Kolika je površina pravokutnog trokuta? Kako pronaći površinu trokuta (formule)

U elementarnoj geometriji, pravokutni trokut je figura koja se sastoji od tri segmenta spojena točkama, s kutovima od kojih su dva oštra, a jedan ravni (odnosno jednak 90°). Pravokutni trokut karakterizira niz važnih svojstava, od kojih mnoga čine osnovu trigonometrije (na primjer, odnos između njegovih stranica i kutova). Od škole svi znamo računati površina pravokutnog trokuta, au svakodnevnom životu ovu geometrijsku figuru susrećemo prilično često, ponekad čak i ne primjećujući je. Nalazi prilično široku primjenu u tehnologiji i stoga inženjeri, dizajneri i arhitekti često moraju rješavati takav problem.

Arhitekti trebaju odrediti ovu vrijednost kada projektiraju zgrade s zabatima, koji su završetak pročelja i imaju trokutasti oblik omeđena vijencem i sa strane krovnim kosinama. Često je kut između padina ravan, au takvim slučajevima zabat ima oblik pravokutnog trokuta. Potrebno je odrediti njegovu površinu iz jednostavnog razloga što je potrebno točno znati količinu građevinskog materijala potrebnog za njegovo uređenje. Treba napomenuti da su zabati obvezni elementi niskogradnje (ladanjske kuće, vikendice, dače).

Određivanje površine pravokutnog trokuta

a- noga

b- noga

S- površina pravokutnog trokuta

Oblik pravokutni trokut imaju mnoge detalje od kojih se izrađuje moderni namještaj. Kao što znate, kako bi se što učinkovitije iskoristio prostor sobe, svi elementi namještaja moraju biti u njoj optimalno postavljeni. Možete dobro iskoristiti područja kao što su kutovi koristeći stolove trokutastog oblika, čiji su vrhovi u većini slučajeva pravokutni trokuti s nogama uz zidove. Projektanti proizvodnje namještaja pri projektiranju i proračunu ovih elemenata koriste se formulom prema kojoj pronalaženje površine pravokutnog trokuta provodi se na temelju duljine njegovih stranica. Osim toga, često moraju razviti dizajne za stolove pričvršćene izravno na zidove, koji uključuju potporne elemente, koji također predstavljaju pravokutni trokuti.

Graditelji koji se bave oblaganjem često u svojim profesionalnim aktivnostima moraju koristiti keramičke pločice u obliku pravokutnog trokuta s nogama iste ili različite duljine. Također moraju odrediti područje ovih elemenata kako bi saznali potreban broj.

Oblik pravokutni trokut Također ima tako važan i neophodan mjerni alat kao kvadrat. Koristi se za konstruiranje i kontrolu pravih kutova, a koriste ga vrlo široko i mnogi: od običnih školaraca na nastavi geometrije do dizajnera vrhunske tehnologije.

Pravokutni trokut nalazi se u stvarnosti na gotovo svakom uglu. Poznavanje svojstava određene figure, kao i sposobnost izračunavanja njezine površine, nesumnjivo će vam biti od koristi ne samo za rješavanje geometrijskih problema, već iu životnim situacijama.

Geometrija trokuta

U elementarnoj geometriji, pravokutni trokut je lik koji se sastoji od tri spojena segmenta koji tvore tri kuta (dva šiljasta i jedan ravni). Pravokutni trokut izvorna je figura koju karakterizira niz važnih svojstava koja čine temelj trigonometrije. Za razliku od običnog trokuta, stranice pravokutne figure imaju svoja imena:

Hipotenuza je najduža stranica trokuta, nasuprot pravog kuta.
Noge su segmenti koji tvore pravi kut. Ovisno o kutu koji se razmatra, noga može biti uz njega (tvoreći ovaj kut s hipotenuzom) ili nasuprot (ležeći nasuprot kutu). Za nepravokutne trokute nema kateta.

Osnova trigonometrije je omjer kateta i hipotenuze: sinusi, tangenti i sekanti definirani su kao omjer stranica pravokutnog trokuta.

Pravokutni trokut u stvarnosti

Ova brojka postala je raširena u stvarnosti. Trokuti se koriste u dizajnu i tehnologiji, tako da izračunavanje površine figure moraju raditi inženjeri, arhitekti i dizajneri. Osnove tetraedra ili prizmi - trodimenzionalne figure koje je lako susresti u svakodnevnom životu - imaju oblik trokuta. Osim toga, kvadrat je najjednostavniji prikaz "ravnog" pravokutnog trokuta u stvarnosti. Ugaonik je alat za obradu metala, crtanje, konstrukciju i stolarstvo kojim konstruiraju kutove i školarci i inženjeri.

Površina trokuta

Površina geometrijske figure je kvantitativna procjena koliko je ravnina ograničena stranicama trokuta. Područje običnog trokuta može se pronaći na pet načina, koristeći Heronovu formulu ili koristeći takve varijable kao što su baza, strana, kut i polumjer upisane ili opisane kružnice. Najjednostavnija formula za površinu izražava se kao:

gdje je a stranica trokuta, h njegova visina.

Formula za izračunavanje površine pravokutnog trokuta je još jednostavnija:

gdje su a i b noge.

Radeći s našim online kalkulatorom, možete izračunati površinu trokuta pomoću tri para parametara:

dvije noge;
krak i susjedni kut;
krak i suprotni kut.

U problemima ili svakodnevnim situacijama dobit ćete različite kombinacije varijabli, tako da ovaj oblik kalkulatora omogućuje izračunavanje površine trokuta na nekoliko načina. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Keramička pločica

Recimo da zidove kuhinje želite obložiti keramičkim pločicama koje imaju oblik pravokutnog trokuta. Da biste odredili potrošnju pločica, morate saznati površinu jednog elementa oblaganja i ukupnu površinu površine koja se obrađuje. Recimo da trebate obraditi 7 četvornih metara. Duljina nogu jednog elementa je 19 cm, tada će površina pločice biti jednaka:

To znači da je površina jednog elementa 24,5 četvornih centimetara ili 0,01805 četvornih metara. Poznavajući ove parametre, možete izračunati da će vam za završetak 7 četvornih metara zida trebati 7 / 0,01805 = 387 elemenata obloženih pločica.

Školski zadatak

Recimo da u školskom geometrijskom problemu trebate pronaći područje pravokutnog trokuta, znajući samo da je stranica jedne noge 5 cm, a suprotni kut 30 stupnjeva. Naš online kalkulator dolazi s ilustracijom koja prikazuje stranice i kutove pravokutnog trokuta. Ako je stranica a = 5 cm, tada je njezin suprotni kut kut alfa, jednak 30 stupnjeva. Unesite ove podatke u obrazac kalkulatora i dobijte rezultat:

Dakle, kalkulator ne samo da izračunava površinu zadanog trokuta, već također određuje duljinu susjedne noge i hipotenuze, kao i vrijednost drugog kuta.

Zaključak

Pravokutni trokuti nalaze se u našim životima doslovno na svakom uglu. Određivanje područja takvih figura bit će vam korisno ne samo pri rješavanju školskih zadataka iz geometrije, već iu svakodnevnim i profesionalnim aktivnostima.

Ovisno o vrsti trokuta, postoji nekoliko mogućnosti za pronalaženje njegovog područja. Na primjer, za izračun površine pravokutnog trokuta upotrijebite formulu S= a * b / 2, gdje su a i b njegove noge. Ako želite saznati područje jednakokračnog trokuta, tada trebate podijeliti proizvod njegove baze i visine s dva. Odnosno, S= b*h / 2, gdje je b osnovica trokuta, a h njegova visina.

Zatim ćete možda morati izračunati površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta. Ovdje u pomoć dolazi sljedeća formula: S = a* a / 2, gdje noge "a" i "a" moraju nužno imati iste vrijednosti.

Također, često moramo izračunati površinu jednakostraničnog trokuta. Nalazi se po formuli: S= a * h/ 2, gdje je a stranica trokuta, a h njegova visina. Ili prema ovoj formuli: S= √3/ 4 *a^2, gdje je a stranica.

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta

Trebate li pronaći površinu pravokutnog trokuta, ali izjava problema ne ukazuje na dimenzije dviju njegovih nogu odjednom? Tada ovu formulu (S= a * b / 2) ne možemo koristiti izravno.

Razmotrimo nekoliko mogućih rješenja:

Ako ne znate duljinu jedne katete, ali su date dimenzije hipotenuze i druge katete, onda se okrećemo velikom Pitagori i, koristeći njegov teorem (a^2+b^2=c^2), izračunavamo duljinu nepoznate noge, a zatim je koristimo za izračunavanje površine trokuta.
Ako je zadana duljina jednog kraka i stupanj nagiba kuta nasuprot njemu: duljinu drugog kraka nalazimo pomoću formule - a=b*ctg(C).
Zadano: duljina jednog kraka i stupanj nagiba kuta uz njega: da bismo pronašli duljinu drugog kraka, koristimo se formulom - a=b*tg(C).
I na kraju, s obzirom na: kut i duljinu hipotenuze: izračunavamo duljinu obje njezine katete pomoću sljedećih formula - b=c*sin(C) i a=c*cos(C).

Kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta

Područje jednakokračnog trokuta može se vrlo lako i brzo pronaći pomoću formule S= b*h / 2, ali ako jedan od pokazatelja nedostaje, zadatak postaje mnogo kompliciraniji. Uostalom, potrebno je izvršiti dodatne radnje.

Moguće opcije zadataka:

Zadano je: duljina jedne od stranica i duljina baze. Pomoću Pitagorinog poučka nalazimo visinu, odnosno duljinu drugog kraka. Pod uvjetom da je duljina baze podijeljena s dva kateta, a početno poznata strana je hipotenuza.
Zadani su: osnovica i kut između stranice i osnovice. Visinu izračunavamo pomoću formule h=c*ctg(B)/2 (ne zaboravite stranicu “c” podijeliti s dva).
Zadano: visina i kut koji su formirali baza i stranica: koristimo se formulom c=h*tg(B)*2 da pronađemo visinu i rezultat množimo s dva. Zatim izračunavamo površinu.
Poznato: duljina stranice i kut koji se formira između nje i visine. Rješenje: pomoću formula - c=a*sin(C)*2 i h=a*cos(C) nalazimo osnovicu i visinu, nakon čega izračunavamo površinu.

Kako pronaći površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta

Ako su svi podaci poznati, tada pomoću standardne formule S= a* a / 2 izračunavamo površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta, ali ako neki pokazatelji nisu navedeni u problemu, tada se provode dodatne radnje.

Na primjer: ne znamo duljine obiju stranica (sjećamo se da su u jednakokračnom pravokutnom trokutu jednake), ali duljina hipotenuze je dana. Primijenimo Pitagorin teorem da pronađemo iste strane "a" i "a". Pitagorina formula: a^2+b^2=c^2. U slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta, pretvara se u ovo: 2a^2 = c^2. Ispada da za pronalaženje noge "a" trebate podijeliti duljinu hipotenuze s korijenom iz 2. Rezultat rješenja bit će duljina obje noge jednakokračnog pravokutnog trokuta. Zatim pronalazimo područje.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trokuta

Pomoću formule S= √3/ 4*a^2 možete jednostavno izračunati površinu jednakostraničnog trokuta. Ako je poznat polumjer kruga opisanog trokutu, tada se površina može pronaći pomoću formule: S= 3√3/ 4*R^2, gdje je R polumjer kruga.

Kao što se možda sjećate iz školskog kurikuluma geometrije, trokut je figura sastavljena od tri segmenta povezana s tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri kuta, odgovor će također biti točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, šiljasti i tupi.

Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako ćete pronaći površinu trokuta, tj. Koju ćete formulu koristiti ovisi o vama. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Dakle, zapamtite:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trokuta,

h je visina trokuta,

R je polumjer opisane kružnice,

p je poluopseg.

Ovdje su osnovne oznake koje bi vam mogle biti korisne ako ste potpuno zaboravili tečaj geometrije. Ispod su najrazumljivije i najjednostavnije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i bit će korisno kako za vaše kućanske potrebe tako i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako što lakše izračunati površinu trokuta:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvadratnih cm. Upamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita odsječka). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut jer... zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta jednak je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju dijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjećate se glavne stvari, sve što ostaje je saznati kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najjednostavniji način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U načelu, više nema potrebe provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer Samo ovaj će biti koristan i pomoći će u svakodnevnom životu. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.

2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površine pravokutnog trokuta koje se još uvijek mogu koristiti:

Odlučili smo upotrijebiti prvu formulu i s manjim mrljama (crtali smo je u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo točan izračun:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo sljedeće rezultate: 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelija, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokračni trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračuna formule za jednakokračni trokut, tada je najlakši način koristiti glavnu i ono što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo površinu jednakokračnog trokuta, saznajmo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut u kojem dvije stranice imaju jednake duljine. Ove dvije strane nazivaju se bočne, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim trokutom, tj. pravilan trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na osnovici u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje saznati koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate.

Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan od kutova 90°. Njegovo područje se može pronaći ako su poznate dvije strane. Možete, naravno, ići dugim putem - pronaći hipotenuzu i izračunati površinu pomoću , ali u većini slučajeva to će oduzeti samo dodatno vrijeme. Zato formula za površinu pravokutnog trokuta izgleda ovako:

Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovici produkta kateta.

Primjer izračuna površine pravokutnog trokuta.
Zadan je pravokutni trokut s katetama a= 8 cm, b= 6 cm.
Izračunavamo površinu:
Površina je: 24 cm 2

Pitagorin poučak vrijedi i za pravokutni trokut. – zbroj kvadrata dviju kateta jednak je kvadratu hipotenuze.
Formula za površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta izračunava se na isti način kao i za obični pravokutni trokut.

Primjer izračuna površine jednakokračnog pravokutnog trokuta:
Zadan je trokut s katetama a= 4 cm, b= 4 cm. Izračunajte površinu:
Izračunajte površinu: = 8 cm 2

Formula za površinu pravokutnog trokuta pomoću hipotenuze može se koristiti ako je uvjetu dana jedna noga. Iz Pitagorinog poučka nalazimo duljinu nepoznatog kraka. Na primjer, dana hipotenuza c i nogu a, noga b bit će jednako:
Zatim izračunajte površinu koristeći uobičajenu formulu. Primjer izračuna formule za površinu pravokutnog trokuta na temelju hipotenuze identičan je gore opisanom.

Razmotrimo zanimljiv problem koji će pomoći u konsolidaciji znanja o formulama za rješavanje trokuta.
Zadatak: Površina pravokutnog trokuta je 180 kvadratnih metara. vidi, nađi manji krak trokuta ako je 31 cm manji od drugog.
Riješenje: označimo noge a I b. Sada zamijenimo podatke u formulu površine: također znamo da je jedna noga manja od druge a – b= 31 cm
Iz prvog uvjeta dobivamo da
Zamjenjujemo ovaj uvjet u drugu jednadžbu: