Titik sudut grafik. Garis singgung grafik fungsi di suatu titik

Jenis pekerjaan: 7

Kondisi

Garis y=3x+2 bersinggungan dengan grafik fungsi y=-12x^2+bx-10. Temukan b , mengingat absis titik sentuh kurang dari nol.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Biarkan x_0 menjadi absis titik pada grafik fungsi y=-12x^2+bx-10 yang melaluinya garis singgung grafik ini.

Nilai turunan pada titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgung, yaitu y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sebaliknya, titik singgung termasuk dalam grafik fungsi dan grafik tangen, yaitu -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Kami mendapatkan sistem persamaan \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(kasus)

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1. Menurut kondisi absis, titik sentuh kurang dari nol, oleh karena itu x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Menjawab

Jenis pekerjaan: 7
Subjek: pengertian geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Garis y=-3x+4 sejajar dengan garis singgung grafik fungsi y=-x^2+5x-7. Temukan absis titik kontak.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Kemiringan garis ke grafik fungsi y=-x^2+5x-7 pada sembarang titik x_0 adalah y"(x_0). Tapi y"=-2x+5, jadi y"(x_0)=- 2x_0+5 Sudut koefisien garis y=-3x+4 yang ditentukan dalam kondisi adalah -3.Garis sejajar memiliki koefisien kemiringan yang sama.Oleh karena itu, kami menemukan nilai x_0 yang =-2x_0 +5=-3.

Kami mendapatkan: x_0 = 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Dari gambar, kita tentukan bahwa garis singgung melalui titik A(-6; 2) dan B(-1; 1). Dilambangkan dengan C(-6; 1) titik potong garis x=-6 dan y=1, dan dengan \alpha sudut ABC (dapat dilihat pada gambar bahwa lancip). Kemudian garis AB membentuk sudut tumpul \pi -\alpha dengan arah positif sumbu Ox.

Seperti yang Anda ketahui, tg(\pi -\alpha) akan menjadi nilai turunan dari fungsi f(x) pada titik x_0. perhatikan itu tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Dari sini, dengan rumus reduksi, kami memperoleh: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Garis y=-2x-4 bersinggungan dengan grafik fungsi y=16x^2+bx+12. Temukan b , mengingat bahwa absis titik sentuh lebih besar dari nol.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Misalkan x_0 adalah absis titik pada grafik fungsi y=16x^2+bx+12 yang melaluinya

bersinggungan dengan grafik ini.

Nilai turunan pada titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgung, yaitu y "(x_0)=32x_0+b=-2. Sebaliknya, titik singgung termasuk dalam grafik fungsi dan grafik tangen, yaitu 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Kita mendapatkan sistem persamaan \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(kasus)

Memecahkan sistem, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1. Menurut kondisi absis, titik sentuh lebih besar dari nol, oleh karena itu x_0=1, maka b=-2-32x_0=-34.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) yang didefinisikan pada interval (-2; 8). Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan garis lurus y=6.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Garis y=6 sejajar dengan sumbu Ox. Oleh karena itu, kami menemukan titik-titik di mana garis singgung grafik fungsi sejajar dengan sumbu Ox. Pada grafik ini, titik-titik tersebut adalah titik ekstrim (titik maksimum atau minimum). Seperti yang Anda lihat, ada 4 titik ekstrem.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Garis y=4x-6 sejajar dengan garis singgung grafik fungsi y=x^2-4x+9. Temukan absis titik kontak.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Kemiringan garis singgung grafik fungsi y \u003d x ^ 2-4x + 9 di sembarang titik x_0 adalah y "(x_0). Tapi y" \u003d 2x-4, yang berarti y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Kemiringan garis singgung y \u003d 4x-7 yang ditentukan dalam kondisi sama dengan 4. Garis paralel memiliki kemiringan yang sama. Oleh karena itu, kami menemukan nilai x_0 sehingga 2x_0-4 \u003d 4. Kami mendapatkan : x_0 \u003d 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x_0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x_0.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Dari gambar tersebut, kita tentukan bahwa garis singgung melalui titik A(1; 1) dan B(5; 4). Dilambangkan dengan C(5; 1) titik potong garis x=5 dan y=1, dan dengan \alpha sudut BAC (dapat dilihat pada gambar lancip). Kemudian garis AB membentuk sudut \alpha dengan arah positif sumbu Ox.

Pada artikel ini, kami akan menganalisis semua jenis masalah untuk menemukan

Mari kita ingat arti geometris dari turunan: jika garis singgung ditarik ke grafik fungsi di suatu titik, maka kemiringan garis singgung (sama dengan garis singgung sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu ) sama dengan turunan fungsi di inti nya .

Ambil titik sembarang pada garis singgung dengan koordinat :

Dan perhatikan segitiga siku-siku:

Dalam segitiga ini

Dari sini

Ini adalah persamaan garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi di titik tersebut.

Untuk menulis persamaan garis singgung, kita hanya perlu mengetahui persamaan fungsi dan titik di mana garis singgung tersebut ditarik. Kemudian kita dapat menemukan dan .

Ada tiga jenis utama masalah persamaan tangen.

1. Diberikan titik kontak

2. Diberikan koefisien kemiringan garis singgung, yaitu nilai turunan fungsi di titik tersebut.

3. Diberikan koordinat titik yang melaluinya garis singgung ditarik, tetapi bukan merupakan titik singgung.

Mari kita lihat setiap jenis masalah.

satu . Tulis persamaan garis singgung grafik fungsi pada intinya .

.

b) Tentukan nilai turunan di titik . Pertama kita cari turunan dari fungsi

Substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan tangen:

Mari kita buka tanda kurung di sisi kanan persamaan. Kita mendapatkan:

Menjawab: .

2. Temukan absis dari titik-titik di mana fungsi bersinggungan dengan grafik sejajar dengan sumbu x.

Jika garis singgung sejajar dengan sumbu x, maka besar sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu nol, oleh karena itu, garis singgung dari kemiringan garis singgung adalah nol. Jadi nilai turunan dari fungsi pada titik kontak adalah nol.

a) Tentukan turunan dari fungsi tersebut .

b) Samakan turunan dengan nol dan temukan nilai di mana garis singgung sejajar dengan sumbu:

Kami menyamakan setiap faktor dengan nol, kami mendapatkan:

Jawaban: 0;3;5

3 . Tulis persamaan garis singgung pada grafik fungsi , paralel lurus .

Garis singgung sejajar dengan garis. Kemiringan garis lurus ini adalah -1. Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka kemiringan garis singgung juga -1. Yaitu kita tahu kemiringan garis singgung, dan dengan demikian nilai turunan pada titik kontak.

Ini adalah jenis masalah kedua untuk menemukan persamaan tangen.

Jadi, kita diberikan fungsi dan nilai turunan pada titik kontak.

a) Temukan titik-titik di mana turunan fungsi sama dengan -1.

Pertama, mari kita cari persamaan turunannya.

Mari kita samakan turunan dengan angka -1.

Tentukan nilai fungsi di titik .

(berdasarkan kondisi)

.

b) Tentukan persamaan garis singgung grafik fungsi di titik .

Tentukan nilai fungsi di titik .

(dengan kondisi).

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan tangen:

.

Menjawab:

4 . Tuliskan persamaan garis singgung kurva , melewati suatu titik

Pertama, periksa apakah titik tersebut bukan titik sentuh. Jika titik tersebut merupakan titik singgung, maka titik tersebut termasuk dalam grafik fungsi, dan koordinatnya harus memenuhi persamaan fungsi. Substitusikan koordinat titik ke persamaan fungsi.

Judul="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} bukanlah titik kontak.

Ini adalah jenis masalah terakhir untuk menemukan persamaan tangen. Hal pertama kita perlu menemukan absis titik kontak.

Mari kita cari nilainya.

Biarkan menjadi titik kontak. Titik milik garis singgung grafik fungsi . Jika kita mengganti koordinat titik ini ke dalam persamaan tangen, kita mendapatkan persamaan yang benar:

.

Nilai fungsi di titik tersebut adalah .

Tentukan nilai turunan fungsi di titik .

Mari kita cari turunan dari fungsinya terlebih dahulu. Ini .

Turunan di suatu titik adalah .

Mari kita substitusikan ekspresi untuk dan ke dalam persamaan garis singgung. Kami mendapatkan persamaan untuk:

Mari kita selesaikan persamaan ini.

Kurangi pembilang dan penyebut pecahan dengan 2:

Kami membawa sisi kanan persamaan ke penyebut yang sama. Kita mendapatkan:

Sederhanakan pembilang pecahan dan kalikan kedua bagian dengan - ekspresi ini benar-benar lebih besar dari nol.

Kami mendapatkan persamaan

Mari kita selesaikan. Untuk melakukan ini, kita kuadratkan kedua bagian dan pergi ke sistem.

Judul="(!LANG:delim(lbrace)(matriks(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Mari selesaikan persamaan pertama.

Kami akan memutuskan persamaan kuadrat, kita mendapatkan

Akar kedua tidak memenuhi kondisi title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Mari kita tulis persamaan garis singgung kurva di titik . Untuk melakukan ini, kami mengganti nilai dalam persamaan Kami sudah merekamnya.

Menjawab:
.

Misalkan suatu fungsi f diberikan, yang pada suatu titik x 0 memiliki turunan berhingga f (x 0). Maka garis yang melalui titik (x 0 ; f (x 0)), memiliki lereng f'(x 0), disebut garis singgung.

Tapi apa jadinya jika turunan di titik x 0 tidak ada? Ada dua opsi:

1. Garis singgung grafik juga tidak ada. Contoh klasiknya adalah fungsi y = |x | pada titik (0; 0).
2. Garis singgung menjadi vertikal. Ini benar, misalnya, untuk fungsi y = arcsin x pada titik (1; /2).

persamaan tangen

Setiap garis lurus non-vertikal diberikan oleh persamaan bentuk y = kx + b, di mana k adalah kemiringan. Garis singgung tidak terkecuali, dan untuk menyusun persamaannya di beberapa titik x 0, cukup diketahui nilai fungsi dan turunannya di titik ini.

Jadi, biarkan suatu fungsi diberikan y \u003d f (x), yang memiliki turunan y \u003d f '(x) pada segmen. Kemudian pada setiap titik x 0 (a; b) garis singgung dapat ditarik ke grafik fungsi ini, yang diberikan oleh persamaan:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Di sini f '(x 0) adalah nilai turunan di titik x 0, dan f (x 0) adalah nilai fungsi itu sendiri.

Tugas. Diberikan fungsi y = x 3 . Tulis persamaan untuk garis singgung grafik fungsi ini di titik x 0 = 2.

Persamaan tangen: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Titik x 0 = 2 diberikan kepada kita, tetapi nilai f (x 0) dan f '(x 0) harus dihitung.

Pertama, mari kita cari nilai fungsinya. Semuanya mudah di sini: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sekarang mari kita cari turunannya: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Substitusi pada turunan x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Sehingga diperoleh: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ini adalah persamaan tangen.

Tugas. Susun persamaan garis singgung grafik fungsi f (x) \u003d 2sin x + 5 pada titik x 0 \u003d / 2.

Kali ini kami tidak akan menjelaskan secara rinci setiap tindakan - kami hanya akan menunjukkan langkah-langkah kuncinya. Kita punya:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Persamaan tangen:

y = 0 (x /2) + 7 y = 7

Dalam kasus terakhir, garisnya ternyata horizontal, karena kemiringannya k = 0. Tidak ada yang salah dengan itu - kita baru saja menemukan titik ekstrem.

Y \u003d f (x) dan jika pada titik ini sebuah garis singgung dapat ditarik ke grafik fungsi yang tidak tegak lurus terhadap sumbu x, maka kemiringan garis singgungnya adalah f "(a). Kami telah menggunakan beberapa ini kali Misalnya, dalam 33 ditetapkan, bahwa grafik fungsi y \u003d sin x (sinusoid) di titik asal membentuk sudut 45 ° dengan sumbu absis (lebih tepatnya, garis singgung grafik di asal membuat sudut 45 ° dengan arah positif sumbu x), dan dalam contoh 5 dari 33 titik ditemukan pada jadwal yang diberikan fungsi, di mana garis singgungnya sejajar dengan sumbu x. Dalam contoh 2 dari 33, sebuah persamaan dibuat untuk garis singgung grafik fungsi y \u003d x 2 pada titik x \u003d 1 (lebih tepatnya, pada titik (1; 1), tetapi lebih sering hanya nilai absis ditunjukkan, dengan asumsi bahwa jika nilai absis diketahui, maka nilai ordinat dapat ditemukan dari persamaan y = f(x)). Pada bagian ini, kami akan mengembangkan algoritma untuk menyusun persamaan garis singgung grafik fungsi apa pun.

Biarkan fungsi y \u003d f (x) dan titik M (a; f (a)) diberikan, dan diketahui juga bahwa f "(a) ada. Mari kita buat persamaan garis singgung grafik fungsi yang diberikan dalam poin yang diberikan. Persamaan ini, seperti persamaan garis lurus apa pun yang tidak sejajar dengan sumbu y, memiliki bentuk y = kx + m, jadi masalahnya adalah menemukan nilai koefisien k dan m.

Tidak ada masalah dengan kemiringan k: kita tahu bahwa k \u003d f "(a). Untuk menghitung nilai m, kami menggunakan fakta bahwa garis yang diinginkan melewati titik M (a; f (a)). Ini berarti bahwa jika kita mengganti koordinat titik M ke dalam persamaan garis lurus, kita mendapatkan persamaan yang benar: f (a) \u003d ka + m, dari mana kita menemukan bahwa m \u003d f (a) - ka.
Tetap mengganti nilai yang ditemukan dari koefisien paus menjadi persamaan lurus:

Kami telah memperoleh persamaan garis singgung grafik fungsi y \u003d f (x) pada titik x \u003d a.
Jika, katakan,
Mengganti dalam persamaan (1) nilai yang ditemukan a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, kita mendapatkan: y \u003d 1 + 2 (x-f), yaitu y \u003d 2x -1.
Bandingkan hasil ini dengan yang diperoleh pada Contoh 2 dari 33. Secara alami, hal yang sama terjadi.
Mari kita buat persamaan garis singgung grafik fungsi y \u003d tg x di titik asal. Kita punya: maka cos x f "(0) = 1. Substitusikan nilai yang ditemukan a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 ke dalam persamaan (1), kita dapatkan: y \u003d x .
Itulah sebabnya kami menggambar tangentoid di 15 (lihat Gambar 62) melalui titik asal koordinat pada sudut 45 ° ke sumbu absis.
Memecahkan ini sudah cukup contoh sederhana, kami sebenarnya menggunakan algoritma tertentu, yang disematkan dalam rumus (1). Mari kita buat algoritma ini eksplisit.

ALGORITMA PENYUSUNAN PERSAMAAN TANGEN FUNGSI PADA GRAFIK y \u003d f (x)

1) Tentukan absis titik kontak dengan huruf a.
2) Hitung 1 (a).
3) Temukan f "(x) dan hitung f" (a).
4) Substitusikan bilangan yang ditemukan a, f(a), (a) ke dalam rumus (1).

Contoh 1 Tulis persamaan garis singgung grafik fungsi di titik x = 1.
Mari kita gunakan algoritme, dengan mempertimbangkan bahwa dalam contoh ini

pada gambar. 126 menunjukkan hiperbola, garis lurus y \u003d 2x dibangun.
Gambar mengkonfirmasi perhitungan yang diberikan: memang, garis y \u003d 2-x menyentuh hiperbola pada titik (1; 1).

Menjawab: y \u003d 2-x.
Contoh 2 Gambarlah garis singgung grafik fungsi sehingga sejajar dengan garis lurus y \u003d 4x - 5.
Mari kita perbaiki rumusan masalah. Persyaratan untuk "menggambar garis singgung" biasanya berarti "membuat persamaan untuk garis singgung". Hal ini logis, karena jika seseorang mampu menyusun persamaan untuk garis singgung, maka dia tidak mungkin mengalami kesulitan dalam membangun garis lurus pada bidang koordinat sesuai dengan persamaannya.
Mari kita gunakan algoritme untuk menyusun persamaan tangen, mengingat dalam contoh ini, Tapi, tidak seperti contoh sebelumnya, ada ambiguitas di sini: absis titik singgung tidak ditunjukkan secara eksplisit.
Mari kita mulai berbicara seperti ini. Garis singgung yang diinginkan harus sejajar dengan garis lurus y \u003d 4x-5. Dua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika gradiennya sama. Ini berarti bahwa kemiringan garis singgung harus sama dengan kemiringan garis lurus yang diberikan: Dengan demikian, kita dapat menemukan nilai a dari persamaan f "(a) \u003d 4.
Kita punya:
Dari persamaan Jadi, ada dua garis singgung yang memenuhi kondisi masalah: satu di titik dengan absis 2, yang lain di titik dengan absis -2.
Sekarang Anda dapat bertindak sesuai dengan algoritme.

Contoh 3 Dari titik (0; 1) tarik garis singgung ke grafik fungsi
Mari kita gunakan algoritme untuk menyusun persamaan tangen, dengan mempertimbangkan bahwa dalam contoh ini Perhatikan bahwa di sini, seperti dalam contoh 2, absis titik singgung tidak ditunjukkan secara eksplisit. Namun demikian, kami bertindak sesuai dengan algoritma.

Dengan syarat, garis singgung melewati titik (0; 1). Substitusikan ke persamaan (2) nilai x = 0, y = 1, kita peroleh:
Seperti yang Anda lihat, dalam contoh ini, hanya pada langkah keempat algoritma kami berhasil menemukan absis titik sentuh. Mengganti nilai a \u003d 4 ke dalam persamaan (2), kita mendapatkan:

pada gambar. 127 menunjukkan ilustrasi geometris dari contoh yang dipertimbangkan: grafik fungsi

Dalam 32, kami mencatat bahwa untuk fungsi y = f(x), yang memiliki turunan pada titik tetap x, persamaan perkiraan berlaku:

Untuk kenyamanan penalaran lebih lanjut, kami mengubah notasi: alih-alih x kami akan menulis a, sebagai gantinya kami akan menulis x, dan karenanya kami akan menulis x-a sebagai gantinya. Maka perkiraan persamaan yang ditulis di atas akan berbentuk:

Sekarang lihat gambar. 128. Garis singgung ditarik ke grafik fungsi y \u003d f (x) di titik M (a; f (a)). Titik x yang ditandai pada sumbu x dekat dengan a. Jelas bahwa f(x) adalah ordinat dari grafik fungsi pada titik x yang ditentukan. Dan apa f (a) + f "(a) (x-a)? Ini adalah ordinat dari garis singgung yang sesuai dengan titik x yang sama - lihat rumus (1). Apa arti dari persamaan perkiraan (3)? Bahwa untuk menghitung nilai perkiraan fungsi, nilai ordinat tangen diambil.

Contoh 4 Temukan nilai perkiraan dari ekspresi numerik 1,02 7 .
Ini tentang tentang menemukan nilai fungsi y \u003d x 7 pada titik x \u003d 1,02. Kami menggunakan rumus (3), dengan mempertimbangkan bahwa dalam contoh ini
Hasilnya, kita mendapatkan:

Jika kita menggunakan kalkulator, kita mendapatkan: 1,02 7 = 1.148685667...
Seperti yang Anda lihat, akurasi perkiraan cukup dapat diterima.
Menjawab: 1,02 7 =1,14.

A.G. Aljabar Mordkovich Tingkat 10

Perencanaan tematik kalender dalam matematika, video dalam matematika online, unduhan Matematika di sekolah

Isi pelajaran ringkasan pelajaran mendukung bingkai pelajaran presentasi metode akselerasi teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan ujian mandiri lokakarya, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah pertanyaan diskusi pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video, dan multimedia foto, gambar grafik, tabel, skema humor, anekdot, lelucon, komik, perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Add-on abstrak chip artikel untuk lembar contekan yang ingin tahu, buku teks dasar dan glosarium tambahan istilah lainnya Memperbaiki buku pelajaran dan pelajaranmengoreksi kesalahan dalam buku teks memperbarui fragmen dalam buku teks elemen inovasi dalam pelajaran menggantikan pengetahuan usang dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk setahun pedoman program diskusi Pelajaran Terintegrasi

Perhatikan gambar berikut:

Ini menunjukkan beberapa fungsi y = f(x) yang terdiferensiasi di titik a. Titik M ditandai dengan koordinat (a; f(a)). Melalui titik sembarang P(a + x; f(a + x)) dari grafik, MP garis potong ditarik.

Jika sekarang titik P digeser sepanjang grafik ke titik M, maka garis lurus MP akan berputar mengelilingi titik M. Dalam hal ini, x akan cenderung nol. Dari sini kita dapat merumuskan definisi garis singgung pada grafik suatu fungsi.

Grafik singgung fungsi

Garis singgung grafik fungsi adalah posisi pembatas garis potong ketika kenaikan argumen cenderung nol. Perlu dipahami bahwa keberadaan turunan fungsi f pada titik x0 berarti bahwa pada titik grafik tersebut terdapat garis singgung untuk dia.

Dalam hal ini, kemiringan garis singgung akan sama dengan turunan dari fungsi ini pada titik ini f’(x0). Ini adalah arti geometris dari turunan. Garis singgung grafik fungsi terdiferensial f di titik x0 adalah suatu garis lurus yang melalui titik (x0;f(x0)) dan memiliki kemiringan f’(x0).

persamaan tangen

Mari kita coba mendapatkan persamaan garis singgung grafik beberapa fungsi f di titik A(x0; f(x0)). Persamaan garis lurus dengan kemiringan k memiliki bentuk sebagai berikut:

Karena kemiringan kita sama dengan turunan f'(x0), maka persamaannya akan berbentuk sebagai berikut: y = f'(x0)*x + b.

Sekarang mari kita hitung nilai b. Untuk melakukan ini, kami menggunakan fakta bahwa fungsi melewati titik A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, dari sini kita nyatakan b dan dapatkan b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan tangen:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Perhatikan contoh berikut: temukan persamaan garis singgung grafik fungsi f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 pada titik x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus tangen, kita dapatkan: y = 1 + 4*(x - 2). Buka kurung dan bawa suku-suku sejenis, kita peroleh: y = 4*x - 7.

Jawaban: y = 4*x - 7.

Skema umum untuk menyusun persamaan tangen ke grafik fungsi y = f(x):

1. Tentukan x0.

2. Hitung f(x0).

3. Hitung f'(x)