

결정.

다음은 이차 방정식의 계수입니다. a=5 , b=6 및 c=2 . 이 값을 판별 공식에 대입하면 D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. 판별식은 음수이므로 이 2차 방정식에는 실수근이 없습니다.

복소수 근을 지정해야 하는 경우 이차 방정식의 근에 대해 잘 알려진 공식을 사용하고 다음을 수행합니다. 복소수 연산:

답변:

실제 뿌리는 없으며 복잡한 뿌리는 다음과 같습니다.

다시 한 번, 2차 방정식의 판별식이 음수이면 학교는 일반적으로 실제 근이 없음을 나타내는 답을 즉시 기록하고 복소수 근을 찾지 못한다는 점에 주목합니다.

짝수 초 계수에 대한 근 공식

2차 방정식의 근에 대한 공식 , 여기서 D=b 2 −4 a c는 x에서 짝수 계수(또는 단순히 2 n , 예를 들어, 또는 14 ln5=2 7 ln5 ). 그녀를 꺼내자.

a x 2 +2 n x + c=0 형식의 이차 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다. 우리가 알고 있는 공식을 이용하여 그 뿌리를 찾아보자. 이를 위해 판별식을 계산합니다. D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), 루트 공식을 사용합니다.

식 n 2 −a c를 D 1로 표시합니다(때로는 D "로 표시됨). 그런 다음 두 번째 계수 2 n을 갖는 고려된 이차 방정식의 근에 대한 공식은 다음 형식을 취합니다 , 여기서 D 1 = n 2 -a c .

D=4·D 1 또는 D 1 =D/4 임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, D1은 판별식의 네 번째 부분입니다. D 1 의 부호가 D 의 부호와 같다는 것은 분명합니다. 즉, 부호 D 1 은 이차 방정식의 근의 유무를 나타내는 지표이기도 합니다.

따라서 두 번째 계수가 2n인 이차 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.

• D 1 = n 2 −a·c를 계산하고 ;
• 만약 D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0이면 공식을 사용하여 방정식의 유일한 근을 계산합니다.
• D 1 >0이면 공식을 사용하여 두 개의 실수근을 찾습니다.

이 단락에서 얻은 루트 공식을 사용하여 예제의 솔루션을 고려하십시오.

예시.

2차 방정식 5 x 2 −6 x−32=0 을 풉니다.

결정.

이 방정식의 두 번째 계수는 2·(-3) 로 나타낼 수 있습니다. 즉, 원래의 이차 방정식을 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 여기에서 a=5 , n=−3 및 c=−32 이고 4번째 부분을 계산합니다. 판별자: D 1 = n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. 값이 양수이므로 방정식에는 두 개의 실수근이 있습니다. 해당 루트 공식을 사용하여 찾습니다.

이차 방정식의 근에 대해 일반적인 공식을 사용할 수 있었지만 이 경우 더 많은 계산 작업이 수행되어야 합니다.

답변:

이차 방정식 형태의 단순화

때로는 공식을 사용하여 이차 방정식의 근 계산을 시작하기 전에 "이 방정식의 형식을 단순화할 수 있습니까?"라는 질문을 하는 것이 나쁘지 않습니다. 계산 측면에서 1100 x 2 −400 x−600=0 보다 2차 방정식 11 x 2 −4 x −6=0 을 푸는 것이 더 쉽다는 데 동의합니다.

일반적으로 이차 방정식 형식의 단순화는 양변에 어떤 숫자를 곱하거나 나눔으로써 달성됩니다. 예를 들어, 이전 단락에서 양변을 100으로 나누어 방정식 1100 x 2 −400 x −600=0의 단순화를 달성했습니다.

유사한 변환이 2차 방정식으로 수행되며, 그 계수는 . 이 경우 방정식의 두 부분은 일반적으로 계수의 절대 값으로 나뉩니다. 예를 들어, 이차 방정식 12 x 2 −42 x+48=0을 가정해 보겠습니다. 계수의 절대값: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . 원래 이차 방정식의 두 부분을 6으로 나누면 등가 이차 방정식 2 x 2 −7 x+8=0 에 도달합니다.

그리고 이차 방정식의 두 부분의 곱셈은 일반적으로 분수 계수를 제거하기 위해 수행됩니다. 이 경우 곱셈은 계수의 분모에 대해 수행됩니다. 예를 들어, 이차 방정식의 두 부분에 LCM(6, 3, 1)=6 을 곱하면 더 간단한 형식 x 2 +4 x−18=0 가 됩니다.

이 단락의 결론에서 우리는 거의 항상 모든 항의 부호를 변경하여 이차 방정식의 가장 높은 계수에서 빼기를 제거한다는 점에 주목합니다. 이는 두 부분을 -1로 곱(또는 나누기)하는 것에 해당합니다. 예를 들어, 일반적으로 이차 방정식 −2·x 2 −3·x+7=0 에서 해 2·x 2 +3·x−7=0 으로 이동합니다.

이차 방정식의 근과 계수의 관계

이차 방정식의 근에 대한 공식은 방정식의 근을 계수로 표현합니다. 근의 공식을 기반으로 근과 계수 사이의 다른 관계를 얻을 수 있습니다.

형태의 비에타 정리에서 가장 잘 알려지고 적용 가능한 공식 및 . 특히, 주어진 이차 방정식의 경우 근의 합은 부호가 반대인 두 번째 계수와 같으며 근의 곱은 자유항입니다. 예를 들어, 이차 방정식 3 x 2 −7 x+22=0의 형식으로 근의 합은 7/3이고 근의 곱은 22/3이라고 즉시 말할 수 있습니다.

이미 작성된 공식을 사용하여 이차 방정식의 근과 계수 사이의 여러 다른 관계를 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 2차 방정식의 근의 제곱의 합을 계수로 표현할 수 있습니다.

서지.

• 대수학:교과서 8셀용. 일반 교육 기관 / [유. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; 에드. S. A. Telyakovsky. - 16판. - 남 : 교육, 2008. - 271 p. : 아픈. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• 모르드코비치 A.G.대수학. 8 학년. 오후 2시 파트 1. 교육 기관의 학생들을 위한 교과서 / A. G. Mordkovich. - 11판, 삭제됨. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: 아프다. ISBN 978-5-346-01155-2.

"방정식 풀기" 주제에 이어 이 기사의 자료에서는 이차 방정식을 소개합니다.

이차 방정식의 본질과 표기법, 수반되는 항을 설정하고, 불완전하고 완전한 방정식을 풀기 위한 계획을 분석하고, 근과 판별식의 공식을 익히고, 근과 계수 사이의 연결을 설정하고, 과정 우리는 실제 예제의 시각적 솔루션을 제공합니다.

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이차 방정식, 그 유형

정의 1

이차 방정식는 다음과 같이 쓰여진 방정식입니다. a x 2 + b x + c = 0, 어디 엑스– 변수, a, b 및 씨일부 숫자이지만 ㅏ 0이 아닙니다.

종종 2차 방정식은 2차 방정식이라고도 합니다. 사실 2차 방정식은 2차 대수 방정식이기 때문입니다.

주어진 정의를 설명하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 등 이차 방정식입니다.

정의 2

숫자 a, b 및 씨는 이차 방정식의 계수입니다. a x 2 + b x + c = 0, 계수 ㅏ x 2에서 첫 번째 또는 시니어 또는 계수라고합니다. b - 두 번째 계수 또는 계수 엑스, ㅏ 씨무료 회원이라고 합니다.

예를 들어, 이차 방정식에서 6 x 2 - 2 x - 11 = 0가장 높은 계수는 6이고 두 번째 계수는 − 2 , 자유 항은 다음과 같습니다. − 11 . 계수가 비및/또는 c가 음수이면 속기 형식이 사용됩니다. 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, 하지만 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

이 측면도 명확히 합시다. 계수가 ㅏ및/또는 비동일한 1 또는 − 1 , 그러면 표시된 수치 계수를 작성하는 특성으로 설명되는 2차 방정식 작성에 명시적으로 참여하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식에서 y 2 − y + 7 = 0시니어 계수는 1이고 두 번째 계수는 − 1 .

기약 및 비기약 이차 방정식

첫 번째 계수의 값에 따라 이차 방정식은 축소와 비환원으로 나뉩니다.

정의 3

기약 이차 방정식는 선행 계수가 1인 이차 방정식입니다. 선행 계수의 다른 값의 경우 이차 방정식은 축소되지 않습니다.

다음은 몇 가지 예입니다. 이차 방정식 x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0이 감소되며, 각각의 선행 계수는 1입니다.

9 x 2 - x - 2 = 0- 첫 번째 계수가 다음과 다른 기약 이차 방정식 1 .

기약되지 않은 이차 방정식은 두 부분을 첫 번째 계수(등가 변환)로 나누어 기약 방정식으로 변환할 수 있습니다. 변환된 방정식은 주어진 비환원 방정식과 동일한 근을 갖거나 근이 전혀 없을 것입니다.

특정 예를 고려하면 기약 이차 방정식에서 기약 방정식으로의 전환을 명확하게 설명할 수 있습니다.

실시예 1

주어진 방정식 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . 원래 방정식을 축소된 형태로 변환해야 합니다.

결정

위의 계획에 따라 원래 방정식의 두 부분을 선행 계수 6으로 나눕니다. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다. (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, 그리고 이것은 다음과 같습니다. (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0그리고 더: (6:6) x 2 + (18:6) x − 7: 6 = 0 .여기에서: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . 따라서 주어진 것과 동일한 방정식이 얻어진다.

답변: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

완전 및 불완전 이차 방정식

이차 방정식의 정의를 살펴보겠습니다. 그것에서 우리는 다음과 같이 지정했습니다. ≠ 0. 방정식에도 비슷한 조건이 필요합니다. a x 2 + b x + c = 0정확히 정사각형이었기 때문에 에이 = 0본질적으로 선형 방정식으로 변환합니다. b x + c = 0.

계수가 있는 경우 비그리고 씨 0과 같으면(개별적으로나 공동으로 모두 가능), 이차 방정식을 불완전이라고 합니다.

정의 4

불완전한 이차 방정식는 이차 방정식입니다 a x 2 + b x + c \u003d 0,여기서 계수 중 적어도 하나는 비그리고 씨(또는 둘 다) 0입니다.

완전한 이차 방정식모든 수치 계수가 0이 아닌 이차 방정식입니다.

이차 방정식의 유형에 정확히 그러한 이름이 부여되는 이유에 대해 논의해 보겠습니다.

b = 0인 경우 이차 방정식은 다음 형식을 취합니다. x 2 + 0 x + c = 0, 와 동일합니다. x 2 + c = 0. ~에 c = 0이차 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. a x 2 + b x + 0 = 0, 동등한 a x 2 + b x = 0. ~에 b = 0그리고 c = 0방정식은 다음 형식을 취합니다. x 2 = 0. 우리가 얻은 방정식은 좌변에 변수 x가 있는 항이나 자유 항 또는 둘 다 한 번에 포함하지 않는다는 점에서 완전 이차 방정식과 다릅니다. 실제로, 이 사실은 이러한 유형의 방정식에 이름을 부여했습니다. 불완전합니다.

예를 들어, x 2 + 3 x + 4 = 0 및 − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0은 완전한 이차 방정식입니다. x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 은 불완전한 이차 방정식입니다.

불완전한 이차 방정식 풀기

위에 주어진 정의를 통해 다음 유형의 불완전 이차 방정식을 구별할 수 있습니다.

• x 2 = 0, 계수는 이러한 방정식에 해당합니다. b = 0그리고 c = 0 ;
• b \u003d 0의 경우 a x 2 + c \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 for c = 0 .

불완전 이차 방정식의 각 유형의 솔루션을 연속적으로 고려하십시오.

방정식 a x 2 \u003d 0의 해

위에서 이미 언급했듯이 이러한 방정식은 계수에 해당합니다. 비그리고 씨, 0과 같습니다. 방정식 x 2 = 0등가 방정식으로 변환할 수 있습니다. x2 = 0, 원래 방정식의 양변을 숫자로 나누어 얻습니다. ㅏ, 0이 아닙니다. 명백한 사실은 방정식의 근이 x2 = 0때문에 0이다 0 2 = 0 . 이 방정식에는 차수의 속성으로 설명되는 다른 근이 없습니다. 임의의 숫자에 대해 피, 0과 같지 않으면 부등식이 참입니다. p2 > 0, 그 다음부터 피 ≠ 0평등 p2 = 0결코 도달하지 않을 것입니다.

정의 5

따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 = 0의 경우 고유한 근이 있습니다. x=0.

실시예 2

예를 들어, 불완전한 이차 방정식을 풀자 - 3 x 2 = 0. 방정식과 동일합니다. x2 = 0, 그것의 유일한 루트는 x=0, 원래 방정식은 단일 루트 - 0을 갖습니다.

솔루션은 다음과 같이 요약됩니다.

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

방정식 a x 2 + c \u003d 0의 해

다음 줄은 불완전한 이차 방정식의 해입니다. 여기서 b \u003d 0, c ≠ 0, 즉 다음 형식의 방정식 x 2 + c = 0. 방정식의 한 쪽에서 다른 쪽으로 항을 전송하고 부호를 반대 방향으로 변경하고 방정식의 양쪽을 0이 아닌 숫자로 나누어 이 방정식을 변환해 보겠습니다.

• 견디다 씨방정식을 제공하는 오른쪽으로 x 2 = − c;
• 방정식의 양변을 다음으로 나눕니다. ㅏ, 결과적으로 x = - c a 를 얻습니다.

우리의 변환은 각각 동일하며 결과 방정식도 원래 방정식과 동일하며 이러한 사실을 통해 방정식의 근에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. 가치는 무엇으로부터 ㅏ그리고 씨표현식의 값에 따라 다릅니다. - c a: 빼기 기호가 있을 수 있습니다(예: 에이 = 1그리고 c = 2, 다음 - c a = - 2 1 = - 2) 또는 더하기 기호(예: a = -2그리고 c=6, 다음 - c a = - 6 - 2 = 3); 0과 같지 않기 때문에 ≠ 0. 다음과 같은 상황에 대해 더 자세히 설명하겠습니다. - c< 0 и - c a > 0 .

다음의 경우 - c< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа 피평등 p 2 = - c a는 참이 될 수 없습니다.

- c a > 0일 때 모든 것이 다릅니다. 제곱근을 기억하십시오. 그러면 방정식 x 2 \u003d - c a의 근이 - c a 2 \u003d - c a 이후의 숫자 - c a가 된다는 것이 분명해질 것입니다. 숫자 - - c a - 는 방정식 x 2 = - c a 의 근이기도 합니다. 실제로 - c a 2 = - c a 입니다.

방정식에는 다른 근이 없습니다. 우리는 반대의 방법을 사용하여 이것을 증명할 수 있습니다. 먼저 위에서 찾은 근의 표기법을 다음과 같이 설정합시다. x 1그리고 - x 1. 방정식 x 2 = - c a에도 근이 있다고 가정해 보겠습니다. x2, 뿌리와 다른 x 1그리고 - x 1. 대신 방정식에 대입하면 엑스그것의 근원, 우리는 방정식을 공정한 수치 평등으로 변환합니다.

을 위한 x 1그리고 - x 1쓰기: x 1 2 = - c a , x2- x 2 2 \u003d - c a. 수치 평등의 속성에 따라 다른 항에서 하나의 진정한 평등을 항별로 빼면 다음이 제공됩니다. x 1 2 − x 2 2 = 0. 숫자 연산의 속성을 사용하여 마지막 같음을 다음과 같이 다시 씁니다. (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. 두 숫자의 곱은 숫자 중 하나 이상이 0인 경우에만 0인 것으로 알려져 있습니다. 말한 바에 따르면 다음과 같다. x1 − x2 = 0및/또는 x1 + x2 = 0, 동일하다 x2 = x1및/또는 x 2 = - x 1. 처음에는 방정식의 근이 x2~와 다르다 x 1그리고 - x 1. 그래서 우리는 방정식에 x = - c a 와 x = - c a 외에 다른 근이 없다는 것을 증명했습니다.

위의 모든 주장을 요약합니다.

정의 6

불완전한 이차 방정식 x 2 + c = 0다음과 같은 방정식 x 2 = - c a 와 동일합니다.

• -c에 뿌리가 없습니다.< 0 ;
• -c a > 0 일 때 x = - c a 와 x = - c a 의 두 개의 근을 갖습니다.

방정식 풀이의 예를 들어 보겠습니다. x 2 + c = 0.

실시예 3

주어진 이차 방정식 9 x 2 + 7 = 0 .그 해결책을 찾는 것이 필요합니다.

결정

자유 항을 방정식의 오른쪽으로 옮기면 방정식은 다음 형식을 취합니다. 9 x 2 \u003d - 7.
결과 방정식의 양변을 다음으로 나눕니다. 9 , 우리는 x 2 = - 7 9 에 도달합니다. 오른쪽에는 빼기 기호가 있는 숫자가 있습니다. 즉, 주어진 방정식에는 근이 없습니다. 그런 다음 원래 불완전한 이차 방정식 9 x 2 + 7 = 0뿌리가 없을 것입니다.

답변:방정식 9 x 2 + 7 = 0뿌리가 없습니다.

실시예 4

방정식을 푸는 것이 필요합니다 - x2 + 36 = 0.

결정

36을 오른쪽으로 이동해 보겠습니다. − x 2 = − 36.
두 부분을 나누어 보자. − 1 , 우리는 얻는다 x2 = 36. 오른쪽에는 양수가 있으며, 여기서 우리는 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다. x = 36 또는 x = - 36 .
루트를 추출하고 최종 결과를 작성합니다. 불완전한 이차 방정식 - x2 + 36 = 0두 개의 뿌리가 있다 x=6또는 x = -6.

답변: x=6또는 x = -6.

방정식 a x 2 +b x=0의 해

세 번째 종류의 불완전한 이차 방정식을 분석해 보겠습니다. c = 0. 불완전한 이차 방정식의 해를 구하려면 a x 2 + b x = 0, 우리는 인수분해 방법을 사용합니다. 대괄호에서 공통 인수를 제거하여 방정식의 왼쪽에 있는 다항식을 인수분해합시다. 엑스. 이 단계를 통해 원래의 불완전한 이차 방정식을 등가로 변환할 수 있습니다. x (a x + b) = 0. 그리고 이 방정식은 차례로 방정식 세트와 동일합니다. x=0그리고 x + b = 0. 방정식 x + b = 0선형 및 그 루트: x = − b.

정의 7

따라서 불완전한 이차 방정식은 a x 2 + b x = 0두 개의 뿌리를 가질 것입니다 x=0그리고 x = − b.

예제를 통해 자료를 통합해 보겠습니다.

실시예 5

방정식 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 의 해를 찾아야 합니다.

결정

테이크 아웃하자 엑스대괄호 외부에서 x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 방정식을 얻습니다. 이 방정식은 방정식과 동일합니다. x=0및 2 3 x - 2 2 7 = 0 . 이제 결과 선형 방정식을 풀어야 합니다. 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

간단히 방정식의 해를 다음과 같이 씁니다.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 또는 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 또는 x = 3 3 7

답변: x = 0 , x = 3 3 7 .

판별식, 이차 방정식의 근 공식

이차 방정식의 해를 찾기 위해 루트 공식이 있습니다.

정의 8

x = - b ± D 2 a, 여기서 D = b 2 − 4 a c이른바 2차 방정식의 판별식입니다.

x \u003d - b ± D 2 a를 쓴다는 것은 본질적으로 x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a를 의미합니다.

표시된 공식이 어떻게 도출되었고 어떻게 적용되는지 이해하는 것이 유용할 것입니다.

이차 방정식의 근 공식 유도

이차 방정식을 푸는 작업에 직면했다고 가정합니다. a x 2 + b x + c = 0. 여러 가지 등가 변환을 수행해 보겠습니다.

• 방정식의 양변을 숫자로 나눕니다. ㅏ, 0과 달리 감소된 이차 방정식을 얻습니다. x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• 결과 방정식의 왼쪽에서 완전한 정사각형을 선택합니다.
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  그 후 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• 이제 마지막 두 항을 오른쪽으로 옮기고 부호를 반대 방향으로 바꿀 수 있습니다. 그 후에 우리는 다음을 얻습니다. x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• 마지막으로 마지막 평등의 오른쪽에 쓰여진 표현식을 변환합니다.
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

따라서 우리는 방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 에 도달했습니다. 이는 원래 방정식과 동일합니다. a x 2 + b x + c = 0.

우리는 이전 단락에서 그러한 방정식의 해(불완전 이차 방정식의 해)에 대해 논의했습니다. 이미 얻은 경험을 통해 방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2의 근에 관한 결론을 도출할 수 있습니다.

• b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0의 경우 방정식은 x + b 2 · a 2 = 0, x + b 2 · a = 0의 형식을 갖습니다.

여기에서 유일한 루트 x = - b 2 · a는 분명합니다.

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0의 경우 올바른 값은 x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 또는 x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 입니다. x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 또는 x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , 즉 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2(따라서 원래 방정식)의 근의 존재 여부는 b 2 - 4 a c 식의 부호에 의존한다는 결론을 내리는 것이 가능합니다. 4 · a 2는 오른쪽에 쓰여 있습니다. 그리고 이 식의 부호는 분자의 부호(분모 4 에 2항상 양수), 즉 식의 부호 b 2 − 4 c. 이 표현 b 2 − 4 c이름이 주어집니다 - 이차 방정식의 판별식과 문자 D가 지정으로 정의됩니다. 여기에서 판별식의 본질을 기록할 수 있습니다. 값과 부호를 통해 이차 방정식에 실제 근이 있는지 여부와 근이 있는 경우 근의 수(1개 또는 2개)가 결정됩니다.

방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 로 돌아가자. 판별 표기법을 사용하여 다시 작성해 보겠습니다. x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

결론을 요약하자면 다음과 같습니다.

정의 9

• ~에 디< 0 방정식에는 실제 근이 없습니다.
• ~에 D=0방정식은 단일 근을 가집니다. x = - b 2 · a ;
• ~에 D > 0방정식에는 두 개의 근이 있습니다. x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 또는 x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. 라디칼의 속성에 따라 이러한 근은 x \u003d - b 2 a + D 2 a 또는 - b 2 a - D 2 a로 작성할 수 있습니다. 그리고 모듈을 열고 분수를 공통 분모로 줄이면 x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a를 얻습니다.

따라서 우리의 추론 결과는 이차 방정식의 근에 대한 공식의 유도였습니다.

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , 판별식 디공식에 의해 계산 D = b 2 − 4 a c.

이 공식을 사용하면 판별식이 0보다 클 때 두 실수근을 모두 결정할 수 있습니다. 판별식이 0일 때 두 공식을 모두 적용하면 이차 방정식의 유일한 해와 동일한 근이 됩니다. 판별식이 음수인 경우 2차 루트 공식을 사용하려고 하면 음수의 제곱근을 추출해야 하는 필요성에 직면하게 되며, 이는 실수를 넘어설 것입니다. 음의 판별식을 사용하면 2차 방정식은 실수근을 갖지 않지만 우리가 얻은 동일한 근 공식에 의해 결정된 한 쌍의 복소수 켤레근이 가능합니다.

근 공식을 사용하여 이차 방정식을 푸는 알고리즘

근식을 이용하면 바로 이차방정식을 푸는 것이 가능하지만, 기본적으로는 복소근을 구해야 할 때 하는 것이다.

대부분의 경우 검색은 일반적으로 복소수가 아니라 이차 방정식의 실제 근에 대한 것입니다. 그런 다음 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 결정하고 음수가 아닌지 확인하는 것이 최적입니다(그렇지 않으면 방정식에 실수근이 없다고 결론지음). 뿌리의 가치.

위의 추론을 통해 이차 방정식을 푸는 알고리즘을 공식화할 수 있습니다.

정의 10

이차 방정식을 풀려면 a x 2 + b x + c = 0, 필요한:

• 공식에 따라 D = b 2 − 4 a c판별자의 값을 찾습니다.
• D에서< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0의 경우 공식 x = - b 2 · a로 방정식의 유일한 근을 찾습니다.
• D > 0의 경우 공식 x = - b ± D 2 · a에 의해 이차 방정식의 두 실수근을 결정합니다.

판별식이 0일 때 공식 x = - b ± D 2 · a 를 사용할 수 있으며 공식 x = - b 2 · a 와 동일한 결과를 제공합니다.

예를 고려하십시오.

이차 방정식 풀기의 예

판별식의 다양한 값에 대한 예제 솔루션을 제시합니다.

실시예 6

방정식의 근을 찾아야 합니다. x 2 + 2 x - 6 = 0.

결정

우리는 이차 방정식의 수치 계수를 씁니다 : a \u003d 1, b \u003d 2 및 c = - 6. 다음으로 우리는 알고리즘에 따라 행동합니다. 계수 a , b를 대체하는 판별식 계산을 시작해 보겠습니다. 그리고 씨판별 공식으로: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

그래서 우리는 D > 0을 얻었습니다. 이것은 원래 방정식이 두 개의 실수근을 가질 것임을 의미합니다.
그것들을 찾기 위해 루트 공식 x \u003d - b ± D 2 · a를 사용하고 적절한 값을 대체하여 x \u003d - 2 ± 28 2 · 1을 얻습니다. 근의 부호에서 인수를 제거한 다음 분수를 줄임으로써 결과 표현식을 단순화합니다.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 또는 x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 또는 x = - 1 - 7

답변: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

실시예 7

이차 방정식을 풀어야합니다 − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

결정

판별식을 정의해 보겠습니다. D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. 이 판별식 값을 사용하면 원래 방정식은 공식 x = - b 2 · a에 의해 결정되는 하나의 근만 갖게 됩니다.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

답변: x = 3, 5.

실시예 8

방정식을 푸는 것이 필요합니다 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

결정

이 방정식의 수치 계수는 a = 5 , b = 6 및 c = 2 입니다. 다음 값을 사용하여 판별식을 찾습니다. D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . 계산된 판별식은 음수이므로 원래 이차 방정식에는 실수근이 없습니다.

작업이 복소수를 나타내는 것인 경우 복소수로 연산을 수행하여 근 공식을 적용합니다.

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 또는 x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i 또는 x = - 3 5 - 1 5 i .

답변:진짜 뿌리가 없다. 복소수 근은 - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i 입니다.

학교 교과과정에서는 복소근을 찾을 필요가 없는 것을 기준으로 하고 있으므로, 판별 시 판별식이 음수로 정의되면 실근이 없다는 답변이 즉시 기록됩니다.

짝수 초 계수에 대한 근 공식

루트 공식 x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c)를 사용하면 더 간결한 다른 공식을 얻을 수 있으므로 x에서 계수가 짝수인 이차 방정식의 해를 찾을 수 있습니다. 형식 2 an n, 예를 들어 2 3 또는 14 ln 5 = 2 7 ln 5). 이 공식이 어떻게 도출되는지 보여드리겠습니다.

이차 방정식 a · x 2 + 2 · n · x + c = 0에 대한 해를 찾는 작업에 직면했다고 가정합니다. 알고리즘에 따라 행동합니다. 판별식 D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) 를 결정한 다음 루트 공식을 사용합니다.

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · 다 .

식 n 2 − a c를 D 1로 표시합니다(때로는 D "로 표시됨). 그런 다음 두 번째 계수 2 n이 있는 고려된 이차 방정식의 근에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

x \u003d - n ± D 1 a, 여기서 D 1 \u003d n 2 - a c.

D = 4 · D 1 또는 D 1 = D 4 임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, D1은 판별식의 1/4입니다. 분명히, D 1 의 부호는 D 의 부호와 동일하며, 이는 D 1 의 부호가 이차 방정식의 근의 존재 여부를 나타내는 지표로도 사용될 수 있음을 의미합니다.

정의 11

따라서 두 번째 계수가 2n인 이차 방정식의 해를 찾으려면 다음이 필요합니다.

• 찾기 D 1 = n 2 - a c ;
• D 1에서< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0인 경우 공식 x = - n a 에 의해 방정식의 유일한 근을 결정합니다.
• D 1 > 0의 경우 공식 x = - n ± D 1 a를 사용하여 두 개의 실수근을 결정합니다.

실시예 9

이차 방정식 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0을 풀어야 합니다.

결정

주어진 방정식의 두 번째 계수는 2 · (− 3) 로 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 주어진 이차 방정식을 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 으로 다시 작성합니다. 여기서 a = 5 , n = − 3 및 c = − 32 입니다.

판별식의 네 번째 부분을 계산해 보겠습니다. D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . 결과 값은 양수이며, 이는 방정식에 두 개의 실수근이 있음을 의미합니다. 루트의 해당 공식으로 정의합니다.

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 또는 x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 또는 x = - 2

이차 방정식의 근에 대한 일반적인 공식을 사용하여 계산을 수행하는 것이 가능하지만 이 경우 솔루션은 더 복잡합니다.

답변: x = 3 1 5 또는 x = - 2 .

이차 방정식 형태의 단순화

때로는 원래 방정식의 형태를 최적화하여 근을 계산하는 과정을 단순화할 수 있습니다.

예를 들어, 2차 방정식 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0은 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0보다 풀기에 분명히 더 편리합니다.

더 자주, 이차 방정식 형식의 단순화는 두 부분을 특정 숫자로 곱하거나 나누어 수행됩니다. 예를 들어, 위에서 우리는 두 부분을 100으로 나누어 얻은 방정식 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0의 단순화된 표현을 보여주었습니다.

이러한 변환은 2차 방정식의 계수가 상대적으로 소수가 아닌 경우에 가능합니다. 그런 다음 일반적으로 방정식의 두 부분은 계수의 절대 값의 최대 공약수로 나뉩니다.

예를 들어, 2차 방정식 12 x 2 − 42 x + 48 = 0을 사용합니다. 계수의 절대 값의 gcd를 정의합시다. gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . 원래 이차 방정식의 두 부분을 6으로 나누고 등가 이차 방정식 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 을 얻습니다.

이차 방정식의 양변에 곱하면 일반적으로 분수 계수가 제거됩니다. 이 경우 계수 분모의 최소 공배수를 곱합니다. 예를 들어, 이차 방정식 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0의 각 부분에 LCM (6, 3, 1) \u003d 6을 곱하면 더 간단한 형식으로 작성됩니다 x 2 + 4 x - 18 = 0 .

마지막으로, 우리는 거의 항상 이차 방정식의 첫 번째 계수에서 빼기를 제거하고 방정식의 각 항의 부호를 변경합니다. 이는 두 부분을 -1로 곱하거나 나눔으로써 달성됩니다. 예를 들어, 이차 방정식 - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0에서 단순화된 버전 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0으로 이동할 수 있습니다.

근과 계수의 관계

이차 방정식의 근에 대해 이미 알려진 공식 x = - b ± D 2 · a는 수치 계수로 방정식의 근을 나타냅니다. 이 공식을 기반으로 근과 계수 사이에 다른 종속성을 설정할 수 있습니다.

가장 유명하고 적용 가능한 것은 Vieta 정리의 공식입니다.

x 1 + x 2 \u003d - b a 및 x 2 \u003d c a.

특히, 주어진 이차 방정식의 경우 근의 합은 부호가 반대인 두 번째 계수이고 근의 곱은 자유항과 같습니다. 예를 들어, 이차 방정식 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0의 형태로 근의 합이 7 3이고 근의 곱이 22 3임을 즉시 결정할 수 있습니다.

또한 이차 방정식의 근과 계수 사이의 여러 다른 관계를 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식의 근의 제곱의 합은 계수로 나타낼 수 있습니다.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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현대 사회에서 제곱 변수를 포함하는 방정식으로 작동하는 기능은 많은 활동 영역에서 유용할 수 있으며 실제로 과학 및 기술 개발에서 널리 사용됩니다. 이것은 해상 및 강 선박, 항공기 및 미사일의 설계로 입증될 수 있습니다. 이러한 계산의 도움으로 우주 물체를 포함한 다양한 물체의 움직임 궤적이 결정됩니다. 이차 방정식의 솔루션을 사용한 예는 경제 예측, 건물 설계 및 건설뿐만 아니라 가장 일반적인 일상 상황에서도 사용됩니다. 캠핑 여행, 스포츠 행사, 쇼핑 시 상점 및 기타 매우 일반적인 상황에서 필요할 수 있습니다.

표현식을 구성 요소로 분해합시다.

방정식의 차수는 주어진 표현식이 포함하는 변수 차수의 최대값에 의해 결정됩니다. 2와 같으면 이러한 방정식을 2차 방정식이라고 합니다.

우리가 공식의 언어로 말한다면, 이러한 표현은 모양에 관계없이 표현의 왼쪽이 세 개의 용어로 구성될 때 항상 형식으로 가져올 수 있습니다. 그 중에는 ax 2(즉, 계수와 제곱한 변수), bx(계수가 있는 제곱이 없는 미지수) 및 c(자유 성분, 즉 보통 수)가 있습니다. 우변의 이 모든 것은 0입니다. 이러한 다항식에 ax 2를 제외하고 구성 항 중 하나가 없는 경우를 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 변수의 값을 찾기가 어렵지 않은 이러한 문제를 해결한 예를 먼저 고려해야 합니다.

표현식이 표현식의 오른쪽에 두 개의 항, 더 정확하게는 ax 2와 bx가 있는 방식으로 보인다면 변수를 괄호로 묶어 x를 찾는 것이 가장 쉽습니다. 이제 우리의 방정식은 다음과 같이 보일 것입니다: x(ax+b). 또한 x=0이거나 작업이 ax+b=0 식에서 변수를 찾는 것으로 축소된다는 것이 분명해집니다. 이것은 곱셈의 속성 중 하나에 의해 결정됩니다. 규칙에 따르면 두 요인의 곱은 그 중 하나가 0인 경우에만 0이 됩니다.

예시

x=0 또는 8x - 3 = 0

결과적으로 방정식의 두 가지 근인 0과 0.375를 얻습니다.

이러한 방정식은 중력의 작용에 의한 물체의 움직임을 기술할 수 있으며, 이는 특정 지점에서 시작하여 원점으로 간주됩니다. 여기서 수학적 표기법은 y = v 0 t + gt 2 /2 형식을 취합니다. 필요한 값을 대입하고 우변을 0과 동일하게 하고 가능한 미지수를 찾으면 신체가 떠오르는 순간부터 떨어지는 순간까지 경과된 시간과 다른 많은 양을 알 수 있습니다. 그러나 우리는 나중에 이것에 대해 이야기 할 것입니다.

표현식 인수분해

위에서 설명한 규칙을 사용하면 더 복잡한 경우 이러한 문제를 해결할 수 있습니다. 이 유형의 2차 방정식의 해가 있는 예를 고려하십시오.

X2 - 33x + 200 = 0

이 제곱 삼항식은 완성됩니다. 먼저 표현식을 변환하고 인수로 분해합니다. (x-8) 및 (x-25) = 0의 두 가지가 있습니다. 결과적으로 두 개의 근 8과 25가 있습니다.

9학년의 이차 방정식의 해법이 있는 예를 통해 이 방법은 2차뿐만 아니라 3차 및 4차 식에서도 변수를 찾을 수 있습니다.

예: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. 변수가 있는 요인으로 우변을 인수 분해할 때 세 가지, 즉 (x + 1), (x-3) 및 (x + 삼).

결과적으로 이 방정식에는 세 개의 근이 있음이 분명해집니다. -3; -하나; 삼.

제곱근 추출

불완전한 2차 방정식의 또 다른 경우는 오른쪽이 구성 요소 ax 2 및 c로 구성되는 방식으로 문자 언어로 작성된 표현식입니다. 여기서 변수의 값을 구하기 위해 자유항을 우변으로 옮기고 그 후 등식의 양변에서 제곱근을 추출한다. 이 경우 일반적으로 방정식의 근이 두 개라는 점에 유의해야 합니다. 유일한 예외는 변수가 0인 항 c를 전혀 포함하지 않는 등식과 우변이 음수로 판명될 때 표현식의 변형입니다. 후자의 경우 위의 작업을 루트로 수행할 수 없기 때문에 솔루션이 전혀 없습니다. 이러한 유형의 2차 방정식에 대한 솔루션의 예를 고려해야 합니다.

이 경우 방정식의 근은 숫자 -4와 4가 됩니다.

토지 면적 계산

이러한 종류의 계산에 대한 필요성은 고대에 나타났습니다. 그 먼 시대의 수학 발전은 주로 토지 플롯의 면적과 둘레를 가장 정확하게 결정할 필요가 있었기 때문입니다.

우리는 또한 이러한 종류의 문제를 기반으로 컴파일된 2차 방정식의 솔루션으로 예를 고려해야 합니다.

길이가 너비보다 16미터 더 긴 직사각형의 땅이 있다고 가정해 보겠습니다. 면적이 612 m 2 인 경우 사이트의 길이, 너비 및 둘레를 찾아야 합니다.

사업에 착수하면서 먼저 필요한 방정식을 만들 것입니다. 단면의 너비를 x로 표시하면 길이는 (x + 16)이 됩니다. 작성된 내용에 따르면 면적은 우리 문제의 조건에 따라 612인 표현식 x (x + 16)에 의해 결정됩니다. 이것은 x (x + 16) \u003d 612를 의미합니다.

완전한 이차 방정식의 해와 이 식은 같은 방식으로 수행될 수 없습니다. 왜요? 왼쪽에는 여전히 두 개의 요인이 있지만 그 곱이 전혀 0이 아니므로 여기에서 다른 방법을 사용합니다.

판별자

우선, 필요한 변환을 수행하면 이 표현식의 모양이 다음과 같이 표시됩니다. x 2 + 16x - 612 = 0. 이는 이전에 지정된 표준에 해당하는 형식으로 표현식을 받았음을 의미합니다. 여기서 a=1, b=16, c= -612.

이것은 판별식을 통해 이차 방정식을 푸는 예가 될 수 있습니다. 여기서 필요한 계산은 D = b 2 - 4ac 구성표에 따라 이루어집니다. 이 보조 값은 2차 방정식에서 원하는 값을 찾는 것을 가능하게 할 뿐만 아니라 가능한 옵션의 수를 결정합니다. D>0의 경우 두 가지가 있습니다. D=0의 경우 하나의 루트가 있습니다. D의 경우<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

뿌리와 그 공식에 대하여

우리의 경우 판별식은 256 - 4(-612) = 2704입니다. 이것은 우리 문제에 답이 있음을 나타냅니다. 알고 있다면 이차 방정식의 해는 아래 공식을 사용하여 계속되어야 합니다. 근을 계산할 수 있습니다.

이것은 제시된 경우 x 1 =18, x 2 =-34를 의미합니다. 이 딜레마의 두 번째 옵션은 솔루션이 될 수 없습니다. 토지 플롯의 크기는 음수 값으로 측정할 수 없으므로 x(즉, 플롯의 너비)가 18m임을 의미합니다. 여기에서 길이를 계산합니다. 18+16=34이고 둘레 2(34+ 18) = 104(m 2)입니다.

예제 및 작업

우리는 이차 방정식에 대한 연구를 계속합니다. 그 중 몇 가지의 예와 자세한 솔루션이 아래에 나와 있습니다.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

모든 것을 평등의 왼쪽으로 옮기고 변환을 수행합니다. 즉, 일반적으로 표준 형식이라고하는 방정식의 형태를 가져와 0과 동일시합니다.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

유사한 것을 추가하여 판별식을 결정합니다. D \u003d 49 - 48 \u003d 1. 따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 위의 공식에 따라 계산합니다. 즉, 첫 번째는 4/3이고 두 번째는 1입니다.

2) 이제 다른 종류의 수수께끼를 공개하겠습니다.

여기에 근 x 2 - 4x + 5 = 1이 있는지 알아봅시다. 철저한 답을 얻기 위해 다항식을 해당 친숙한 형식으로 가져와 판별식을 계산합니다. 이 예에서는 문제의 본질이 여기에 전혀 없기 때문에 이차 방정식을 풀 필요가 없습니다. 이 경우 D \u003d 16 - 20 \u003d -4이며, 이는 실제로 뿌리가 없음을 의미합니다.

비에타의 정리

위 식과 판별식을 통해 2차 방정식을 풀면 후자의 값에서 제곱근을 추출하면 판별식이 편리합니다. 그러나 이것이 항상 일어나는 것은 아닙니다. 그러나 이 경우 변수의 값을 얻는 방법은 여러 가지가 있습니다. 예: Vieta의 정리를 사용하여 이차 방정식 풀기. 16세기 프랑스에 살았던 남자의 이름을 따서 지어졌으며 수학적 재능과 궁정에서의 인맥 덕분에 화려한 경력을 쌓았습니다. 그의 초상화는 기사에서 볼 수 있습니다.

그 유명한 프랑스인이 주목한 패턴은 다음과 같다. 그는 방정식의 근의 합이 -p=b/a이고 그 곱이 q=c/a에 해당함을 증명했습니다.

이제 구체적인 작업을 살펴보겠습니다.

3x2 + 21x - 54 = 0

간단하게 식을 변환해 보겠습니다.

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta 정리를 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다. 근의 합은 -7이고 곱은 -18입니다. 여기에서 방정식의 뿌리는 숫자 -9와 2라는 것을 알 수 있습니다. 확인을 한 후에는 이러한 변수 값이 표현식에 실제로 맞는지 확인할 것입니다.

포물선의 그래프와 방정식

이차 함수와 이차 방정식의 개념은 밀접하게 관련되어 있습니다. 이에 대한 예는 이미 이전에 제공되었습니다. 이제 몇 가지 수학 퍼즐을 조금 더 자세히 살펴보겠습니다. 설명된 유형의 모든 방정식은 시각적으로 나타낼 수 있습니다. 그래프의 형태로 그려진 이러한 종속성을 포물선이라고 합니다. 다양한 유형이 아래 그림에 나와 있습니다.

모든 포물선에는 꼭지점, 즉 가지가 나오는 지점이 있습니다. >0이면 무한대로 올라가고,<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

함수의 시각적 표현은 2차 방정식을 포함한 모든 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다. 이 방법을 그래픽이라고 합니다. 그리고 x 변수의 값은 그래프 선이 0x와 교차하는 지점의 가로 좌표입니다. 꼭짓점의 좌표는 x 0 = -b / 2a가 주어진 공식으로 찾을 수 있습니다. 그리고 그 결과 값을 함수의 원래 방정식에 대입하면 y 0, 즉 y축에 속하는 포물선 꼭짓점의 두 번째 좌표를 알 수 있습니다.

가로축과 포물선 가지의 교차점

이차 방정식의 해에 대한 많은 예가 있지만 일반적인 패턴도 있습니다. 그들을 고려해 봅시다. >0에 대한 그래프와 0x 축의 교차는 y 0이 음수 값을 취하는 경우에만 가능하다는 것이 분명합니다. 그리고<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. 그렇지 않으면 D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

포물선 그래프에서 근을 결정할 수도 있습니다. 그 반대도 사실입니다. 즉, 2차 함수의 시각적 표현을 얻기가 쉽지 않다면 표현식의 우변을 0과 동일시하고 결과 방정식을 풀 수 있습니다. 그리고 0x 축과의 교차점을 알면 플롯하기가 더 쉽습니다.

역사에서

제곱 변수를 포함하는 방정식의 도움으로 옛날에는 수학적 계산을 수행하고 기하학적 모양의 영역을 결정했습니다. 고대인들은 물리학과 천문학 분야의 장대한 발견과 점성학적 예측을 위해 그러한 계산이 필요했습니다.

현대 과학자들이 제안하는 바와 같이, 바빌론의 주민들은 2차 방정식을 최초로 푸는 사람들 중 하나였습니다. 우리 시대가 도래하기 4세기 전에 일어난 일입니다. 물론 그들의 계산은 현재 받아들여지는 것과 근본적으로 달랐고 훨씬 더 원시적인 것으로 판명되었습니다. 예를 들어, 메소포타미아 수학자들은 음수의 존재에 대해 전혀 몰랐습니다. 그들은 또한 우리 시대의 어떤 학생에게도 알려진 것들의 다른 미묘함에 익숙하지 않았습니다.

아마도 바빌론의 과학자들보다 더 일찍 인도의 현자인 Baudhayama가 2차 방정식의 해를 취했을 것입니다. 이것은 그리스도 시대가 도래하기 약 8세기 전에 일어났습니다. 사실, 그가 제시한 해결 방법인 2차 방정식이 가장 간단했습니다. 그 외에 중국 수학자들도 옛날에 비슷한 질문에 관심이 많았다. 유럽에서는 2차 방정식이 13세기 초에야 풀기 시작했지만 나중에는 뉴턴, 데카르트 등의 위대한 과학자들이 이 방정식을 사용했습니다.

이차 방정식 - 쉽게 풀 수 있습니다! *텍스트 "KU"에서 추가로.친구, 수학에서는 그러한 방정식을 푸는 것보다 쉬울 수 있습니다. 그러나 많은 사람들이 그에게 문제가 있다는 사실을 알게 되었습니다. Yandex가 매월 요청당 얼마나 많은 노출을 제공하는지 확인하기로 결정했습니다. 무슨 일이 있었는지 살펴보세요:

무슨 뜻인가요? 이것은 한 달에 약 70,000명의 사람들이 이 정보를 찾고 있다는 것을 의미하며, 지금은 여름이며, 학기 중에 일어날 일 - 요청이 두 배 더 많을 것입니다. 학교를 졸업하고 시험을 준비하는 남자와 여자는 이 정보를 찾고 있고 학생도 기억을 되살리려고 하기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

이 방정식을 푸는 방법을 알려주는 사이트가 많다는 사실에도 불구하고, 나는 또한 그 자료를 기여하고 출판하기로 결정했습니다. 첫째, 방문자가 이 요청에 따라 내 사이트를 방문하기를 원합니다. 둘째, 다른 기사에서 "KU"라는 연설이 나오면이 기사에 대한 링크를 줄 것입니다. 셋째, 다른 사이트에서 일반적으로 언급되는 것보다 그의 솔루션에 대해 조금 더 자세히 알려 드리겠습니다. 시작하자!기사 내용:

이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기서 계수 a,비a≠0을 사용하여 임의의 숫자를 사용합니다.

학교 과정에서 자료는 다음과 같은 형식으로 제공됩니다. 방정식을 세 수업으로 나누는 것은 조건부로 수행됩니다.

1. 두 개의 뿌리가 있습니다.

2. * 루트가 하나만 있습니다.

3. 뿌리가 없다. 그들은 진정한 뿌리가 없다는 점에 주목할 가치가 있습니다.

뿌리는 어떻게 계산됩니까? 단지!

판별식을 계산합니다. 이 "끔찍한" 단어 아래에는 매우 간단한 공식이 있습니다.

루트 공식은 다음과 같습니다.

*이 공식은 마음으로 알고 있어야 합니다.

즉시 기록하고 결정할 수 있습니다.

예시:

1. D > 0이면 방정식의 근이 두 개입니다.

2. D = 0이면 방정식의 근이 하나입니다.

3. 만약 D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

방정식을 살펴보겠습니다.

이 경우 판별식이 0일 때 학교 과정은 하나의 근을 얻는다고 말합니다. 여기서는 9와 같습니다. 그렇긴 한데...

이 표현은 다소 잘못되었습니다. 사실 뿌리는 두 가지입니다. 예, 예, 놀라지 마십시오. 두 개의 동일한 근이 밝혀지고 수학적으로 정확하려면 답에 두 개의 근을 작성해야 합니다.

x 1 = 3 x 2 = 3

그러나 이것은 작은 탈선입니다. 학교에서는 뿌리가 하나뿐이라고 적어서 말할 수 있습니다.

이제 다음 예:

알다시피 음수의 근은 추출되지 않으므로 이 경우에는 솔루션이 없습니다.

그것이 전체 결정 과정입니다.

이차 함수.

솔루션이 기하학적으로 보이는 방법은 다음과 같습니다. 이것은 이해하는 것이 매우 중요합니다(앞으로 기사 중 하나에서 2차 부등식의 솔루션을 자세히 분석할 것입니다).

이것은 다음 형식의 기능입니다.

여기서 x와 y는 변수입니다.

a, b, c는 숫자가 주어지며, 여기서 a ≠ 0

그래프는 포물선입니다.

즉, "y"가 0인 이차 방정식을 풀면 포물선과 x축의 교차점을 찾습니다. 이 점은 2(판별자가 양수임), 1(판별자가 0임) 또는 없음(판별자가 음수임)일 수 있습니다. 2차 함수에 대한 추가 정보 당신은 볼 수 있습니다 Inna Feldman의 기사.

다음 예를 고려하십시오.

예 1: 결정 2배 2 +8 엑스–192=0

a=2 b=8 c= -192

디 = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

답: x 1 = 8 x 2 = -12

* 방정식의 좌변과 우변을 즉시 2로 나눌 수 있습니다. 즉, 단순화할 수 있습니다. 계산이 더 쉬울 것입니다.

예 2: 결정하다 x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

우리는 x 1 \u003d 11 및 x 2 \u003d 11을 얻었습니다.

대답에서 x = 11을 쓸 수 있습니다.

답: x = 11

예 3: 결정하다 x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

판별식은 음수이며 실수에는 해가 없습니다.

답변: 해결책이 없습니다

판별자는 음수입니다. 해결책이 있습니다!

여기서는 음의 판별식을 얻은 경우 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다. 복소수에 대해 알고 있습니까? 나는 그들이 왜 그리고 어디서 발생했는지 그리고 수학에서 그들의 특정한 역할과 필요성이 무엇인지에 대해 여기서 자세히 설명하지 않을 것입니다. 이것은 별도의 큰 기사에 대한 주제입니다.

복소수의 개념입니다.

약간의 이론.

복소수 z는 다음 형식의 숫자입니다.

z = a + 바이

여기서 및 b는 실수이고 i는 소위 허수 단위입니다.

에이+비 는 추가가 아닌 단일 숫자입니다.

허수 단위는 마이너스 1의 루트와 같습니다.

이제 방정식을 고려하십시오.

2개의 켤레근을 얻습니다.

불완전한 이차 방정식.

특별한 경우를 고려하십시오. 이것은 계수 "b" 또는 "c"가 0과 같을 때입니다(또는 둘 다 0과 같을 때). 그들은 판별식 없이 쉽게 풀립니다.

사례 1. 계수 b = 0.

방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

변환해 보겠습니다.

예시:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

사례 2. 계수 c = 0.

방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

변환, 인수분해:

*적어도 하나의 요인이 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다.

예시:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 또는 x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

사례 3. 계수 b = 0 및 c = 0.

여기에서 방정식의 해는 항상 x = 0이 될 것이 분명합니다.

유용한 속성 및 계수 패턴.

계수가 큰 방정식을 풀 수 있는 속성이 있습니다.

ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등

ㅏ + 비+ c = 0,그 다음에

— 방정식의 계수의 경우 ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등

ㅏ+와 =비, 그 다음에

이러한 속성은 특정 종류의 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다.

예 1: 5001 엑스 2 –4995 엑스 – 6=0

계수의 합은 5001+( – 4995)+(– 6) = 0이므로

예 2: 2501 엑스 2 +2507 엑스+6=0

평등 ㅏ+와 =비, 수단

계수의 규칙성.

1. 방정식 ax 2 + bx + c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)이고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.

도끼 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

예시. 방정식 6x 2 +37x+6 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. 방정식 ax 2 - bx + c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)이고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.

도끼 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

예시. 방정식 15x 2 –226x +15 = 0을 고려하십시오.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. 방정식에서 ax 2 + bx - c = 0 계수 "b" 같음(a 2 – 1) 및 계수 "c" 계수 "a"와 수치적으로 동일, 그 뿌리는 같다

도끼 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

예시. 방정식 17x 2 + 288x - 17 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. 방정식 ax 2 - bx - c \u003d 0에서 계수 "b"가 (a 2 - 1)이고 계수 c가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 다음과 같습니다.

도끼 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

예시. 방정식 10x2 - 99x -10 = 0을 고려하십시오.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

비에타의 정리.

Vieta의 정리는 유명한 프랑스 수학자 Francois Vieta의 이름을 따서 명명되었습니다. Vieta의 정리를 사용하여 임의의 KU의 근의 합과 곱을 계수로 표현할 수 있습니다.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

요컨대, 숫자 14는 5와 9만 제공합니다. 이것이 근입니다. 제시된 정리를 사용하여 특정 기술을 사용하면 많은 이차 방정식을 구두로 즉시 풀 수 있습니다.

또한 Vieta의 정리. (판별자를 통해) 일반적인 방법으로 2차 방정식을 풀고 결과 근을 확인할 수 있기 때문에 편리합니다. 이 작업을 항상 수행하는 것이 좋습니다.

전송 방법

이 방법을 사용하면 계수 "a"에 마치 "전송된" 것처럼 자유 항이 곱해집니다. 전송 방법.이 방법은 비에타의 정리를 이용하여 방정식의 근을 찾기 쉬울 때, 그리고 무엇보다 판별식이 정확한 제곱일 때 사용됩니다.

만약 ㅏ± b+c≠ 0이면 전송 기술이 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

2엑스 2 – 11엑스+ 5 = 0 (1) => 엑스 2 – 11엑스+ 10 = 0 (2)

방정식 (2)의 Vieta 정리에 따르면 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

구한 방정식의 근은 2로 나누어야 합니다(두 개는 x 2에서 "던졌기 때문에"), 우리는 다음을 얻습니다.

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

근거는 무엇입니까? 무슨 일이 일어나고 있는지보십시오.

식 (1)과 (2)의 판별식은 다음과 같습니다.

방정식의 근을 보면 다른 분모만 얻어지며 결과는 x 2의 계수에 정확하게 의존합니다.

두 번째(수정된) 루트는 2배 더 큽니다.

따라서 결과를 2로 나눕니다.

*3 종류를 굴린 경우 결과를 3으로 나누는 식입니다.

답: x 1 = 5 x 2 = 0.5

평방 ur-ie와 시험.

나는 그것의 중요성에 대해 간략하게 말할 것입니다 - 당신은 생각 없이 신속하게 결정할 수 있어야 합니다. 당신은 근의 공식과 판별식을 마음으로 알아야 합니다. USE 작업의 일부인 많은 작업은 이차 방정식(기하학 포함)을 푸는 것입니다.

주목할 가치가 있는 것!

1. 방정식의 형식은 "암시적"일 수 있습니다. 예를 들어 다음 항목이 가능합니다.

15+ 9x 2 - 45x = 0 또는 15x+42+9x 2 - 45x=0 또는 15 -5x+10x 2 = 0

표준 형식으로 가져와야 합니다(해결할 때 혼동되지 않도록).

2. x는 알 수 없는 값이며 t, q, p, h 등의 다른 문자로 표시될 수 있음을 기억하십시오.

판별식과 이차 방정식은 8학년 대수학 과정에서 공부하기 시작합니다. 판별식과 Vieta 정리를 사용하여 이차 방정식을 풀 수 있습니다. 판별 공식뿐만 아니라 이차 방정식을 연구하는 방법론은 실제 교육에서와 마찬가지로 학생들에게 다소 성공적으로 주입되지 않았습니다. 따라서 학년이 지나면 9-11 학년 교육이 "고등 교육"을 대체하고 모두가 다시 찾고 있습니다. "이차 방정식을 푸는 방법?", "방정식의 근을 찾는 방법?", "식별자를 찾는 방법?" 그리고...

판별식

이차 방정식 a*x^2+bx+c=0의 판별식 D는 D=b^2–4*a*c입니다.
이차 방정식의 근(해)은 판별식(D)의 부호에 따라 달라집니다.
D>0 - 방정식에는 2개의 다른 실수근이 있습니다.
D=0 - 방정식에 1개의 근(2개의 일치하는 근)이 있습니다.
디<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
판별식을 계산하는 공식은 매우 간단하므로 많은 사이트에서 온라인 판별식 계산기를 제공합니다. 우리는 아직 이런 종류의 스크립트를 알아내지 못했습니다. 그래서 이것을 구현하는 방법을 아는 사람은 메일을 보내주십시오. 이 이메일 주소는 스팸봇으로부터 보호됩니다. 보려면 JavaScript가 활성화되어 있어야 합니다. .

이차 방정식의 근을 찾는 일반 공식:

방정식의 근은 공식에 의해 발견됩니다.
사각형의 변수 계수가 쌍을 이루는 경우 판별식이 아니라 네 번째 부분을 계산하는 것이 좋습니다.
이러한 경우 방정식의 근은 다음 공식으로 구합니다.

근을 찾는 두 번째 방법은 Vieta의 정리입니다.

정리는 이차 방정식뿐만 아니라 다항식에 대해서도 공식화됩니다. Wikipedia 또는 기타 전자 자료에서 이를 읽을 수 있습니다. 그러나 단순화하기 위해 기약 이차 방정식과 관련된 부분, 즉 (a=1) 형식의 방정식을 고려하십시오.
Vieta 공식의 본질은 방정식의 근의 합이 반대 부호로 취한 변수의 계수와 같다는 것입니다. 방정식의 근의 곱은 자유항과 같습니다. Vieta 정리의 공식에는 표기법이 있습니다.
Vieta 공식의 유도는 매우 간단합니다. 소인수에 대한 이차 방정식을 작성합시다
보시다시피 독창적 인 모든 것은 동시에 간단합니다. 근의 계수의 차이 또는 근의 계수의 차이가 1, 2일 때 Vieta 공식을 사용하는 것이 효과적입니다. 예를 들어, Vieta 정리에 따르면 다음 방정식에는 근이 있습니다.




최대 4개의 방정식 분석은 다음과 같아야 합니다. 방정식의 근의 곱은 6이므로 근은 값 (1, 6) 및 (2, 3)이거나 반대 부호와 쌍이 될 수 있습니다. 근의 합은 7(반대 부호가 있는 변수의 계수)입니다. 여기에서 우리는 이차 방정식의 해가 x=2와 같다는 결론을 내립니다. x=3.
Vieta 공식을 충족하기 위해 부호를 수정하여 자유 항의 제수 중에서 방정식의 근을 선택하는 것이 더 쉽습니다. 처음에는 이것이 어려운 것처럼 보이지만 많은 이차 방정식을 연습하면 이 기법이 판별식을 계산하고 고전적인 방법으로 이차 방정식의 근을 찾는 것보다 더 효율적입니다.
보시다시피, 판별식과 방정식의 해를 찾는 방법을 연구하는 학교 이론은 실용적인 의미가 없습니다. "왜 학생들에게 이차 방정식이 필요한가요?", "판별자의 물리적 의미는 무엇입니까?".

그것을 알아 내려고 노력합시다. 판별자는 무엇을 설명합니까?

대수학 과정에서 그들은 기능, 기능을 연구하기 위한 계획 및 기능을 플로팅합니다. 모든 기능 중에서 중요한 위치는 포물선이 차지하며 그 방정식은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.
따라서 이차 방정식의 물리적 의미는 포물선의 0, 즉 함수 그래프와 가로축 Ox의 교차점입니다.
아래에서 설명하는 포물선의 속성을 기억해 주시길 부탁드립니다. 시험, 시험 또는 입학 시험을 볼 시간이 올 것이며 참고 자료에 감사하게 될 것입니다. 정사각형에 있는 변수의 부호는 그래프의 포물선 가지가 위로 올라갈지(a>0),

또는 가지가 아래로 향하는 포물선(a<0) .

포물선의 꼭짓점은 뿌리 사이의 중간에 있습니다.

판별자의 물리적 의미:

판별식이 0보다 크면(D>0), 포물선은 Ox 축과 두 개의 교차점이 있습니다.
판별식이 0(D=0)이면 상단의 포물선이 x축에 닿습니다.
그리고 마지막 경우, 판별식이 0보다 작은 경우(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

불완전한 이차 방정식