Հարթության հավասարում. Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում:
Փոխադարձ պայմանավորվածությունինքնաթիռներ. Առաջադրանքներ

Տարածական երկրաչափությունը շատ ավելի բարդ չէ, քան «հարթ» երկրաչափությունը, և մեր թռիչքները տիեզերքում սկսվում են այս հոդվածից: Թեման հասկանալու համար պետք է լավ հասկանալ վեկտորներ, բացի այդ, ցանկալի է ծանոթ լինել ինքնաթիռի երկրաչափությանը` կլինեն շատ նմանություններ, շատ նմանություններ, ուստի տեղեկատվությունը շատ ավելի լավ կմարսվի։ Իմ դասերի շարքում 2D աշխարհը բացվում է հոդվածով Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա. Բայց հիմա Բեթմենը դուրս է եկել հարթ էկրանով հեռուստացույցից և մեկնարկել է Բայկոնուր տիեզերակայանից:

Սկսենք գծագրերից և նշաններից: Սխեմատիկորեն հարթությունը կարելի է գծել որպես զուգահեռագիծ, որը տարածության տպավորություն է թողնում.

Ինքնաթիռը անսահման է, բայց մենք հնարավորություն ունենք պատկերելու դրա միայն մի հատվածը։ Գործնականում զուգահեռագիծից բացի գծվում է նաև օվալ կամ նույնիսկ ամպ։ Տեխնիկական նկատառումներից ելնելով ինձ համար ավելի հարմար է ինքնաթիռն այս կերպ և այս դիրքով պատկերել։ Իրական ինքնաթիռներ, որոնց մեջ կդիտարկենք գործնական օրինակներ, կարելի է դասավորել այնպես, ինչպես ցանկանում եք՝ մտովի վերցրեք նկարը ձեր ձեռքերում և ոլորեք այն տարածության մեջ՝ տալով ինքնաթիռին ցանկացած թեքություն, ցանկացած անկյուն։

ՆշումԸնդունված է ինքնաթիռները փոքր հունարեն տառերով նշել, ըստ երևույթին, որպեսզի չշփոթեն դրանք ուղիղ ինքնաթիռումկամ հետ ուղիղ տարածության մեջ. Ես սովոր եմ օգտագործել տառը: Գծանկարում դա «սիգմա» տառն է, այլ ոչ թե անցք։ Չնայած, ծակ ինքնաթիռ, դա, իհարկե, շատ ծիծաղելի է:

Որոշ դեպքերում հարմար է օգտագործել նույնը Հունարեն տառերբաժանորդներով, օրինակ, .

Ակնհայտ է, որ ինքնաթիռը եզակիորեն որոշվում է երեքով տարբեր կետերչպառկած նույն ուղիղ գծի վրա. Հետևաբար, ինքնաթիռների եռատառ նշանակումները բավականին տարածված են՝ ըստ դրանց պատկանող կետերի, օրինակ և այլն։ Հաճախ տառերը փակցվում են փակագծերում. , որպեսզի ինքնաթիռը չշփոթի մեկ այլ երկրաչափական պատկերի հետ։

Փորձառու ընթերցողների համար կտամ դյուրանցման ընտրացանկ:

• Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և երկու վեկտոր:
• Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և նորմալ վեկտոր:

և մենք երկար սպասումներով չենք թուլանա:

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը ունի ձև, որտեղ գործակիցները միաժամանակ զրոյական չեն:

Մի շարք տեսական հաշվարկներ և գործնական խնդիրներ վավեր են ինչպես սովորական օրթոնորմալ հիմքի, այնպես էլ տարածության աֆինական հիմքի համար (եթե նավթը նավթ է, վերադարձեք դասին Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորային հիմք): Պարզության համար մենք կենթադրենք, որ բոլոր իրադարձությունները տեղի են ունենում օրթոնորմալ հիմունքներով և դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով:

Եվ հիմա եկեք մարզենք մի փոքր տարածական երևակայություն: Ոչինչ, եթե դա վատ է, հիմա մենք այն մի փոքր կզարգացնենք: Նույնիսկ նյարդերի վրա խաղալը պրակտիկա է պահանջում։

Ամենաընդհանուր դեպքում, երբ թվերը հավասար չեն զրոյի, հարթությունը հատում է բոլոր երեք կոորդինատային առանցքները։ Օրինակ, այսպես.

Եվս մեկ անգամ կրկնում եմ, որ ինքնաթիռը անվերջ շարունակվում է բոլոր ուղղություններով, և մենք հնարավորություն ունենք պատկերելու դրա միայն մի մասը։

Դիտարկենք հարթությունների ամենապարզ հավասարումները.

Ինչպես հասկանալ տրված հավասարումը? Մտածեք դրա մասին. «Z» ՄԻՇՏ, քանի որ «X» և «Y» ցանկացած արժեք հավասար է զրոյի: Սա «հայրենի» կոորդինատային հարթության հավասարումն է։ Իրոք, պաշտոնապես հավասարումը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ. , որտեղից պարզ երևում է, որ մեզ չի հետաքրքրում, թե ինչ արժեքներ են վերցնում «x» և «y», կարևոր է, որ «z»-ը հավասար է զրոյի։

Նմանապես.
կոորդինատային հարթության հավասարումն է.
կոորդինատային հարթության հավասարումն է։

Մի փոքր բարդացնենք խնդիրը, դիտարկենք հարթություն (այստեղ և պարբերությունում ենթադրում ենք, որ թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի): Վերաշարադրենք հավասարումը ձևով՝ . Ինչպե՞ս հասկանալ դա: «X»-ը ՄԻՇՏ է, քանի որ «y»-ի և «z»-ի ցանկացած արժեք հավասար է որոշակի թվի: Այս հարթությունը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը։ Օրինակ, ինքնաթիռը զուգահեռ է հարթությանը և անցնում է կետով:

Նմանապես.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային հարթությանը:

Ավելացնել անդամներ. Հավասարումը կարելի է վերաշարադրել այսպես. , այսինքն՝ «Z»-ը կարող է լինել ցանկացած բան։ Ինչ է դա նշանակում? «X»-ը և «Y»-ը միացված են հարաբերակցությամբ, որը հարթության մեջ գծում է որոշակի ուղիղ գիծ (դուք կճանաչեք. հարթության ուղիղ գծի հավասարումը?): Քանի որ Z-ը կարող է լինել ցանկացած բան, այս գիծը «կրկնօրինակվում է» ցանկացած բարձրության վրա: Այսպիսով, հավասարումը սահմանում է կոորդինատային առանցքին զուգահեռ հարթություն

Նմանապես.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքին.
- հարթության հավասարումը, որը զուգահեռ է կոորդինատային առանցքին.

Եթե ​​ազատ անդամները զրոյական են, ապա ինքնաթիռներն ուղղակիորեն կանցնեն համապատասխան առանցքներով։ Օրինակ, դասական «ուղիղ համամասնությունը»: Հարթության մեջ ուղիղ գիծ գծեք և մտովի բազմապատկեք այն վեր ու վար (քանի որ «z»-ը ցանկացած է): Եզրակացություն՝ հավասարմամբ տրված հարթությունն անցնում է կոորդինատային առանցքով։

Մենք ավարտում ենք վերանայումը. ինքնաթիռի հավասարումը անցնում է ծագման միջով. Դե, այստեղ միանգամայն ակնհայտ է, որ կետը բավարարում է տրված հավասարումը։

Եվ, վերջապես, դեպքը, որը ցույց է տրված գծագրում. - ինքնաթիռը ընկերություն է անում բոլոր կոորդինատային առանցքների հետ, մինչդեռ այն միշտ «կտրում է» եռանկյունին, որը կարող է տեղակայվել ութ օկտանտներից որևէ մեկում:

Գծային անհավասարություններ տարածության մեջ

Տեղեկատվությունը հասկանալու համար անհրաժեշտ է լավ ուսումնասիրել գծային անհավասարություններ հարթության մեջքանի որ շատ բաներ նման կլինեն: Պարբերությունը կլինի համառոտ ակնարկ մի քանի օրինակներով, քանի որ նյութը գործնականում բավականին հազվադեպ է:

Եթե ​​հավասարումը սահմանում է հարթություն, ապա անհավասարությունները
հարցնել կիսատ տարածություններ. Եթե ​​անհավասարությունը խիստ չէ (ցուցակի վերջին երկուսը), ապա անհավասարության լուծումը, բացի կիսատատությունից, ներառում է հենց հարթությունը։

Օրինակ 5

Գտե՛ք հարթության միավորի նորմալ վեկտորը .

ՈրոշումՄիավոր վեկտորը այն վեկտորն է, որի երկարությունը մեկ է: Նշենք այս վեկտորը . Միանգամայն պարզ է, որ վեկտորները համակողմանի են.

Նախ՝ հարթության հավասարումից հանում ենք նորմալ վեկտորը՝ .

Ինչպե՞ս գտնել միավորի վեկտորը: Միավոր վեկտորը գտնելու համար անհրաժեշտ է ամենվեկտորի կոորդինատը բաժանված է վեկտորի երկարությամբ.

Եկեք վերագրենք նորմալ վեկտորը ձևով և գտնենք դրա երկարությունը.

Ըստ վերը նշվածի.

Պատասխանել:

Ստուգում՝ , որը պահանջվում էր ստուգել:

Ընթերցողները, ովքեր ուշադիր ուսումնասիրել են դասի վերջին պարբերությունը, հավանաբար նկատել են դա միավորի վեկտորի կոորդինատները հենց վեկտորի ուղղության կոսինուսներն են:

Եկեք շեղվենք ապամոնտաժված խնդրից. երբ քեզ տրվում է կամայական ոչ զրոյական վեկտոր , և պայմանով, որ պահանջվում է գտնել իր ուղղության կոսինուսները (տե՛ս դասի վերջին առաջադրանքները Վեկտորների կետային արտադրյալ), այնուհետև դուք, փաստորեն, գտնում եք նաև տրվածին համակողմանի միավոր վեկտոր։ Իրականում երկու առաջադրանք մեկ շիշում։

Միավոր նորմալ վեկտոր գտնելու անհրաժեշտությունը առաջանում է մաթեմատիկական անալիզի որոշ խնդիրներում։

Մենք պարզեցինք նորմալ վեկտորի ձկնորսությունը, այժմ մենք կպատասխանենք հակառակ հարցին.

Ինչպե՞ս գրել հարթության հավասարում` օգտագործելով կետ և նորմալ վեկտոր:

Նորմալ վեկտորի և կետի այս կոշտ կառուցվածքը լավ հայտնի է տեգերի թիրախով: Խնդրում ենք ձեր ձեռքը առաջ ձգել և մտովի ընտրել տարածության կամայական կետ, օրինակ՝ փոքրիկ կատու բուֆետում: Ակնհայտ է, որ այս կետի միջոցով դուք կարող եք նկարել ձեր ձեռքին ուղղահայաց մեկ հարթություն:

Վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող հարթության հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.

Այս հոդվածը տալիս է պատկերացում, թե ինչպես կարելի է գրել տվյալ կետով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը տվյալ գծին ուղղահայաց եռաչափ տարածության մեջ: Եկեք վերլուծենք վերը նշված ալգորիթմը՝ օգտագործելով բնորոշ խնդիրների լուծման օրինակը։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Գտնել տրված ուղիղին ուղղահայաց տարածության տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը

Դրանում տրված լինեն եռաչափ տարածություն և ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z: Տրված են նաև M 1 կետը (x 1, y 1, z 1), a ուղիղը և a ուղիղը ուղղահայաց M 1 կետով անցնող α հարթությունը։ Անհրաժեշտ է գրել α հարթության հավասարումը։

Այս խնդրի լուծմանն անցնելուց առաջ հիշենք երկրաչափության թեորեմը 10-11-րդ դասարանների ծրագրից, որտեղ ասվում է.

Սահմանում 1

Մեկ հարթությունն անցնում է տրված կետով եռաչափ տարածության մեջ և ուղղահայաց է տվյալ ուղղին։

Այժմ նկատի առեք, թե ինչպես կարելի է գտնել ելակետով անցնող և տվյալ ուղիղին ուղղահայաց այս մեկ հարթության հավասարումը:

Հարթության ընդհանուր հավասարումը հնարավոր է գրել, եթե հայտնի են այս հարթությանը պատկանող կետի կոորդինատները, ինչպես նաև հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները։

Խնդրի պայմանով մեզ տրվում են M 1 կետի x 1, y 1, z 1 կոորդինատները, որով անցնում է α հարթությունը։ Եթե ​​որոշենք α հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները, ապա կկարողանանք գրել ցանկալի հավասարումը։

α հարթության նորմալ վեկտորը, քանի որ այն զրոյական չէ և գտնվում է α հարթությանը ուղղահայաց a ուղիղի վրա, կլինի a ուղղի ցանկացած ուղղորդող վեկտոր: Այսպիսով, α հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները գտնելու խնդիրը փոխակերպվում է a ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատների որոշման խնդրի։

Կարող է իրականացվել a ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատների որոշումը տարբեր մեթոդներկախված է սկզբնական պայմաններում a ուղիղ գիծը նշելու տարբերակից։ Օրինակ, եթե խնդրի պայմանում a տողը տրված է ձևի կանոնական հավասարումներով

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

կամ ձևի պարամետրային հավասարումներ.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

ապա ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը կունենա կոորդինատներ a x, a y և a z: Այն դեպքում, երբ a ուղիղ գիծը ներկայացված է M 2 (x 2, y 2, z 2) և M 3 (x 3, y 3, z 3) կետերով, ապա ուղղության վեկտորի կոորդինատները կորոշվեն հետևյալ կերպ. (x3 - x2, y3 - y2, z3 – z2):

Սահմանում 2

Տրված ուղիղին ուղղահայաց տրված կետով անցնող հարթության հավասարումը գտնելու ալգորիթմ.

Որոշե՛ք ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները a. a → = (a x, a y, a z) ;

α հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատները սահմանում ենք որպես a ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատներ.

n → = (A , B , C) , որտեղ A = a x, B = a y, C = a z;

Գրում ենք M 1 (x 1, y 1, z 1) կետով անցնող և նորմալ վեկտոր ունեցող հարթության հավասարումը. n→=(A, B, C) A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ձևով: Սա կլինի այն հարթության պահանջվող հավասարումը, որն անցնում է տարածության տվյալ կետով և ուղղահայաց է տվյալ ուղիղին:

Ինքնաթիռի ստացված ընդհանուր հավասարումը. A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0-ը հնարավորություն է տալիս ստանալ հարթության հավասարումը հատվածներով կամ հարթության նորմալ հավասարումը:

Եկեք լուծենք մի քանի օրինակ՝ օգտագործելով վերը ստացված ալգորիթմը։

Օրինակ 1

Տրված է M 1 (3, - 4, 5) կետ, որով անցնում է հարթությունը, և այս հարթությունը ուղղահայաց է O z կոորդինատային ուղղին։

Որոշում

O z կոորդինատային ուղղի ուղղության վեկտորը կլինի կոորդինատային վեկտորը k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Հետևաբար, հարթության նորմալ վեկտորն ունի կոորդինատներ (0, 0, 1): Գրենք տրված M 1 (3, - 4, 5) կետով անցնող հարթության հավասարումը, որի նորմալ վեկտորն ունի կոորդինատներ (0, 0, 1).

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Պատասխան. z - 5 = 0:

Մտածեք այս խնդիրը լուծելու մեկ այլ եղանակ.

Օրինակ 2

Հարթությունը, որն ուղղահայաց է O z ուղղին, կտրվի С z + D = 0, C ≠ 0 ձևի հարթության ոչ լրիվ ընդհանուր հավասարմամբ: Սահմանենք C-ի և D-ի արժեքները՝ նրանք, որոնց համար ինքնաթիռն անցնում է տվյալ կետով: Փոխարինեք այս կետի կոորդինատները C z + D = 0 հավասարման մեջ, ստանում ենք՝ C · 5 + D = 0: Նրանք. թվերը, C և D-ը կապված են - D C = 5-ով: Վերցնելով C \u003d 1, մենք ստանում ենք D \u003d - 5:

Փոխարինեք այս արժեքները C z + D = 0 հավասարման մեջ և ստացեք պահանջվող հավասարումը O z տողին ուղղահայաց և M 1 կետով անցնող հարթության համար (3, - 4, 5):

Այն նման կլինի՝ z - 5 = 0:

Պատասխան. z - 5 = 0:

Օրինակ 3

Հավասարություն գրեք սկզբնակետով անցնող և x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 ուղղին ուղղահայաց հարթության համար

Որոշում

Ելնելով խնդրի պայմաններից՝ կարելի է պնդել, որ տրված ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը կարելի է ընդունել որպես տվյալ հարթության նորմալ վեկտոր n →։ Այսպիսով՝ n → = (- 3 , - 7 , 2) . Եկեք գրենք O (0, 0, 0) կետով անցնող հարթության հավասարումը և ունի նորմալ վեկտոր n → \u003d (- 3, - 7, 2) .

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Ստացել ենք տվյալ ուղղին ուղղահայաց սկզբնակետով անցնող հարթության համար անհրաժեշտ հավասարումը։

Պատասխան.- 3x - 7y + 2z = 0

Օրինակ 4

Եռաչափ տարածության մեջ տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z, այն պարունակում է երկու կետ A (2, - 1, - 2) և B (3, - 2, 4) . α հարթությունն անցնում է AB ուղղին ուղղահայաց A կետով, անհրաժեշտ է α հարթության հավասարումը կազմել հատվածներով։

Որոշում

α հարթությունը ուղղահայաց է A B ուղիղին, ապա A B → վեկտորը կլինի α հարթության նորմալ վեկտորը: Այս վեկտորի կոորդինատները որոշվում են որպես B (3, - 2, 4) և A (2, - 1, - 2) կետերի համապատասխան կոորդինատների տարբերություն.

A B → = (3 - 2, - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը գրվելու է հետևյալ ձևով.

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Այժմ մենք կազմում ենք հարթության ցանկալի հավասարումը հատվածներում.

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Պատասխան.x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Հարկ է նաև նշել, որ կան խնդիրներ, որոնց պահանջն է գրել հավասարություն տվյալ կետով անցնող և տրված երկու հարթություններին ուղղահայաց հարթության համար։ Ընդհանուր առմամբ, այս խնդրի լուծումը տրված ուղիղին ուղղահայաց տրված կետով անցնող հարթության համար հավասարում գրելն է, քանի որ. երկու հատվող հարթություններ սահմանում են ուղիղ գիծ:

Օրինակ 5

Տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y z, դրանում M 1 կետ է (2, 0, - 5) : Տրված են նաև երկու հարթությունների 3 x + 2 y + 1 = 0 և x + 2 z - 1 = 0 հավասարումները, որոնք հատվում են a ուղիղ գծով։ Անհրաժեշտ է կազմել հավասարում a ուղղին ուղղահայաց M 1 կետով անցնող հարթության համար։

Որոշում

Որոշենք a ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները. Այն ուղղահայաց է ինչպես n → (1 , 0 , 2) հարթության նորմալ վեկտորին n 1 → (3 , 2 , 0), այնպես էլ x + 2 z հարթության 3 x + 2 y + 1 = 0 հարթության վրա։ - 1 = 0:

Այնուհետև α → ուղիղ a ուղղորդող վեկտորը վերցնում ենք n 1 → և n 2 → վեկտորների վեկտորային արտադրյալը.

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2)

Այսպիսով, n → = (4, - 6, - 2) վեկտորը կլինի a ուղիղին ուղղահայաց հարթության նորմալ վեկտորը։ Մենք գրում ենք ինքնաթիռի ցանկալի հավասարումը.

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Պատասխան. 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Թող անհրաժեշտ լինի գտնել մի ուղիղ գծի վրա չգտնվող երեք տրված կետերով անցնող հարթության հավասարումը։ Նշանակելով դրանց շառավիղի վեկտորները և ընթացիկ շառավիղի վեկտորը ով, մենք հեշտությամբ կարող ենք ստանալ ցանկալի հավասարումը վեկտորի տեսքով: Իրոք, վեկտորները պետք է լինեն համահավասար (նրանք բոլորն ընկած են ցանկալի հարթության վրա): Հետևաբար, այս վեկտորների վեկտոր-սկալյար արտադրյալը պետք է հավասար լինի զրոյի.

Սա երեք տրված կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումն է, վեկտորի տեսքով։

Անդրադառնալով կոորդինատներին, մենք ստանում ենք հավասարումը կոորդինատներով.

Եթե ​​տրված երեք կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, ապա վեկտորները կլինեն համագիծ: Հետևաբար, որոշիչի վերջին երկու շարքերի համապատասխան տարրերը (18) հավասարման մեջ կլինեն համաչափ, իսկ որոշիչը՝ նույնականորեն հավասար զրոյի: Հետևաբար, հավասարումը (18) կդառնա x, y և z-ի ցանկացած արժեքի նույնականացում: Երկրաչափական առումով սա նշանակում է, որ տիեզերքի յուրաքանչյուր կետով անցնում է հարթություն, որում նույնպես գտնվում են երեք տրված կետեր։

Դիտողություն 1. Նույն խնդիրը կարելի է լուծել առանց վեկտորների օգտագործման:

Նշելով տրված երեք կետերի կոորդինատները, համապատասխանաբար, միջոցով գրում ենք առաջին կետով անցնող ցանկացած հարթության հավասարումը.

Ցանկալի հարթության հավասարումը ստանալու համար պետք է պահանջել, որ հավասարումը (17) բավարարվի մյուս երկու կետերի կոորդինատներով.

Հավասարումներից (19) անհրաժեշտ է որոշել երկու գործակիցների հարաբերակցությունը երրորդին և գտնված արժեքները մուտքագրել հավասարման մեջ (17):

Օրինակ 1. Գրի՛ր կետերով անցնող հարթության հավասարումը:

Այս կետերից առաջինով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը կլինի.

Ինքնաթիռի (17) երկու այլ կետերով և առաջին կետով անցնելու պայմաններն են.

Երկրորդ հավասարումը գումարելով առաջինին, մենք ստանում ենք.

Փոխարինելով երկրորդ հավասարմանը, մենք ստանում ենք.

A, B, C, համապատասխանաբար 1, 5, -4 (դրանց համաչափ թվեր) փոխարեն (17) հավասարմամբ՝ մենք ստանում ենք.

Օրինակ 2. Գրե՛ք (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը։

(0, 0, 0) կետով անցնող ցանկացած հարթության հավասարումը կլինի]

Այս հարթությունը (1, 1, 1) և (2, 2, 2) կետերով անցնելու պայմաններն են.

Կրճատելով երկրորդ հավասարումը 2-ով, մենք տեսնում ենք, որ երկու անհայտները որոշելու համար հարաբերությունն ունի մեկ հավասարում.

Այստեղից մենք ստանում ենք. Այժմ փոխարինելով հարթության հավասարման մեջ՝ դրա արժեքի փոխարեն՝ մենք գտնում ենք.

Սա պահանջվող հարթության հավասարումն է. դա կախված է կամայականությունից

B, C մեծություններ (մասնավորապես, հարաբերակցությունից, այսինքն. կան անսահման թվով ինքնաթիռներ, որոնք անցնում են երեք տրված կետերով (երեք տրված կետերը գտնվում են մեկ ուղիղ գծի վրա):

Դիտողություն 2. Երեք տրված կետերով հարթություն անցկացնելու խնդիրը, որոնք չեն գտնվում մեկ ուղիղ գծի վրա, հեշտությամբ լուծվում է. ընդհանուր տեսարանեթե դուք օգտագործում եք որոշիչները. Իրոք, քանի որ (17) և (19) հավասարումներում A, B, C գործակիցները չեն կարող միաժամանակ հավասար լինել զրոյի, ապա այս հավասարումները դիտարկելով որպես միատարր համակարգ երեք անհայտներով A, B, C, գրում ենք անհրաժեշտ և բավարար. զրոյից բացի այս համակարգի լուծման գոյության պայման (մաս 1, գլ. VI, § 6).

Ընդլայնելով այս որոշիչն առաջին շարքի տարրերով՝ մենք ստանում ենք առաջին աստիճանի հավասարում ընթացիկ կոորդինատների նկատմամբ, որը կբավարարվի, մասնավորապես, տրված երեք կետերի կոորդինատներով։

Այս վերջինը կարող է նաև ուղղակիորեն ստուգվել, եթե որոշիչով գրված հավասարման փոխարեն փոխարինենք այս կետերից որևէ մեկի կոորդինատները: Ձախ կողմում ստացվում է որոշիչ, որում կամ առաջին շարքի տարրերը զրո են, կամ կան երկու նույնական տողեր։ Այսպիսով, ձևակերպված հավասարումը ներկայացնում է երեք տրված կետերով անցնող հարթություն։

13. Անկյուն հարթությունների միջև, հեռավորությունը կետից մինչև հարթություն:

Թող α և β հարթությունները հատվեն c ուղիղի երկայնքով:
Ինքնաթիռների միջև ընկած անկյունը ուղղահայացների միջև ընկած անկյունն է դրանց հատման գծին, գծված այս հարթություններում:

Այլ կերպ ասած, α հարթությունում մենք գծում ենք c-ին ուղղահայաց ուղիղ: β հարթությունում՝ b ուղիղ, նույնպես ուղղահայաց c-ին: α և β հարթությունների անկյունը հավասար է a և b ուղիղների անկյունին։

Նկատի ունեցեք, որ երբ երկու հարթություններ հատվում են, իրականում չորս անկյուն է ձևավորվում: Տեսնու՞մ եք նրանց նկարում: Որպես ինքնաթիռների միջև ընկած անկյուն, որը մենք վերցնում ենք կծուներարկում.

Եթե ​​հարթությունների միջև անկյունը 90 աստիճան է, ապա հարթությունները ուղղահայաց,

Սա հարթությունների ուղղահայացության սահմանումն է։ Ստերեոմետրիայում խնդիրներ լուծելիս մենք նաև օգտագործում ենք հարթությունների ուղղահայացության նշան:

Եթե ​​α հարթությունն անցնում է β հարթության ուղղահայացով, ապա α և β հարթությունները ուղղահայաց են..

մատնանշեք հարթության հեռավորությունը

Դիտարկենք T կետը, որը տրված է իր կոորդինատներով.

T \u003d (x 0, y 0, z 0)

Հաշվի առեք նաև α հարթությունը, տրված է հավասարմամբ:

Ax + By + Cz + D = 0

Այնուհետև L հեռավորությունը T կետից մինչև α հարթությունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Այլ կերպ ասած, մենք կետի կոորդինատները փոխարինում ենք հարթության հավասարման մեջ, այնուհետև այս հավասարումը բաժանում ենք հարթության n նորմալ վեկտորի երկարությամբ.

Ստացված թիվը հեռավորությունն է: Տեսնենք, թե ինչպես է այս թեորեմն աշխատում գործնականում։

Մենք արդեն դուրս ենք բերել հարթության ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները, ստանանք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները, որը տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում՝ եռաչափ տարածության մեջ։

Թող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը ամրագրվի եռաչափ տարածության մեջ Օքսիզ. Եկեք սահմանենք ուղիղ գիծ ա(տե՛ս բաժինը, թե ինչպես կարելի է ուղիղ գիծ սահմանել տարածության մեջ)՝ նշելով ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը և գծի ինչ-որ կետի կոորդինատները . Այս տվյալներից կսկսենք տարածության մեջ ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ կազմելիս։

Թող լինի կամայական կետ եռաչափ տարածության մեջ: Եթե ​​հանենք կետի կոորդինատներից Մհամապատասխան կետի կոորդինատները Մ 1, ապա մենք կստանանք վեկտորի կոորդինատները (տե՛ս հոդվածը, որտեղ գտնում ենք վեկտորի կոորդինատները նրա վերջի և սկզբի կետերի կոորդինատներով), այսինքն. .

Ակնհայտ է, որ կետերի բազմությունը սահմանում է գիծ աեթե և միայն այն դեպքում, եթե վեկտորները և միաձույլ են:

Գրենք վեկտորների համակողմանի լինելու անհրաժեշտ և բավարար պայմանը և : , որտեղ է որոշ իրական թիվ. Ստացված հավասարումը կոչվում է Ուղիղ գծի վեկտոր-պարամետրային հավասարումուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Օքսիզեռաչափ տարածության մեջ։ Կոորդինատային ձևով ուղիղ գծի վեկտոր-պարամետրային հավասարումն ունի ձևը և ներկայացնում է Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ ա. «Պարամետրիկ» անվանումը պատահական չէ, քանի որ գծի բոլոր կետերի կոորդինատները նշված են պարամետրի միջոցով:

Բերենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումների օրինակ Օքսիզտարածության մեջ: Այստեղ

15. Անկյուն ուղիղ գծի և հարթության միջև: Ուղղի հարթության հետ հատման կետը.

Կոորդինատների նկատմամբ առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

սահմանում է հարթություն և հակառակը՝ ցանկացած հարթություն կարելի է ներկայացնել (3.1) հավասարմամբ, որը կոչվում է. հարթության հավասարումը.

Վեկտոր n(A, B, C) հարթությանը ուղղանկյուն է կոչվում նորմալ վեկտորինքնաթիռներ. (3.1) հավասարման մեջ A, B, C գործակիցները միաժամանակ հավասար չեն 0-ի։

Հավասարման հատուկ դեպքեր (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ինքնաթիռն անցնում է սկզբնակետով:

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - հարթությունը զուգահեռ է Oz առանցքին:

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ինքնաթիռն անցնում է Oz առանցքով:

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - հարթությունը զուգահեռ է Oyz հարթությանը:

Կոորդինատիվ հարթության հավասարումներ՝ x = 0, y = 0, z = 0:

Տիեզերքում ուղիղ գիծ կարելի է տալ.

1) որպես երկու հարթությունների հատման գիծ, ​​այսինքն. հավասարումների համակարգ.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) նրա երկու կետերը՝ M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա դրանց միջով անցնող ուղիղ գիծը տրված է հավասարումներով.

3) դրան պատկանող M 1 (x 1, y 1, z 1) կետը և վեկտորը. ա(m, n, p), s համագիծ: Այնուհետև ուղիղ գիծը որոշվում է հավասարումներով.

. (3.4)

Կանչվում են հավասարումները (3.4): գծի կանոնական հավասարումներ.

Վեկտոր ականչեց ուղղորդող վեկտորը ուղիղ.

Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները ստանում ենք (3.4) հարաբերություններից յուրաքանչյուրը t պարամետրի հետ հավասարեցնելով.

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Լուծելով համակարգը (3.2) որպես համակարգ գծային հավասարումներհամեմատաբար անհայտ xև y, մենք հասնում ենք ուղիղ գծի հավասարումներին կանխատեսումներկամ դեպի կրճատված ուղիղ գծերի հավասարումներ:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

(3.6) հավասարումներից կարելի է անցնել կանոնական հավասարումների՝ գտնելով զյուրաքանչյուր հավասարումից և հավասարեցնելով ստացված արժեքները.

.

Ընդհանուր հավասարումներից (3.2) կարելի է անցնել կանոնական հավասարումների այլ կերպ, եթե գտնենք այս ուղիղի որևէ կետ և դրա ուղղության վեկտորը։ n= [n 1 , n 2], որտեղ n 1 (A 1, B 1, C 1) և n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - տրված հարթությունների նորմալ վեկտորներ։ Եթե ​​հայտարարներից մեկը մ, նկամ Ռ(3.4) հավասարումներում կլինի զրո, ապա համապատասխան կոտորակի համարիչը պետք է հավասարեցնել զրոյի, այսինքն. համակարգ

հավասարազոր է համակարգի ; այդպիսի ուղիղը ուղղահայաց է x-առանցքին:

Համակարգ համարժեք է x = x 1, y = y 1 համակարգին; ուղիղ գիծը զուգահեռ է Օզի առանցքին:

Օրինակ 1.15. Գրի՛ր հարթության հավասարումը` իմանալով, որ A կետը (1, -1,3) ծառայում է որպես սկզբնակետից այս հարթությանը գծված ուղղահայացին հիմք:

Որոշում.Խնդրի պայմանով վեկտորը ՕԱ(1,-1,3) հարթության նորմալ վեկտորն է, ապա դրա հավասարումը կարելի է գրել այսպես
x-y+3z+D=0. Հարթությանը պատկանող A(1,-1,3) կետի կոորդինատները փոխարինելով՝ գտնում ենք D՝ 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11։ Այսպիսով, x-y+3z-11=0:

Օրինակ 1.16. Գրի՛ր Օզի առանցքով անցնող և 2x+y-z-7=0 հարթությամբ 60 աստիճան անկյուն կազմող հարթության հավասարումը։

Որոշում.Օզի առանցքով անցնող հարթությունը տրվում է Ax+By=0 հավասարմամբ, որտեղ A-ն և B-ն միաժամանակ չեն անհետանում։ Թող B-ն չլինի
0 է, A/Bx+y=0: Երկու հարթությունների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևի համաձայն

.

Որոշելով քառակուսային հավասարում 3m 2 + 8m - 3 = 0, գտե՛ք նրա արմատները
m 1 = 1/3, m 2 = -3, որից ստանում ենք երկու հարթություն 1/3x+y = 0 և -3x+y = 0։

Օրինակ 1.17.Գրի՛ր ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները.
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0:

Որոշում.Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները ունեն ձև.

որտեղ m, n, p- ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները, x1, y1, z1- գծին պատկանող ցանկացած կետի կոորդինատները. Ուղիղ գիծը սահմանվում է որպես երկու հարթությունների հատման գիծ: Ուղիղ գծին պատկանող կետ գտնելու համար կոորդինատներից մեկը ամրագրվում է (ամենահեշտ ձևը, օրինակ, x=0 դնելն է) և ստացված համակարգը լուծվում է որպես երկու անհայտ գծային հավասարումների համակարգ։ Այսպիսով, թող x=0, ապա y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, որտեղից y=-1, z=1: Գտանք այս ուղղին պատկանող M (x 1, y 1, z 1) կետի կոորդինատները՝ M (0,-1,1): Ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը հեշտ է գտնել՝ իմանալով սկզբնական հարթությունների նորմալ վեկտորները n 1 (5,1,1) և n 2 (2,3,-2). Հետո

Ուղղի կանոնական հավասարումներ են՝ x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Օրինակ 1.18. 2x-y+5z-3=0 և x+y+2z+1=0 հարթություններով սահմանված փնջում գտե՛ք երկու ուղղահայաց հարթություններ, որոնցից մեկն անցնում է M(1,0,1) կետով։

Որոշում.Այս հարթություններով սահմանված փնջի հավասարումը u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0 է, որտեղ u և v միաժամանակ չեն անհետանում։ Մենք վերագրում ենք ճառագայթի հավասարումը հետևյալ կերպ.

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0:

Փնջից M կետով անցնող հարթություն ընտրելու համար մենք M կետի կոորդինատները փոխարինում ենք ճառագայթի հավասարման մեջ։ Մենք ստանում ենք.

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, կամ v = - u.

Այնուհետև մենք գտնում ենք M պարունակող հարթության հավասարումը` փոխարինելով v = - u ճառագայթի հավասարման մեջ.

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0:

Որովհետեւ u¹0 (հակառակ դեպքում v=0, և դա հակասում է ճառագայթի սահմանմանը), ապա մենք ունենք x-2y+3z-4=0 հարթության հավասարումը: Ճառագայթին պատկանող երկրորդ հարթությունը պետք է ուղղահայաց լինի դրան։ Հարթությունների ուղղանկյունության պայմանը գրում ենք.

(2u + v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u + 2v)×3 = 0, կամ v = - 19/5u:

Այսպիսով, երկրորդ հարթության հավասարումը ունի ձև.

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 կամ 9x +24y + 13z + 34 = 0

Այս դասում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես օգտագործել որոշիչը՝ կազմելու համար հարթության հավասարումը. Եթե ​​չգիտեք, թե ինչ է որոշիչը, անցեք դասի առաջին մասին՝ « Մատրիցներ և որոշիչներ». Հակառակ դեպքում, դուք ռիսկի եք դիմում այսօրվա նյութում ոչինչ չհասկանալու:

Ինքնաթիռի հավասարումը երեք կետով

Ինչու՞ է մեզ ընդհանրապես անհրաժեշտ ինքնաթիռի հավասարումը: Դա պարզ է. իմանալով այն, մենք կարող ենք հեշտությամբ հաշվարկել անկյունները, հեռավորությունները և այլ անհեթեթություններ C2 խնդրի մեջ: Ընդհանուր առմամբ, այս հավասարումն անփոխարինելի է։ Այսպիսով, մենք ձևակերպում ենք խնդիրը.

Առաջադրանք. Տիեզերքում կան երեք կետեր, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա: Նրանց կոորդինատները.

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Պահանջվում է գրել այս երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը։ Եվ հավասարումը պետք է նման լինի.

Ax + By + Cz + D = 0

որտեղ A , B , C և D թվերը այն գործակիցներն են, որոնք, ըստ էության, ցանկանում եք գտնել:

Դե, ինչպե՞ս ստանալ հարթության հավասարումը, եթե հայտնի են միայն կետերի կոորդինատները։ Ամենահեշտ ձևը կոորդինատները փոխարինելն է Ax + By + Cz + D = 0 հավասարման մեջ: Դուք ստանում եք երեք հավասարումների համակարգ, որը հեշտությամբ լուծվում է:

Շատ ուսանողներ այս լուծումը համարում են չափազանց հոգնեցուցիչ և անհուսալի: Անցյալ տարվա մաթեմատիկայի քննությունը ցույց տվեց, որ հաշվողական սխալ թույլ տալու հավանականությունն իսկապես մեծ է։

Ուստի ամենաառաջադեմ ուսուցիչները սկսեցին փնտրել ավելի պարզ և էլեգանտ լուծումներ. Եվ նրանք գտան այն: Ճիշտ է, ստացված ընդունելությունն ավելի հավանական է բարձրագույն մաթեմատիկա. Անձամբ ես ստիպված էի շրջել դասագրքերի ամբողջ Դաշնային ցուցակը, որպեսզի համոզվեի, որ մենք իրավունք ունենք օգտագործել այս տեխնիկան առանց որևէ հիմնավորման և ապացույցի:

Ինքնաթիռի հավասարումը որոշիչի միջով

Բավական է գոռգոռալ, եկեք գործի անցնենք: Սկզբից, թեորեմ այն ​​մասին, թե ինչպես են կապված մատրիցային որոշիչն ու հարթության հավասարումը:

Թեորեմ. Թող տրվեն երեք կետերի կոորդինատները, որոնց միջով պետք է գծվի հարթությունը. M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3): Այնուհետև այս հարթության հավասարումը կարելի է գրել որոշիչով.

Օրինակ, եկեք փորձենք գտնել մի զույգ հարթություններ, որոնք իրականում տեղի են ունենում C2 խնդիրներում: Նայեք, թե որքան արագ է ամեն ինչ հաշվում.

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Մենք կազմում ենք որոշիչը և հավասարեցնում այն ​​զրոյի.

Որոշիչի բացում.

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Ինչպես տեսնում եք, d թիվը հաշվարկելիս ես մի փոքր «վրձնեցի» հավասարումը, որպեսզի x , y և z փոփոխականները մտան. ճիշտ հաջորդականություն. Այսքանը: Ինքնաթիռի հավասարումը պատրաստ է։

Առաջադրանք. Գրի՛ր կետերով անցնող հարթության հավասարումը.

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Անմիջապես փոխարինեք կետերի կոորդինատները որոշիչում.

Նորից ընդլայնելով որոշիչը.

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Այսպիսով, հարթության հավասարումը կրկին ստացվում է: Կրկին, վերջին քայլին ես ստիպված էի փոխել դրա նշանները, որպեսզի ստանամ ավելի «գեղեցիկ» բանաձեւ։ Անհրաժեշտ չէ դա անել այս լուծման մեջ, բայց այնուամենայնիվ խորհուրդ է տրվում՝ խնդրի հետագա լուծումը պարզեցնելու համար։

Ինչպես տեսնում եք, այժմ շատ ավելի հեշտ է գրել ինքնաթիռի հավասարումը: Մենք կետերը փոխարինում ենք մատրիցով, հաշվարկում ենք որոշիչը, և վերջ, հավասարումը պատրաստ է:

Սա կարող է լինել դասի ավարտը: Այնուամենայնիվ, շատ ուսանողներ անընդհատ մոռանում են, թե ինչ կա որոշիչի ներսում: Օրինակ, ո՞ր տողն է պարունակում x 2 կամ x 3, իսկ որ տողն է ընդամենը x: Սրա հետ վերջապես զբաղվելու համար եկեք հետևենք, թե որտեղից է գալիս յուրաքանչյուր թիվը:

Որտեղի՞ց է առաջացել որոշիչով բանաձևը:

Այսպիսով, եկեք պարզենք, թե որտեղից է գալիս որոշիչով նման կոշտ հավասարումը: Սա կօգնի ձեզ հիշել այն և հաջողությամբ կիրառել այն:

C2 խնդրի բոլոր հարթությունները սահմանվում են երեք կետով: Այս կետերը միշտ նշվում են գծագրի վրա կամ նույնիսկ ուղղակիորեն նշված են խնդրի տեքստում: Ամեն դեպքում, հավասարումը կազմելու համար մենք պետք է դուրս գրենք դրանց կոորդինատները.

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3):

Դիտարկենք ևս մեկ կետ մեր հարթության վրա կամայական կոորդինատներով.

T = (x, y, z)

Մենք վերցնում ենք ցանկացած կետ առաջին երեքից (օրինակ, կետ M ) և նրանից վեկտորներ գծում մնացած երեք կետերից յուրաքանչյուրին: Մենք ստանում ենք երեք վեկտոր.

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1):

Այժմ եկեք այս վեկտորներից կազմենք քառակուսի մատրից և դրա որոշիչը հավասարեցնենք զրոյի: Վեկտորների կոորդինատները կդառնան մատրիցայի տողեր, և մենք կստանանք նույն որոշիչը, որը նշված է թեորեմում.

Այս բանաձևը նշանակում է, որ MN, MK և MT վեկտորների վրա կառուցված տուփի ծավալը հավասար է զրոյի: Այսպիսով, բոլոր երեք վեկտորները գտնվում են նույն հարթության վրա: Մասնավորապես, կամայական T = (x, y, z) կետը հենց այն է, ինչ մենք փնտրում էինք:

Որոշիչի կետերի և տողերի փոխարինում

Որոշիչները ունեն մի քանի հրաշալի հատկություններ, որոնք էլ ավելի են հեշտացնում C2 խնդրի լուծում. Օրինակ, մեզ համար նշանակություն չունի, թե որ կետից նկարենք վեկտորները։ Հետևաբար, հետևյալ որոշիչները տալիս են նույն հարթության հավասարումը, ինչ վերը նշվածը.

Կարող եք նաև փոխել որոշիչի տողերը: Հավասարումը կմնա անփոփոխ։ Օրինակ, շատերը սիրում են տող գրել T = (x; y; z) կետի կոորդինատներով հենց վերևում: Խնդրում եմ, եթե դա ձեզ հարմար է.

Այն շփոթեցնում է ոմանց, որ տողերից մեկը պարունակում է x, y և z փոփոխականներ, որոնք չեն անհետանում կետերը փոխարինելիս: Բայց նրանք չպետք է անհետանան: Թվերը որոշիչի մեջ փոխարինելով՝ պետք է ստանաք հետևյալ կառուցվածքը.

Այնուհետև որոշիչն ընդլայնվում է դասի սկզբում տրված սխեմայի համաձայն, և ստացվում է հարթության ստանդարտ հավասարումը.

Ax + By + Cz + D = 0

Նայեք օրինակին: Այսօրվա դասին նա վերջինն է։ Ես միտումնավոր կփոխեմ գծերը, որպեսզի համոզվեմ, որ պատասխանը կլինի ինքնաթիռի նույն հավասարումը:

Առաջադրանք. Գրի՛ր կետերով անցնող հարթության հավասարումը.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1):

Այսպիսով, մենք դիտարկում ենք 4 կետ.

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z):

Նախ, եկեք ստանդարտ որոշիչ կազմենք և այն հավասարեցնենք զրոյի.

Որոշիչի բացում.

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Վերջ, ստացանք պատասխանը՝ x + y + z − 2 = 0:

Հիմա եկեք վերադասավորենք որոշիչի մի քանի տող և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում: Օրինակ՝ x, y, z փոփոխականներով տող գրենք ոչ թե ներքևում, այլ վերևում.

Եկեք նորից ընդլայնենք ստացված որոշիչը.

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Մենք ստացել ենք ճիշտ նույն հարթության հավասարումը. x + y + z − 2 = 0: Այսպիսով, դա իրականում կախված չէ տողերի հերթականությունից: Մնում է գրել պատասխանը։

Այսպիսով, մենք տեսանք, որ հարթության հավասարումը կախված չէ գծերի հաջորդականությունից: Մենք կարող ենք նմանատիպ հաշվարկներ կատարել և ապացուցել, որ հարթության հավասարումը կախված չէ այն կետից, որի կոորդինատները մենք հանում ենք մյուս կետերից։

Վերոհիշյալ խնդրի մեջ մենք օգտագործեցինք B 1 = (1, 0, 1) կետը, բայց միանգամայն հնարավոր էր վերցնել C = (1, 1, 0) կամ D 1 = (0, 1, 1): Ընդհանուր առմամբ, ցանկացած կետ, որը հայտնի կոորդինատներով ընկած է ցանկալի հարթության վրա: