Koje se dvije figure nazivaju jednakima? Dva geometrijska lika nazivaju se jednakima ako se mogu kombinirati.

Geometrijski likovi se smatraju jednakima ako su točna kopija jedni druge, odnosno moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti:

figure imaju isti oblik;
figure su iste veličine;
dolazi do takvog nametanja (kretanja) jedne figure na drugu da se poklapaju u svim svojim točkama.

Što znači oblik figura

Govoreći o obliku figure, prije svega mislimo na klasu geometrijskih oblika, kao i na broj kutova, smjer konveksnosti (konkaviteta) i druge vizualne detalje konture ravnog lika.

Na primjer, oval i pravokutnik jasno imaju različitog oblika. A ako uzmete figure iste klase, recimo 2 trokuta, tada morate usporediti elemente koji čine konturu. U ovom slučaju pričamo o kutovima i stranicama. Dakle, ako jedan trokut ima pravi kut, a drugi nema, onda je odmah uočljivo da imaju drugačiji oblik. Ako se duljine triju stranica jednog trokuta međusobno ne razlikuju mnogo, a drugi ima jednu stranu mnogo veću od druge dvije, također ćemo na prvi pogled primijetiti da su im oblici različiti.

Zašto je važno podudaranje veličine?

Što ako razlike u veličini nisu vizualno uočljive? Zatim je potrebno napraviti točna mjerenja obje figure. Također, jednakost veličine razdvaja pojmove sličnih i jednakih figura. Na primjer, 2 kvadrata s različito područje bit će slični, ali ne i jednaki (što znači kada je jedan veći od drugog).

Što se podrazumijeva pod "preklapanjem" figura jedna na drugu

Ponekad je teško napraviti točna mjerenja. Pogotovo ako je lik formiran zatvorenom proizvoljnom krivuljom ili isprekidanom linijom. Zatim morate pronaći način da jedan oblik preložite na drugi.

Dakle, ako su nacrtani na komadu papira, trebate izrezati jedan od njih točno duž konture i staviti ga na drugi. Možete ga rotirati u bilo kojem smjeru, pa čak i preokrenuti. Ako postoji način da se ti oblici kombiniraju tako da se točno podudaraju duž kontura, onda su jednaki.

Je li uvijek moguće dokazati jednakost brojki

Ponekad to nije moguće. Na primjer, ako govorimo o ravnim linijama. Svi su oni beskrajni. Isto vrijedi i za zrake.

Jednake su takve figure koje se mogu kombinirati nekom vrstom kretanja (centralna i aksijalna simetrija, rotacija i paralelni prijelaz).

U takvim su slikama sve strane i kutovi jednaki.

Na primjer, ako su dati trokuti ABC i A₁B₁C₁, tada su jednaki ako su stranice jednake (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) i kutovi (kut A = kut A₁, kut B = kut B₁ = kut C₁).

Također, u jednakim slikama, odgovarajuće točke i linije su također jednake. Primjerice, u istom jednakih trokuta ABC i A₁B₁C₁ bit će jednaki simetrali, medijani, visini, polumjerima upisanih i opisanih kružnica, težišnicama itd.

kako se zove kut? Koje figure se nazivaju jednakim? Objasnite kako usporediti dva segmenta? koja se točka zove

sredina segmenta?

Koja zraka se naziva simetrala kuta?

kolika je mjera stupnja kuta?

Koji se lik naziva trokut? Koji se trokuti nazivaju jednaki? Koji se segment naziva medijanom trokuta? Koji se segment naziva

simetrala trokuta? Koji se segment naziva visinom trokuta? Koji se trokut naziva jednakokračnim? Koji se trokut naziva jednakostraničan? Definicija polumjera, promjera, tetive.Daj definiciju paralelnih pravaca.Koji se kut naziva vanjski kut trokuta?Koji se trokut naziva oštar,koji tupokut,koji je pravokutni. Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta?Svojstvo dvaju pravca paralelnih s trećim Teorem o pravcu koji siječe jedan od paralelnih pravaca. Svojstvo dva prava okomita na treći

Koji se oblik naziva izlomljena linija? Što su veze vrhova i duljina polilinije?

Objasnite kako se izlomljena linija naziva poligon. Koji su vrhovi, stranice, perimetar i dijagonale poligona? Što je konveksni poligon?
Objasnite koji se kutovi nazivaju konveksnim kutovima poligona. Izvedi formulu za izračun zbroja kutova konveksnog n-kuta. Dokazati da je zbroj vanjskih kutova konveksnog mnogokuta. UZIMA SE po jedan na svakom tjemenu, jednak je 360 stupnjeva.
Koliki je zbroj kutova konveksnog četverokuta?

1) Koji se oblik naziva četverokut?

2) Što su vrhovi, kutovi, stranice, dijagonale, opseg četverokuta?
3) Koji se bočni kutovi četverokuta nazivaju konveksnim?
4) koliki je zbroj kutova konveksnog četverokuta?
5) koji se četverokut naziva konveksan?
6) koji se četverokut naziva paralelogramom?
7) koja svojstva ima paralelogram?
8) imenovati znakove paralelograma.
9) formulirati svojstva pravokutnika.
10) koji se četverokut zove kvadrat?
11) formulirati svojstva romba.
12) koji se četverokut naziva romb?
13) koji se četverokut naziva pravokutnik?
14) koja svojstva ima kvadrat? molim te kratko odgovori...

Geometrija Atanasyan 7,8,9 razred “Pitanja odgovori na pitanja za ponavljanje 2. poglavlja u udžbeniku geometrije 7-9 razred atanasyan Objasnite koju sliku

nazvan trokut.
2. Koliki je opseg trokuta?
3. Koji se trokuti nazivaju jednaki?
4. Što je teorem i dokaz teorema?
5. Objasni koji se odsječak naziva okomicom povučenom iz zadane točke na zadani pravac.
6. Koji se segment naziva medijanom trokuta? Koliko medijana ima trokut?
7. Koji se odsječak naziva simetrala trokuta? Koliko simetrala ima trokut?
8. Koji se segment naziva visinom trokuta? Koliko visina ima trokut?
9. Koji se trokut naziva jednakokračnim?
10. Kako se zovu stranice jednakokračnog trokuta?
11. Koji se trokut naziva jednakostranični trokut?
12. Formulirajte svojstvo kutova pri osnovici jednakokračnog trokuta.
13. Formulirajte teorem o simetrali jednakokračnog trokuta.
14. Formulirajte prvi znak jednakosti trokuta.
15. Formulirajte drugi znak jednakosti trokuta.
16. Formulirajte treći kriterij jednakosti trokuta.
17. Definirajte kružnicu.
18. Koje je središte kružnice?
19. Što se zove polumjer kružnice?
20. Što se naziva promjerom kružnice?
21. Što se zove tetiva kružnice?

Jedan od osnovnih pojmova u geometriji je lik. Ovaj pojam označava skup točaka na ravnini, ograničenih konačnim brojem linija. Neke se figure mogu smatrati jednakim, što je usko povezano s konceptom kretanja. Geometrijske figure se mogu smatrati ne izolirano, već na ovaj ili onaj način u odnosu jedna na drugu - njihovu međusobnog dogovora, kontakt i pristajanje, položaj “između”, “unutra”, omjer izražen u terminima “veće od”, “manje od”, “jednako”.Geometrija proučava nepromjenjiva svojstva figura, t.j. one koje ostaju nepromijenjene pod određenim geometrijskim transformacijama. Takva transformacija prostora, u kojoj udaljenost između točaka koje čine određenu figuru ostaje nepromijenjena, naziva se kretanje.Kretanje može djelovati u različite opcije: paralelni prijenos, transformacija identiteta, rotacija oko osi, simetrija u odnosu na ravnu liniju ili ravninu, središnja, rotacijska, translacijska simetrija.

Kretanje i jednake figure

Ako je moguće takvo kretanje koje će dovesti do kombinacije jedne figure s drugom, takve figure nazivamo jednakim (kongruentnim). Dvije figure jednake trećini također su jedna drugoj - takvu je tvrdnju formulirao Euklid, utemeljitelj geometrije. Pojam sukladnih figura može se objasniti više prostim jezikom: jednake su takve figure koje se potpuno poklapaju kada su jedna drugoj. Sasvim je lako odrediti jesu li figure zadane u obliku određenih predmeta kojima se može manipulirati - na primjer, izrezani su iz papira, dakle, u školi u razredu često posežu za ovom metodom objašnjenja ovaj koncept. Ali dva lika nacrtana na ravnini ne mogu se fizički preklopiti jedan na drugi. U ovom slučaju, dokaz jednakosti likova je dokaz jednakosti svih elemenata koji čine ove figure: duljina segmenata, veličina kutova, promjer i polumjer, ako govorimo o krug.

Ekvivalentne i jednako udaljene figure

S jednakim figurama ne treba brkati figure jednake veličine i jednako sastavljene - uz svu bliskost ovih pojmova.
Likovi jednake veličine su oni koji imaju jednaku površinu ako su likovi na ravnini, odnosno jednak volumen ako govorimo o trodimenzionalnim tijelima. Podudarnost svih elemenata koji čine ove brojke nije obavezna. Jednake figure uvijek će biti jednake veličine, ali se ne mogu sve figure jednake veličine nazvati jednakima.Koncept jednake kompozicije najčešće se primjenjuje na poligone. To implicira da se poligoni mogu podijeliti na isti broj odnosno jednakih oblika. Ekvivalentni poligoni su uvijek jednake površine.

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

Ciljevi lekcije: Ponovite temu "Površina paralelograma". Izvedite formulu za površinu trokuta, uvedite pojam likova jednakih veličina. Rješavanje zadataka na temu "Površine figura jednake veličine."

Tijekom nastave

I. Ponavljanje.

1) Usmeno prema gotovom crtežu Izvedite formulu za površinu paralelograma.

2) Kakav je odnos između stranica paralelograma i visina koje su pale na njih?

(prema gotovom crtežu)

odnos je obrnuto proporcionalan.

3) Pronađite drugu visinu (prema gotovom crtežu)

4) Nađite površinu paralelograma prema gotovom crtežu.

Odluka:

5) Usporedi površine paralelograma S1, S2, S3. (Oni imaju jednake površine, svi imaju bazu a i visinu h).

Definicija: Slike koje imaju jednake površine nazivaju se jednakim.

II. Rješavanje problema.

1) Dokaži da svaki pravac koji prolazi točkom presjeka dijagonala dijeli ga na 2 jednaka dijela.

Odluka:

2) NA paralelogram ABCD CF i CE visine. Dokažite da je AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Zadan je trapez s bazama a i 4a. Je li moguće kroz jedan od njegovih vrhova povući ravne linije koje trapez dijele na 5 trokuta jednake površine?

Odluka: Limenka. Svi su trokuti jednaki.

4) Dokažite da ako uzmemo točku A na strani paralelograma i spojimo je s vrhovima, tada je površina rezultirajućeg trokuta ABC jednaka polovici površine paralelograma.

Odluka:

5) Kolač ima oblik paralelograma. Kid i Carlson to dijele ovako: Kid pokazuje na točku na površini torte, a Carlson razreže tortu na 2 dijela duž ravne linije koja prolazi kroz ovu točku i uzima jedan od komada za sebe. Svatko želi veći komad. Gdje bi Kid trebao stati na kraj?

Odluka: Na mjestu presjeka dijagonala.

6) Na dijagonali pravokutnika odabrana je točka i kroz nju su povučene ravne linije, paralelne sa stranicama pravokutnika. Na suprotnim stranama formirana su 2 pravokutnika. Usporedite njihova područja.

Odluka:

III. Proučavanje teme "Površina trokuta"

počni sa zadatkom:

"Pronađi površinu trokuta čija je baza a, a visina h."

Dečki, koristeći koncept figura jednake veličine, dokazuju teorem.

Napravimo trokut na paralelogram.

Površina trokuta je polovina površine paralelograma.

Vježba: Nacrtajte jednake trokute.

Koristi se model (3 trokuta u boji se izrezuju iz papira i lijepe na podnožju).

Vježba broj 474. "Usporedi površine dvaju trokuta na koje je zadani trokut podijeljen njegovim medijanom."

Trokuti iste osnove a i iste visine h. Trokuti imaju istu površinu

Zaključak: Slike koje imaju jednake površine nazivaju se jednakim.

Pitanja za razred:

Jesu li jednake brojke?
Formulirajte suprotnu tvrdnju. To je istina?
To je istina:
a) Jesu li jednakostranični trokuti jednaki po površini?
b) Jednakostranični trokuti s jednakim stranicama su jednaki?
c) Kvadrati s jednakim stranicama su jednaki?
d) Dokažite da su paralelogrami nastali presjekom dviju traka iste širine pod različitim kutovima nagibi jedni prema drugima su jednaki. Nađite paralelogram najmanjeg područja nastalog presjekom dviju traka iste širine. (Prikaži na modelu: pruge jednake širine)

IV. Korak naprijed!

Napisano na ploči izborni zadaci:

1. "Izrežite trokut s dvije ravne linije tako da možete saviti dijelove u pravokutnik."

Odluka:

2. "Izrežite pravokutnik u ravnoj liniji na 2 dijela, od kojih možete napraviti pravokutni trokut."

Odluka:

3) U pravokutniku je nacrtana dijagonala. U jednom od dobivenih trokuta povučena je medijana. Pronađite omjere između površina likova .

Odluka:

Odgovor:

3. Iz olimpijskih zadataka:

“U četverokutu ABCD, točka E je središte AB, spojeno na vrh D, a F je središnja točka CD, na vrh B. Dokažite da je površina četverokuta EBFD 2 puta manje površinečetverokut ABCD.

Rješenje: nacrtajte dijagonalu BD.

Vježba broj 475.

“Nacrtaj trokut ABC. Kroz vrh B povucite 2 ravne linije tako da dijele ovaj trokut na 3 trokuta jednakih površina.

Upotrijebite Thalesov teorem (podijelite AC na 3 jednaka dijela).

V. Zadatak dana.

Za nju sam uzeo krajnji desni dio ploče na kojem ispisujem današnji zadatak. Djeca mogu odlučiti, ali i ne moraju. Taj problem danas nećemo rješavati na satu. Samo da oni koji ih zanimaju mogu to otpisati, riješiti kod kuće ili u pauzi. Obično, već na odmoru, mnogi dečki počnu rješavati problem, ako odluče, pokažu rješenje, a ja ga popravim u posebnoj tablici. U sljedećoj lekciji svakako ćemo se vratiti ovom problemu, posvetivši manji dio sata njegovom rješavanju (a na ploču se može napisati novi problem).

“Paralelogram je izrezan u paralelogram. Ostatak podijelite na 2 jednake figure.

Odluka: Sekansa AB prolazi točkom presjeka dijagonala paralelograma O i O1.

Dodatni problemi (iz olimpijskih zadataka):

1) “U trapezu ABCD (AD || BC), vrhovi A i B povezani su s točkom M, središtem stranice CD. Površina trokuta ABM je m. Nađite površinu trapeza ABCD.

Odluka:

Trokuti ABM i AMK su jednake figure, jer AM je medijan.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Odgovor: SABCD = 2m.

2) "U trapezu ABCD (AD || BC), dijagonale se sijeku u točki O. Dokažite da su trokuti AOB i COD jednake površine."

Odluka:

S ∆BCD = S ∆ABC , jer imaju zajedničku osnovu BC i istu visinu.

3) Stranica AB proizvoljnog trokuta ABC je proširena izvan vrha B tako da je BP = AB, stranica AC je proširena izvan vrha A tako da je AM = CA, stranica BC je proširena izvan vrha C tako da je KS = BC. Koliko je puta površina trokuta RMK više površine trokut ABC?

Odluka:

U trokutu MVS: MA = AC, pa je površina trokuta BAM jednaka površini trokuta ABC. U trokutu radna stanica: BP = AB, pa je površina trokuta BAM jednaka površini trokuta ABP. U trokutu ARS: AB = BP, pa je površina trokuta BAC jednaka površini trokuta BPC. U trokutu VRK: BC \u003d SC, dakle, površina trokuta VRS jednaka je površini trokuta RKS. U trokutu AVK: BC = SC, pa je površina trokuta BAC jednaka površini trokuta ASC. U trokutu MSC: MA = AC, pa je površina trokuta KAM jednaka površini trokuta ASC. Dobivamo 7 jednakih trokuta. Sredstva,

Odgovor: Površina trokuta MRK je 7 puta veća od površine trokuta ABC.

4) Vezani paralelogrami.

2 paralelograma nalaze se kako je prikazano na slici: imaju zajednički vrh i još jedan vrh za svaki od paralelograma leži na stranicama drugog paralelograma. Dokaži da su površine paralelograma jednake.

Odluka:

i , sredstva,

Popis korištene literature:

Udžbenik "Geometrija 7-9" (autori L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (Moskva, "Prosvjeta", 2003).
Olimpijski problemi različite godine, posebno iz studijski vodič"Najbolji zadaci matematičkih olimpijada" (sastavio A.A. Korznyakov, Perm, "Knizhny Mir", 1996.).
Izbor zadataka nagomilanih tijekom dugogodišnjeg rada.

Oblici koji se poklapaju kada se preklapaju nazivaju se JEDNAKI. Dva geometrijski likovi nazivaju se jednakim ako se mogu kombinirati kada se nadograđuju

9. Objasnite kako se uspoređuju dva odsječka pravca i kako se uspoređuju 2 kuta. Jedan segment postavljate na drugi tako da kraj prvog bude poravnat s krajem drugog, ako druga dva kraja nisu poravnata, onda segmenti nisu jednaki, ako su poravnati, onda su jednaki. Da biste usporedili 2 segmenta, trebate usporediti njihove duljine; da biste usporedili 2 kuta, trebate usporediti njihovu stupanjsku mjeru. Dva kuta se nazivaju jednakima ako se mogu kombinirati preklapanjem. Da bismo utvrdili jesu li dva neproširena kuta jednaka ili ne, potrebno je spojiti stranu jednog kuta sa stranom drugog tako da druge dvije strane budu na istoj strani spojenih stranica.Jedan ugao položite na drugi kut tako da im se vrhovi poklapaju na jednoj strani, a druga dva na istoj strani poravnatih stranica. Ako je druga strana jednog kuta poravnata s drugom stranom drugog kuta, onda su ti kutovi jednaki. (Postavite kutove tako da strana jedne bude poravnata sa stranom druge, a druge dvije na istoj strani poravnatih strana. Ako su druge dvije strane poravnate, onda su kutovi potpuno poravnati, što znači jednaki su.)

10. Koja se točka naziva središtem segmenta? Sredina segmenta je točka koja dijeli dati segment na dva jednaka dijela. Točka koja dijeli segment na pola naziva se središtem segmenta.

11. Simetrala(od latinskog bi- “dvostruko” i sectio “rezanje”) kut je zraka koja izlazi iz vrha kuta i prolazi kroz njegovu unutarnju regiju, koja sa svojim stranicama tvori dva jednaka kuta. Ili zraka koja izlazi iz vrha kuta i dijeli ga na dva jednaka kuta naziva se simetrala kuta.

12. Kako je mjerenje segmenata. Izmjeriti segment koji je razmjeran s jedinicom znači saznati koliko puta sadrži jedinicu ili neki djelić jedinice. Mjerenje udaljenosti provodi se uspoređivanjem s određenim segmentom uzetim kao cjelinom. Duljinu segmenta možete izmjeriti pomoću ravnala ili mjerne trake. Potrebno je preklopiti jedan segment na drugi, koji smo uzeli kao mjernu jedinicu, tako da im krajevi budu poravnati.

? 13. Kako su povezane duljine isječaka AB i CD ako su: a) odsječci AB i CD jednaki; b) je li segment AB manji od segmenta CD?

A) duljine isječaka AB i CD su jednake. B) duljina odsječka AB manja je od duljine odsječka CD.

14. Točka C dijeli segment AB na dva segmenta. Kako su povezane duljine odsječaka AB, AC i CB? Duljina odsječka AB jednaka je zbroju duljina isječaka AC i CB. Da biste pronašli duljinu segmenta AB, zbrojite duljine odsječaka AC i CB.

15. Što je diploma? Što pokazuje mjera stupnja kuta? Kutovi se mjere u različitim jedinicama. Može biti stupnjeva, radijana. Najčešće se kutovi mjere u stupnjevima. (Ovaj stupanj ne treba brkati s mjerom temperature, gdje se također koristi riječ "stupanj"). Mjerenje kutova temelji se na njihovoj usporedbi s kutom uzetim kao mjernom jedinicom. Obično se kao mjerna jedinica za kutove uzima stupanj - kut jednak 1/180 razvijenog kuta. Stupanj je jedinica ravnih kutova u geometriji. (Stupanj se uzima kao mjerna jedinica geometrijskih kutova - dio kuta.) .

Stupanj mjera kuta pokazuje koliko se puta stupanj i njegovi dijelovi - minuta i sekunda - uklapaju u zadani kut , odnosno mjera stupnja - vrijednost koja odražava broj stupnjeva, minuta i sekundi između stranica kuta.

16. Koji dio stupnja se zove minuta, a koji dio sekunda? 1/60 stupnja naziva se minuta, a 1/60 minute se naziva sekundom. Minute su označene znakom "′", a sekunde - znakom "″"

? 17. Kako su povezane stupnjeve mjere dvaju kutova ako su: a) ti kutovi jednaki; b) jedan kut je manji od drugog? a) stupanjska mjera kutova je ista. b) Mjera stupnja jednog kuta manja je od stupnja drugog kuta.

18. Zraka OC dijeli kut AOB na dva kuta. Kako su povezane mjere stupnja kutova AOB, AOC i COB? Kada zraka podijeli kut na dva kuta, stupanj mjera cijelog kuta jednak je zbroju mjera stupnjeva tih kutova. Stupanj mjera kuta AOB jednak je zbroju mjera stupnjeva njegovih dijelova AOC i COB.