Զույգ և կենտ ֆունկցիաների գումարը: Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ

Զույգ և կենտ ֆունկցիաները նրա հիմնական հատկություններից են, և հավասարությունը զբաղեցնում է մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացի տպավորիչ մասը: Այն մեծապես որոշում է ֆունկցիայի վարքագծի բնույթը և մեծապես նպաստում է համապատասխան գրաֆիկի կառուցմանը։

Եկեք սահմանենք ֆունկցիայի հավասարությունը: Ընդհանուր առմամբ, ուսումնասիրվող ֆունկցիան դիտարկվում է, եթե նույնիսկ իր տիրույթում գտնվող անկախ փոփոխականի (x) հակադիր արժեքների համար y-ի (ֆունկցիայի) համապատասխան արժեքները հավասար են:

Եկեք ավելի կոշտ սահմանում տանք. Դիտարկենք մի քանի f (x) ֆունկցիա, որը սահմանված է D տիրույթում: Դա կլինի նույնիսկ, եթե x կետի համար, որը գտնվում է սահմանման տիրույթում.

• -x (հակառակ կետ) նույնպես գտնվում է տվյալ տիրույթում,

• f(-x) = f(x):

Վերոնշյալ սահմանումից հետևում է նման ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի համար անհրաժեշտ պայմանը, այն է՝ համաչափություն O կետի նկատմամբ, որը հանդիսանում է կոորդինատների սկզբնաղբյուրը, քանի որ եթե b կետը պարունակվում է an-ի սահմանման տիրույթում։ նույնիսկ ֆունկցիան, ապա համապատասխան կետը՝ b նույնպես գտնվում է այս տիրույթում: Հետևաբար, վերը նշվածից հետևում է եզրակացությունը. զույգ ֆունկցիան ունի ձև, որը սիմետրիկ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ (Oy):

Ինչպե՞ս գործնականում որոշել ֆունկցիայի հավասարությունը:

Թող տրվի h(x)=11^x+11^(-x) բանաձևով։ Հետևելով այն ալգորիթմին, որը բխում է ուղղակիորեն սահմանումից, մենք առաջին հերթին ուսումնասիրում ենք դրա սահմանման տիրույթը: Ակնհայտ է, որ այն սահմանվում է փաստարկի բոլոր արժեքների համար, այսինքն՝ առաջին պայմանը բավարարված է։

Հաջորդ քայլը արգումենտը (x) փոխարինելն է իր հակառակ արժեքով (-x):
Մենք ստանում ենք.
h(-x) = 11^(-x) + 11^x:
Քանի որ գումարումը բավարարում է կոմուտատիվ (տեղաշարժման) օրենքը, ակնհայտ է, որ h(-x) = h(x) և տրված ֆունկցիոնալ կախվածությունը զույգ է։

Ստուգենք h(x)=11^x-11^(-x) ֆունկցիայի հավասարությունը։ Հետևելով նույն ալգորիթմին, մենք ստանում ենք h(-x) = 11^(-x) -11^x: Մինուսը հանելով՝ արդյունքում ունենք
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x): Հետևաբար h(x)-ը կենտ է:

Ի դեպ, պետք է հիշել, որ կան գործառույթներ, որոնք հնարավոր չէ դասակարգել ըստ այս չափանիշների, դրանք կոչվում են ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ։

Նույնիսկ գործառույթներն ունեն մի շարք հետաքրքիր հատկություններ.

• համանման գործառույթների ավելացման արդյունքում ստացվում է զույգ.
• Նման գործառույթները հանելու արդյունքում ստացվում է զույգ;
• նույնիսկ, նաև նույնիսկ;
• Երկու նման ֆունկցիաների բազմապատկման արդյունքում ստացվում է զույգ.
• կենտ և զույգ ֆունկցիաների բազմապատկման արդյունքում ստացվում է կենտ;
• կենտ և զույգ ֆունկցիաները բաժանելու արդյունքում ստացվում է կենտ;
• նման ֆունկցիայի ածանցյալը կենտ է.
• Եթե ​​քառակուսի ենք տալիս կենտ ֆունկցիան, ապա ստանում ենք զույգ:

Ֆունկցիայի հավասարությունը կարող է օգտագործվել հավասարումներ լուծելիս:

G(x) = 0-ի նման հավասարումը լուծելու համար, որտեղ հավասարման ձախ կողմը հավասար ֆունկցիա է, բավական կլինի գտնել դրա լուծումները փոփոխականի ոչ բացասական արժեքների համար: Հավասարման ստացված արմատները պետք է համակցվեն հակադիր թվերի հետ։ Դրանցից մեկը ենթակա է ստուգման։

Նույնը հաջողությամբ օգտագործվում է պարամետրով ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման համար:

Օրինակ, կա արդյոք a պարամետրի արժեք, որը 2x^6-x^4-ax^2=1 հավասարումը երեք արմատ կունենա:

Եթե ​​հաշվի առնենք, որ փոփոխականը հավասարման մեջ մտնում է զույգ հզորություններով, ապա պարզ է դառնում, որ x-ը - x-ով փոխարինելը. տրված հավասարումըչի փոխվի. Սրանից հետևում է, որ եթե որոշակի թիվը նրա արմատն է, ապա նաև հակառակ թիվը։ Եզրակացությունն ակնհայտ է՝ հավասարման արմատները, բացի զրոյից, ներառված են նրա լուծումների բազմության մեջ «զույգերով»։

Հասկանալի է, որ 0 թիվը ինքնին չէ, այսինքն՝ նման հավասարման արմատների թիվը կարող է լինել միայն զույգ և, բնականաբար, պարամետրի ցանկացած արժեքի համար այն չի կարող ունենալ երեք արմատ։

Բայց 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 հավասարման արմատների թիվը կարող է կենտ լինել և պարամետրի ցանկացած արժեքի համար։ Իրոք, հեշտ է ստուգել, ​​որ արմատների հավաքածուն տրված հավասարումըպարունակում է լուծումներ «զույգերով». Եկեք ստուգենք, արդյոք 0-ը արմատ է: Այն հավասարման մեջ փոխարինելիս ստանում ենք 2=2։ Այսպիսով, բացի «զույգված» 0-ից նաև արմատ է, որն ապացուցում է դրանց կենտ թիվը։

Ֆունկցիան կոչվում է զույգ (կենտ), եթե որևէ մեկը և հավասարությունը

.

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ
.

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ:

Օրինակ 6.2.Քննեք զույգ կամ կենտ ֆունկցիաներ

1)
; 2)
; 3)
.

Լուծում.

1) ֆունկցիան սահմանված է
. Եկեք գտնենք
.

Նրանք.
. Այսպիսով, այս գործառույթը հավասար է:

2) ֆունկցիան սահմանված է

Նրանք.
. Այսպիսով, այս ֆունկցիան տարօրինակ է:

3) ֆունկցիան սահմանված է , այսինքն. համար

,
. Հետևաբար ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։ Եկեք դա անվանենք ընդհանուր գործառույթ:

3. Միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:

Գործառույթ
կոչվում է աճող (նվազող) որոշ ընդմիջումով, եթե այս միջակայքում փաստարկի յուրաքանչյուր մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ (փոքր) արժեքին:

Որոշ ընդմիջումով աճող (նվազող) ֆունկցիաները կոչվում են միատոն:

Եթե ​​ֆունկցիան
տարբերվող միջակայքում
և ունի դրական (բացասական) ածանցյալ
, ապա ֆունկցիան
ավելանում (նվազում է) այս միջակայքում:

Օրինակ 6.3. Գտե՛ք ֆունկցիաների միապաղաղության միջակայքերը

1)
; 3)
.

Լուծում.

1) Այս ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային առանցքի վրա: Գտնենք ածանցյալը։

Ածանցյալը զրո է, եթե
և
. Սահմանման տիրույթ - թվային առանցք, բաժանված կետերով
,
ընդմիջումների համար: Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը յուրաքանչյուր միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, ֆունկցիան նվազում է այս միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է այս միջակայքում:

2) Այս ֆունկցիան սահմանվում է, եթե
կամ

.

Յուրաքանչյուր ինտերվալում որոշում ենք քառակուսի եռանդամի նշանը։

Այսպիսով, գործառույթի շրջանակը

Գտնենք ածանցյալը
,
, եթե
, այսինքն.
, բայց
. Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում
.

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, հետևաբար ֆունկցիան նվազում է միջակայքում
. Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում
.

4. Էքստրեմումի ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:

Կետ
կոչվում է ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետ
, եթե կա կետի նման հարեւանություն որ բոլորի համար
այս հարևանությունը բավարարում է անհավասարությունը

.

Ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են ծայրահեղ կետեր:

Եթե ​​ֆունկցիան
կետում ունի էքստրեմում, ապա ֆունկցիայի ածանցյալն այս կետում հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի (անհրաժեշտ պայման է ծայրահեղության գոյության համար)։

Այն կետերը, որոնցում ածանցյալը հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի, կոչվում են կրիտիկական:

5. Բավարար պայմաններ էքստրեմի գոյության համար.

Կանոն 1. Եթե ​​անցման ժամանակ (ձախից աջ) կրիտիկական կետով ածանցյալ
փոխում է նշանը «+»-ից «-», այնուհետև կետում ֆունկցիան
ունի առավելագույնը; եթե «-»-ից մինչև «+», ապա նվազագույնը. եթե
նշան չի փոխում, ուրեմն էքստրեմում չկա.

Կանոն 2. Թողեք կետում
ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը
զրո
, իսկ երկրորդ ածանցյալը գոյություն ունի և զրոյական չէ։ Եթե
, ապա առավելագույն միավորն է, եթե
, ապա ֆունկցիայի նվազագույն կետն է։

Օրինակ 6.4 . Ուսումնասիրեք առավելագույն և նվազագույն գործառույթները.

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Որոշում.

1) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական միջակայքում
.

Գտնենք ածանցյալը
և լուծիր հավասարումը
, այսինքն.
.այստեղից
կրիտիկական կետեր են:

Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում,
.

Կետերով անցնելիս
և
ածանցյալը նշանը փոխում է «–»-ից «+», հետևաբար՝ համաձայն կանոն 1-ի
նվազագույն միավորներն են։

Կետով անցնելիս
ածանցյալը փոխում է նշանը «+»-ից «-», այսպես
առավելագույն միավորն է:

,
.

2) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական միջակայքում
. Գտնենք ածանցյալը
.

Հավասարումը լուծելով
, գտնել
և
կրիտիկական կետեր են: Եթե ​​հայտարարը
, այսինքն.
, ուրեմն ածանցյալը գոյություն չունի։ Այսպիսով,
երրորդ կրիտիկական կետն է։ Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը ընդմիջումներով:

Հետևաբար, ֆունկցիան կետում նվազագույն է
, առավելագույնը կետերում
և
.

3) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական, եթե
, այսինքն. ժամը
.

Գտնենք ածանցյալը

.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Կետերի հարևանություններ
չեն պատկանում սահմանման տիրույթին, ուստի դրանք ծայրահեղական չեն: Այսպիսով, եկեք ուսումնասիրենք կրիտիկական կետերը
և
.

4) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական միջակայքում
. Մենք օգտագործում ենք կանոն 2. Գտե՛ք ածանցյալը
.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Գտնենք երկրորդ ածանցյալը
և որոշեք դրա նշանը կետերում

Կետերում
ֆունկցիան ունի նվազագույնը:

Կետերում
ֆունկցիան ունի առավելագույնը.

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդի նախադիտումը միայն տեղեկատվական նպատակների համար է և կարող է չներկայացնել ներկայացման ամբողջ ծավալը: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

Նպատակները:

• ձևավորել զույգ և կենտ ֆունկցիաների հասկացությունը, սովորեցնել այդ հատկությունները որոշելու և օգտագործելու կարողությունը, երբ ֆունկցիոնալ հետազոտություն, դավադրություն;
• զարգացնել ուսանողների ստեղծագործական գործունեությունը, տրամաբանական մտածողություն, համեմատելու, ընդհանրացնելու ունակություն;
• մշակել աշխատասիրություն, մաթեմատիկական մշակույթ; զարգացնել հաղորդակցման հմտությունները .

Սարքավորումներ:մուլտիմեդիա տեղադրում, ինտերակտիվ գրատախտակ, թերթիկներ։

Աշխատանքի ձևերը.ճակատային և խմբային որոնման և հետազոտական ​​գործունեության տարրերով:

Տեղեկատվության աղբյուրներ.

1. Հանրահաշիվ դաս 9 Ա.Գ.Մորդկովիչ. Դասագիրք.
2. Հանրահաշիվ 9 դասարան Ա.Գ.Մորդկովիչ. Առաջադրանքների գիրք.
3. Հանրահաշիվ 9-րդ դասարան. Ուսանողների ուսուցման և զարգացման առաջադրանքներ. Բելենկովա Է.Յու. Լեբեդինցևա Է.Ա.

ԴԱՍԵՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿ

1. Կազմակերպչական պահ

Դասի նպատակների և խնդիրների սահմանում:

2. Տնային աշխատանքների ստուգում

Թիվ 10.17 (Խնդիրագիրք 9-րդ դասարան Ա.Գ. Մորդկովիչ):

ա) ժամը = զ(X), զ(X) =

բ) զ (–2) = –3; զ (0) = –1; զ(5) = 69;

գ) 1. Դ( զ) = [– 2; + ∞)
2. E( զ) = [– 3; + ∞)
3. զ(X) = 0 համար X ~ 0,4
4. զ(X) >0 ժամը X > 0,4 ; զ(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Ֆունկցիան մեծանում է X € [– 2; + ∞)
6. Գործառույթը սահմանափակված է ներքևից։
7. ժամըվարձել = - 3, ժամըՆաիբը գոյություն չունի
8. Ֆունկցիան շարունակական է։

(Դուք օգտագործե՞լ եք առանձնահատկությունների հետազոտման ալգորիթմը): Սլայդ.

2. Եկեք ստուգենք աղյուսակը, որը ձեզ հարցրել են սլայդում:

Լրացրեք աղյուսակը
	Դոմեն	Գործառույթների զրոներ	Մշտական ​​ընդմիջումներ		Գրաֆիկի Oy-ի հետ հատման կետերի կոորդինատները
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Գիտելիքների թարմացում

- Գործառույթները տրված են:
– Նշեք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը:
– Համեմատե՛ք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի արժեքը յուրաքանչյուր զույգ արգումենտ արժեքների համար՝ 1 և – 1; 2 և - 2.
– Սահմանման տիրույթում տրված գործառույթներից որի՞ համար են հավասարումները զ(– X) = զ(X), զ(– X) = – զ(X)? (տվյալները դնել աղյուսակում) Սլայդ

		զ(1) և զ(– 1)	զ(2) և զ(– 2)	գծապատկերներ	զ(– X) = –զ(X)	զ(– X) = զ(X)
1. զ(X) =
2. զ(X) = X 3
3. զ(X) = | X |
4.զ(X) = 2X – 3
5. զ(X) =	X ≠ 0
6. զ(X)=	X > –1		և սահմանված չէ:

4. նոր նյութ

- Իրականացնող այս աշխատանքը, տղերք, մենք բացահայտել ենք ֆունկցիայի ևս մեկ հատկություն՝ ձեզ անծանոթ, բայց ոչ պակաս կարևոր, քան մնացածը՝ սա զույգ և կենտ ֆունկցիան է։ Գրեք դասի թեման՝ «Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ», մեր խնդիրն է սովորել, թե ինչպես որոշել զույգ և կենտ ֆունկցիաները, պարզել այս հատկության նշանակությունը ֆունկցիաների ուսումնասիրության և գծագրման մեջ:
Այսպիսով, եկեք դասագրքում գտնենք սահմանումները և կարդանք (էջ 110) . Սլայդ

Def. մեկԳործառույթ ժամը = զ (X) սահմանված X բազմության վրա կոչվում է նույնիսկ, եթե ինչ-որ արժեքի համար XЄ X ընթացքի մեջ է հավասարություն f (–x) = f (x). Բերեք օրինակներ։

Def. 2Գործառույթ y = f(x), սահմանված X բազմության վրա կոչվում է տարօրինակ, եթե ինչ-որ արժեքի համար XЄ X f(–х)= –f(х) հավասարությունը կատարվում է։ Բերեք օրինակներ։

Որտե՞ղ հանդիպեցինք «զույգ» և «կենտ» տերմիններին:
Ի՞նչ եք կարծում, այս գործառույթներից ո՞րն է լինելու զույգ։ Ինչո՞ւ։ Որոնք են տարօրինակ: Ինչո՞ւ։
Ձևի ցանկացած գործառույթի համար ժամը= x n, որտեղ nամբողջ թիվ է, կարելի է պնդել, որ ֆունկցիան կենտ է nկենտ է, իսկ ֆունկցիան՝ համար n- նույնիսկ.
- Դիտել գործառույթները ժամը= և ժամը = 2X– 3-ը ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ, քանի որ հավասարությունները չեն պահպանվում զ(– X) = – զ(X), զ(– X) = զ(X)

Գործառույթի զույգ կամ կենտ լինելու հարցի ուսումնասիրությունը կոչվում է հավասարության համար ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:Սլայդ

1 և 2 սահմանումները վերաբերում էին x և - x ֆունկցիայի արժեքներին, հետևաբար ենթադրվում է, որ ֆունկցիան նույնպես սահմանվում է արժեքով. Xև ժամը - X.

ODA 3.Եթե համարների հավաքածու x-ն իր յուրաքանչյուր տարրի հետ պարունակում է հակառակ տարրը՝ x, ապա բազմությունը Xկոչվում է սիմետրիկ բազմություն։

Օրինակներ.

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) սիմետրիկ բազմություններ են, իսկ , [–5;4]-ը ոչ սիմետրիկ են:

- Անգամ ֆունկցիաներն ունե՞ն սահմանման տիրույթ՝ սիմետրիկ բազմություն։ Տարօրինակնե՞րը:
- Եթե Դ ( զ) ասիմետրիկ բազմություն է, ապա ո՞րն է ֆունկցիան։
– Այսպիսով, եթե ֆունկցիան ժամը = զ(X) զույգ է կամ կենտ, ապա դրա սահմանման տիրույթը D( զ) սիմետրիկ բազմություն է։ Բայց ճի՞շտ է հակառակը, եթե ֆունկցիայի տիրույթը սիմետրիկ բազմություն է, ապա այն զույգ է, թե կենտ:
- Այսպիսով, սահմանման տիրույթի սիմետրիկ բազմության առկայությունը անհրաժեշտ պայման է, բայց ոչ բավարար։
– Այսպիսով, ինչպե՞ս կարող ենք ուսումնասիրել հավասարության ֆունկցիան: Փորձենք գրել ալգորիթմ։

Սլայդ

Պարիտետի համար ֆունկցիան ուսումնասիրելու ալգորիթմ

1. Որոշեք, արդյոք ֆունկցիայի տիրույթը սիմետրիկ է: Եթե ​​ոչ, ապա ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ: Եթե ​​այո, ապա անցեք ալգորիթմի 2-րդ քայլին:

2. Գրիր արտահայտություն համար զ(–X).

3. Համեմատեք զ(–X) և զ(X):

• եթե զ(–X).= զ(X), ապա ֆունկցիան հավասար է.
• եթե զ(–X).= – զ(X), ապա ֆունկցիան կենտ է.
• եթե զ(–X) ≠ զ(X) և զ(–X) ≠ –զ(X), ապա ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

Օրինակներ.

Հետազոտել ֆունկցիան հավասարության համար ա) ժամը= x 5 +; բ) ժամը= ; մեջ) ժամը= .

Որոշում.

ա) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), սիմետրիկ բազմություն։

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e ֆունկցիա h(x)= x 5 + կենտ.

բ) y =,

ժամը = զ(X), D(f) = (–∞; –9): (–9; +∞), ասիմետրիկ բազմություն, ուստի ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։

մեջ) զ(X) = , y = f(x),

1) D ( զ) = (–∞; 3] ≠ ; բ) (∞; –2), (–4; 4]?

Տարբերակ 2

1. Տրված բազմությունը սիմետրիկ է. ա) [–2;2]; բ) (∞; 0], (0; 7) ?

ա); բ) y \u003d x (5 - x 2): 2. Ուսումնասիրեք հավասարության ֆունկցիան.

ա) y \u003d x 2 (2x - x 3), բ) y \u003d

3. Նկ. գծագրված ժամը = զ(X), բոլորի համար X, պայմանը բավարարելով X? 0.
Կազմեք ֆունկցիան ժամը = զ(X), եթե ժամը = զ(X) հավասարաչափ ֆունկցիա է։

3. Նկ. գծագրված ժամը = զ(X), բոլոր x-ի համար, որոնք բավարարում են x-ին: 0.
Կազմեք ֆունկցիան ժամը = զ(X), եթե ժամը = զ(X) կենտ ֆունկցիա է։

Փոխադարձ ստուգում Սլայդ.

6. Տնային առաջադրանք. №11.11, 11.21,11.22;

Պարիտետային հատկության երկրաչափական նշանակության ապացույց:

*** (USE տարբերակի նշանակում):

1. Կենտ ֆունկցիան y \u003d f (x) սահմանվում է ամբողջ իրական գծի վրա: x փոփոխականի ցանկացած ոչ բացասական արժեքի համար այս ֆունկցիայի արժեքը համընկնում է g ֆունկցիայի արժեքի հետ ( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7): Գտեք h( X) = ժամը X = 3.

7. Ամփոփում

Գծապատկերների փոխակերպում.

Գործառույթի բանավոր նկարագրություն.

Գրաֆիկական ճանապարհ.

Գործառույթի հստակեցման գրաֆիկական եղանակը առավել պատկերավոր է և հաճախ օգտագործվում է ճարտարագիտության մեջ: AT մաթեմատիկական վերլուծությունՖունկցիաների տեղադրման գրաֆիկական եղանակը օգտագործվում է որպես նկարազարդում:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ f-ը կոորդինատային հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է (x; y), որտեղ y=f(x), իսկ x-ն անցնում է տվյալ ֆունկցիայի ողջ տիրույթով։

Կոորդինատային հարթության ենթաբազմությունը ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ է, եթե այն ունի առավելագույնը մեկ ընդհանուր կետ Oy առանցքին զուգահեռ որևէ ուղիղով:

Օրինակ. Արդյո՞ք ստորև բերված նկարները ֆունկցիաների գծապատկերներ են:

առավելություն գրաֆիկական առաջադրանքդրա տեսանելիությունն է: Դուք կարող եք անմիջապես տեսնել, թե ինչպես է գործառույթը պահում, որտեղ այն մեծանում է, որտեղ նվազում է: Գրաֆիկից դուք կարող եք անմիջապես պարզել ֆունկցիայի որոշ կարևոր բնութագրեր:

Ընդհանուր առմամբ, վերլուծական գրաֆիկական ուղիներգործառույթների առաջադրանքները ձեռք ձեռքի տված են: Բանաձևի հետ աշխատելն օգնում է գրաֆիկ կառուցել: Եվ գրաֆիկը հաճախ առաջարկում է լուծումներ, որոնք բանաձևում չեք նկատի:

Գրեթե ցանկացած ուսանող գիտի ֆունկցիա սահմանելու երեք եղանակներ, որոնք մենք հենց նոր անդրադարձանք:

Փորձենք պատասխանել հարցին՝ «Կա՞ն արդյոք ֆունկցիա սահմանելու այլ եղանակներ»։

Նման միջոց կա.

Ֆունկցիան կարող է միանգամայն միանշանակ սահմանվել բառերով:

Օրինակ, y=2x ֆունկցիան կարելի է սահմանել հետևյալ բառային նկարագրությամբ. x փաստարկի յուրաքանչյուր իրական արժեքին վերագրվում է իր կրկնապատկված արժեքը։ Կանոնը դրված է, ֆունկցիան՝ սահմանված։

Ավելին, կարելի է բանավոր կերպով նշել ֆունկցիա, որը չափազանց դժվար է, եթե ոչ անհնար, բանաձևով նշելը։

Օրինակ՝ x բնական արգումենտի յուրաքանչյուր արժեք կապված է x-ի արժեքը կազմող թվանշանների գումարի հետ: Օրինակ, եթե x=3, ապա y=3: Եթե ​​x=257, ապա y=2+5+7=14: և այլն: Դժվար է դա գրել բանաձևով։ Բայց սեղանը հեշտ է պատրաստել:

Բանավոր նկարագրության մեթոդը բավականին հազվադեպ օգտագործվող մեթոդ է։ Բայց երբեմն դա տեղի է ունենում.

Եթե ​​x-ի և y-ի միջև մեկ առ մեկ համապատասխանության օրենք կա, ապա կա ֆունկցիա: Ինչ օրենքը, ինչ ձևով է այն արտահայտված՝ բանաձևով, պլանշետով, գրաֆիկով, բառերով, չի փոխում հարցի էությունը։

Դիտարկենք ֆունկցիաները, որոնց սահմանման տիրույթները սիմետրիկ են կոորդինատների սկզբնավորման նկատմամբ, այսինքն. որևէ մեկի համար Xշրջանակից դուրս համարը (- X) նույնպես պատկանում է սահմանման տիրույթին։ Այդ գործառույթների թվում են զույգ և կենտ.

Սահմանում. F ֆունկցիան կոչվում է նույնիսկ, եթե որևէ մեկի համար Xիր տիրույթից դուրս

Օրինակ.Դիտարկենք գործառույթը

Նա նույնիսկ է: Եկեք ստուգենք այն:

Որևէ մեկի համար Xհավասարությունները

Այսպիսով, մեզ համար երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան հավասար է։ Ստորև ներկայացված է այս ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Սահմանում. F ֆունկցիան կոչվում է տարօրինակ, եթե որևէ մեկի համար Xիր տիրույթից դուրս

Օրինակ. Դիտարկենք գործառույթը

Նա տարօրինակ է: Եկեք ստուգենք այն:

Սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է, ինչը նշանակում է, որ այն սիմետրիկ է (0; 0) կետի նկատմամբ:

Որևէ մեկի համար Xհավասարությունները

Այսպիսով, մեզ համար երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան կենտ է։ Ստորև ներկայացված է այս ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Առաջին և երրորդ նկարներում ներկայացված գրաֆիկները սիմետրիկ են y առանցքի նկատմամբ, իսկ երկրորդ և չորրորդ նկարներում ներկայացված գրաֆիկները սիմետրիկ են ծագման նկատմամբ:

Գործառույթներից, որոնց գրաֆիկները ներկայացված են նկարներում, որո՞նք են զույգ և որոնք են կենտ:

Գործառույթմաթեմատիկական ամենակարևոր հասկացություններից է։ Ֆունկցիա - փոփոխական կախվածություն ժամըփոփոխականից x, եթե յուրաքանչյուր արժեք Xհամապատասխանում է մեկ արժեքի ժամը. փոփոխական Xկոչվում է անկախ փոփոխական կամ արգումենտ: փոփոխական ժամըկոչվում է կախյալ փոփոխական: Անկախ փոփոխականի բոլոր արժեքները (փոփոխական x) ձևավորել ֆունկցիայի տիրույթը: Բոլոր արժեքները, որոնք ընդունում է կախված փոփոխականը (փոփոխական y), ձևավորել ֆունկցիայի տիրույթը:

Ֆունկցիայի գրաֆիկնրանք անվանում են կոորդինատային հարթության բոլոր կետերի բազմությունը, որոնց աբսցիսաները հավասար են փաստարկի արժեքներին, իսկ օրդինատները հավասար են ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներին, այսինքն՝ արժեքներին։ փոփոխականները գծագրված են աբսցիսայի երկայնքով x, և փոփոխականի արժեքները գծագրված են y առանցքի երկայնքով y. Ֆունկցիան գծագրելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ֆունկցիայի հատկությունները: Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները կքննարկվեն ստորև:

Ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու համար խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել մեր ծրագիրը՝ Graphing Functions Online: Եթե ​​այս էջի նյութն ուսումնասիրելիս հարցեր ունեք, միշտ կարող եք դրանք ուղղել մեր ֆորումում: Նաև ֆորումում ձեզ կօգնեն լուծել խնդիրներ մաթեմատիկայի, քիմիայի, երկրաչափության, հավանականությունների տեսության և շատ այլ առարկաներից:

Ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները.

1) Ֆունկցիայի շրջանակը և գործառույթի տիրույթը.

Ֆունկցիայի շրջանակը փաստարկի բոլոր վավեր արժեքների բազմությունն է x(փոփոխական x) որի համար ֆունկցիան y = f(x)սահմանված է։
Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական արժեքների բազմությունն է yոր ֆունկցիան ընդունում է.

Տարրական մաթեմատիկայի մեջ ֆունկցիաները ուսումնասիրվում են միայն իրական թվերի բազմության վրա։

2) ֆունկցիայի զրոներ.

Արժեքներ X, որը y=0, կոչվում է ֆունկցիայի զրոներ. Սրանք ֆունկցիայի գրաֆիկի x առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսներն են։

3) ֆունկցիայի նշանի կայունության միջակայքերը.

Գործառույթի նշանի կայունության միջակայքերը արժեքների այդպիսի միջակայքեր են x, որի վրա նշվում են ֆունկցիայի արժեքները yկոչվում են միայն դրական կամ միայն բացասական ֆունկցիայի նշանի կայունության միջակայքերը:

4) ֆունկցիայի միապաղաղություն.

Աճող ֆունկցիա (որոշ ընդմիջումով) - ֆունկցիա, որում այս ինտերվալից արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին:

Նվազող ֆունկցիա (որոշ ընդմիջումով) - ֆունկցիա, որում այս ինտերվալից արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին:

5) Զույգ (կենտ) ֆունկցիաներ.

Զույգ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է ծագման և ցանկացածի նկատմամբ X f(-x) = f(x). Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ:

Կենտ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է ծագման և ցանկացածի նկատմամբ Xսահմանման տիրույթից՝ հավասարությունը f(-x) = - f(x): Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ:

Նույնիսկ գործառույթ
1) Սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է (0; 0) կետի նկատմամբ, այսինքն, եթե կետը. ապատկանում է սահմանման տիրույթին, ապա կետին -անույնպես պատկանում է սահմանման տիրույթին։
2) ցանկացած արժեքի համար x f(-x)=f(x)
3) Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ:

տարօրինակ գործառույթունի հետևյալ հատկությունները.
1) Սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է (0; 0) կետի նկատմամբ:
2) ցանկացած արժեքի համար x, որը պատկանում է սահմանման, հավասարության տիրույթին f(-x)=-f(x)
3) Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ (0; 0):

Ամեն ֆունկցիա չէ, որ զույգ է կամ կենտ: Գործառույթներ ընդհանուր տեսարան ոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ:

6) Սահմանափակ և անսահմանափակ գործառույթներ.

Ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակ, եթե կա M դրական թիվ, որ |f(x)| ≤ M x-ի բոլոր արժեքների համար: Եթե ​​նման թիվ չկա, ապա ֆունկցիան անսահմանափակ է:

7) ֆունկցիայի պարբերականությունը.

F(x) ֆունկցիան պարբերական է, եթե գոյություն ունի ոչ զրոյական T թիվ, որ ֆունկցիայի տիրույթից ցանկացած x-ի համար f(x+T) = f(x): Այդպիսին ամենափոքր թիվըկոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։ Բոլորը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներպարբերական են։ (Եռանկյունաչափական բանաձևեր):

Գործառույթ զկոչվում է պարբերական, եթե կա այնպիսի թիվ, որ որևէ մեկի համար xսահմանման տիրույթից՝ հավասարությունը f(x)=f(x-T)=f(x+T). Տֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։

Յուրաքանչյուր պարբերական ֆունկցիա ունի անսահման թվով պարբերություններ: Գործնականում սովորաբար համարվում է ամենափոքր դրական շրջանը:

Պարբերական ֆունկցիայի արժեքները կրկնվում են ժամանակաշրջանին հավասար ընդմիջումից հետո: Սա օգտագործվում է գրաֆիկների գծագրման ժամանակ: