A térbeli alakzatok térfogatának kiszámításának képessége számos gyakorlati geometriai probléma megoldásában fontos. Az egyik leggyakoribb forma a piramis. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a piramisokat, mind a teljes, mind a csonka piramisokat.

Piramis mint háromdimenziós figura

Mindenki tud róla egyiptomi piramisok, ezért jól látható, hogy melyik ábráról lesz szó. Mindazonáltal az egyiptomi kőépítmények csak különleges esetei a piramisok hatalmas osztályának.

A vizsgált geometriai objektum általános esetben egy sokszögű alap, amelynek minden csúcsa a tér valamely pontjához kapcsolódik, amely nem tartozik az alapsíkhoz. Ez a meghatározás egy n-szögből és n háromszögből álló ábrához vezet.

Bármely piramis n+1 lapból, 2*n élből és n+1 csúcsból áll. Mivel a vizsgált ábra egy tökéletes poliéder, a jelölt elemek száma megfelel az Euler-egyenletnek:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Az alján található sokszög adja a piramis nevét, például háromszög, ötszög stb. Piramisok halmaza különböző okokból az alábbi fotón látható.

Azt a pontot, ahol az ábra n háromszöge összekapcsolódik, a piramis csúcsának nevezzük. Ha egy merőlegest leeresztünk róla az alapra, és a geometriai középpontban metszi, akkor egy ilyen alakot egyenesnek nevezünk. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor van egy ferde piramis.

Egy egyenes alakzatot, amelynek alapját egy egyenlő oldalú (egyenszögű) n-szög alkotja, szabályosnak nevezzük.

Piramis térfogati képlete

A piramis térfogatának kiszámításához integrálszámítást használunk. Ehhez az ábrát az alappal párhuzamos vágósíkokkal végtelen számú vékony rétegre osztjuk. Az alábbi ábrán egy h magasságú és L oldalhosszúságú négyszög alakú gúla látható, amelyben a négyszög jelöli vékonyréteg szakaszok.

Az egyes rétegek területe a következő képlettel számítható ki:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Itt A 0 az alap területe, z a függőleges koordináta értéke. Látható, hogy ha z = 0, akkor a képlet A 0 értéket ad.

A piramis térfogatának képletéhez ki kell számítani az integrált az ábra teljes magasságában, azaz:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Az A(z) függőséget behelyettesítve és az antiderivatívát kiszámítva a következő kifejezéshez jutunk:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Megkaptuk a piramis térfogatának képletét. A V értékének meghatározásához elegendő az ábra magasságát megszorozni az alap területével, majd az eredményt elosztani hárommal.

Vegye figyelembe, hogy az eredményül kapott kifejezés egy tetszőleges típusú piramis térfogatának kiszámítására érvényes. Azaz ferde lehet, alapja pedig tetszőleges n-szög lehet.

és a térfogata

A fenti bekezdésben érkezett általános képlet a térfogatot egy gúla esetén adhatjuk meg azzal megfelelő alapozás. Egy ilyen alap területét a következő képlettel számítjuk ki:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Itt L egy n csúcsú szabályos sokszög oldalhossza. A pi szimbólum a pi szám.

Az A 0 kifejezést behelyettesítve az általános képletbe, megkapjuk egy szabályos piramis térfogatát:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Például egy háromszög alakú piramis esetében ez a képlet a következő kifejezéshez vezet:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

A helyesért négyszög alakú piramis a térfogati képlet a következőképpen alakul:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

A szabályos piramisok térfogatának meghatározásához ismerni kell alapjuk oldalát és az ábra magasságát.

Piramis csonka

Tegyük fel, hogy vettünk egy tetszőleges piramist, és levágtuk az oldalfelületének a csúcsot tartalmazó részét. A fennmaradó alakot csonka piramisnak nevezzük. Már két n-szögű alapból és n trapézből áll, amelyek összekötik őket. Ha a vágási sík párhuzamos volt az ábra alapjával, akkor egy csonka gúlát képezünk párhuzamos hasonló alapokkal. Vagyis az egyik oldalának hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy a másik oldalának hosszát megszorozzuk valamilyen k együtthatóval.

A fenti ábrán egy csonka szabályos látható, melynek felső bázisát az alsóhoz hasonlóan szabályos hatszög alkotja.

A fentihez hasonló integrálszámítással levezethető képlet a következő:

V = 1/3*ó*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Ahol A 0 és A 1 az alsó (nagy) és a felső (kis) bázis területei. A h változó a csonka gúla magasságát jelöli.

Kheopsz piramisának térfogata

Kíváncsi a legnagyobb egyiptomi piramis térfogatának meghatározására vonatkozó probléma megoldása.

1984-ben Mark Lehner és Jon Goodman brit egyiptológusok megalapították pontos méretek a Kheopsz piramis. Eredeti magassága 146,50 méter volt (jelenleg körülbelül 137 méter). Átlagos hosszúság a szerkezet mind a négy oldala 230,363 méteres volt. A piramis alapja nagy pontossággal négyzet alakú.

A megadott számadatok segítségével határozzuk meg ennek a kőóriásnak a térfogatát. Mivel a piramis szabályos négyszög, ezért a képlet érvényes rá:

A számokat beillesztve a következőket kapjuk:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Kheopsz piramisának térfogata közel 2,6 millió m 3. Összehasonlításképpen megjegyezzük, hogy az olimpiai medence térfogata 2,5 ezer m 3. Vagyis a teljes Kheopsz-piramis feltöltéséhez több mint 1000 ilyen medencére lesz szükség!

Piramis. Csonka piramis

Piramis poliédernek nevezzük, melynek egyik lapja sokszög ( bázis ), és az összes többi lap olyan háromszög, amelynek közös csúcsa ( oldalsó arcok ) (15. ábra). A piramist az ún helyes , ha az alapja egy szabályos sokszög, és a gúla csúcsa az alap közepébe vetül (16. ábra). Olyan háromszög alakú piramist nevezünk, amelynek minden éle egyenlő tetraéder .

Oldalsó borda piramis az oldallap azon oldala, amely nem tartozik az alaphoz Magasság A piramis a csúcsa és az alap síkja közötti távolság. Egy szabályos gúla minden oldaléle egyenlő egymással, minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. A csúcsból húzott szabályos gúla oldallapjának magasságát ún apothema . átlós szakasz A gúla egy szakaszát olyan síknak nevezzük, amely két olyan oldalélen halad át, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Oldalsó felület piramist az összes oldallap területének összegének nevezzük. terület teljes felület az összes oldallap és az alap területének összege.

Tételek

1. Ha egy gúlában az összes oldalél egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje a körülírt kör közepébe vetül az alap közelében.

2. Ha egy piramisban minden oldalél egyenlő hosszú, akkor a gúla teteje a körülírt kör közepébe vetül az alap közelében.

3. Ha a piramisban minden lap egyformán dől az alap síkjához, akkor a gúla teteje az alapba írt kör középpontjába vetül.

Egy tetszőleges piramis térfogatának kiszámításához a képlet helyes:

ahol V- hangerő;

S fő- alapterület;

H a piramis magassága.

Egy szabályos piramisra a következő képletek igazak:

ahol p- az alap kerülete;

h a- apotém;

H- magasság;

S tele

S oldal

S fő- alapterület;

V egy szabályos piramis térfogata.

csonka piramis a gúla alapja és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé zárt részét nevezzük (17. ábra). Helyes csonka piramis a szabályos gúla azon része, amely az alap és a gúla alapjával párhuzamos vágósík közé záródik.

Alapok csonka piramis - hasonló sokszögek. Oldalsó arcok - trapéz alakú. Magasság A csonka piramist alapjai közötti távolságnak nevezzük. Átlós A csonka piramis egy szakasz, amely összeköti a csúcsait, amelyek nem fekszenek ugyanazon a lapon. átlós szakasz A csonka gúla egy szakaszát két olyan oldalélen áthaladó síknak nevezzük, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.

Csonka piramis esetén a következő képletek érvényesek:

(4)

ahol S 1 , S 2 - a felső és az alsó bázis területei;

S tele a teljes felület;

S oldal az oldalsó felület;

H- magasság;

V a csonka gúla térfogata.

Egy szabályos csonka piramisra a következő képlet igaz:

ahol p 1 , p 2 - alap kerületek;

h a- a szabályos csonka piramis apotémája.

1. példa Egy szabályos háromszög alakú piramisban a diéder szöge az alapnál 60º. Határozza meg az oldalél dőlésszögének érintőjét az alap síkjához!

Döntés. Készítsünk rajzot (18. ábra).

A piramis szabályos, ami azt jelenti, hogy az alap egyenlő oldalú háromszög, és minden oldallapja egyenlő egyenlő szárú háromszög. Kétszögű szög az alapnál - ez a piramis oldallapjának az alap síkjához viszonyított dőlésszöge. A lineáris szög lesz a szög a két merőleges között: i.e. A piramis csúcsa a háromszög középpontjába van vetítve (a körülírt kör középpontja és a háromszögbe írt kör ABC). Az oldalborda dőlésszöge (pl SB) maga az él és annak az alapsíkra való vetülete közötti szög. A bordához SB ez a szög lesz a szög SBD. Az érintő megtalálásához ismernie kell a lábakat ÍGYés OB. Legyen a szakasz hossza BD a 3 a. pont O vonalszakasz BD részekre oszlik: és Attól találjuk ÍGY: Innen találjuk:

Válasz:

2. példa Határozzuk meg egy szabályos csonka négyszög alakú gúla térfogatát, ha alapjainak átlói cm és cm, magassága pedig 4 cm!

Döntés. A csonka gúla térfogatának meghatározásához a (4) képletet használjuk. Az alapok területeinek meghatározásához meg kell találni az alapnégyzetek oldalait, átlójuk ismeretében. Az alapok oldala 2 cm, illetve 8 cm Ez az alapok területeit jelenti és az összes adatot behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a csonka gúla térfogatát:

Válasz: 112 cm3.

3. példa Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú csonka gúla oldallapjának területét, amelynek alapjai 10 cm és 4 cm, a gúla magassága pedig 2 cm.

Döntés. Készítsünk rajzot (19. ábra).

Ennek a piramisnak az oldallapja egy egyenlő szárú trapéz. A trapéz területének kiszámításához ismernie kell az alapokat és a magasságot. Az alapok állapot szerint vannak megadva, csak a magasság marad ismeretlen. Keresse meg honnan DE 1 E pontból merőlegesen DE 1 az alsó alap síkján, A 1 D- merőlegesen DE 1 on AC. DE 1 E\u003d 2 cm, mivel ez a piramis magassága. A megtalálásért DE készítünk egy további rajzot, amelyen felülnézetet fogunk ábrázolni (20. ábra). Pont O- a felső és az alsó alap középpontjának vetítése. mivel (lásd 20. ábra) és Másrészt rendben a beírt kör sugara és OM a beírt kör sugara:

MK=DE.

A Pitagorasz-tétel szerint abból

Oldalsó arc területe:

Válasz:

4. példa A piramis alján egyenlő szárú trapéz található, melynek alapjai aés b (a> b). Mindegyik oldallap a piramis alapjának síkjával egyenlő szöget zár be j. Határozza meg a piramis teljes felületét.

Döntés. Készítsünk rajzot (21. ábra). A piramis teljes felülete SABCD egyenlő a területek és a trapéz területének összegével ABCD.

Használjuk azt az állítást, hogy ha a gúla minden lapja egyformán dől az alap síkjához, akkor a csúcs az alapba írt kör középpontjába vetül. Pont O- csúcsvetítés S a piramis tövében. Háromszög GYEP a háromszög ortogonális vetülete CSD az alapsíkhoz. A lapos alak ortogonális vetületének területére vonatkozó tétel szerint a következőt kapjuk:

Hasonlóképpen azt jelenti Így a probléma a trapéz területének megtalálására csökkent ABCD. Rajzolj egy trapézt ABCD külön-külön (22. ábra). Pont O a trapézba írt kör középpontja.

Mivel a kör trapézba írható, akkor a Pitagorasz-tétel szerint

• 09.10.2014

  Az ábrán látható előerősítő 4 féle hangforráshoz készült, mint például mikrofon, CD-lejátszó, rádiós magnó, stb. Ugyanakkor az előerősítőnek van egy bemenete, amely 50mV-ról 500mV-ra tudja változtatni az érzékenységet. . az erősítő kimeneti feszültsége 1000mV. Csatlakozás különböző forrásokból jelet az SA1 kapcsoló átkapcsolásánál mindig kapunk ...

• 20.09.2014

  A tápegységet 15 ... 20 watt teljesítményű terhelésre tervezték. A forrás egy egyciklusú impulzusos nagyfrekvenciás átalakító séma szerint készül. A tranzisztorra 20 ... 40 kHz frekvencián működő oszcillátor van felszerelve. A frekvenciát a C5 kapacitás szabályozza. A VD5, VD6 és C6 elemek egy áramkört alkotnak az oszcillátor indításához. A másodlagos áramkörben a híd egyenirányító után egy hagyományos lineáris stabilizátor található egy mikroáramkörön, amely lehetővé teszi, hogy ...

• 28.09.2014

  Az ábrán egy K174XA11 chipen található generátor látható, melynek frekvenciáját feszültség szabályozza. A C1 kapacitás 560-ról 4700pF-ra változtatásával széles frekvenciatartomány érhető el, míg a frekvencia az R4 ellenállás változtatásával állítható be. Például a szerző rájött, hogy C1 \u003d 560pF mellett a generátor frekvenciája R4 segítségével 600 Hz-ről 200 kHz-re változtatható, ...

• 03.10.2014

  Az egységet erős ULF táplálására tervezték, ± 27 V kimeneti feszültségre tervezték, és így akár 3 A-t is terhel minden egyes karra. A tápegység bipoláris, komplett kompozit tranzisztorokon készült KT825-KT827. A stabilizátor mindkét karja ugyanazon séma szerint készül, de a másik karban (nincs látható) a kondenzátorok polaritása megváltozik, és a másik tranzisztorait használják ...