Prva razina

opisani krug. Vizualni vodič (2019.)

Prvo pitanje koje se može postaviti je: opisano - oko čega?

Pa, zapravo, ponekad se to događa oko bilo čega, a mi ćemo govoriti o krugu opisanom oko (ponekad kažu "o") trokuta. Što je?

A sada, zamislite, događa se nevjerojatna činjenica:

Zašto je ova činjenica nevjerojatna?

Ali trokuti su različiti!

I za svakoga postoji krug koji će proći kroz sva tri vrha, odnosno opisana kružnica.

Dokaz ove nevjerojatne činjenice može se pronaći u sljedećim razinama teorije, ali ovdje samo napominjemo da ako uzmemo, na primjer, četverokut, onda uopće ne postoji kružnica koja prolazi kroz četiri vrha. Ovdje je, recimo, paralelogram izvrstan četverokut, ali kružnica koja prolazi kroz sva njegova četiri vrha nije!

A postoji samo za pravokutnik:

Dobro, a svaki trokut uvijek ima svoju opisanu kružnicu! I čak je uvijek vrlo lako pronaći središte ovog kruga.

Znate li što je srednje okomito?

Pogledajmo sada što će se dogoditi ako uzmemo u obzir čak tri okomite simetrale na stranice trokuta.

Ispada (a to je upravo ono što treba dokazati, iako nećemo) da Sve tri okomice sijeku se u jednoj točki. Pogledajte sliku - sve tri srednje okomice sijeku se u jednoj točki.

Mislite li da središte opisane kružnice uvijek leži unutar trokuta? Zamislite - ne uvijek!

Ali ako pod oštrim kutom, zatim - iznutra:

Što učiniti s pravokutnim trokutom?

I uz dodatni bonus:

Budući da govorimo o polumjeru opisane kružnice: čemu je on jednak za proizvoljni trokut? I na ovo pitanje postoji odgovor: tzv.

Naime:

I naravno,

1. Postojanje i središte opisane kružnice

Ovdje se postavlja pitanje: postoji li takav krug za bilo koji trokut? Ispostavilo se da da, za sve. Štoviše, sada ćemo formulirati teorem koji također odgovara na pitanje, gdje je središte opisane kružnice.

Pogledaj, ovako:

Skupimo hrabrost i dokažimo ovaj teorem. Ako ste već pročitali temu "", shvatili zašto se tri simetrale sijeku u jednoj točki, bit će vam lakše, ali ako je niste pročitali, ne brinite: sada ćemo sve shvatiti van.

Dokaz ćemo provesti koristeći koncept lokusa točaka (LPT).

Pa, na primjer, je li skup loptica "geometrijsko mjesto" okruglih predmeta? Ne, naravno, jer postoje okrugle ... lubenice. Ali je li skup ljudi, "geometrijsko mjesto", sposoban govoriti? Ni jedno ni drugo, jer postoje bebe koje ne mogu govoriti. U životu je općenito teško pronaći primjer pravog “geometrijskog mjesta točaka”. Geometrija je lakša. Evo, na primjer, upravo ono što nam treba:

Ovdje je skup srednja okomica, a svojstvo "" je "da bude jednako udaljen (točka) od krajeva segmenta."

Provjerimo? Dakle, morate biti sigurni u dvije stvari:

1. Svaka točka koja je jednako udaljena od krajeva segmenta nalazi se na okomitoj simetrali na nju.

Povežite sa i sa. Tada je linija medijan i visina. Dakle, - jednakokračna, - pobrinuli smo se da je bilo koja točka koja leži na okomitoj simetrali jednako udaljena od točaka i.

Uzmite - sredinu i spojite i. Dobio medijan. Ali - jednakokračan po uvjetu, ne samo medijan, nego i visina, odnosno srednja okomica. To znači da točka točno leži na okomitoj simetrali.

Sve! U potpunosti smo potvrdili činjenicu da simetrala okomita na segment je mjesto točaka jednako udaljenih od krajeva segmenta.

Sve je to dobro, ali jesmo li zaboravili na opisani krug? Nimalo, samo smo si pripremili "mostobran za napad".

Razmislite o trokutu. Nacrtajmo dvije srednje okomice i, recimo, na segmente i. Oni će se u nekom trenutku presijecati, koje ćemo nazvati.

A sada, pažnja!

Točka leži na okomitoj simetrali;
točka leži na okomitoj simetrali.
A to znači i.

Iz ovoga slijedi nekoliko stvari:

Prvo, točka mora ležati na trećoj okomitoj simetrali, na segment.

To jest, simetrala okomice također mora prolaziti kroz točku, a sve tri okomite simetrale sijeku se u jednoj točki.

Drugo: ako nacrtamo kružnicu sa središtem u točki i polumjerom, tada će i ova kružnica proći kroz točku i kroz točku, odnosno bit će opisana kružnica. To znači da već postoji da je presjek tri okomite simetrale središte opisane kružnice za bilo koji trokut.

I posljednja stvar: o jedinstvenosti. Jasno je (gotovo) da se točka može dobiti na jedinstven način, pa je stoga i kružnica jedinstvena. Pa, "skoro" - to ćemo prepustiti vama. Ovdje smo dokazali teorem. Možete vikati "Ura!".

A ako je problem pitanje "naći polumjer opisane kružnice"? Ili obrnuto, radijus je zadan, ali želite pronaći nešto drugo? Postoji li formula koja povezuje polumjer opisane kružnice s ostalim elementima trokuta?

Imajte na umu da sinusni teorem to kaže da biste pronašli polumjer opisane kružnice, potrebna vam je jedna strana (bilo koja!) i kut nasuprot njoj. I to je to!

3. Središte kruga - unutar ili izvana

A sada je pitanje: može li središte opisane kružnice ležati izvan trokuta.
Odgovor: koliko god je to moguće. Štoviše, to je uvijek slučaj u tupokutu.

I općenito govoreći:

KRUG. UKRATKO O GLAVNOM

1. Krug opisan oko trokuta

Ovo je kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha ovog trokuta.

2. Postojanje i središte opisane kružnice

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen ispit, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (ne nužno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste došli do ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 499 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Vidi se da svaka strana trokut, okomica povučena iz njegove sredine i segmenti koji spajaju točku presjeka okomica s vrhovima tvore dva jednaka pravokutna trokut. Segmenti MA, MB, MS su jednaki.

Dat vam je trokut. Pronađite sredinu svake strane - uzmite ravnalo i izmjerite njegove stranice. Podijelite dobivene dimenzije na pola. Odvojite od vrhova na svaku polovicu svoje veličine. Označite rezultate točkama.

Od svake točke položite okomitu stranu. Točka presjeka ovih okomica bit će središte opisane kružnice. Za pronalaženje središta kružnice dovoljne su dvije okomice. Treći je napravljen za samotestiranje.

Obratite pažnju - u trokutu gdje su svi kutovi oštri, sjecišta unutra trokut. U pravokutnom trokutu, leži na hipotenuzi. B je izvan njega. Štoviše, okomita na stranu nasuprot tupom kutu nije u središtu trokut, ali vani.

Bilješka

Postoji sinusni teorem koji utvrđuje odnos između stranica trokuta, njegovih kutova i polumjera opisane kružnice. Ova ovisnost se izražava formulom: a/sina = b/sinb = s/sinc = 2R, gdje su a, b, c stranice trokuta; sina, sinb, sinc su sinusi kutova nasuprot ovim stranicama; R je polumjer kružnice koja se može opisati oko trokuta.

Izvori:

• kako opisati opseg četverokuta

Prema definiciji, opisano krug mora proći kroz sve kutne vrhove zadanog poligona. Uopće nije važno kakav je poligon - trokut, kvadrat, pravokutnik, trapez ili nešto treće. Također nije važno radi li se o pravilnom ili nepravilnom poligonu. Potrebno je samo uzeti u obzir da postoje poligoni oko kojih krug ne može se opisati. uvijek se može opisati krug oko trokuta. Što se tiče četverokuta, krug može se opisati oko kvadrata ili pravokutnika ili jednakokračnog trapeza.

Trebat će vam

• Zadani poligon
• Vladar
• kvadrat
• Olovka
• Kompas
• Kutomjer
• Tablice sinusa i kosinusa
• Matematički pojmovi i formule
• Pitagorin poučak
• Teorem sinusa
• Kosinusni teorem
• Znakovi sličnosti trokuta

Uputa

Konstruirajte poligon sa zadanim parametrima i da li ga je moguće opisati krug. Ako vam je zadan četverokut, izračunajte zbroj njegovih suprotnih kutova. Svaki od njih trebao bi biti jednak 180 °.

Opisati krug, trebate izračunati njegov polumjer. Zapamtite gdje se nalazi središte kruga u različitim poligonima. U trokutu se nalazi u točki sjecišta svih visina zadanog trokuta. U kvadratu i pravokutnicima - u točki presjeka dijagonala, za trapez - u točki presjeka osi simetrije s linijom koja povezuje središnje točke stranica, a za bilo koji drugi konveksni poligon - u točki presjeka okomite simetrale na stranice.

Izračunajte promjer kružnice opisane oko kvadrata i pravokutnika koristeći Pitagorin teorem. Bit će jednak kvadratnom korijenu zbroja kvadrata stranica pravokutnika. Za kvadrat čiji su sve strane jednake, dijagonala je jednaka kvadratnom korijenu dvostrukog kvadrata stranice. Podijelite promjer s 2 da dobijete polumjer.

Izračunajte polumjer opisane kružnice za trokut. Budući da su parametri trokuta dati u uvjetima, izračunajte polumjer pomoću formule R = a/(2 sinA), gdje je a jedna od stranica trokuta, ? je suprotni kut. Umjesto ove strane, možete uzeti stranu i kut nasuprot njoj.

Izračunaj polumjer kružnice opisane oko trapeza. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) 2*(a+d+c) . Izračunajte vrijednosti koje nedostaju. Visina se može izračunati pomoću sinusnog ili kosinusnog teorema, duljine stranica trapeza i kutovi su dati u uvjetima. Poznavajući visinu i uzimajući u obzir sličnosti trokuta, izračunajte dijagonalu. Nakon toga, ostaje izračunati polumjer pomoću gornje formule.

Slični Videi

Koristan savjet

Da biste izračunali polumjer kružnice opisane oko drugog poligona, izvedite niz dodatnih konstrukcija. Dobijte jednostavnije brojke čije parametre znate.

Savjet 3: Kako nacrtati pravokutni trokut iz oštrog kuta i hipotenuze

Pravokutni trokut je trokut čiji je kut na jednom od njegovih vrhova 90°. Strana suprotna ovom kutu naziva se hipotenuza, a stranice nasuprot dvama oštrim kutovima trokuta nazivaju se kracima. Ako su poznati duljina hipotenuze i vrijednost jednog od oštrih kutova, tada su ti podaci dovoljni da se trokut konstruira na najmanje dva načina.

Tema "Upisane i opisane kružnice u trokutu" jedna je od najtežih u kolegiju geometrije. Provodi vrlo malo vremena u nastavi.

Geometrijski zadaci ove teme uključeni su u drugi dio ispitnog rada USE za srednjoškolski kolegij. Za uspješan završetak ovih zadataka potrebno je dobro poznavanje osnovnih geometrijskih činjenica i određeno iskustvo u rješavanju geometrijskih problema.
Za svaki trokut postoji samo jedna opisana kružnica. Ovo je kružnica na kojoj leže sva tri vrha trokuta s zadanim parametrima. Pronalaženje njegovog polumjera može biti potrebno ne samo u lekciji geometrije. Dizajneri, rezači, bravari i predstavnici mnogih drugih profesija moraju se stalno nositi s tim. Da biste pronašli njegov polumjer, morate znati parametre trokuta i njegova svojstva. Središte opisane kružnice nalazi se u točki presjeka okomitih simetrala trokuta.
Predstavljam vam sve formule za pronalaženje polumjera opisane kružnice, a ne samo trokuta. Formule za upisanu kružnicu mogu se vidjeti.

a, b sa - stranice trokuta

α - kut suprotnoj strania,
S-površina trokuta,

p- poluperimetar.

Zatim pronaći polumjer ( R) opisanog kruga koristite formule:

Zauzvrat, površina trokuta može se izračunati pomoću jedne od sljedećih formula:

A evo još nekih formula.

1. Polumjer opisane kružnice oko pravilnog trokuta. Ako je a a strana trokuta, dakle

2. Polumjer opisane kružnice oko jednakokračnog trokuta. Neka bude a, b su stranice trokuta, dakle

Dokaz teorema o svojstvima kružnice opisane oko trokuta

Središnje okomito na segment

Definicija 1. Središnje okomito na segment zovemo, ravna linija okomita na ovaj segment i prolazi kroz njegovu sredinu (slika 1.).

Teorem 1. Svaka točka okomite simetrale na segment je na istoj udaljenosti od krajeva ovaj segment.

Dokaz . Razmotrimo proizvoljnu točku D koja leži na okomitoj simetrali na segment AB (slika 2) i dokaži da su trokuti ADC i BDC jednaki.

Doista, ti su trokuti pravokutni trokuti čiji su kraci AC i BC jednaki, dok su kraci DC zajednički. Iz jednakosti trokuta ADC i BDC slijedi jednakost segmenata AD i DB. Teorem 1 je dokazan.

Teorem 2 (obrnut teoremu 1). Ako je točka na istoj udaljenosti od krajeva segmenta, tada leži na okomitoj simetrali na ovaj segment.

Dokaz . Dokažimo teorem 2 metodom “protuslovno”. U tu svrhu pretpostavimo da je neka točka E na istoj udaljenosti od krajeva segmenta, ali ne leži na okomitoj simetrali na ovaj segment. Dovedemo ovu pretpostavku u kontradikciju. Razmotrimo najprije slučaj kada točke E i A leže na suprotnim stranama okomite simetrale (slika 3). U ovom slučaju odsječak EA siječe okomitu simetralu u nekoj točki, koju ćemo označiti slovom D.

Dokažimo da je segment AE duži od segmenta EB. Stvarno,

Dakle, u slučaju kada točke E i A leže na suprotnim stranama okomite simetrale, dobili smo kontradikciju.

Sada razmotrimo slučaj kada točke E i A leže na istoj strani simetrale okomite (slika 4). Dokažimo da je segment EB duži od segmenta AE. Stvarno,

Dobivena kontradikcija dovršava dokaz teorema 2

Krug koji opisuje trokut

Definicija 2 . Krug koji opisuje trokut, nazovimo kružnicu koja prolazi kroz sva tri vrha trokuta (slika 5). U ovom slučaju trokut se zove trokut upisan u krug ili upisani trokut.

Svojstva kružnice opisane oko trokuta. Teorem sinusa

Lik	Slika	Vlasništvo
Srednje okomite na stranice trokuta		sijeku u jednoj točki .
Centar opisan oko oštrog trokuta kružnice		Centar opisano o oštrokutna iznutra trokut.
Centar krug opisan oko pravokutnog trokuta		Središte opisanog o pravokutan sredina hipotenuze .
Centar opisan oko tupokuta kružnice		Centar opisano o tupim kružni trokut leži vani trokut.
		,
Kvadrat trokut		S= 2R 2 grijeh A grijeh B grijeh C ,
Polumjer opisane kružnice		Za bilo koji trokut vrijedi jednakost:

Srednje okomite na stranice trokuta

Sve okomite simetrale povučen na stranice proizvoljnog trokuta, sijeku u jednoj točki .

Krug koji opisuje trokut

Bilo koji trokut može se opisati kružnicom. . Središte kružnice opisane oko trokuta je točka u kojoj se sijeku sve okomite simetrale povučene na stranice trokuta.

Središte kružnice opisane oko oštrog trokuta

Centar opisano o oštrokutna kružni trokut leži iznutra trokut.

Središte kružnice opisane oko pravokutnog trokuta

Središte opisanog o pravokutan kružni trokut je sredina hipotenuze .

Središte kružnice opisane oko tupokuta

Centar opisano o tupim kružni trokut leži vani trokut.

Za bilo koji trokut vrijede jednakosti (sinusni teorem): , gdje su a, b, c stranice trokuta, A, B, C kutovi trokuta, R je polumjer opisane kružnice.

Površina trokuta

Za bilo koji trokut vrijedi jednakost: S= 2R 2 grijeh A grijeh B grijeh C , gdje su A, B, C kutovi trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.

Polumjer opisane kružnice

Za bilo koji trokut vrijedi jednakost: gdje su a, b, c stranice trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.

Dokaz teorema o svojstvima kružnice opisane oko trokuta

Teorem 3. Sve srednje okomite povučene na stranice proizvoljnog trokuta sijeku se u jednoj točki.

Dokaz . Promotrimo dvije okomite simetrale povučene na stranice AC i AB trokuta ABC , a točku njihova sjecišta označimo slovom O (slika 6).

Budući da točka O leži na okomitoj simetrali na odsječak AC , tada, na temelju teorema 1, vrijedi sljedeća jednakost:

Budući da točka O leži na okomitoj simetrali na odsječak AB , tada, na temelju teorema 1, vrijedi sljedeća jednakost:

Dakle, jednakost je istinita:

odakle, koristeći teorem 2, zaključujemo da točka O leži na okomitoj simetrali na segment BC. Dakle, sve tri okomite simetrale prolaze kroz istu točku, što je trebalo dokazati.

Posljedica. Bilo koji trokut može se opisati kružnicom. . Središte kružnice opisane oko trokuta je točka u kojoj se sijeku sve okomite simetrale povučene na stranice trokuta.

Dokaz . Razmotrimo točku O, u kojoj se sijeku sve okomite simetrale povučene na stranice trokuta ABC (slika 6.).

Dokazivanjem teorema 3 dobivena je sljedeća jednakost:

iz čega slijedi da kružnica sa središtem u točki O i polumjerima OA , OB , OC prolazi kroz sva tri vrha trokuta ABC , što je trebalo dokazati.

Prva razina

opisani krug. Vizualni vodič (2019.)

Prvo pitanje koje se može postaviti je: opisano - oko čega?

Pa, zapravo, ponekad se to događa oko bilo čega, a mi ćemo govoriti o krugu opisanom oko (ponekad kažu "o") trokuta. Što je?

A sada, zamislite, događa se nevjerojatna činjenica:

Zašto je ova činjenica nevjerojatna?

Ali trokuti su različiti!

I za svakoga postoji krug koji će proći kroz sva tri vrha, odnosno opisana kružnica.

Dokaz ove nevjerojatne činjenice može se pronaći u sljedećim razinama teorije, ali ovdje samo napominjemo da ako uzmemo, na primjer, četverokut, onda uopće ne postoji kružnica koja prolazi kroz četiri vrha. Ovdje je, recimo, paralelogram izvrstan četverokut, ali kružnica koja prolazi kroz sva njegova četiri vrha nije!

A postoji samo za pravokutnik:

Dobro, a svaki trokut uvijek ima svoju opisanu kružnicu! I čak je uvijek vrlo lako pronaći središte ovog kruga.

Znate li što je srednje okomito?

Pogledajmo sada što će se dogoditi ako uzmemo u obzir čak tri okomite simetrale na stranice trokuta.

Ispada (a to je upravo ono što treba dokazati, iako nećemo) da Sve tri okomice sijeku se u jednoj točki. Pogledajte sliku - sve tri srednje okomice sijeku se u jednoj točki.

Mislite li da središte opisane kružnice uvijek leži unutar trokuta? Zamislite - ne uvijek!

Ali ako pod oštrim kutom, zatim - iznutra:

Što učiniti s pravokutnim trokutom?

I uz dodatni bonus:

Budući da govorimo o polumjeru opisane kružnice: čemu je on jednak za proizvoljni trokut? I na ovo pitanje postoji odgovor: tzv.

Naime:

I naravno,

1. Postojanje i središte opisane kružnice

Ovdje se postavlja pitanje: postoji li takav krug za bilo koji trokut? Ispostavilo se da da, za sve. Štoviše, sada ćemo formulirati teorem koji također odgovara na pitanje, gdje je središte opisane kružnice.

Pogledaj, ovako:

Skupimo hrabrost i dokažimo ovaj teorem. Ako ste već pročitali temu "", shvatili zašto se tri simetrale sijeku u jednoj točki, bit će vam lakše, ali ako je niste pročitali, ne brinite: sada ćemo sve shvatiti van.

Dokaz ćemo provesti koristeći koncept lokusa točaka (LPT).

Pa, na primjer, je li skup loptica "geometrijsko mjesto" okruglih predmeta? Ne, naravno, jer postoje okrugle ... lubenice. Ali je li skup ljudi, "geometrijsko mjesto", sposoban govoriti? Ni jedno ni drugo, jer postoje bebe koje ne mogu govoriti. U životu je općenito teško pronaći primjer pravog “geometrijskog mjesta točaka”. Geometrija je lakša. Evo, na primjer, upravo ono što nam treba:

Ovdje je skup srednja okomica, a svojstvo "" je "da bude jednako udaljen (točka) od krajeva segmenta."

Provjerimo? Dakle, morate biti sigurni u dvije stvari:

1. Svaka točka koja je jednako udaljena od krajeva segmenta nalazi se na okomitoj simetrali na nju.

Povežite sa i sa. Tada je linija medijan i visina. Dakle, - jednakokračna, - pobrinuli smo se da je bilo koja točka koja leži na okomitoj simetrali jednako udaljena od točaka i.

Uzmite - sredinu i spojite i. Dobio medijan. Ali - jednakokračan po uvjetu, ne samo medijan, nego i visina, odnosno srednja okomica. To znači da točka točno leži na okomitoj simetrali.

Sve! U potpunosti smo potvrdili činjenicu da simetrala okomita na segment je mjesto točaka jednako udaljenih od krajeva segmenta.

Sve je to dobro, ali jesmo li zaboravili na opisani krug? Nimalo, samo smo si pripremili "mostobran za napad".

Razmislite o trokutu. Nacrtajmo dvije srednje okomice i, recimo, na segmente i. Oni će se u nekom trenutku presijecati, koje ćemo nazvati.

A sada, pažnja!

Točka leži na okomitoj simetrali;
točka leži na okomitoj simetrali.
A to znači i.

Iz ovoga slijedi nekoliko stvari:

Prvo, točka mora ležati na trećoj okomitoj simetrali, na segment.

To jest, simetrala okomice također mora prolaziti kroz točku, a sve tri okomite simetrale sijeku se u jednoj točki.

Drugo: ako nacrtamo kružnicu sa središtem u točki i polumjerom, tada će i ova kružnica proći kroz točku i kroz točku, odnosno bit će opisana kružnica. To znači da već postoji da je presjek tri okomite simetrale središte opisane kružnice za bilo koji trokut.

I posljednja stvar: o jedinstvenosti. Jasno je (gotovo) da se točka može dobiti na jedinstven način, pa je stoga i kružnica jedinstvena. Pa, "skoro" - to ćemo prepustiti vama. Ovdje smo dokazali teorem. Možete vikati "Ura!".

A ako je problem pitanje "naći polumjer opisane kružnice"? Ili obrnuto, radijus je zadan, ali želite pronaći nešto drugo? Postoji li formula koja povezuje polumjer opisane kružnice s ostalim elementima trokuta?

Imajte na umu da sinusni teorem to kaže da biste pronašli polumjer opisane kružnice, potrebna vam je jedna strana (bilo koja!) i kut nasuprot njoj. I to je to!

3. Središte kruga - unutar ili izvana

A sada je pitanje: može li središte opisane kružnice ležati izvan trokuta.
Odgovor: koliko god je to moguće. Štoviše, to je uvijek slučaj u tupokutu.

I općenito govoreći:

KRUG. UKRATKO O GLAVNOM

1. Krug opisan oko trokuta

Ovo je kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha ovog trokuta.

2. Postojanje i središte opisane kružnice

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen ispit, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (ne nužno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste došli do ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 499 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!