Cara mencari kosinus sudut antar bidang. Sudut dihedral

Artikel ini berisi uraian tentang sudut antara bidang dan cara menemukannya. Pertama, definisi sudut antara dua bidang diberikan dan ilustrasi grafis diberikan. Setelah itu, prinsip pencarian sudut antara dua bidang yang berpotongan dengan metode koordinat dianalisis, diperoleh rumus yang memungkinkan untuk menghitung sudut antara bidang yang berpotongan menggunakan koordinat yang diketahui dari vektor normal bidang-bidang ini. Sebagai kesimpulan, solusi terperinci dari masalah tipikal ditampilkan.

Navigasi halaman.

Sudut antara pesawat - definisi.

Mari kita berikan argumen yang akan memungkinkan kita untuk secara bertahap mendekati definisi sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Mari kita diberikan dua pesawat berpotongan dan . Pesawat-pesawat ini berpotongan dalam garis lurus, yang dilambangkan dengan huruf c. Mari kita buat sebuah bidang yang melalui titik M dari garis c dan tegak lurus terhadap garis c. Dalam hal ini, pesawat akan memotong pesawat dan . Tunjukkan garis di mana bidang-bidang berpotongan dan sebagai a, dan garis di mana bidang-bidang berpotongan dan sebagai b. Jelasnya, garis a dan b berpotongan di titik M.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa sudut antara garis berpotongan a dan b tidak bergantung pada lokasi titik M pada garis c yang dilalui pesawat.

Mari kita buat sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis c dan berbeda dengan bidang tersebut . Bidang tersebut berpotongan dengan bidang-bidang dan sepanjang garis lurus, yang masing-masing dilambangkan dengan a 1 dan b 1 .

Dari cara pembuatan bidang maka garis a dan b tegak lurus terhadap garis c, dan garis a 1 dan b 1 tegak lurus terhadap garis c. Karena garis a dan a 1 terletak pada bidang yang sama dan tegak lurus terhadap garis c, maka keduanya sejajar. Demikian pula, garis b dan b 1 terletak pada bidang yang sama dan tegak lurus terhadap garis c, maka mereka sejajar. Dengan demikian, dimungkinkan untuk melakukan perpindahan paralel dari bidang ke bidang, di mana garis a 1 bertepatan dengan garis a, dan garis b dengan garis b 1. Oleh karena itu, sudut antara dua garis berpotongan a 1 dan b 1 sama dengan sudut antara garis berpotongan a dan b .

Ini membuktikan bahwa sudut antara garis berpotongan a dan b terletak pada bidang yang berpotongan dan tidak bergantung pada pilihan titik M yang dilalui bidang tersebut. Oleh karena itu, adalah logis untuk mengambil sudut ini sebagai sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Sekarang Anda dapat menyuarakan definisi sudut antara dua bidang yang berpotongan dan .

Definisi.

Sudut antara dua bidang yang berpotongan pada garis lurus dan adalah sudut antara dua garis yang berpotongan a dan b, yang sepanjang garis tersebut berpotongan dan berpotongan dengan bidang yang tegak lurus terhadap garis c.

Definisi sudut antara dua bidang dapat diberikan sedikit berbeda. Jika pada garis c, di mana bidang-bidang berpotongan, tandai titik M dan buat garis melaluinya a dan b, tegak lurus terhadap garis c dan terletak pada bidang masing-masing dan, maka sudut antara garis a dan b adalah sudut antara bidang dan. Biasanya, dalam praktiknya, konstruksi semacam itu dilakukan untuk mendapatkan sudut antara bidang.

Karena sudut antara garis yang berpotongan tidak melebihi , maka dari definisi yang disuarakan dapat disimpulkan bahwa ukuran derajat sudut antara dua bidang yang berpotongan dinyatakan dengan bilangan real dari interval . Dalam hal ini, bidang yang berpotongan disebut tegak lurus jika sudut antara keduanya sembilan puluh derajat. Sudut antara bidang paralel tidak ditentukan sama sekali, atau dianggap sama dengan nol.

Mencari sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Biasanya, ketika mencari sudut antara dua bidang yang berpotongan, pertama-tama Anda harus melakukan konstruksi tambahan untuk melihat garis berpotongan, yang sudutnya sama dengan sudut yang diinginkan, dan kemudian menghubungkan sudut ini dengan data asli menggunakan tanda sama dengan, kesamaan tanda, teorema kosinus atau definisi sinus, kosinus dan garis singgung sudut. Dalam pelajaran geometri di sekolah menengah, ada masalah serupa.

Sebagai contoh, mari kita berikan solusi untuk masalah C2 dari Unified State Examination dalam matematika untuk tahun 2012 (kondisinya sengaja diubah, tetapi ini tidak mempengaruhi prinsip penyelesaian). Di dalamnya, hanya perlu menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Contoh.

Larutan.

Pertama, mari kita membuat gambar.

Mari kita lakukan konstruksi tambahan untuk "melihat" sudut antara bidang.

Pertama, mari kita tentukan garis lurus di mana bidang ABC dan BED 1 berpotongan. Titik B adalah salah satu poin umum mereka. Temukan titik persekutuan kedua dari bidang-bidang ini. Garis DA dan D 1 E terletak pada bidang yang sama ADD 1, dan mereka tidak sejajar, dan oleh karena itu, berpotongan. Di sisi lain, garis DA terletak pada bidang ABC, dan garis D 1 E terletak pada bidang BED 1, oleh karena itu, titik potong garis DA dan D 1 E akan menjadi titik persekutuan dari bidang ABC dan TEMPAT TIDUR 1. Jadi, kita lanjutkan garis DA dan D 1 E sampai berpotongan, kita nyatakan titik potongnya dengan huruf F. Maka BF adalah garis lurus di mana bidang ABC dan BED 1 berpotongan.

Tetap membangun dua garis yang terletak di bidang ABC dan BED 1, masing-masing, melewati satu titik pada garis BF dan tegak lurus terhadap garis BF - sudut antara garis-garis ini, menurut definisi, akan sama dengan sudut yang diinginkan antara garis pesawat ABC dan BED 1 . Ayo lakukan.

Dot A adalah proyeksi titik E pada bidang ABC. Gambarlah garis yang memotong siku-siku garis BF di titik M. Maka garis AM adalah proyeksi garis EM ke bidang ABC, dan oleh teorema tiga tegak lurus.

Jadi, sudut yang diinginkan antara bidang ABC dan BED 1 adalah .

Kita dapat menentukan sinus, cosinus, atau tangen dari sudut ini (dan karenanya sudut itu sendiri) dari segitiga siku-siku AEMjika kita mengetahui panjang kedua sisinya. Dari kondisi mudah untuk menemukan panjang AE: karena titik E membagi sisi AA 1 dalam kaitannya dengan 4 hingga 3, dihitung dari titik A, dan panjang sisi AA 1 adalah 7, maka AE \u003d 4. Mari kita cari panjang AM.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku ABF dengan sudut siku-siku A, di mana AM adalah tingginya. Dengan syarat AB=2. Kita dapat mencari panjang sisi AF dari kesejajaran segitiga siku-siku DD 1 F dan AEF :

Dengan teorema Pythagoras, dari segitiga ABF kita temukan . Kami menemukan panjang AM melalui luas segitiga ABF: di satu sisi, luas segitiga ABF sama dengan , di samping itu , di mana .

Jadi, dari segitiga siku-siku AEM kita dapatkan .

Maka sudut yang diinginkan antara bidang ABC dan BED 1 adalah (perhatikan bahwa ).

Menjawab:

Dalam beberapa kasus, untuk menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan, lebih mudah untuk menentukan Oxyz dan menggunakan metode koordinat. Mari kita berhenti di atasnya.

Mari kita atur tugas: untuk menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan dan . Mari kita menunjukkan sudut yang diinginkan sebagai .

Kita akan berasumsi bahwa dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu Oxyz kita mengetahui koordinat vektor normal dari bidang yang berpotongan dan atau mungkin untuk menemukannya. Biarlah adalah vektor normal bidang, dan adalah vektor normal pesawat. Mari kita tunjukkan bagaimana mencari sudut antara bidang-bidang yang berpotongan dan melalui koordinat vektor-vektor normal bidang-bidang ini.

Mari kita menunjukkan garis di mana pesawat berpotongan dan sebagai c . Melalui titik M pada garis c kita menggambar sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis c. Bidang memotong bidang dan sepanjang garis a dan b, masing-masing, garis a dan b berpotongan di titik M. Menurut definisi, sudut antara bidang yang berpotongan dan sama dengan sudut antara garis berpotongan a dan b.

Mari kita kesampingkan dari titik M pada bidang vektor-vektor normal dan bidang-bidang dan . Dalam hal ini, vektor terletak pada garis yang tegak lurus garis a, dan vektor terletak pada garis yang tegak lurus garis b. Jadi, pada bidang, vektornya adalah vektor normal garis a, adalah vektor normal garis b.

Dalam artikel Menemukan sudut antara garis yang berpotongan, kami memperoleh rumus yang memungkinkan Anda menghitung kosinus sudut antara garis yang berpotongan menggunakan koordinat vektor normal. Jadi, kosinus sudut antara garis a dan b, dan, akibatnya, dan cosinus sudut antara bidang yang berpotongan dan ditemukan oleh rumus , dimana Dan adalah vektor normal dari pesawat dan, masing-masing. Kemudian dihitung sebagai .

Mari selesaikan contoh sebelumnya menggunakan metode koordinat.

Contoh.

Sebuah persegi panjang paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 diberikan, di mana AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 dan titik E membagi sisi AA 1 dalam rasio 4 banding 3, dihitung dari titik SEBUAH. Tentukan sudut antara bidang ABC dan BED 1.

Larutan.

Karena sisi-sisi dari sebuah paralelepiped persegi panjang pada satu titik adalah tegak lurus berpasangan, akan lebih mudah untuk memperkenalkan sistem koordinat persegi panjang Oxyz sebagai berikut: awal sejajar dengan titik C, dan sumbu koordinat Ox, Oy dan Oz diarahkan sepanjang sisi CD, CB dan CC1 masing-masing.

Sudut antara bidang ABC dan BED 1 dapat dicari melalui koordinat vektor-vektor normal bidang-bidang tersebut dengan menggunakan rumus , dimana dan adalah vektor-vektor normal masing-masing bidang ABC dan BED 1. Mari kita tentukan koordinat vektor normal.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Dalil

Sudut antar bidang tidak tergantung pada pilihan bidang potong.

Bukti.

Misalkan ada dua bidang dan yang berpotongan di sepanjang garis c. gambarlah bidang tegak lurus garis c. Kemudian bidang memotong bidang dan masing-masing sepanjang garis a dan b. Sudut antara bidang dan sama dengan sudut antara garis a dan b.
Ambil bidang potong lainnya `, tegak lurus terhadap c. Kemudian bidang ` akan memotong bidang dan masing-masing sepanjang garis a` dan b`.
Dengan translasi sejajar, titik potong bidang dengan garis c akan menuju ke titik perpotongan bidang ` dengan garis c. dalam hal ini, dengan sifat terjemahan paralel, garis a akan menuju ke garis a`, b - ke garis b`. maka sudut antara garis a dan b, a` dan b` sama besar. Teorema telah terbukti.

Navigasi halaman.

Sudut antara pesawat - definisi.

Saat menyajikan materi, kami akan menggunakan definisi dan konsep yang diberikan dalam artikel bidang dalam ruang dan garis lurus dalam ruang.

Mari kita berikan argumen yang akan memungkinkan kita untuk secara bertahap mendekati definisi sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Mari kita diberikan dua pesawat berpotongan dan . Pesawat-pesawat ini berpotongan dalam garis lurus, yang kami tunjukkan dengan huruf C. Buatlah bidang yang melalui titik M lurus C dan tegak lurus terhadap garis C. Dalam hal ini, pesawat akan memotong pesawat dan . Kami menunjukkan garis di mana pesawat berpotongan dan sebagai Sebuah, tetapi garis lurus di mana pesawat berpotongan dan bagaimana B. Jelas langsung. Sebuah Dan B berpotongan di suatu titik M.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa sudut antara garis berpotongan Sebuah Dan B tidak tergantung pada lokasi titik M pada garis lurus C yang dilalui pesawat.

Buatlah bidang yang tegak lurus terhadap garis C dan berbeda dari pesawat. Bidang tersebut berpotongan dengan bidang-bidang dan sepanjang garis lurus, yang kita nyatakan sebuah 1 Dan b 1 masing-masing.

Ini mengikuti dari metode membangun pesawat bahwa garis-garis Sebuah Dan B tegak lurus garis C, dan langsung sebuah 1 Dan b 1 tegak lurus garis C. Sejak lurus Sebuah Dan sebuah 1 C, maka keduanya sejajar. Demikian juga, lurus B Dan b 1 terletak pada bidang yang sama dan tegak lurus terhadap garis C jadi mereka sejajar. Dengan demikian, dimungkinkan untuk melakukan transfer paralel dari bidang ke bidang, di mana garis lurus sebuah 1 bertepatan dengan garis Sebuah, dan garis lurus B dengan garis lurus b 1. Jadi, sudut antara dua garis yang berpotongan sebuah 1 Dan b 1 sama dengan sudut antara garis berpotongan Sebuah Dan B.

Ini membuktikan bahwa sudut antara garis berpotongan Sebuah Dan B terletak pada bidang yang berpotongan dan tidak bergantung pada pilihan titik M yang dilalui pesawat. Oleh karena itu, adalah logis untuk mengambil sudut ini sebagai sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Sekarang Anda dapat menyuarakan definisi sudut antara dua bidang yang berpotongan dan .

Definisi.

Sudut antara dua garis yang berpotongan C pesawat dan adalah sudut antara dua garis yang berpotongan Sebuah Dan B, di mana bidang-bidang dan berpotongan dengan bidang yang tegak lurus terhadap garis C.

Definisi sudut antara dua bidang dapat diberikan sedikit berbeda. Jika pada garis lurus dari, di mana pesawat dan berpotongan, tandai sebuah titik M dan menggambar garis lurus melaluinya tetapi Dan B, tegak lurus garis C dan berbaring di pesawat dan masing-masing, maka sudut antara garis tetapi Dan B adalah sudut antara bidang dan . Biasanya, dalam praktiknya, konstruksi semacam itu dilakukan untuk mendapatkan sudut antara bidang.

Bagian atas halaman

Mencari sudut antara dua bidang yang berpotongan.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, di mana AB=3, AD = 2, AA 1 = 7 dan titik E membagi sisi AA 1 dalam suatu hubungan 4 ke 3 , hitung dari titik TETAPI ABC Dan tempat tidur 1.

Pertama, mari kita membuat gambar.

Mari kita lakukan konstruksi tambahan untuk "melihat" sudut antara bidang.

Pertama, kita tentukan garis lurus di mana bidang-bidang berpotongan ABC Dan Tempat tidur 1. Dot DI DALAM adalah salah satu poin umum mereka. Temukan titik persekutuan kedua dari bidang-bidang ini. Langsung DA Dan D 1 E berbaring di pesawat yang sama TAMBAHKAN 1, dan mereka tidak paralel, dan, oleh karena itu, berpotongan. Di sisi lain, lurus DA terletak di pesawat ABC, dan garis lurus D 1 E- di pesawat Tempat tidur 1, maka titik potong garis DA Dan D 1 E akan menjadi titik yang sama dari pesawat ABC Dan Tempat tidur 1. Jadi mari kita lanjutkan lurus DA Dan D 1 E sebelum mereka berpotongan, kami menunjukkan titik persimpangan mereka dengan huruf F. Kemudian bf- garis di mana pesawat berpotongan ABC Dan Tempat tidur 1.

Tetap membangun dua garis lurus yang terletak di pesawat ABC Dan Tempat tidur 1 masing-masing, melewati satu titik pada garis bf dan tegak lurus terhadap garis bf, - sudut antara garis-garis ini, menurut definisi, akan sama dengan sudut yang diinginkan antara bidang ABC Dan Tempat tidur 1. Ayo lakukan.

Dot TETAPI adalah proyeksi titik E ke pesawat ABC. Gambarlah garis yang memotong garis tegak lurus BF pada intinya M. Kemudian garis SAYA adalah proyeksi garis lurus MAKAN ke pesawat ABC, dan oleh teorema tiga tegak lurus.

Jadi, sudut yang diinginkan antara bidang ABC Dan Tempat tidur 1 adalah sama dengan .

Sinus, cosinus atau tangen dari sudut ini (dan karenanya sudut itu sendiri) dapat kita tentukan dari segitiga siku-siku AEM jika diketahui panjang kedua sisinya. Dari kondisinya mudah untuk menemukan panjangnya AE: sejak titik E membagi sisi AA 1 dalam suatu hubungan 4 ke 3 , hitung dari titik TETAPI, dan panjang sisi AA 1 adalah sama dengan 7 , kemudian AE = 4. Mari kita cari panjang lainnya SAYA.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku ABF sudut kanan TETAPI, di mana SAYA adalah tingginya. Dengan kondisi AB=2. Panjang sisi AF kita dapat menemukan dari kesamaan segitiga siku-siku DD 1F Dan AEF:

Dengan teorema Pythagoras dari segitiga ABF Temukan . Panjang SAYA temukan melalui luas segitiga ABF: pada salah satu sisi luas segitiga ABF sama dengan , di sisi lain , dari mana .

Jadi dari segitiga siku-siku AEM kita punya .

Maka sudut yang diinginkan antara bidang ABC Dan Tempat tidur 1 sama (perhatikan bahwa ).

Dalam beberapa kasus, untuk menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan, akan lebih mudah untuk mengatur sistem koordinat persegi panjang oxyz dan menggunakan metode koordinat. Mari kita berhenti di atasnya.

Mari kita atur tugas: untuk menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan dan . Mari kita menunjukkan sudut yang diinginkan sebagai .

Kami berasumsi bahwa dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan oxyz kita tahu koordinat vektor normal dari bidang yang berpotongan dan atau memiliki kesempatan untuk menemukannya. Membiarkan menjadi vektor normal pesawat , dan menjadi vektor normal pesawat . Mari kita tunjukkan bagaimana mencari sudut antara bidang-bidang yang berpotongan dan melalui koordinat vektor-vektor normal bidang-bidang ini.

Mari kita tunjukkan garis di mana pesawat berpotongan dan sebagai C. Melalui titik M pada garis lurus C gambarlah bidang yang tegak lurus terhadap garis C. Bidang memotong bidang dan sepanjang garis lurus Sebuah Dan B masing-masing, langsung Sebuah Dan B berpotongan di suatu titik M. Menurut definisi, sudut antara bidang yang berpotongan dan sama dengan sudut antara garis yang berpotongan Sebuah Dan B.

Sisihkan dari intinya M di pesawat adalah vektor normal dan dari pesawat dan . Vektor terletak pada garis yang tegak lurus dengan garis Sebuah, dan vektor berada pada garis yang tegak lurus dengan garis B. Jadi, pada bidang, vektornya adalah vektor normal garis Sebuah, - vektor garis normal B.

Dalam artikel Menemukan sudut antara garis yang berpotongan, kami memperoleh rumus yang memungkinkan Anda menghitung kosinus sudut antara garis yang berpotongan menggunakan koordinat vektor normal. Jadi cosinus sudut antara garis Sebuah Dan B, dan, akibatnya, cosinus sudut antara bidang yang berpotongan dan ditemukan oleh rumus , Dimana dan adalah vektor normal dari pesawat dan, masing-masing. Kemudian sudut antara bidang yang berpotongan dihitung sebagai .

Mari selesaikan contoh sebelumnya menggunakan metode koordinat.

Diberikan parallelepiped persegi panjang ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, di mana AB=3, AD = 2, AA 1 = 7 dan titik E membagi sisi AA 1 dalam suatu hubungan 4 ke 3 , hitung dari titik TETAPI. Cari sudut antar bidang ABC Dan tempat tidur 1.

Karena sisi-sisi sebuah paralelepiped persegi panjang pada satu titik adalah tegak lurus berpasangan, akan lebih mudah untuk memperkenalkan sistem koordinat persegi panjang oxyz seperti ini: mulai gabungkan dengan bagian atas DARI, dan sumbu koordinat Sapi, Oy Dan Ons kirim sekitar CD, CB Dan CC 1 masing-masing.

Sudut antar bidang ABC Dan Tempat tidur 1 dapat ditemukan melalui koordinat vektor-vektor normal bidang-bidang ini dengan rumus , di mana dan adalah vektor-vektor normal bidang-bidang tersebut ABC Dan Tempat tidur 1 masing-masing. Mari kita tentukan koordinat vektor normal.

Sejak pesawat ABC bertepatan dengan bidang koordinat oxy, maka vektor normalnya adalah vektor koordinat , yaitu .

Sebagai vektor bidang normal Tempat tidur 1 kita dapat mengambil produk silang dari vektor dan , pada gilirannya, koordinat vektor dan dapat ditemukan melalui koordinat titik DI DALAM, E Dan D1(yang ditulis dalam artikel koordinat vektor melalui koordinat titik awal dan akhir), dan koordinat titik DI DALAM, E Dan D1 dalam sistem koordinat yang diperkenalkan, kami menentukan dari kondisi masalah.

Jelas sekali, . Karena , maka kami menemukan koordinat titik (jika perlu, lihat artikel pembagian segmen dalam rasio tertentu). Kemudian dan Oxyz adalah persamaan dan .

Ketika kami mempelajari persamaan umum garis lurus, kami menemukan bahwa koefisien TETAPI, DI DALAM Dan DARI adalah koordinat yang sesuai dari vektor normal pesawat. Jadi, dan adalah vektor normal dari bidang dan, masing-masing.

Kami mengganti koordinat vektor normal bidang ke dalam rumus untuk menghitung sudut antara dua bidang yang berpotongan:

Kemudian . Karena sudut antara dua bidang yang berpotongan tidak tumpul, maka dengan menggunakan identitas trigonometri dasar kita menemukan sinus sudut:.

Besar sudut antar bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh dua garis lurus yang terletak pada bidang-bidang tersebut dan ditarik tegak lurus terhadap garis perpotongannya.

Algoritma konstruksi

Dari titik sembarang K, tegak lurus ditarik ke masing-masing bidang yang diberikan.
Perputaran di sekitar garis datar menentukan nilai sudut ° dengan puncaknya di titik K.
Hitung sudut antara bidang ° = 180 - ° asalkan ° > 90°. Jika °< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Gambar menunjukkan kasus ketika bidang dan diberikan oleh jejak. Semua konstruksi yang diperlukan dibuat sesuai dengan algoritma dan dijelaskan di bawah ini.

Larutan

Di tempat gambar yang berubah-ubah, kami menandai titik K. Dari sana kami menurunkan garis tegak lurus m dan n, masing-masing, ke bidang dan . Arah proyeksi m dan n adalah sebagai berikut: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Kami menentukan ukuran sebenarnya ° antara garis m dan n. Untuk melakukan ini, putar bidang sudut dengan simpul K di sekitar f frontal ke posisi sejajar dengan bidang proyeksi frontal. Jari-jari belok R dari titik K sama dengan nilai sisi miring dari segitiga siku-siku O""K""K 0 , yang kakinya adalah K""K 0 = y K – y O .
Sudut yang diinginkan adalah ° = °, karena ° lancip.

Gambar di bawah menunjukkan solusi untuk masalah yang diperlukan untuk menemukan sudut ° antara bidang dan , masing-masing diberikan oleh garis sejajar dan berpotongan.

Larutan

Kami menentukan arah proyeksi horizontal h 1 , h 2 dan frontal f 1 , f 2 milik bidang dan , dalam urutan yang ditunjukkan oleh panah. Dari titik sewenang-wenang K di alun-alun. dan kita jatuhkan tegak lurus e dan k. Dalam hal ini, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 dan k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
Kami menentukan ° antara garis e dan k. Untuk melakukan ini, kami menggambar horizontal h 3 dan memutar titik K di sekitarnya ke posisi K 1, di mana CKD akan menjadi sejajar dengan bidang horizontal dan dipantulkan di atasnya dalam ukuran penuh - C "K" 1 D ". Proyeksi pusat rotasi O" ditarik ke h "3 tegak lurus K "O". Jari-jari R ditentukan dari segitiga siku-siku O "K" K 0, yang sisinya adalah K "K 0 \u003d ZO - ZK.
Nilai yang diinginkan adalah ° = °, karena sudut ° lancip.

Saat memecahkan masalah geometris dalam ruang, seringkali ada masalah di mana perlu untuk menghitung sudut antara objek spasial yang berbeda. Pada artikel ini, kita akan mempertimbangkan pertanyaan tentang menemukan sudut antara bidang dan di antara mereka dan garis lurus.

Garis lurus dalam ruang

Diketahui bahwa secara mutlak setiap garis lurus pada bidang dapat didefinisikan dengan persamaan berikut:

Di sini a dan b adalah beberapa angka. Jika kita merepresentasikan garis lurus dalam ruang dengan ekspresi yang sama, maka kita mendapatkan bidang yang sejajar dengan sumbu z. Untuk definisi matematis dari garis spasial, metode solusi yang berbeda digunakan daripada dalam kasus dua dimensi. Ini terdiri dari penggunaan konsep "vektor pengarah".

Contoh pemecahan masalah untuk menentukan sudut perpotongan bidang

Mengetahui cara menemukan sudut antara bidang, kami akan menyelesaikan masalah berikut. Dua pesawat diberikan, persamaan yang memiliki bentuk:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Berapa sudut antara bidang?

Untuk menjawab pertanyaan masalah, kita ingat bahwa koefisien yang berdiri di variabel dalam persamaan umum pesawat adalah koordinat vektor panduan. Untuk pesawat-pesawat ini, kami memiliki koordinat normals berikut:

n 1 (3; 4; -1);
n 2 (-1; -2; 5)

Sekarang kami menemukan produk skalar dari vektor-vektor ini dan modulnya, kami memiliki:

(n 1 * n 2 ) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 | = (9 + 16 + 1) = 26;
|n 2 | = (1 + 4 + 25) = 30

Sekarang Anda dapat mengganti angka-angka yang ditemukan ke dalam rumus yang diberikan di paragraf sebelumnya. Kita mendapatkan:

= arccos(|-16 | / (√26 * 30) 55,05 o

Nilai yang dihasilkan sesuai dengan sudut akut perpotongan bidang yang ditentukan dalam kondisi masalah.

Sekarang mari kita lihat contoh lain. Diberikan dua pesawat:

Apakah mereka berpotongan? Mari kita tulis nilai koordinat vektor arahnya, hitung produk skalar dan modulnya:

n 1 (1; 1; 0);
n 2 (3; 3; 0);
(n 1 * n 2 ) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 | = 2;
|n 2 | = 18

Maka sudut potongnya adalah:

= arccos(|6| / (√2 * 18) =0 o .

Sudut ini menunjukkan bahwa bidang tidak berpotongan, tetapi sejajar. Fakta bahwa mereka tidak cocok satu sama lain mudah untuk diperiksa. Mari kita ambil untuk ini titik sewenang-wenang milik yang pertama, misalnya, P(0; 3; 2). Substitusikan koordinatnya ke persamaan kedua, kita peroleh:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Artinya, titik P hanya milik bidang pertama.

Jadi, dua bidang sejajar ketika normalnya.

Pesawat dan garis

Dalam hal mempertimbangkan posisi relatif antara bidang dan garis lurus, ada beberapa opsi lebih banyak daripada dengan dua bidang. Fakta ini dihubungkan dengan fakta bahwa garis lurus adalah objek satu dimensi. Garis dan bidang dapat berupa:

saling sejajar, dalam hal ini bidang tidak memotong garis;
yang terakhir mungkin milik pesawat, sementara itu juga akan sejajar dengannya;
kedua benda dapat berpotongan pada sudut tertentu.

Pertimbangkan dulu kasus terakhir, karena memerlukan pengenalan konsep sudut persimpangan.

Garis dan bidang, nilai sudut di antara mereka

Jika sebuah garis lurus memotong sebuah bidang, maka itu disebut miring terhadapnya. Titik potong tersebut disebut pangkal lereng. Untuk menentukan sudut antara benda-benda geometris ini, perlu untuk menurunkan garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang dari titik mana pun. Kemudian titik potong garis tegak lurus dengan bidang dan tempat perpotongan garis miring dengan bidang tersebut membentuk garis lurus. Yang terakhir disebut proyeksi garis asli ke bidang yang dipertimbangkan. Akut dan proyeksinya adalah yang diinginkan.

Definisi yang agak membingungkan dari sudut antara bidang dan miring akan dijelaskan oleh gambar di bawah ini.

Di sini sudut ABO adalah sudut antara garis AB dan bidang a.

Untuk menulis formula untuk itu, pertimbangkan sebuah contoh. Biarkan ada garis lurus dan bidang, yang dijelaskan oleh persamaan:

(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Mudah untuk menghitung sudut yang diinginkan untuk benda-benda ini jika Anda menemukan produk skalar antara vektor arah garis dan bidang. Sudut lancip yang dihasilkan harus dikurangi dari 90 o, kemudian diperoleh antara garis lurus dan bidang.

Gambar di atas menunjukkan algoritma yang dijelaskan untuk menemukan sudut yang dipertimbangkan. Di sini adalah sudut antara normal dan garis, dan adalah antara garis dan proyeksinya ke bidang. Dapat dilihat bahwa jumlah mereka sama dengan 90 o .

Di atas, disajikan formula yang menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan sudut antara bidang. Sekarang kami memberikan ekspresi yang sesuai untuk kasus garis lurus dan bidang:

= arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * (A 2 + B 2 + C 2)))

Modulus dalam rumus hanya memungkinkan sudut lancip yang dihitung. Fungsi arcsine muncul sebagai ganti arccosine karena penggunaan rumus reduksi yang sesuai antara fungsi trigonometri (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Soal: Sebuah pesawat memotong sebuah garis

Sekarang kami akan menunjukkan cara bekerja dengan rumus di atas. Mari kita selesaikan masalahnya: perlu untuk menghitung sudut antara sumbu y dan bidang yang diberikan oleh persamaan:

Pesawat ini ditunjukkan pada gambar.

Dapat dilihat bahwa ia berpotongan dengan sumbu y dan z di masing-masing titik (0; -12; 0) dan (0; 0; 12), dan sejajar dengan sumbu x.

Vektor arah garis lurus y memiliki koordinat (0; 1; 0). Sebuah vektor tegak lurus terhadap bidang tertentu dicirikan oleh koordinat (0; 1; -1). Kami menerapkan rumus untuk sudut perpotongan garis lurus dan bidang, kami mendapatkan:

= arcsin(|1| / (√1 * 2)) = arcsin(1 / 2) = 45o

Soal: garis lurus sejajar bidang

Sekarang mari kita selesaikan masalah yang mirip dengan yang sebelumnya, pertanyaannya diajukan secara berbeda. Persamaan bidang dan garis lurus diketahui:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + * (0; 2; 2)

Penting untuk mengetahui apakah benda-benda geometris ini sejajar satu sama lain.

Kami memiliki dua vektor: garis pengarah adalah (0; 2; 2) dan bidang pengarah adalah (1; 1; -1). Kami menemukan produk skalar mereka:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Hasil nol menunjukkan bahwa sudut antara vektor-vektor ini adalah 90 o , yang membuktikan paralelisme garis lurus dan bidang.

Sekarang mari kita periksa apakah garis ini hanya sejajar atau juga terletak pada bidang. Untuk melakukan ini, pilih titik sewenang-wenang pada garis dan periksa apakah itu milik pesawat. Misalkan = 0, maka titik P(1; 0; 0) termasuk ke dalam garis. Substitusikan ke dalam persamaan bidang P:

Titik P bukan milik pesawat, dan karenanya seluruh garis tidak terletak di dalamnya.

Di mana penting untuk mengetahui sudut antara objek geometris yang dipertimbangkan?

Rumus dan contoh pemecahan masalah di atas tidak hanya menarik secara teoritis. Mereka sering digunakan untuk menentukan kuantitas fisik penting dari sosok tiga dimensi yang nyata, seperti prisma atau piramida. Penting untuk dapat menentukan sudut antara bidang ketika menghitung volume gambar dan luas permukaannya. Selain itu, jika dalam kasus prisma lurus dimungkinkan untuk tidak menggunakan rumus ini untuk menentukan jumlah yang ditunjukkan, maka untuk semua jenis piramida penggunaannya tidak dapat dihindari.

Di bawah ini kami akan mempertimbangkan contoh penggunaan teori yang disebutkan untuk menentukan sudut piramida dengan alas persegi.

Piramida dan sudut-sudutnya

Gambar di bawah menunjukkan sebuah piramida, yang alasnya terletak sebuah bujur sangkar dengan sisi a. Tinggi bangun tersebut adalah h. Anda perlu menemukan dua sudut:

antara permukaan samping dan alas;
antara tepi lateral dan alas.

Untuk memecahkan masalah, Anda harus terlebih dahulu memasukkan sistem koordinat dan menentukan parameter dari simpul yang sesuai. Gambar tersebut menunjukkan bahwa titik asal koordinat bertepatan dengan titik di tengah alas bujur sangkar. Dalam hal ini, bidang dasar dijelaskan oleh persamaan:

Artinya, untuk setiap x dan y, nilai koordinat ketiga selalu nol. Bidang lateral ABC memotong sumbu z di titik B(0; 0; h), dan sumbu y di titik dengan koordinat (0; a/2; 0). Itu tidak melintasi sumbu x. Ini berarti bahwa persamaan bidang ABC dapat ditulis sebagai:

y / (a / 2) + z / h = 1 atau
2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vektor AB¯ adalah rusuk samping. Koordinat awal dan akhir adalah: A(a/2; a/2; 0) dan B(0; 0; h). Maka koordinat vektor itu sendiri:

Kami telah menemukan semua persamaan dan vektor yang diperlukan. Sekarang tinggal menggunakan formula yang dipertimbangkan.

Pertama, di piramida, kami menghitung sudut antara bidang alas dan sisi. Vektor normal yang sesuai adalah: n 1 (0; 0; 1) dan n 2 (0; 2*h; a). Maka sudutnya adalah: