Lekcija "Periodičnost funkcija y=sinx, y=cosx". Istraživanje funkcije za periodičnost

>> Periodičnost funkcija y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodičnost funkcija y \u003d sin x, y \u003d cos x

U prethodnim odlomcima koristili smo sedam svojstava funkcije: domena, parna ili neparna, monotona, ograničena, najveća i najmanju vrijednost, kontinuitet, raspon funkcije. Ta svojstva smo koristili ili za konstruiranje grafa funkcije (kao što je, na primjer, u § 9), ili za čitanje konstruiranog grafa (kao što je, na primjer, u § 10). Sada je došlo povoljan trenutak uvesti još jedno (osmo) svojstvo funkcija, koje je savršeno vidljivo na gore konstruiranom grafikoni funkcije y \u003d sin x (vidi sliku 37), y = cos x (vidi sliku 41).

Definicija. Funkcija se naziva periodičnom ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz skupova dvostruki jednakost:

Broj T koji zadovoljava navedeno stanje, naziva se period funkcije y \u003d f (x).
Iz toga slijedi da su za bilo koji x jednakosti istinite:

tada su funkcije y \u003d sin x, y \u003d cos x periodične i broj 2 P služi kao razdoblje obiju funkcija.
Periodičnost funkcije je obećano osmo svojstvo funkcija.

Sada pogledajte graf funkcije y \u003d sin x (slika 37). Da bismo izgradili sinusoidu, dovoljno je izgraditi jedan od njegovih vala (na segmentu, a zatim pomaknuti ovaj val duž osi x za). Kao rezultat toga, koristeći jedan val, izgradit ćemo cijeli graf.

Pogledajmo s iste točke gledišta graf funkcije y \u003d cos x (slika 41). Vidimo da je i ovdje za crtanje grafa dovoljno prvo nacrtati jedan val (npr. na segmentu

Zatim ga pomaknite duž x-osi
Sumirajući, donosimo sljedeći zaključak.

Ako funkcija y \u003d f (x) ima period T, tada da biste nacrtali graf funkcije, prvo morate nacrtati granu (val, dio) grafa na bilo kojem intervalu duljine T (najčešće uzimaju interval s krajevima u točkama, a zatim pomaknite ovu granu duž osi x udesno i ulijevo na T, 2T, ZT itd.
Periodična funkcija ima beskonačno mnogo perioda: ako je T period, tada je 2T period, a 3T je period, a -T je period; općenito, razdoblje je bilo koji broj oblika KT, gdje je k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Obično, ako je moguće, pokušavaju izdvojiti najmanji pozitivni period, naziva se glavno razdoblje.
Dakle, bilo koji broj oblika 2pc, gdje je k = ± 1, ± 2, ± 3, period funkcija y = sinn x, y = cos x; 2p je glavni period obiju funkcija.

Primjer. Pronađite glavni period funkcije:

a) Neka je T glavni period funkcije y \u003d sin x. Stavimo

Da bi broj T bio period funkcije, mora vrijediti identitet Ho, budući da pričamo pri pronalaženju glavnog razdoblja dobivamo
b) Neka je T glavni period funkcije y = cos 0,5x. Neka je f(x)=cos 0,5x. Tada je f (x + T) = cos 0,5 (x + T) = cos (0,5x + 0,5 T).

Da bi broj T bio period funkcije, mora biti zadovoljen identitet cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Dakle, 0,5t = 2pp. Ali, budući da govorimo o pronalaženju glavne periode, dobivamo 0,5T = 2 l, T = 4l.

Generalizacija rezultata dobivenih u primjeru je sljedeća tvrdnja: glavni period funkcije

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir predavanja prezentacija akceleratorske metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća rasprava pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječke i multimediju fotografije, slike grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za znatiželjne cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje pogrešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice raspravni programi Integrirane lekcije

Centrirano u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutni trokut, jednak omjeru duljine suprotne noge |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija ovisno o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

;
;
.

Grafikon funkcije sinusa, y = sin x

Grafikon kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y= grijeh x i y= cos x periodično s točkom 2 pi.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Kosinusna funkcija je parna.

Područje definicije i vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije, odnosno za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).

	y= grijeh x	y= cos x
Opseg i kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Uzlazni
Silazni
Maksimumi, y= 1
Minimum, y = - 1
Nule, y= 0
Točke presjeka s y-osi, x = 0	y= 0	y= 1

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Sinusne i kosinusne formule za zbroj i razliku

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izraz sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izraz kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izraz u terminima tangente

; .

Za, imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; . Izvođenje formula > > >

Derivati ​​n-tog reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije na sinus i kosinus su arksinus, odnosno arkkosinus.

Arcsin, arcsin

Arkosinus, arccos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.

Broj T takav da je za bilo koji x F(x + T) = F(x). Taj se broj T naziva periodom funkcije.

Može postojati nekoliko razdoblja. Na primjer, funkcija F = const uzima istu vrijednost za bilo koju vrijednost argumenta, pa se stoga svaki broj može smatrati njezinom točkom.

Obično su zainteresirani za najmanji nula razdoblje funkcije. Radi kratkoće, jednostavno se zove točka.

Klasičan primjer periodičnih funkcija je trigonometrijski: sinus, kosinus i tangent. Njihov period je isti i jednak 2π, odnosno sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) i tako dalje. međutim, naravno, trigonometrijske funkcije- ne jedini periodični.

Što se tiče jednostavnog osnovne funkcije jedini način da se utvrdi njihova periodičnost ili neperiodičnost je proračun. Ali za složene funkcije, već ih ima nekoliko jednostavna pravila.

Ako je F(x) s razdobljem T, a za njega je definirana derivacija, tada je i ova derivacija f(x) = F′(x) periodična funkcija s periodom T. Uostalom, vrijednost derivacije na točka x jednaka je tangenti tangente grafa njezina antiderivata u ovoj točki na os x, a budući da se periodično ponavlja, mora se ponavljati. Na primjer, izvedenica od funkcije grijeha(x) jednako je cos(x) i periodično je. Uzimajući derivaciju od cos(x) dobivate -sin(x). Periodičnost ostaje nepromijenjena.

Međutim, obrnuto nije uvijek točno. Dakle, funkcija f(x) = const je periodična, ali njezin antiderivat F(x) = const*x + C nije.

Ako je F(x) periodična funkcija s periodom T, tada je G(x) = a*F(kx + b), gdje su a, b i k konstante i k nije jednako nuli - također periodična funkcija, a period mu je jednak T/k. Na primjer, sin(2x) je periodična funkcija i njezin period je π. Vizualno se to može predstaviti na sljedeći način: množenjem x s nekim brojem, vi nekako vodoravno komprimirate funkcije točno onoliko puta

Ako su F1(x) i F2(x) periodične funkcije, a njihovi periodi jednaki T1 i T2, tada zbroj tih funkcija također može biti periodičan. Međutim, njegovo razdoblje neće biti jednostavan zbroj razdoblja T1 i T2. Ako je rezultat dijeljenja T1/T2 racionalni broj, tada je zbroj funkcija periodičan, a njezin period jednak je najmanjem zajedničkom višekratniku (LCM) razdoblja T1 i T2. Na primjer, ako je period prve funkcije 12, a period druge 15, tada će period njihovog zbroja biti LCM (12, 15) = 60.

Vizualno se to može predstaviti na sljedeći način: funkcije dolaze s različitim "širinama koraka", ali ako je omjer njihovih širina racionalan, tada će prije ili (točnije, kroz LCM koraka) ponovno postati jednake, i njihov će zbroj započeti novo razdoblje.

Međutim, ako je omjer razdoblja , tada ukupna funkcija uopće neće biti periodična. Na primjer, neka je F1(x) = x mod 2 (ostatak od x podijeljen s 2) i F2(x) = sin(x). T1 će ovdje biti jednak 2, a T2 je jednak 2π. Omjer razdoblja je π - iracionalan broj. Dakle, funkcija sin(x) + x mod 2 nije periodična.

Izvori:

• Teorija funkcije

Puno matematičke funkcije imaju jednu značajku koja olakšava njihovu konstrukciju – to je periodičnost, odnosno ponovljivost grafa na koordinatnoj mreži u pravilnim intervalima.

Uputa

Najpoznatije periodične funkcije matematike su sinusoida i kosinusni val. Ove funkcije imaju valni i osnovni period jednak 2P. Također poseban slučaj periodične funkcije je f(x)=const. Bilo koji broj je prikladan za poziciju x, ova funkcija nema glavnu točku, jer je ravna linija.

Općenito, funkcija je periodična ako postoji cijeli broj N koji nije nula i zadovoljava pravilo f(x)=f(x+N), čime se osigurava ponovljivost. Razdoblje funkcije je najmanji broj N, ali ne nula. To jest, na primjer, funkcija sin x jednaka je funkciji sin (x + 2PN), gdje je N \u003d ± 1, ± 2, itd.

Ponekad funkcija može imati množitelj (na primjer, sin 2x), koji će povećati ili smanjiti period funkcije. Kako bi se pronašlo razdoblje