Formule za pronalaženje površine paralelograma abcd. Područje paralelograma

Zadatak 4.

Jedna od dijagonala paralelograma duljine 4√6 čini s bazom kut od 60°, a druga dijagonala s istom bazom kut od 45°. Pronađite drugu dijagonalu.

Odluka.

1. AO = 2√6.

2. Primijenite teorem sinusa na trokut AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odgovor: 12.

Zadatak 5.

Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji kut između dijagonala jednak je manjem kutu paralelograma. Pronađite zbroj duljina dijagonala.

Odluka.

Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a kut između dijagonala i manjeg kuta paralelograma φ.

1. Izbrojimo dva različita
načini svog područja.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Dobivamo jednakost 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ili

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Koristeći omjer između stranica i dijagonala paralelograma, zapisujemo jednakost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Napravimo sustav:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Pomnožite drugu jednadžbu sustava s 2 i dodajte je prvoj.

Dobivamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Stoga je Id 1 + d 2 I = 24.

Budući da su d 1, d 2 duljine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24.

Odgovor: 24.

Zadatak 6.

Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštar kut između dijagonala je 45 o. Nađi površinu paralelograma.

Odluka.

1. Iz trokuta AOB, koristeći kosinusni teorem, zapisujemo odnos stranice paralelograma i dijagonala.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Slično zapisujemo relaciju za trokut AOD.

To uzimamo u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dobivamo jednadžbu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Imamo sustav
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Oduzimanjem prve od druge jednadžbe, dobivamo 2d 1 d 2 √2 = 80 ili

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Bilješka: U ovom i prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sustav u potpunosti, s obzirom da nam je u ovom zadatku potreban umnožak dijagonala za izračunavanje površine.

Odgovor: 10.

Zadatak 7.

Površina paralelograma je 96, a njegove stranice su 8 i 15. Pronađite kvadrat manje dijagonale.

Odluka.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Napravimo zamjenu u formuli.

Dobivamo 96 = 8 15 sin VAD. Stoga je sin VAD = 4/5.

2. Pronađite cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 LOŠE = 1. cos 2 LOŠE = 9/25.

Prema uvjetu zadatka nalazimo duljinu manje dijagonale. Dijagonala BD bit će manja ako je kut BAD oštar. Tada je cos BAD = 3/5.

3. Iz trokuta ABD, koristeći kosinusni teorem, nalazimo kvadrat dijagonale BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

VD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Odgovor: 145.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti problem geometrije?
Za pomoć učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Kao što su u euklidskoj geometriji točka i pravac glavni elementi teorije ravnina, tako je i paralelogram jedna od ključnih figura konveksnih četverokuta. Iz njega, poput niti iz lopte, teku koncepti "pravokutnik", "kvadrat", "romb" i druge geometrijske veličine.

U kontaktu s

Definicija paralelograma

konveksni četverokut, koji se sastoji od segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram je četverokut ABCD. Stranice se zovu baze (AB, BC, CD i AD), okomica povučena iz bilo kojeg vrha na suprotnu stranu ovog vrha naziva se visina (BE i BF), pravci AC i BD su dijagonale.

Pažnja! Kvadrat, romb i pravokutnik posebni su slučajevi paralelograma.

Stranice i kutovi: značajke omjera

Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određen samom oznakom, oni su dokazani teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:

1. Strane koje su suprotne su identične u paru.
2. Kutovi koji su suprotni jedan drugome jednaki su u paru.

Dokaz: razmotrite ∆ABC i ∆ADC, koji se dobivaju dijeljenjem četverokuta ABCD s pravcem AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, budući da im je AC zajednički (okomiti kutovi za BC||AD i AB||CD, redom). Iz ovoga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi kriterij jednakosti trokuta).

Segmenti AB i BC u ∆ABC odgovaraju u parovima linijama CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Budući da su ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su također identični u parovima, tada je ∠A = ∠C. Imovina je dokazana.

Karakteristike dijagonala figure

Glavna značajka ove paralelogramske linije: točka presjeka ih prepolovi.

Dokaz: neka je m. E sjecište dijagonala AC i BD lika ABCD. Tvore dva razmjerna trokuta - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD budući da su suprotne. Prema linijama i sekantima, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Prema drugom znaku jednakosti, ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i, štoviše, oni su razmjerni dijelovi AC i BD. Imovina je dokazana.

Značajke susjednih uglova

Na susjednim stranicama zbroj kutova je 180°, budući da leže na istoj strani paralelnih pravaca i sekante. Za četverokut ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Svojstva simetrale:

1. , spušteni na jednu stranu, okomiti su;
2. suprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
3. trokut dobiven povlačenjem simetrale bit će jednakokračan.

Određivanje karakterističnih obilježja paralelograma teoremom

Značajke ove slike proizlaze iz njenog glavnog teorema, koji glasi kako slijedi: četverokut se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ova točka ih dijeli na jednake segmente.

Dokaz: Neka se pravci AC i BD četverokuta ABCD sijeku u t. E. Budući da je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (prema prvom znaku jednakosti trokuta). To jest, ∠EAD = ∠ECB. Oni su također unutarnji kutovi križanja sekante AC za linije AD i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || PRIJE KRISTA. Također se izvodi slično svojstvo pravaca BC i CD. Teorem je dokazan.

Izračunavanje površine figure

Područje ove figure nalazi na nekoliko načina jedan od najjednostavnijih: množenje visine i baze na koju je nacrtana.

Dokaz: Nacrtajte okomice BE i CF iz vrhova B i C. ∆ABE i ∆DCF su jednaki jer su AB = CD i BE = CF. ABCD je jednak pravokutniku EBCF, jer se i oni sastoje od proporcionalnih likova: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz toga slijedi da je površina ove geometrijske figure ista kao i pravokutnika:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Da bismo odredili opću formulu za površinu paralelograma, označavamo visinu kao hb, i stranu b. Odnosno:

Drugi načini za pronalaženje područja

Proračuni površine kroz stranice paralelograma i kuta, koji oni formiraju, je druga poznata metoda.

,

Spr-ma - područje;

a i b su njegove stranice

α - kut između segmenata a i b.

Ova metoda se praktički temelji na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek odsijeca pravokutni trokut čiji se parametri nalaze trigonometrijskim identitetima, tj. Transformirajući omjer, dobivamo . U jednadžbi prve metode zamjenjujemo visinu ovim umnoškom i dobivamo dokaz valjanosti ove formule.

Kroz dijagonale paralelograma i kuta, koje stvaraju kada se sijeku, također možete pronaći područje.

Dokaz: AC i BD sijeku tvore četiri trokuta: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbroj jednak je površini ovog četverokuta.

Površina svakog od ovih ∆ može se naći iz izraza , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Budući da , tada se u izračunima koristi jedna vrijednost sinusa. tj. Budući da AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2, formula se površine svodi na:

.

Primjena u vektorskoj algebri

Značajke sastavnih dijelova ovog četverokuta našle su primjenu u vektorskoj algebri, i to: zbrajanje dvaju vektora. Pravilo paralelograma to kaže ako su dati vektoriinesu kolinearni, tada će njihov zbroj biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.

Dokaz: s proizvoljno odabranog početka – tj. - gradimo vektore i . Zatim gradimo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili zbroju.

Formule za izračun parametara paralelograma

Identiteti se daju pod sljedećim uvjetima:

1. a i b, α - stranice i kut između njih;
2. d 1 i d 2 , γ - dijagonale i u točki njihovog sjecišta;
3. h a i h b - visine spuštene na stranice a i b;

Parametar	Formula
Pronalaženje strana
duž dijagonala i kosinusa kuta između njih
dijagonalno i bočno
kroz visinu i suprotni vrh
Pronalaženje duljine dijagonala
na stranama i veličini vrha između njih

Geometrijsko područje- numerička karakteristika geometrijskog lika koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine omeđen zatvorenom konturom ove figure). Veličina područja izražava se brojem kvadratnih jedinica koje se u njemu nalaze.

Formule površine trokuta

1. Formula površine trokuta za stranu i visinu
   Površina trokuta jednak polovici umnoška duljine stranice trokuta i duljine visine povučene na ovu stranicu
   
2. Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom opisane kružnice
   
3. Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom upisane kružnice
   Površina trokuta jednak je umnošku poluperimetra trokuta i polumjera upisane kružnice.
   
gdje je S površina trokuta,
- duljine stranica trokuta,
- visina trokuta,
- kut između stranica i,
- polumjer upisane kružnice,
R - polumjer opisane kružnice,

Formule kvadratnog područja

1. Formula za površinu kvadrata s obzirom na duljinu stranice
   kvadratna površina jednak je kvadratu duljine njegove stranice.
2. Formula za površinu kvadrata s obzirom na duljinu dijagonale
   kvadratna površina jednak polovici kvadrata duljine njegove dijagonale.
   

   S=	1	2
   	2

gdje je S površina kvadrata,
je duljina stranice kvadrata,
je duljina dijagonale kvadrata.

Formula površine pravokutnika

Područje pravokutnika jednak je umnošku duljina njegovih dviju susjednih stranica

gdje je S površina pravokutnika,
su duljine stranica pravokutnika.

Formule za površinu paralelograma

1. Formula površine paralelograma za duljinu i visinu stranice
   Područje paralelograma
2. Formula za površinu paralelograma s dvjema stranicama i kutom između njih
   Područje paralelograma jednak je umnošku duljina njegovih stranica pomnoženog sa sinusom kuta između njih.
   

   a b sinα

gdje je S površina paralelograma,
su duljine stranica paralelograma,
je visina paralelograma,
je kut između stranica paralelograma.

Formule za područje romba

1. Formula površine romba zadana duljina i visina stranice
   Područje romba jednak je umnošku duljine njegove stranice i duljine visine spuštene na ovu stranu.
2. Formula za površinu romba s obzirom na duljinu stranice i kut
   Područje romba jednak je umnošku kvadrata duljine njegove stranice i sinusa kuta između stranica romba.
3. Formula za površinu romba iz duljina njegovih dijagonala
   Područje romba jednak je polovici umnoška duljina njegovih dijagonala.
gdje je S površina romba,
- duljina stranice romba,
- duljina visine romba,
- kut između stranica romba,
1, 2 - duljine dijagonala.

Formule površine trapeza

1. Heronova formula za trapez

   gdje je S površina trapeza,
   - duljina baza trapeza,
   - duljina stranica trapeza,
   

Paralelogram je četverokutni lik čije su suprotne strane parno paralelne i parno jednake. Njegovi suprotni kutovi su također jednaki, a presjek dijagonala paralelograma ih dijeli na pola, a istovremeno je središte simetrije lika. Posebni slučajevi paralelograma su takvi geometrijski oblici kao što su kvadrat, pravokutnik i romb. Područje paralelograma može se pronaći na različite načine, ovisno o tome s kojim je početnim podatkom iskaz problema popraćen.

1. U najjednostavnijem slučaju, površina paralelograma definira se kao umnožak njegove baze i visine.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   gdje je S površina paralelograma;
   a - baza;
   h je visina povučena do zadane baze.

   Ovu formulu je vrlo lako razumjeti i zapamtiti ako pogledate sljedeću sliku.

   

   Kao što možete vidjeti na ovoj slici, ako odsiječemo zamišljeni trokut lijevo od paralelograma i pričvrstimo ga s desne strane, tada ćemo kao rezultat dobiti pravokutnik. I kao što znate, površina pravokutnika se nalazi množenjem njegove duljine s visinom. Samo u slučaju paralelograma duljina će biti baza, a visina pravokutnika visina paralelograma spuštenog na ovu stranu.

2. Područje paralelograma također se može pronaći množenjem duljina dviju susjednih baza i sinusa kuta između njih:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   gdje su AD, AB susjedne baze koje tvore točku presjeka i kut a između sebe;
   α je kut između baza AD i AB.

   

3. Također, područje paralelograma može se naći dijeljenjem na pola umnožaka duljina dijagonala paralelograma sa sinusom kuta između njih.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   gdje su AC, BD dijagonale paralelograma;
   β je kut između dijagonala.

   

4. Postoji i formula za pronalaženje površine paralelograma u smislu polumjera kružnice upisane u njega. Napisano je kako slijedi:

Videotečaj "Osvoji A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje ispita iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite položiti ispit s 90-100 bodova, 1. dio trebate riješiti za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka je tema data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.