Dijagram sinusa i kosinusa. Svojstva tangentoida i kotangenoida

Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u danima stare Grčke. Tijekom srednjeg vijeka znanstvenici s Bliskog istoka i Indije dali su važan doprinos razvoju ove znanosti.

Ovaj je članak posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja se o definicijama glavnog trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangent i kotangens. Objašnjeno je i ilustrirano njihovo značenje u kontekstu geometrije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument kut, izražene kroz omjer stranica pravokutnog trokuta.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus kuta (sin α) je omjer katete nasuprot ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus kuta (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent kuta (t g α) je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens kuta (c t g α) je omjer susjednog kraka prema suprotnom.

Ove definicije dane su za oštar kut pravokutnog trokuta!

Dajemo ilustraciju.

U trokutu ABC s pravim kutom C, sinus kuta A jednak je omjeru kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju izračunavanje vrijednosti ovih funkcija iz poznatih duljina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus imaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijela brojevna prava, tj. funkcije mogu imati bilo koju vrijednost.

Gore navedene definicije odnose se na oštre kutove. U trigonometriji se uvodi pojam kuta rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog kuta, nije ograničena okvirima od 0 do 90 stupnjeva.. Kut rotacije u stupnjevima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.

U tom kontekstu, može se definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu kartezijanskog koordinatnog sustava.

Početna točka A s koordinatama (1 , 0) rotira oko središta jedinične kružnice za neki kut α i ide u točku A 1 . Definicija je dana kroz koordinate točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) kuta rotacije

Sinus kuta rotacije α je ordinata točke A 1 (x, y). sinα = y

Kosinus (cos) kuta rotacije

Kosinus kuta rotacije α je apscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) kuta rotacije

Tangenta kuta rotacije α je omjer ordinate točke A 1 (x, y) i njezine apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) kuta rotacije

Kotangens kuta rotacije α je omjer apscise točke A 1 (x, y) i njezine ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Drugačija je situacija s tangentom i kotangensom. Tangenta nije definirana kada točka nakon rotacije ide u točku s nultom apscisom (0 , 1) i (0 , - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži dijeljenje s nulom. Slična je situacija i s kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definiran u slučajevima kada ordinata točke nestaje.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus definirani su za sve kutove α.

Tangenta je definirana za sve kutove osim α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve kutove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom odlučivanja praktični primjeri nemojte reći "sinus kuta rotacije α". Riječi "kut rotacije" jednostavno su izostavljene, što implicira da je iz konteksta već jasno o čemu je riječ.

Brojevi

Što je s definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne kuta rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t naziva se broj koji je, redom, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radijan.

Na primjer, sinus od 10 π jednaka sinusu kut rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Razmotrimo ga detaljnije.

bilo tko pravi broj t točka na jediničnoj kružnici stavlja se u korespondenciju sa središtem u ishodištu pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava. Sinus, kosinus, tangent i kotangens definirani su u smislu koordinata ove točke.

Početna točka na kružnici je točka A s koordinatama (1 , 0).

pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara točki do koje će se početna točka pomaknuti ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko kružnice i prođe put t .

Sada kada je veza između broja i točke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (sin) broja t

Sinus broja t- ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent broja t- omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Potonje definicije su u skladu s definicijom danom na početku ovog odjeljka i ne proturječe. Točka na kružnici koja odgovara broju t, podudara se s točkom do koje prolazi početna točka nakon okretanja kroz kut t radijan.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svakoj vrijednosti kuta α odgovara određenu vrijednost sinus i kosinus ovog kuta. Kao i svi kutovi α osim α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odgovara određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore spomenuto, definiran je za sve α, osim za α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α , cos α , t g α , c t g α funkcije kuta alfa ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, može se govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k , k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je slično definiran za sve brojeve osim π · k , k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (kutnim argumentom ili numeričkim argumentom) imamo posla.

Vratimo se podacima na samom početku definicija i kutu alfa koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u potpunosti su u skladu s geometrijskim definicijama danim omjerima stranica pravokutnog trokuta. Pokažimo to.

Uzmite jediničnu kružnicu sa središtem na pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu. Zarotirajmo početnu točku A (1, 0) za kut do 90 stupnjeva i povucimo iz rezultirajuće točke A 1 (x, y) okomito na os x. U rezultirajućem pravokutnom trokutu kut A 1 O H jednak je kutu rotacije α, duljina kraka O H jednaka je apscisi točke A 1 (x, y) . Duljina kateta nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 (x, y), a duljina hipotenuze jednaka je jedan, budući da je to polumjer jedinične kružnice.

U skladu s definicijom iz geometrije, sinus kuta α jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znači da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.

Slično se može prikazati kosinus, tangens i kotangens, podudarnost definicija.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Gdje su razmatrani zadaci za rješavanje pravokutnog trokuta, obećao sam predstaviti tehniku za pamćenje definicija sinusa i kosinusa. Koristeći ga, uvijek ćete se brzo sjetiti koji krak pripada hipotenuzi (susednoj ili suprotnoj). Odlučio sam to ne odlagati na neodređeno vrijeme, potrebnog materijala ispod, pogledajte

Činjenica je da sam više puta primijetio kako učenici od 10. do 11. razreda teško pamte ove definicije. Dobro se sjećaju da se kateta odnosi na hipotenuzu, ali koju- zaboravi i zbunjeni. Cijena pogreške, kao što znate na ispitu, je izgubljen rezultat.

Informacija koju ću iznijeti izravno matematici nema nikakve veze. Povezuje se s figurativnim mišljenjem, te s metodama verbalno-logičkog povezivanja. Tako je, i sama sam se jednom zauvijek sjetilapodaci o definiciji. Ako ih još uvijek zaboravite, onda je uz pomoć predstavljenih tehnika uvijek lako zapamtiti.

Dopustite mi da vas podsjetim na definicije sinusa i kosinusa u pravokutnom trokutu:

Kosinus Oštar kut u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Sinus Oštar kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Dakle, koje asocijacije kod vas izaziva riječ kosinus?

Vjerojatno svatko ima svojeZapamtite link:

Tako ćete odmah imati izraz u sjećanju -

«… omjer SJEDNOG kraka prema hipotenuzi».

Problem s definicijom kosinusa je riješen.

Ako trebate zapamtiti definiciju sinusa u pravokutnom trokutu, a zatim zapamtite definiciju kosinusa, možete lako ustanoviti da je sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge i hipotenuze. Uostalom, postoje samo dvije noge, ako je susjedna noga "zauzeta" kosinusom, tada za sinus ostaje samo suprotna strana.

Što je s tangentom i kotangensom? Ista zbrka. Učenici znaju da je to omjer nogu, ali problem je zapamtiti koji se na koji odnosi - ili suprotno od susjednih, ili obrnuto.

definicije:

Tangens Oštar kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne noge i susjedne:

Kotangens Oštar kut u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i suprotnog:

Kako zapamtiti? Postoje dva načina. Jedan također koristi verbalno-logičku vezu, drugi - matematičku.

MATEMATIČKA METODA

Postoji takva definicija - tangent oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

* Sjećajući se formule, uvijek možete odrediti da je tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge i susjedne.

Također.Kotangens oštrog kuta je omjer kosinusa kuta i njegovog sinusa:

Tako! Sjećajući se ovih formula, uvijek možete odrediti da:

- tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i susjedne

- kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i suprotnog.

VERBALNO-LOGIČKA METODA

O tangenti. Zapamtite link:

Odnosno, ako trebate zapamtiti definiciju tangente, koristeći ovu logičku vezu, lako se možete sjetiti što je to

"... omjer suprotne noge i susjedne"

Ako je riječ o kotangensu, sjetivši se definicije tangente, lako možete izraziti definiciju kotangensa -

"... omjer susjedne noge i suprotne noge"

Na mjestu postoji zanimljiva tehnika za pamćenje tangente i kotangensa " Matematički tandem " , pogledaj.

METODA UNIVERZALNA

Možete samo samljeti.No, kako praksa pokazuje, zahvaljujući verbalno-logičkim vezama, osoba dugo pamti informacije, i to ne samo matematičke.

Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom Istoku. Prve trigonometrijske omjere razvili su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentirali se prema zvijezdama. Ti se proračuni odnose na sfernu trigonometriju, dok se u školskom kolegiju proučava omjer stranica i kuta ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom između stranica i kutova trokuta.

Za vrijeme procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću naše ere, znanje se proširilo od antičkog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije su zasluge muževa arapski kalifat. Konkretno, turkmenski znanstvenik al-Marazvi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Koncept sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Puno pažnje posvećeno je trigonometriji u djelima velikih antičkih likova poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.

Osnovne količine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangenta i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangent i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija formulacija: "Pitagorejske hlače, jednake u svim smjerovima", budući da je dokaz dan na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a predstavimo kao umnožak sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, tada ćemo dobiti sljedeće formule za tangentu i kotangens:

trigonometrijski krug

Grafički se omjer navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug je, u ovom slučaju, sve moguće vrijednosti kut α — od 0° do 360°. Kao što se vidi iz slike, svaka funkcija uzima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α bit će sa znakom "+" ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0 ° do 180 °. Kod α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje veličina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova vrijednost je uvedena kako bi se uspostavio univerzalni odnos; pri izračunavanju u radijanima stvarna duljina polumjera u cm nije bitna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju radijanskim vrijednostima:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π puni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Za razmatranje i usporedbu osnovnih svojstava sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje smještene u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Smatrati usporedna tablica svojstva za sinusoidni i kosinusni val:

sinusoida	kosinusni val
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; jedan]	ODZ [-1; jedan]
sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 1, za x = 2πk, gdje je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, tj. neparna funkcija	cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna
	funkcija je periodična, najmanji period je 2π
sin x › 0, pri čemu x pripada četvrtima I i II ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemu x pripada četvrtima I i IV ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtima III i IV ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtima II i III ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
raste na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
opada na intervalima [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	smanjuje se u intervalima
derivacija (sin x)' = cos x	derivacija (cos x)’ = - sin x

Odrediti je li funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na os OX. Ako su predznaci isti, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.

Uvođenje radijana i nabrajanje glavnih svojstava sinusoidnog i kosinusnog vala omogućuju nam da donesemo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti gledanjem u tablice ili praćenjem krivulja funkcija za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangenoida

Grafovi tangentne i kotangensne funkcije značajno se razlikuju od sinusoidnog i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna drugoj.

Y = tgx.
Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
Tg x = 0, za x = πk.
Funkcija se povećava.
Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivat (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Razmotrite grafički prikaz kotangenoida u nastavku teksta.

Glavna svojstva kotangentoida:

Y = ctgx.
Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne doseže.
Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
Funkcija se smanjuje.
Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Popravi

Dani su omjeri između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to također objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju snižavanje stupnja, četvrte - izražavanje svih funkcija kroz tangentu pola kuta, itd.

U ovom članku navodimo redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja, grupirat ćemo ih prema namjeni i unijeti u tablice.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Glavni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Omogućuju vam da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju kroz bilo koju drugu.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.

Izlivene formule

Izlivene formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, a također i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam da prijeđete s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nule do 90 stupnjeva.

Opravdanje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučiti u članku.

Formule zbrajanja

Trigonometrijske formule zbrajanja pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju kroz trigonometrijske funkcije tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za dvostruko, trostruko itd. kutu

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (oni se također nazivaju i formule višestrukih kutova) pokazuju kako su trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke itd. kutovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.

Detaljnije informacije prikupljene su u formulama članka za dvostruko, trostruko itd. kut .

Formule pola kuta

Formule pola kuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju kroz kosinus cjelobrojnog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog kuta.

Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se pronaći u članku.

Formule redukcije

Trigonometrijske formule za opadajuće stupnjeve dizajnirani su da olakšaju prijelaz s prirodnih snaga trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse prvog stupnja, ali više kutova. Drugim riječima, dopuštaju da se snage trigonometrijskih funkcija svedu na prvu.

Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija

Glavna svrha formule zbroja i razlike za trigonometrijske funkcije sastoji se u prijelazu na umnožak funkcija, što je vrlo korisno kod pojednostavljivanja trigonometrijskih izraza. Ove formule također se široko koriste u rješavanju trigonometrijske jednadžbe, budući da omogućuju faktoriranje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.

Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinus po kosinus

Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se kroz formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.

Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 ćelija. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava pametnih studenata

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.web stranice, uključujući unutarnji materijali i vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.

1. Trigonometrijske funkcije su elementarne funkcije čiji je argument injekcija. Trigonometrijske funkcije opisuju odnose između stranica i oštrih kutova u pravokutnom trokutu. Područja primjene trigonometrijskih funkcija iznimno su raznolika. Tako se, na primjer, svaki periodični proces može predstaviti kao zbroj trigonometrijskih funkcija (Fourierov red). Te se funkcije često pojavljuju pri rješavanju diferencijalnih i funkcionalnih jednadžbi.

2. Trigonometrijske funkcije uključuju sljedećih 6 funkcija: sinus, kosinus, tangens,kotangens, sekanti i kosekant. Za svaku od ovih funkcija postoji inverzna trigonometrijska funkcija.

3. Geometrijska definicija trigonometrijske funkcije zgodno se uvode pomoću jedinični krug. Na slici ispod prikazana je kružnica polumjera r=1. Točka M(x,y) označena je na kružnici. Kut između radijus vektora OM i pozitivnog smjera osi Ox je α.

4. sinus kut α je omjer ordinate y točke M(x,y) i polumjera r:
sinα=y/r.
Kako je r=1, onda je sinus jednak ordinati točke M(x,y).

5. kosinus kut α je omjer apscise x točke M(x,y) i polumjera r:
cosα=x/r

6. tangens kut α je omjer ordinate y točke M(x,y) i njezine apscise x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens kut α je omjer apscise x točke M(x,y) i njene ordinate y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sekanta kut α je omjer polumjera r i apscise x točke M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekant kut α je omjer polumjera r i ordinate y točke M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. U jediničnoj kružnici projekcije x, y točke M(x,y) i polumjer r tvore pravokutni trokut u kojem su x,y katete, a r hipotenuza. Stoga se gornje definicije trigonometrijskih funkcija primjenjuju na pravokutni trokut su formulirani na ovaj način:
sinus kut α je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.
kosinus kut α je omjer susjednog kraka i hipotenuze.
tangens kut α naziva se suprotan krak od susjednog.
Kotangens kut α naziva se susjedni krak nasuprot.
Sekanta kut α je omjer hipotenuze i susjednog kraka.
Kosekant kut α je omjer hipotenuze i suprotnog kraka.

11. graf sinusne funkcije
y=sinx, domena: x∈R, domena: −1≤sinx≤1

12. Graf kosinusne funkcije
y=cosx, domena: x∈R, raspon: −1≤cosx≤1

13. graf tangentne funkcije
y=tanx, domena: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domena: −∞