एक जटिल चर के कार्य।
एक जटिल चर के कार्यों का अंतर।

यह लेख पाठों की एक श्रृंखला खोलता है जिसमें मैं देखूंगा विशिष्ट कार्यएक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत से जुड़ा हुआ है। उदाहरणों में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपके पास होना चाहिए मौलिक ज्ञानजटिल संख्याओं के बारे में सामग्री को समेकित और दोहराने के लिए, पृष्ठ पर जाने के लिए पर्याप्त है। खोजने के लिए आपको कौशल की भी आवश्यकता होगी दूसरा क्रम आंशिक डेरिवेटिव. यहाँ वे हैं, ये आंशिक व्युत्पन्न ... अब भी मैं थोड़ा आश्चर्यचकित था कि वे कितनी बार होते हैं ...

जिस विषय का हम विश्लेषण करना शुरू कर रहे हैं वह विशेष रूप से कठिन नहीं है, और एक जटिल चर के कार्यों में, सिद्धांत रूप में, सब कुछ स्पष्ट और सुलभ है। मुख्य बात मूल नियम का पालन करना है, जो मेरे द्वारा अनुभवजन्य रूप से प्राप्त किया गया है। पढ़ते रहिये!

एक जटिल चर के एक समारोह की अवधारणा

सबसे पहले, आइए एक चर के स्कूल फ़ंक्शन के बारे में अपने ज्ञान को ताज़ा करें:

एक चर का कार्यएक नियम है जिसके अनुसार स्वतंत्र चर का प्रत्येक मान (परिभाषा के क्षेत्र से) फ़ंक्शन के एक और केवल एक मान से मेल खाता है। स्वाभाविक रूप से, "x" और "y" वास्तविक संख्याएँ हैं।

जटिल मामले में, कार्यात्मक निर्भरता इसी तरह दी गई है:

एक जटिल चर का एकल-मूल्यवान कार्यनियम है कि हर कोई एकीकृतस्वतंत्र चर का मान (परिभाषा के क्षेत्र से) एक और केवल एक से मेल खाता है व्यापकसमारोह मूल्य। सिद्धांत रूप में, बहु-मूल्यवान और कुछ अन्य प्रकार के कार्यों पर भी विचार किया जाता है, लेकिन सादगी के लिए, मैं एक परिभाषा पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

एक जटिल चर का कार्य क्या है?

मुख्य अंतर यह है कि संख्याएं जटिल हैं। मैं विडंबना नहीं कर रहा हूँ। इस तरह के सवालों से वे अक्सर स्तब्ध रह जाते हैं, लेख के अंत में मैं एक अच्छी कहानी बताऊंगा। सबक पर डमी के लिए जटिल संख्याहमने फॉर्म में एक जटिल संख्या पर विचार किया। अब से "Z" अक्षर बन गया है चर, तो हम इसे इस प्रकार निरूपित करेंगे: , जबकि "x" और "y" अलग-अलग ले सकते हैं वैधमूल्य। मोटे तौर पर, एक जटिल चर का कार्य चर पर निर्भर करता है और जो "सामान्य" मान लेते हैं। से इस तथ्यनिम्नलिखित बिंदु तार्किक रूप से अनुसरण करता है:

एक जटिल चर के कार्य को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
, जहां और दो के दो कार्य हैं वैधचर।

समारोह कहा जाता है असली हिस्साकार्य।
समारोह कहा जाता है काल्पनिक हिस्साकार्य।

अर्थात्, एक सम्मिश्र चर का फलन दो वास्तविक फलनों और पर निर्भर करता है। अंत में सब कुछ स्पष्ट करने के लिए, आइए व्यावहारिक उदाहरण देखें:

उदाहरण 1

फेसला:स्वतंत्र चर "z", जैसा कि आपको याद है, इस प्रकार लिखा जाता है:

(1) मूल कार्य में प्रतिस्थापित।

(2) पहले पद के लिए, घटा हुआ गुणन सूत्र का उपयोग किया गया था। अवधि में, कोष्ठक खोले गए थे।

(3) ध्यान से चुकता करना, यह न भूलें

(4) शर्तों की पुनर्व्यवस्था: पहले शब्दों को फिर से लिखें , जिसमें कोई काल्पनिक इकाई नहीं है(पहला समूह), फिर पद, जहाँ (दूसरा समूह) है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि शर्तों को फेरबदल करना आवश्यक नहीं है, और यह अवस्थाछोड़ा जा सकता है (वास्तव में इसे मौखिक रूप से करना)।

(5) दूसरे समूह को कोष्ठक से बाहर निकाला जाता है।

नतीजतन, हमारे कार्य को फॉर्म में दर्शाया गया है

जवाब:
समारोह का असली हिस्सा है।
समारोह का काल्पनिक हिस्सा है।

ये कार्य क्या हैं? दो चर के सबसे सामान्य कार्य, जिनमें से कोई भी ऐसा लोकप्रिय पा सकता है आंशिक अवकलज. दया के बिना - हम पाएंगे। लेकिन थोड़ी देर बाद।

संक्षेप में, हल की गई समस्या का एल्गोरिथ्म निम्नानुसार लिखा जा सकता है: हम मूल कार्य में स्थानापन्न करते हैं, सरलीकरण करते हैं और सभी शब्दों को दो समूहों में विभाजित करते हैं - एक काल्पनिक इकाई (वास्तविक भाग) के बिना और एक काल्पनिक इकाई (काल्पनिक भाग) के साथ।

उदाहरण 2

किसी फलन का वास्तविक और काल्पनिक भाग ज्ञात कीजिए

यह स्वयं का उदाहरण है। इससे पहले कि आप अपने आप को ड्राफ्ट के साथ जटिल विमान पर युद्ध में फेंक दें, मैं आपको सबसे अधिक देता हूं महत्वपूर्ण सलाहइस टॉपिक पर:

ध्यान से!बेशक, आपको हर जगह सावधान रहने की जरूरत है, लेकिन जटिल संख्या में आपको पहले से कहीं ज्यादा सावधान रहना चाहिए! याद रखें कि, कोष्ठकों को ध्यान से विस्तृत करें, कुछ भी न खोएं। मेरे प्रेक्षणों के अनुसार, सबसे सामान्य गलती चिन्ह का खो जाना है। जल्दी न करो!

पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

अब घन। संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
.

अभ्यास में उपयोग करने के लिए सूत्र बहुत सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज करते हैं।

एक जटिल चर के कार्यों का अंतर।

मेरे पास दो खबरें हैं: अच्छी और बुरी। मैं एक अच्छे से शुरू करूंगा। एक जटिल चर के एक समारोह के लिए, भेदभाव के नियम और प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका मान्य है। इस प्रकार, अवकलज को ठीक उसी तरह लिया जाता है जैसे किसी वास्तविक चर के फलन के मामले में लिया जाता है।

बुरी खबर यह है कि एक जटिल चर के कई कार्यों के लिए, कोई व्युत्पन्न बिल्कुल नहीं है, और आपको पता लगाना होगा भिन्न हैएक समारोह या कोई अन्य। और "पता लगाना" कि आपका दिल कैसा महसूस करता है, अतिरिक्त परेशानियों से जुड़ा है।

एक जटिल चर के एक समारोह पर विचार करें। इस फलन के अवकलनीय होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि:

1) पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न होने के लिए। इन नोटेशन के बारे में तुरंत भूल जाओ, क्योंकि एक जटिल चर के कार्य के सिद्धांत में, पारंपरिक रूप से संकेतन का एक और संस्करण उपयोग किया जाता है: .

2) तथाकथित को अंजाम देने के लिए कॉची-रीमैन की स्थिति:

केवल इस मामले में व्युत्पन्न मौजूद होगा!

उदाहरण 3

फेसलातीन क्रमिक चरणों में विघटित:

1) फलन के वास्तविक और काल्पनिक भाग ज्ञात कीजिए। पिछले उदाहरणों में इस कार्य का विश्लेषण किया गया था, इसलिए मैं इसे बिना किसी टिप्पणी के लिखूंगा:

तब से:

इस प्रकार:

समारोह का काल्पनिक हिस्सा है।

मैं एक और रुकूंगा तकनीकी क्षण: किस क्रम मेंवास्तविक और काल्पनिक भागों में शब्द लिखें? हां, मूल रूप से इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, वास्तविक भाग को इस प्रकार लिखा जा सकता है: , और काल्पनिक - इस तरह: .

2) आइए कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। उनमें से दो.

आइए स्थिति की जांच करके शुरू करें। हम ढूंढे आंशिक अवकलज:

इस प्रकार, शर्त पूरी होती है।

निस्संदेह, अच्छी खबर यह है कि आंशिक डेरिवेटिव लगभग हमेशा बहुत सरल होते हैं।

हम दूसरी शर्त की पूर्ति की जाँच करते हैं:

यह वही निकला, लेकिन विपरीत संकेतों के साथ, यानी शर्त भी पूरी होती है।

कॉची-रीमैन की शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए, फ़ंक्शन अलग-अलग है।

3) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं। व्युत्पन्न भी बहुत सरल है और सामान्य नियमों के अनुसार पाया जाता है:

विभेदन में काल्पनिक इकाई को स्थिर माना जाता है।

जवाब: - असली हिस्सा काल्पनिक हिस्सा है।
कॉची-रीमैन की शर्तें पूरी होती हैं, .

व्युत्पत्ति खोजने के दो और तरीके हैं, बेशक, उनका उपयोग कम बार किया जाता है, लेकिन जानकारी दूसरे पाठ को समझने के लिए उपयोगी होगी - एक जटिल चर के कार्य को कैसे खोजें?

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस मामले में:

इस प्रकार

व्युत्क्रम समस्या को हल करना आवश्यक है - परिणामी अभिव्यक्ति में, आपको अलग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, शब्दों में और कोष्ठक से बाहर निकालना आवश्यक है:

रिवर्स एक्शन, जैसा कि कई लोगों ने देखा है, प्रदर्शन करना कुछ अधिक कठिन है; सत्यापन के लिए, अभिव्यक्ति और मसौदे पर लेना हमेशा बेहतर होता है, या मौखिक रूप से कोष्ठक को वापस खोलना, यह सुनिश्चित करना कि यह बिल्कुल सही निकला है

व्युत्पन्न खोजने के लिए दर्पण सूत्र:

इस मामले में: , इसीलिए:

उदाहरण 4

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों का निर्धारण करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। यदि कॉची-रीमैन की शर्तें पूरी होती हैं, तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

त्वरित समाधानऔर अनुकरणीय नमूनापाठ के अंत में फिनिशिंग टच।

क्या कॉची-रीमैन की स्थितियां हमेशा संतुष्ट रहती हैं? सैद्धांतिक रूप से, वे जितनी बार हैं, उससे कहीं अधिक बार पूरी नहीं होती हैं। लेकिन में व्यावहारिक उदाहरणमुझे ऐसा कोई मामला याद नहीं है जहां वे पूरे नहीं हुए थे =) इस प्रकार, यदि आपका आंशिक व्युत्पन्न "अभिसरण नहीं हुआ", तो बहुत अधिक संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि आपने कहीं गलती की है।

आइए हमारे कार्यों को जटिल करें:

उदाहरण 5

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों का निर्धारण करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। गणना

फेसला:समाधान एल्गोरिथ्म पूरी तरह से संरक्षित है, लेकिन अंत में एक नई सनक जोड़ी जाती है: एक बिंदु पर व्युत्पन्न खोजना। घन के लिए, आवश्यक सूत्र पहले ही प्राप्त किया जा चुका है:

आइए इस फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को परिभाषित करें:

ध्यान और फिर ध्यान!

तब से:


इस प्रकार:
समारोह का असली हिस्सा है;
समारोह का काल्पनिक हिस्सा है।

दूसरी स्थिति की जाँच करना:

यह वही निकला, लेकिन विपरीत संकेतों के साथ, यानी शर्त भी पूरी होती है।

कॉची-रीमैन की शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए, फ़ंक्शन अलग-अलग है:

वांछित बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें:

जवाब:कॉची-रीमैन की शर्तें संतुष्ट हैं,

क्यूब्स के साथ कार्य आम हैं, इसलिए समेकित करने के लिए एक उदाहरण:

उदाहरण 6

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों का निर्धारण करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। गणना करें।

पाठ के अंत में निर्णय और नमूना परिष्करण।

जटिल विश्लेषण के सिद्धांत में, एक जटिल तर्क के अन्य कार्यों को भी परिभाषित किया गया है: घातीय, साइन, कोसाइन, आदि। इन कार्यों में असामान्य और यहां तक ​​​​कि विचित्र गुण हैं - और यह वास्तव में दिलचस्प है! मैं वास्तव में आपको बताना चाहता हूं, लेकिन यहां, यह एक संदर्भ पुस्तक या पाठ्यपुस्तक नहीं, बल्कि एक समाधान के रूप में हुआ, इसलिए मैं कुछ सामान्य कार्यों के साथ उसी कार्य पर विचार करूंगा।

पहले तथाकथित . के बारे में यूलर सूत्र:

किसी के लिए भी वैधसंख्या, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

आप इसे संदर्भ के रूप में अपनी नोटबुक में कॉपी भी कर सकते हैं।

कड़ाई से बोलते हुए, केवल एक ही सूत्र है, लेकिन आमतौर पर सुविधा के लिए, वे लिखते भी हैं विशेष मामलामाइनस इंडिकेटर के साथ। पैरामीटर के लिए एक अक्षर होना जरूरी नहीं है, यह एक जटिल अभिव्यक्ति, एक फ़ंक्शन हो सकता है, यह केवल महत्वपूर्ण है कि वे लेते हैं केवल मान्यमूल्य। दरअसल, हम इसे अभी देखेंगे:

उदाहरण 7

व्युत्पन्न खोजें।

फेसला:पार्टी की सामान्य रेखा अडिग रहती है - समारोह के वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करना आवश्यक है। मैं एक विस्तृत समाधान दूंगा, और नीचे दिए गए प्रत्येक चरण पर टिप्पणी करूंगा:

तब से:

(1) "z" के लिए स्थानापन्न करें।

(2) प्रतिस्थापन के बाद वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करना आवश्यक है घातांक में प्रथमप्रदर्शक। ऐसा करने के लिए, कोष्ठक खोलें।

(3) हम काल्पनिक इकाई को कोष्ठक से बाहर रखते हुए संकेतक के काल्पनिक भाग को समूहित करते हैं।

(4) उपयोग स्कूल कार्रवाईडिग्री के साथ।

(5) गुणक के लिए, हम यूलर सूत्र का उपयोग करते हैं, जबकि ।

(6) परिणामस्वरूप हम कोष्ठक खोलते हैं:

समारोह का असली हिस्सा है;
समारोह का काल्पनिक हिस्सा है।

आगे की कार्रवाइयाँ मानक हैं, आइए कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें:

उदाहरण 9

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों का निर्धारण करें . कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। तो यह हो, हम व्युत्पन्न नहीं पाएंगे।

फेसला:समाधान एल्गोरिथ्म पिछले दो उदाहरणों के समान है, लेकिन बहुत हैं महत्वपूर्ण बिंदु, इसीलिए प्रथम चरणमैं फिर से चरण दर चरण टिप्पणी करूंगा:

तब से:

1) हम "z" के स्थान पर स्थानापन्न करते हैं।

(2) सबसे पहले, वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करें साइनस के अंदर. ऐसा करने के लिए, कोष्ठक खोलें।

(3) हम सूत्र का उपयोग करते हैं, जबकि .

(4) उपयोग अतिपरवलयिक कोज्या की समता: और अतिशयोक्तिपूर्ण साइन विषमता: . हाइपरबॉलिक्स, हालांकि इस दुनिया के नहीं, लेकिन कई मायनों में समान त्रिकोणमितीय कार्यों से मिलते जुलते हैं।

अंततः:
समारोह का असली हिस्सा है;
समारोह का काल्पनिक हिस्सा है।

ध्यान!ऋण चिह्न काल्पनिक भाग को दर्शाता है, और किसी भी स्थिति में हमें इसे खोना नहीं चाहिए! एक दृश्य चित्रण के लिए, ऊपर प्राप्त परिणाम को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

आइए कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें:

कॉची-रीमैन की शर्तें पूरी होती हैं।

जवाब:, , कॉची-रीमैन की शर्तें संतुष्ट हैं।

कोसाइन, देवियों और सज्जनों के साथ, हम अपने आप समझते हैं:

उदाहरण 10

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों का निर्धारण करें। कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें।

मैंने जानबूझकर अधिक जटिल उदाहरण उठाए, क्योंकि हर कोई खुली मूंगफली की तरह कुछ संभाल सकता है। उसी समय, अपना ध्यान प्रशिक्षित करें! पाठ के अंत में सरौता।

खैर, निष्कर्ष में, मैं एक और पर विचार करूंगा दिलचस्प उदाहरणजब जटिल तर्क हर में होता है। हम अभ्यास में दो बार मिले, आइए कुछ सरल का विश्लेषण करें। ओह, मैं बूढ़ा हो रहा हूँ ...

उदाहरण 11

फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों का निर्धारण करें। कॉची-रीमैन शर्तों की पूर्ति की जाँच करें।

फेसला:फिर से, फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करना आवश्यक है।
तो अगर

प्रश्न उठता है कि जब हर में "Z" हो तो क्या करें?

सब कुछ सरल है - मानक मदद करेगा संयुग्मी व्यंजक द्वारा अंश और हर को गुणा करने की विधि, यह पहले से ही पाठ के उदाहरणों में उपयोग किया जा चुका है डमी के लिए जटिल संख्या. आइए याद करते हैं स्कूल का फॉर्मूला। भाजक में हमारे पास पहले से है, इसलिए संयुग्मी व्यंजक होगा। इस प्रकार, आपको अंश और हर को इससे गुणा करना होगा: