यांत्रिक तरंग भौतिकी परिभाषा। यांत्रिक तरंगों का उद्भव और प्रसार

1. यांत्रिक तरंगें, तरंग आवृत्ति। अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें।

2. वेव फ्रंट। वेग और तरंग दैर्ध्य।

3. समतल तरंग का समीकरण।

4. तरंग की ऊर्जा विशेषताएँ।

5. कुछ विशेष प्रकार की तरंगें ।

6. डॉप्लर प्रभाव और चिकित्सा में इसका उपयोग।

7. सतह तरंगों के प्रसार के दौरान अनिसोट्रॉपी। जैविक ऊतकों पर आघात तरंगों का प्रभाव।

8. बुनियादी अवधारणाएं और सूत्र।

9. कार्य।

2.1. यांत्रिक तरंगें, तरंग आवृत्ति। अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें

यदि लोचदार माध्यम (ठोस, तरल या गैसीय) के किसी भी स्थान पर उसके कणों के दोलन उत्तेजित होते हैं, तो कणों के बीच परस्पर क्रिया के कारण, यह दोलन एक निश्चित गति के साथ कण से कण तक माध्यम में प्रचार करना शुरू कर देगा। वी

उदाहरण के लिए, यदि एक दोलनशील पिंड को तरल या गैसीय माध्यम में रखा जाता है, तो दोलन गतिशरीर पर्यावरण के आसन्न कणों को प्रेषित किया जाएगा। बदले में, वे पड़ोसी कणों को दोलन गति में शामिल करते हैं, और इसी तरह। इस मामले में, माध्यम के सभी बिंदु शरीर के कंपन की आवृत्ति के बराबर, समान आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं। इस आवृत्ति को कहा जाता है तरंग आवृत्ति।

लहरएक लोचदार माध्यम में यांत्रिक कंपन के प्रसार की प्रक्रिया है।

तरंग आवृत्तिमाध्यम के बिंदुओं के दोलनों की आवृत्ति कहा जाता है जिसमें तरंग का प्रसार होता है।

तरंग कंपन के स्रोत से माध्यम के परिधीय भागों में कंपन ऊर्जा के हस्तांतरण से जुड़ी है। उसी समय, पर्यावरण में हैं

आवधिक विकृतियाँ जो तरंग द्वारा माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाती हैं। माध्यम के कण स्वयं तरंग के साथ गति नहीं करते हैं, बल्कि अपनी संतुलन स्थिति के चारों ओर दोलन करते हैं। इसलिए, तरंग का प्रसार पदार्थ के स्थानांतरण के साथ नहीं होता है।

आवृत्ति के अनुसार, यांत्रिक तरंगों को विभिन्न श्रेणियों में विभाजित किया जाता है, जिन्हें तालिका में दर्शाया गया है। 2.1.

तालिका 2.1.पैमाना यांत्रिक तरंगें

तरंग प्रसार की दिशा के संबंध में कण दोलनों की दिशा के आधार पर, अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगों को प्रतिष्ठित किया जाता है।

अनुदैर्ध्य तरंगें- तरंगें, जिनके प्रसार के दौरान माध्यम के कण उसी सीधी रेखा के साथ दोलन करते हैं जिसके साथ तरंग फैलती है। इस मामले में, संपीड़न और विरलन के क्षेत्र माध्यम में वैकल्पिक होते हैं।

अनुदैर्ध्य यांत्रिक तरंगें हो सकती हैं सभी मेंमीडिया (ठोस, तरल और गैसीय)।

अनुप्रस्थ तरंगें- तरंगें, जिनके प्रसार के दौरान कण तरंग के प्रसार की दिशा में लंबवत दोलन करते हैं। इस मामले में, माध्यम में आवधिक कतरनी विकृतियाँ होती हैं।

द्रवों और गैसों में लोचदार बल केवल संपीड़न के दौरान उत्पन्न होते हैं और कतरनी के दौरान उत्पन्न नहीं होते हैं, इसलिए इन मीडिया में अनुप्रस्थ तरंगें नहीं बनती हैं। अपवाद तरल की सतह पर तरंगें हैं।

2.2. लहर सामने। वेग और तरंग दैर्ध्य

प्रकृति में, ऐसी कोई प्रक्रिया नहीं है जो असीम रूप से उच्च गति से फैलती है, इसलिए, वातावरण में एक बिंदु पर बाहरी प्रभाव से उत्पन्न अशांति तुरंत नहीं, बल्कि कुछ समय बाद दूसरे बिंदु पर पहुंच जाएगी। इस मामले में, माध्यम को दो क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है: वह क्षेत्र, जिसके बिंदु पहले से ही दोलन गति में शामिल हैं, और वह क्षेत्र, जिसके बिंदु अभी भी संतुलन में हैं। इन क्षेत्रों को अलग करने वाली सतह कहलाती है लहर सामने।

वेव फ्रंट -उन बिंदुओं का स्थान जहाँ तक दोलन (माध्यम का विक्षोभ) एक निश्चित क्षण तक पहुँच गया है।

जब कोई तरंग फैलती है, तो उसका अग्रभाग एक निश्चित गति से गति करता है, जिसे तरंग की गति कहते हैं।

तरंग गति (v) इसके अग्रभाग की गति की गति है।

एक तरंग की गति माध्यम के गुणों और तरंग के प्रकार पर निर्भर करती है: एक ठोस में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगें अलग-अलग गति से फैलती हैं।

सभी प्रकार की तरंगों का प्रसार वेग निम्न अभिव्यक्ति द्वारा कमजोर तरंग क्षीणन की स्थिति के तहत निर्धारित किया जाता है:

जहाँ G लोच का प्रभावी मापांक है, माध्यम का घनत्व है।

एक माध्यम में एक तरंग की गति को इसमें शामिल माध्यम के कणों की गति की गति के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए तरंग प्रक्रिया. उदाहरण के लिए, जब एक ध्वनि तरंग हवा में फैलती है, तो उसके अणुओं का औसत कंपन वेग लगभग 10 सेमी/सेकेंड होता है, और सामान्य परिस्थितियों में ध्वनि तरंग की गति लगभग 330 मीटर/सेकेंड होती है।

वेवफ्रंट आकार तरंग के ज्यामितीय प्रकार को निर्धारित करता है। इस आधार पर सबसे सरल प्रकार की तरंगें हैं समतलऔर गोलाकार।

समतलएक तरंग को एक तरंग कहा जाता है जिसका अग्र भाग संचरण की दिशा के लंबवत होता है।

समतल तरंगें उत्पन्न होती हैं, उदाहरण के लिए, जब पिस्टन दोलन करता है तो गैस के साथ बंद पिस्टन सिलेंडर में।

समतल तरंग का आयाम व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित रहता है। तरंग स्रोत से दूरी के साथ इसकी थोड़ी कमी तरल या गैसीय माध्यम की चिपचिपाहट से जुड़ी होती है।

गोलाकारएक लहर कहा जाता है जिसके सामने एक गोले का आकार होता है।

इस तरह, उदाहरण के लिए, एक तरल या गैसीय माध्यम में एक स्पंदित गोलाकार स्रोत के कारण होने वाली लहर है।

एक गोलाकार तरंग का आयाम स्रोत से दूरी के साथ दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

कई तरंग परिघटनाओं का वर्णन करने के लिए, जैसे कि हस्तक्षेप और विवर्तन, तरंग दैर्ध्य नामक एक विशेष विशेषता का उपयोग करें।

वेवलेंथ उस दूरी को कहा जाता है जिस पर माध्यम के कणों के दोलन की अवधि के बराबर समय में इसका अग्रभाग चलता है:

यहां वी- तरंग गति, टी - दोलन अवधि, ν - मध्यम बिंदुओं के दोलनों की आवृत्ति, ω - चक्रीय आवृत्ति।

चूंकि तरंग प्रसार की गति माध्यम के गुणों पर निर्भर करती है, तरंग दैर्ध्य λ एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाने पर, यह बदल जाता है, जबकि आवृत्ति ν वैसा ही रहता है।

तरंग दैर्ध्य की इस परिभाषा की एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय व्याख्या है। अंजीर पर विचार करें। 2.1a, जो किसी समय माध्यम के बिंदुओं के विस्थापन को दर्शाता है। वेव फ्रंट की स्थिति अंक ए और बी द्वारा चिह्नित की जाती है।

एक समय T के बाद दोलन की एक अवधि के बराबर, तरंग मोर्चा गति करेगा। इसकी स्थिति अंजीर में दिखाई गई है। 2.1, बी अंक ए 1 और बी 1। यह चित्र से देखा जा सकता है कि तरंग दैर्ध्य λ एक ही चरण में दोलन करने वाले आसन्न बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है, उदाहरण के लिए, दो आसन्न मैक्सिमा या क्षुद्रता के न्यूनतम के बीच की दूरी।

चावल। 2.1.तरंग दैर्ध्य की ज्यामितीय व्याख्या

2.3. समतल तरंग समीकरण

माध्यम पर आवधिक बाहरी प्रभावों के परिणामस्वरूप तरंग उत्पन्न होती है। वितरण पर विचार करें समतलस्रोत के हार्मोनिक दोलनों द्वारा निर्मित तरंग:

जहाँ x और - स्रोत का विस्थापन, A - दोलनों का आयाम, - दोलनों की वृत्ताकार आवृत्ति।

यदि माध्यम के कुछ बिंदु को स्रोत से s दूरी पर हटा दिया जाता है, और तरंग की गति बराबर होती है वी,तो स्रोत द्वारा निर्मित परेशानी इस बिंदु पर समय τ = s/v तक पहुंच जाएगी। इसलिए, t समय पर विचार किए गए बिंदु पर दोलनों का चरण उस समय स्रोत दोलनों के चरण के समान होगा (टी - एस / वी),और दोलनों का आयाम व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित रहेगा। परिणामस्वरूप, इस बिंदु के उतार-चढ़ाव को समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाएगा

यहां हमने वृत्ताकार आवृत्ति के सूत्रों का उपयोग किया है (ω = 2π/T) और तरंगदैर्घ्य (λ = वीटी)।

इस व्यंजक को मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण (2.2), जो किसी भी समय माध्यम के किसी बिंदु के विस्थापन को निर्धारित करता है, कहलाता है समतल तरंग समीकरणकोसाइन पर तर्क परिमाण है φ = t - 2 π एस /λ - बुलाया लहर चरण।

2.4. तरंग की ऊर्जा विशेषताएँ

जिस माध्यम में तरंग फैलती है उसमें यांत्रिक ऊर्जा होती है, जो उसके सभी कणों की दोलन गति की ऊर्जाओं से बनी होती है। m 0 द्रव्यमान वाले एक कण की ऊर्जा सूत्र (1.21) द्वारा ज्ञात की जाती है: E 0 = m 0 2 डब्ल्यू 2/2. माध्यम के आयतन इकाई में n = . होता है पी/एम 0 कण (ρ माध्यम का घनत्व है)। इसलिए, माध्यम के एक इकाई आयतन में ऊर्जा होती है w р = nЕ 0 = ρ Α 2 डब्ल्यू 2 /2.

थोक ऊर्जा घनत्व(\ ¥ p) - इसकी मात्रा की एक इकाई में निहित माध्यम के कणों की दोलन गति की ऊर्जा:

जहाँ माध्यम का घनत्व है, A कण दोलनों का आयाम है, तरंग की आवृत्ति है।

जैसे-जैसे लहर फैलती है, स्रोत द्वारा प्रदान की गई ऊर्जा दूर के क्षेत्रों में स्थानांतरित हो जाती है।

ऊर्जा हस्तांतरण के मात्रात्मक विवरण के लिए, निम्नलिखित मात्राएं पेश की जाती हैं।

ऊर्जा प्रवाह(Ф) - प्रति इकाई समय में दी गई सतह के माध्यम से तरंग द्वारा की गई ऊर्जा के बराबर मूल्य:

लहर की तीव्रताया ऊर्जा प्रवाह घनत्व (I) - मान, प्रवाह के बराबरतरंग प्रसार की दिशा के लंबवत एक इकाई क्षेत्र के माध्यम से एक लहर द्वारा की गई ऊर्जा:

यह दिखाया जा सकता है कि तरंग की तीव्रता उसके प्रसार वेग और आयतन ऊर्जा घनत्व के गुणनफल के बराबर होती है

2.5. कुछ विशेष किस्में

लहर की

1. सदमे की लहरें।जब ध्वनि तरंगें फैलती हैं, तो कण दोलन वेग कुछ सेमी/सेकेंड से अधिक नहीं होता है, अर्थात। यह लहर की गति से सैकड़ों गुना कम है। मजबूत गड़बड़ी (विस्फोट, सुपरसोनिक गति से पिंडों की गति, शक्तिशाली विद्युत निर्वहन) के तहत, माध्यम के दोलन कणों की गति ध्वनि की गति के बराबर हो सकती है। यह एक प्रभाव बनाता है जिसे शॉक वेव कहा जाता है।

एक विस्फोट के दौरान, उच्च घनत्व वाले उत्पाद, उच्च तापमान तक गर्म होते हैं, विस्तार और संपीड़ित होते हैं पतली परतव्यापक वायु।

सदमे की लहर -सुपरसोनिक गति से फैलने वाला एक पतला संक्रमण क्षेत्र, जिसमें दबाव, घनत्व और पदार्थ के वेग में अचानक वृद्धि होती है।

शॉक वेव में महत्वपूर्ण ऊर्जा हो सकती है। तो, एक परमाणु विस्फोट में, एक शॉक वेव का निर्माण होता है वातावरणविस्फोट की कुल ऊर्जा का लगभग 50% खर्च किया जाता है। वस्तुओं तक पहुँचने वाली शॉक वेव विनाश का कारण बनने में सक्षम है।

2. सतह की लहरें।विस्तारित सीमाओं की उपस्थिति में निरंतर मीडिया में शरीर की तरंगों के साथ, सीमाओं के पास स्थानीयकृत तरंगें हो सकती हैं, जो वेवगाइड की भूमिका निभाती हैं। इस तरह, विशेष रूप से, 19 वीं शताब्दी के 90 के दशक में अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी डब्ल्यू। स्ट्रेट (लॉर्ड रेले) द्वारा खोजे गए एक तरल और एक लोचदार माध्यम में सतह की तरंगें हैं। आदर्श स्थिति में, रेले तरंगें अर्ध-अंतरिक्ष की सीमा के साथ-साथ फैलती हैं, अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से क्षय होती हैं। नतीजतन, सतह तरंगें सतह पर अपेक्षाकृत संकीर्ण निकट-सतह परत में बनाई गई गड़बड़ी की ऊर्जा को स्थानीयकृत करती हैं।

सतही तरंगें -तरंगें जो किसी पिंड की मुक्त सतह के साथ या अन्य माध्यमों के साथ शरीर की सीमा के साथ फैलती हैं और सीमा से दूरी के साथ तेजी से क्षय होती हैं।

लहरें भूपर्पटी(भूकंपीय तरंगे)। सतह तरंगों की प्रवेश गहराई कई तरंग दैर्ध्य है। तरंग दैर्ध्य के बराबर गहराई पर, तरंग की वॉल्यूमेट्रिक ऊर्जा घनत्व सतह पर इसके वॉल्यूमेट्रिक घनत्व का लगभग 0.05 है। विस्थापन आयाम सतह से दूरी के साथ तेजी से घटता है और व्यावहारिक रूप से कई तरंग दैर्ध्य की गहराई पर गायब हो जाता है।

3. उत्तेजना की लहरें सक्रिय वातावरण.

एक सक्रिय रूप से उत्तेजक, या सक्रिय, पर्यावरण एक सतत वातावरण है जिसमें बड़ी संख्या में तत्व होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में ऊर्जा आरक्षित होती है।

इसके अलावा, प्रत्येक तत्व तीन राज्यों में से एक में हो सकता है: 1 - उत्तेजना, 2 - अपवर्तकता (उत्तेजना के बाद एक निश्चित समय के लिए गैर-उत्तेजना), 3 - आराम। आराम की स्थिति से ही तत्व उत्तेजना में जा सकते हैं। सक्रिय मीडिया में उत्तेजना तरंगों को ऑटोवेव कहा जाता है। ऑटोवेव्स -ये सक्रिय माध्यम में आत्मनिर्भर तरंगें हैं, जो माध्यम में वितरित ऊर्जा स्रोतों के कारण अपनी विशेषताओं को स्थिर रखती हैं।

एक ऑटोवेव की विशेषताएं - अवधि, तरंग दैर्ध्य, प्रसार वेग, आयाम और आकार - स्थिर अवस्था में केवल माध्यम के स्थानीय गुणों पर निर्भर करती हैं और प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं करती हैं। तालिका में। 2.2 ऑटोवेव और साधारण यांत्रिक तरंगों के बीच समानता और अंतर को दर्शाता है।

ऑटोवेव्स की तुलना स्टेपी में आग के फैलाव से की जा सकती है। लौ वितरित ऊर्जा भंडार (सूखी घास) वाले क्षेत्र में फैलती है। प्रत्येक बाद वाला तत्व (घास का सूखा ब्लेड) पिछले एक से प्रज्वलित होता है। और इस प्रकार उत्तेजना तरंग (लौ) के सामने सक्रिय माध्यम (सूखी घास) के माध्यम से फैलता है। जब दो आग मिलती है, तो ज्वाला विलीन हो जाती है, जैसे ऊर्जा भंडार समाप्त हो जाता है - सारी घास जल जाती है।

सक्रिय मीडिया में ऑटोवेव्स के प्रसार की प्रक्रियाओं का विवरण तंत्रिका और मांसपेशी फाइबर के साथ क्रिया क्षमता के प्रसार के अध्ययन में उपयोग किया जाता है।

तालिका 2.2.ऑटोवेव और साधारण यांत्रिक तरंगों की तुलना

2.6. डॉपलर प्रभाव और दवा में इसका उपयोग

क्रिश्चियन डॉपलर (1803-1853) - ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ, खगोलशास्त्री, दुनिया के पहले भौतिक संस्थान के निदेशक।

डॉपलर प्रभावऑसीलेशन के स्रोत और प्रेक्षक की सापेक्ष गति के कारण पर्यवेक्षक द्वारा अनुभव किए जाने वाले दोलनों की आवृत्ति को बदलना शामिल है।

प्रभाव ध्वनिकी और प्रकाशिकी में देखा जाता है।

हम उस स्थिति के लिए डॉपलर प्रभाव का वर्णन करने वाला एक सूत्र प्राप्त करते हैं जब तरंग का स्रोत और रिसीवर माध्यम के सापेक्ष एक सीधी रेखा के साथ क्रमशः v I और v P वेग के साथ चलता है। स्रोतप्रतिबद्ध हार्मोनिक कंपनइसकी संतुलन स्थिति के सापेक्ष आवृत्ति 0 के साथ। इन दोलनों द्वारा निर्मित तरंग माध्यम में गति से फैलती है वीआइए जानें कि इस मामले में दोलनों की आवृत्ति क्या तय करेगी रिसीवर।

स्रोत दोलनों द्वारा निर्मित विक्षोभ माध्यम में फैलते हैं और रिसीवर तक पहुंचते हैं। स्रोत के एक पूर्ण दोलन पर विचार करें, जो समय t 1 = 0 . से शुरू होता है

और इस समय t 2 = T 0 पर समाप्त होता है (T 0 स्रोत दोलन अवधि है)। समय के इन क्षणों में निर्मित माध्यम की गड़बड़ी क्रमशः t"1 और t" 2 क्षणों में रिसीवर तक पहुँचती है। इस मामले में, रिसीवर एक अवधि और आवृत्ति के साथ दोलनों को पकड़ लेता है:

आइए उस स्थिति के लिए क्षण t" 1 और t" 2 खोजें जब स्रोत और रिसीवर चल रहे हों की ओरएक दूसरे से, और उनके बीच की प्रारंभिक दूरी S के बराबर है। फिलहाल t 2 \u003d T 0, यह दूरी S - (v I + v P) T 0, (चित्र। 2.2) के बराबर हो जाएगी।

चावल। 2.2.क्षण t 1 और t 2 . पर स्रोत और रिसीवर की पारस्परिक स्थिति

यह सूत्र उस स्थिति के लिए मान्य है जब गति v तथा तथा v p निर्देशित हैं की ओरएक-दूसरे से। सामान्य तौर पर, चलते समय

स्रोत और रिसीवर एक सीधी रेखा के साथ, डॉपलर प्रभाव का सूत्र रूप लेता है

स्रोत के लिए, गति v और को "+" चिह्न के साथ लिया जाता है यदि यह रिसीवर की दिशा में चलता है, और अन्यथा "-" चिह्न के साथ। रिसीवर के लिए - इसी तरह (चित्र। 2.3)।

चावल। 2.3.तरंगों के स्रोत और रिसीवर के वेगों के लिए संकेतों का चुनाव

एक पर विचार करें विशेष मामलादवा में डॉपलर प्रभाव का उपयोग। बता दें कि अल्ट्रासाउंड जनरेटर को कुछ तकनीकी प्रणाली के रूप में रिसीवर के साथ जोड़ा जाता है जो माध्यम के सापेक्ष स्थिर होता है। जनरेटर आवृत्ति 0 वाले अल्ट्रासाउंड का उत्सर्जन करता है, जो माध्यम में गति v के साथ फैलता है। की ओरएक गति के साथ प्रणाली v t कुछ शरीर को गतिमान करती है। सबसे पहले, सिस्टम भूमिका निभाता है स्रोत (v और= 0), और शरीर रिसीवर की भूमिका है (vTl= वी टी)। फिर तरंग वस्तु से परावर्तित होती है और एक निश्चित प्राप्त करने वाले उपकरण द्वारा तय की जाती है। इस मामले में, वी और = वी टी,और वी पी \u003d 0.

सूत्र (2.7) को दो बार लागू करने पर, हम उत्सर्जित संकेत के परावर्तन के बाद प्रणाली द्वारा निर्धारित आवृत्ति के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

पर दृष्टिकोणपरावर्तित सिग्नल की सेंसर आवृत्ति पर वस्तु बढ़ती हैऔर कम से हटाना - घट जाता है।

डॉपलर फ़्रीक्वेंसी शिफ्ट को मापकर, सूत्र (2.8) से हम परावर्तक पिंड की गति ज्ञात कर सकते हैं:

चिन्ह "+" उत्सर्जक की ओर शरीर की गति से मेल खाता है।

डॉपलर प्रभाव का उपयोग रक्त प्रवाह की गति, हृदय के वाल्वों और दीवारों की गति (डॉपलर इकोकार्डियोग्राफी) और अन्य अंगों की गति को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। रक्त के वेग को मापने के लिए संबंधित सेटअप का एक चित्र अंजीर में दिखाया गया है। 2.4.

चावल। 2.4.रक्त वेग मापने के लिए स्थापना की योजना: 1 - अल्ट्रासाउंड स्रोत, 2 - अल्ट्रासाउंड रिसीवर

डिवाइस में दो पीज़ोक्रिस्टल होते हैं, जिनमें से एक का उपयोग अल्ट्रासोनिक कंपन (उलटा पीज़ोइलेक्ट्रिक प्रभाव) उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, और दूसरा - रक्त द्वारा बिखरे हुए अल्ट्रासाउंड (प्रत्यक्ष पीज़ोइलेक्ट्रिक प्रभाव) प्राप्त करने के लिए।

उदाहरण. धमनी में रक्त प्रवाह की गति निर्धारित करें, यदि अल्ट्रासाउंड का काउंटर प्रतिबिंब है (ν 0 = 100 किलोहर्ट्ज़ = 100,000 हर्ट्ज, वी \u003d 1500 m / s) एरिथ्रोसाइट्स से एक डॉपलर आवृत्ति बदलाव होता है डी = 40 हर्ट्ज।

फेसला। सूत्र (2.9) से हम पाते हैं:

वी 0 = वी डी वी /2v0 = 40एक्स 1500/(2एक्स 100,000) = 0.3 मी/से।

2.7. सतह तरंगों के प्रसार के दौरान अनिसोट्रॉपी। जैविक ऊतकों पर आघात तरंगों का प्रभाव

1. सतह तरंग प्रसार की अनिसोट्रॉपी।शोध करते समय यांत्रिक विशेषताएं 5-6 kHz की आवृत्ति पर सतह तरंगों की मदद से त्वचा (अल्ट्रासाउंड के साथ भ्रमित नहीं होना), त्वचा की ध्वनिक अनिसोट्रॉपी प्रकट होती है। यह इस तथ्य में व्यक्त किया जाता है कि सतह तरंग के प्रसार वेग परस्पर लंबवत दिशाओं में - शरीर के ऊर्ध्वाधर (Y) और क्षैतिज (X) अक्षों के साथ - भिन्न होते हैं।

ध्वनिक अनिसोट्रॉपी की गंभीरता को मापने के लिए, यांत्रिक अनिसोट्रॉपी गुणांक का उपयोग किया जाता है, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कहाँ पे वी यू- ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ गति, वी एक्स- क्षैतिज अक्ष के साथ।

अनिसोट्रॉपी गुणांक को धनात्मक (K+) के रूप में लिया जाता है यदि वी यू> वी एक्सपर वी यू < वी एक्सगुणांक को ऋणात्मक (K -) के रूप में लिया जाता है। त्वचा में सतही तरंगों के वेग के संख्यात्मक मान और अनिसोट्रॉपी की डिग्री त्वचा पर पड़ने वाले प्रभावों सहित विभिन्न प्रभावों का आकलन करने के लिए वस्तुनिष्ठ मानदंड हैं।

2. जैविक ऊतकों पर आघात तरंगों की क्रिया।जैविक ऊतकों (अंगों) पर प्रभाव के कई मामलों में, परिणामी सदमे तरंगों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, एक झटके की लहर तब होती है जब कोई कुंद वस्तु सिर से टकराती है। इसलिए, सुरक्षात्मक हेलमेट डिजाइन करते समय, सदमे की लहर को कम करने और सिर के पिछले हिस्से को ललाट प्रभाव से बचाने के लिए ध्यान रखा जाता है। यह उद्देश्य हेलमेट में आंतरिक टेप द्वारा पूरा किया जाता है, जो पहली नज़र में केवल वेंटिलेशन के लिए आवश्यक लगता है।

उच्च-तीव्रता वाले लेजर विकिरण के संपर्क में आने पर ऊतकों में शॉक तरंगें उत्पन्न होती हैं। अक्सर उसके बाद त्वचा में सिकाट्रिकियल (या अन्य) परिवर्तन विकसित होने लगते हैं। यह मामला है, उदाहरण के लिए, कॉस्मेटिक प्रक्रियाओं में। इसलिए, कम करने के लिए हानिकारक प्रभावसदमे की लहरें, विकिरण और त्वचा दोनों के भौतिक गुणों को ध्यान में रखते हुए, जोखिम की खुराक की पूर्व-गणना करना आवश्यक है।

चावल। 2.5.रेडियल शॉक वेव्स का प्रसार

शॉक वेव्स का उपयोग रेडियल शॉक वेव थेरेपी में किया जाता है। अंजीर पर। 2.5 एप्लीकेटर से रेडियल शॉक वेव्स के प्रसार को दर्शाता है।

ऐसी तरंगें एक विशेष कंप्रेसर से लैस उपकरणों में बनाई जाती हैं। एक रेडियल शॉक वेव उत्पन्न होता है वायवीय विधि. जोड़तोड़ में स्थित पिस्टन, संपीड़ित हवा की नियंत्रित नाड़ी के प्रभाव में उच्च गति से चलता है। जब पिस्टन मैनिपुलेटर में स्थापित एप्लीकेटर से टकराता है, तो उसकी गतिज ऊर्जा प्रभावित शरीर के क्षेत्र की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। इस मामले में, एप्लीकेटर और त्वचा के बीच स्थित वायु अंतराल में तरंगों के संचरण के दौरान नुकसान को कम करने के लिए, और सदमे तरंगों की अच्छी चालकता सुनिश्चित करने के लिए, एक संपर्क जेल का उपयोग किया जाता है। सामान्य ऑपरेटिंग मोड: आवृत्ति 6-10 हर्ट्ज, ऑपरेटिंग दबाव 250 केपीए, प्रति सत्र दालों की संख्या - 2000 तक।

1. जहाज पर कोहरे में संकेत देते हुए एक सायरन चालू किया जाता है, और t = 6.6 s के बाद, एक प्रतिध्वनि सुनाई देती है। परावर्तक सतह कितनी दूर है? हवा में ध्वनि की गति वी= 330 मी/से.

फेसला

समय t में, ध्वनि 2S: 2S = vt →S = vt/2 = 1090 m पथ पर चलती है। जवाब:एस = 1090 मीटर।

2. क्या न्यूनतम आकारजिन वस्तुओं की स्थिति निर्धारित की जा सकती है चमगादड़आपके सेंसर के साथ, जिसकी फ़्रीक्वेंसी 100,000 हर्ट्ज़ है? 100,000 हर्ट्ज की आवृत्ति का उपयोग करके डॉल्फ़िन वस्तुओं का न्यूनतम आकार क्या पता लगा सकती है?

फेसला

किसी वस्तु के न्यूनतम आयाम तरंगदैर्घ्य के बराबर होते हैं:

1\u003d 330 मीटर / एस / 10 5 हर्ट्ज \u003d 3.3 मिमी। यह मोटे तौर पर उन कीड़ों के आकार का होता है जिन्हें चमगादड़ खाते हैं;

2\u003d 1500 m / s / 10 5 हर्ट्ज \u003d 1.5 सेमी। डॉल्फिन एक छोटी मछली का पता लगा सकती है।

जवाब:1= 3.3 मिमी; 2= 1.5 सेमी.

3. सबसे पहले, एक व्यक्ति को बिजली की चमक दिखाई देती है, और उसके बाद 8 सेकंड के बाद उसे एक गड़गड़ाहट सुनाई देती है। उससे कितनी दूरी पर बिजली चमकी?

फेसला

एस \u003d वी स्टार टी \u003d 330 एक्स 8 = 2640 मी. जवाब: 2640 वर्ग मीटर

4. दो ध्वनि तरंगेंसमान विशेषताएं हैं, सिवाय इसके कि एक की तरंग दैर्ध्य दूसरे की तरंग दैर्ध्य से दोगुनी है। कौन सा सबसे अधिक ऊर्जा वहन करता है? कितनी बार?

फेसला

तरंग की तीव्रता आवृत्ति (2.6) के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है और तरंग दैर्ध्य के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है (ω = 2πv/λ ). जवाब:एक छोटी तरंग दैर्ध्य के साथ; 4 बार।

5. 262 हर्ट्ज की आवृत्ति वाली ध्वनि तरंग 345 मीटर/सेकेंड की गति से हवा में फैलती है। क) इसकी तरंग दैर्ध्य क्या है? ख) अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु पर चरण को 90° तक बदलने में कितना समय लगता है? ग) 6.4 सेमी अलग बिंदुओं के बीच चरण अंतर (डिग्री में) क्या है?

फेसला

ए) λ =v /ν = 345/262 = 1.32 मीटर;

में) Δφ = 360°s/λ= 360 एक्स 0.064/1.32 = 17.5°। जवाब:ए) λ = 1.32 मीटर; बी) टी = टी / 4; में) Δφ = 17.5°।

6. हवा में अल्ट्रासाउंड की ऊपरी सीमा (आवृत्ति) का अनुमान लगाएं यदि इसके प्रसार की गति ज्ञात है वी= 330 मी/से. मान लें कि वायु के अणुओं का आकार d = 10 -10 m कोटि का है।

फेसला

हवा में, एक यांत्रिक तरंग अनुदैर्ध्य होती है और तरंग दैर्ध्य अणुओं के दो निकटतम सांद्रता (या निर्वहन) के बीच की दूरी से मेल खाती है। चूंकि समूहों के बीच की दूरी नहीं हो सकती छोटे आकारअणु, फिर d = λ. इन विचारों से, हमारे पास है ν =v /λ = 3,3एक्स 10 12 हर्ट्ज। जवाब:ν = 3,3एक्स 10 12 हर्ट्ज।

7. दो कारें v 1 = 20 m/s और v 2 = 10 m/s की गति से एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं। पहली मशीन आवृत्ति के साथ एक संकेत देती है ν 0 = 800 हर्ट्ज। ध्वनि की गति वी= 340 मी/से. दूसरी कार का चालक कितनी आवृत्ति सुनेगा: क) कारों के मिलने से पहले; बी) कारों की बैठक के बाद?

8. जब कोई ट्रेन गुजरती है, तो आप सुनते हैं कि कैसे इसकी सीटी की आवृत्ति 1 = 1000 हर्ट्ज (आने पर) से ν 2 = 800 हर्ट्ज (जब ट्रेन दूर जा रही हो) में बदल जाती है। ट्रेन की गति क्या है?

फेसला

यह समस्या पिछले वाले से अलग है जिसमें हम ध्वनि स्रोत की गति नहीं जानते हैं - ट्रेन - और इसके सिग्नल की आवृत्ति 0 अज्ञात है। इसलिए, दो अज्ञात के साथ समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है:

फेसला

रहने दो वीहवा की गति है, और यह व्यक्ति (रिसीवर) से ध्वनि के स्रोत तक चलती है। जमीन के सापेक्ष, वे गतिहीन हैं, और हवा के सापेक्ष, दोनों एक गति u के साथ दाईं ओर चलते हैं।

सूत्र (2.7) से हम ध्वनि आवृत्ति प्राप्त करते हैं। मनुष्य द्वारा माना जाता है। वह अपरिवर्तित है:

जवाब:आवृत्ति नहीं बदलेगी।

पानी में पत्थर फेंकने से आप कल्पना कर सकते हैं कि यांत्रिक तरंगें क्या होती हैं। इस पर दिखाई देने वाले वृत्त और बारी-बारी से कुंड और लकीरें यांत्रिक तरंगों के उदाहरण हैं। उनका सार क्या है? लोचदार मीडिया में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया यांत्रिक तरंगें हैं।

तरल सतहों पर लहरें

ऐसी यांत्रिक तरंगें तरल के कणों पर अंतर-आणविक बलों और गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के कारण मौजूद होती हैं। लोग लंबे समय से इस घटना का अध्ययन कर रहे हैं। सबसे उल्लेखनीय समुद्री हैं और समुद्र की लहरें. जैसे-जैसे हवा की गति बढ़ती है, वे बदलते हैं और उनकी ऊंचाई बढ़ती है। स्वयं तरंगों का आकार भी अधिक जटिल हो जाता है। समुद्र में, वे भयावह अनुपात तक पहुँच सकते हैं। बल के सबसे स्पष्ट उदाहरणों में से एक सुनामी है, जो अपने रास्ते में आने वाली हर चीज को बहा ले जाती है।

समुद्र और समुद्र की लहरों की ऊर्जा

तट पर पहुँचते ही समुद्र की लहरें गहराई में तीव्र परिवर्तन के साथ बढ़ती जाती हैं। वे कभी-कभी कई मीटर की ऊंचाई तक पहुंचते हैं। ऐसे क्षणों में, पानी का एक विशाल द्रव्यमान तटीय बाधाओं में स्थानांतरित हो जाता है, जो इसके प्रभाव में जल्दी से नष्ट हो जाते हैं। सर्फ की ताकत कभी-कभी भव्य मूल्यों तक पहुंच जाती है।

लोचदार तरंगें

यांत्रिकी में, न केवल एक तरल की सतह पर दोलनों का अध्ययन किया जाता है, बल्कि तथाकथित लोचदार तरंगों का भी अध्ययन किया जाता है। ये वे विक्षोभ हैं जो विभिन्न माध्यमों में लोचदार बलों की कार्रवाई के तहत फैलते हैं। इस तरह की गड़बड़ी संतुलन की स्थिति से किसी दिए गए माध्यम के कणों का विचलन है। लोचदार तरंगों का एक अच्छा उदाहरण है लंबी रस्सीया किसी चीज के एक सिरे पर लगी रबर की नली। यदि आप इसे कसकर खींचते हैं, और फिर पार्श्व तेज गति के साथ इसके दूसरे (अस्थिर) छोर पर एक गड़बड़ी पैदा करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह रस्सी की पूरी लंबाई के साथ समर्थन के लिए कैसे "चलता है" और वापस परिलक्षित होता है।

प्रारंभिक गड़बड़ी माध्यम में एक लहर की उपस्थिति की ओर ले जाती है। यह किसी विदेशी पिंड की क्रिया के कारण होता है, जिसे भौतिकी में तरंग का स्रोत कहा जाता है। यह रस्सी को घुमाने वाले व्यक्ति का हाथ हो सकता है, या पानी में फेंका गया कंकड़ हो सकता है। उस स्थिति में जब स्रोत की क्रिया अल्पकालिक होती है, माध्यम में अक्सर एक एकान्त तरंग दिखाई देती है। जब "डिस्टर्बर" लंबी लहरें बनाता है, तो वे एक के बाद एक दिखाई देने लगते हैं।

यांत्रिक तरंगों की घटना के लिए शर्तें

इस तरह के दोलन हमेशा नहीं बनते हैं। आवश्यक शर्तउनकी उपस्थिति के लिए, विशेष रूप से, लोच को रोकने वाली ताकतों के माध्यम के गड़बड़ी के क्षण में होने वाली घटना है। जब वे अलग हो जाते हैं, तो वे पड़ोसी कणों को एक-दूसरे के करीब लाते हैं, और जब वे एक-दूसरे के पास आते हैं तो उन्हें एक-दूसरे से दूर धकेल देते हैं। लोचदार बल, गड़बड़ी के स्रोत से दूर कणों पर कार्य करते हुए, उन्हें असंतुलित करना शुरू कर देते हैं। समय के साथ, माध्यम के सभी कण एक दोलन गति में शामिल होते हैं। ऐसे दोलनों का प्रसार एक लहर है।

लोचदार माध्यम में यांत्रिक तरंगें

एक लोचदार तरंग में, एक साथ 2 प्रकार की गति होती है: कण दोलन और गड़बड़ी प्रसार। अनुदैर्ध्य तरंग एक यांत्रिक तरंग है जिसके कण इसके प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं। अनुप्रस्थ तरंग वह तरंग है जिसके माध्यम के कण उसके प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।

यांत्रिक तरंगों के गुण

एक अनुदैर्ध्य लहर में गड़बड़ी दुर्लभ और संपीड़न होती है, और एक अनुप्रस्थ तरंग में वे दूसरों के सापेक्ष माध्यम की कुछ परतों के बदलाव (विस्थापन) होते हैं। लोचदार बलों की उपस्थिति के साथ संपीड़न विरूपण होता है। इस मामले में, यह विशेष रूप से लोचदार बलों की उपस्थिति से जुड़ा हुआ है ठोसओह। गैसीय और तरल माध्यमों में, इन माध्यमों की परतों का विस्थापन उल्लिखित बल की उपस्थिति के साथ नहीं होता है। उनके गुणों के कारण, अनुदैर्ध्य तरंगें किसी भी माध्यम में फैल सकती हैं, और अनुप्रस्थ तरंगें - केवल ठोस में।

तरल पदार्थ की सतह पर तरंगों की विशेषताएं

द्रव की सतह पर तरंगें न तो अनुदैर्ध्य होती हैं और न ही अनुप्रस्थ। उनके पास एक अधिक जटिल, तथाकथित अनुदैर्ध्य-अनुप्रस्थ चरित्र है। इस मामले में, द्रव कण एक वृत्त में या लम्बी दीर्घवृत्त के साथ चलते हैं। तरल की सतह पर कण, और विशेष रूप से बड़े उतार-चढ़ाव के साथ, तरंग प्रसार की दिशा में उनकी धीमी लेकिन निरंतर गति के साथ होते हैं। यह पानी में यांत्रिक तरंगों के गुण हैं जो तट पर विभिन्न समुद्री भोजन की उपस्थिति का कारण बनते हैं।

यांत्रिक तरंगों की आवृत्ति

यदि एक लोचदार माध्यम (तरल, ठोस, गैसीय) में इसके कणों का कंपन उत्तेजित होता है, तो उनके बीच परस्पर क्रिया के कारण, यह गति u के साथ प्रचारित होगा। इसलिए, यदि कोई दोलनशील पिंड गैसीय या तरल माध्यम में है, तो उसकी गति उसके आस-पास के सभी कणों तक प्रसारित होने लगेगी। वे इस प्रक्रिया में अगले लोगों को शामिल करेंगे और इसी तरह। इस मामले में, माध्यम के बिल्कुल सभी बिंदु समान आवृत्ति के साथ दोलन करना शुरू कर देंगे, दोलन करने वाले शरीर की आवृत्ति के बराबर। यह तरंग की आवृत्ति है। दूसरे शब्दों में, इस मात्रा को उस माध्यम में बिंदुओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है जहां लहर फैलती है।

यह तुरंत स्पष्ट नहीं हो सकता है कि यह प्रक्रिया कैसे होती है। यांत्रिक तरंगें दोलन गति की ऊर्जा को उसके स्रोत से माध्यम की परिधि तक स्थानांतरित करने से जुड़ी हैं। इसके दौरान, तथाकथित आवधिक विकृतियाँ उत्पन्न होती हैं, जो तरंग द्वारा एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाती हैं। इस मामले में, माध्यम के कण स्वयं तरंग के साथ नहीं चलते हैं। वे अपनी संतुलन स्थिति के निकट दोलन करते हैं। इसीलिए यांत्रिक तरंग के संचरण के साथ पदार्थ का एक स्थान से दूसरे स्थान पर स्थानांतरण नहीं होता है। यांत्रिक तरंगों की आवृत्तियाँ भिन्न होती हैं। इसलिए, उन्हें श्रेणियों में विभाजित किया गया और एक विशेष पैमाना बनाया गया। आवृत्ति को हर्ट्ज़ (हर्ट्ज) में मापा जाता है।

मूल सूत्र

यांत्रिक तरंगें, जिनके परिकलन सूत्र काफी सरल होते हैं, हैं दिलचस्प वस्तुअध्ययन करने के लिए। तरंग गति (υ) इसके सामने की गति की गति है (सभी बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान जहां तक ​​माध्यम का दोलन पहुंच गया है) इस पल):

जहाँ माध्यम का घनत्व है, G लोच का मापांक है।

गणना करते समय, आपको माध्यम में शामिल होने वाले माध्यम के कणों की गति की गति के साथ एक माध्यम में यांत्रिक तरंग की गति को भ्रमित नहीं करना चाहिए। इसलिए, उदाहरण के लिए, हवा में एक ध्वनि तरंग का प्रसार होता है औसत गतिइसके अणुओं का कंपन 10 मीटर/सेकेंड पर होता है, जबकि सामान्य परिस्थितियों में ध्वनि तरंग की गति 330 मीटर/सेकेंड होती है।

वेव फ्रंट होता है अलग - अलग प्रकार, जिनमें से सबसे सरल हैं:

गोलाकार - गैसीय या तरल माध्यम में उतार-चढ़ाव के कारण होता है। इस मामले में, तरंग आयाम दूरी के वर्ग के विपरीत अनुपात में स्रोत से दूरी के साथ घटता है।

समतल - एक ऐसा तल है जो तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होता है। यह होता है, उदाहरण के लिए, एक बंद पिस्टन सिलेंडर में जब यह दोलन करता है। एक समतल तरंग की विशेषता लगभग स्थिर आयाम है। विक्षोभ स्रोत से दूरी के साथ इसकी थोड़ी कमी गैसीय या तरल माध्यम की चिपचिपाहट की डिग्री से जुड़ी है।

वेवलेंथ

माध्यम के कणों के दोलन की अवधि के बराबर समय में इसका अग्रभाग कितनी दूरी तक चलेगा, इसे समझें:

= υT = υ/v = 2πυ/ ,

जहां टी दोलन अवधि है, तरंग गति है, चक्रीय आवृत्ति है, मध्यम बिंदुओं की दोलन आवृत्ति है।

चूँकि एक यांत्रिक तरंग का संचरण वेग पूरी तरह से माध्यम के गुणों पर निर्भर करता है, एक माध्यम से दूसरे माध्यम में संक्रमण के दौरान इसकी लंबाई बदल जाती है। इस मामले में, दोलन आवृत्ति हमेशा समान रहती है। यांत्रिक और इसी तरह उनके प्रसार के दौरान, ऊर्जा स्थानांतरित होती है, लेकिन कोई भी पदार्थ स्थानांतरित नहीं होता है।

परिभाषा

लोंगिट्युडिनल वेव- यह एक तरंग है, जिसके प्रसार के दौरान माध्यम के कणों का विस्थापन तरंग प्रसार की दिशा में होता है (चित्र 1, ए)।

अनुदैर्ध्य तरंग के उत्पन्न होने का कारण संपीडन/विस्तार है, अर्थात्। किसी माध्यम के आयतन में परिवर्तन का प्रतिरोध। तरल पदार्थ या गैसों में, इस तरह की विकृति के साथ माध्यम के कणों का विरलीकरण या संघनन होता है। अनुदैर्ध्य तरंगें किसी भी माध्यम में फैल सकती हैं - ठोस, तरल और गैसीय।

उदाहरण अनुदैर्ध्य तरंगेंएक लोचदार छड़ में तरंगें या गैसों में ध्वनि तरंगें होती हैं।

अनुप्रस्थ तरंगें

परिभाषा

अनुप्रस्थ तरंग- यह एक तरंग है, जिसके प्रसार के दौरान माध्यम के कणों का विस्थापन तरंग के प्रसार की दिशा में लंबवत होता है (चित्र 1 बी)।

अनुप्रस्थ तरंग का कारण माध्यम की एक परत का दूसरे के सापेक्ष अपरूपण विरूपण है। जब एक अनुप्रस्थ तरंग एक माध्यम में फैलती है, तो लकीरें और गर्त बनते हैं। तरल पदार्थ और गैस, ठोस के विपरीत, परत कतरनी के संबंध में लोच नहीं रखते हैं, अर्थात। आकार परिवर्तन का विरोध न करें। इसलिए, अनुप्रस्थ तरंगें केवल ठोस पदार्थों में ही फैल सकती हैं।

अनुप्रस्थ तरंगों के उदाहरण एक फैली हुई रस्सी या एक तार के साथ यात्रा करने वाली तरंगें हैं।

द्रव की सतह पर तरंगें न तो अनुदैर्ध्य होती हैं और न ही अनुप्रस्थ। यदि आप पानी की सतह पर एक फ्लोट फेंकते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह लहरों पर लहराते हुए, एक गोलाकार तरीके से चलता है। इस प्रकार, एक तरल सतह पर एक लहर में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों घटक होते हैं। किसी द्रव की सतह पर एक विशेष प्रकार की तरंगें भी आ सकती हैं - तथाकथित सतही तरंगें. वे पृष्ठ तनाव की क्रिया और बल के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम

अनुप्रस्थ तरंग के प्रसार की दिशा निर्धारित करें यदि फ्लोट में किसी बिंदु पर वेग की दिशा आकृति में इंगित की गई है।

फेसला

आइए एक ड्राइंग बनाएं। आइए एक निश्चित समय अंतराल के बाद फ्लोट के पास लहर की सतह को ड्रा करें, यह देखते हुए कि इस समय के दौरान फ्लोट नीचे चला गया, क्योंकि यह समय के समय नीचे निर्देशित किया गया था। रेखा को दाईं और बाईं ओर जारी रखते हुए, हम समय पर तरंग की स्थिति दिखाते हैं। समय के प्रारंभिक क्षण में तरंग की स्थिति की तुलना करना ( ठोस रेखा) और समय पर (धराशायी रेखा), हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि तरंग बाईं ओर फैलती है।

अनुभव से पता चलता है कि लोचदार माध्यम के किसी भी बिंदु पर उत्तेजित दोलन समय के साथ इसके अन्य भागों में प्रेषित होते हैं। तो झील के शांत पानी में फेंके गए एक पत्थर से, लहरें हलकों में अलग हो जाती हैं, जो अंततः किनारे तक पहुंच जाती हैं। छाती के अंदर स्थित हृदय के कंपन को कलाई पर महसूस किया जा सकता है, जिसका उपयोग नाड़ी को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। उपरोक्त उदाहरण यांत्रिक तरंगों के प्रसार से संबंधित हैं।

• यांत्रिक तरंग बुलायाएक लोचदार माध्यम में दोलनों के प्रसार की प्रक्रिया, जो माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा के हस्तांतरण के साथ होती है। ध्यान दें कि यांत्रिक तरंगें निर्वात में नहीं फैल सकती हैं।

एक यांत्रिक तरंग का स्रोत एक दोलनशील पिंड है। यदि स्रोत साइनसॉइड रूप से दोलन करता है, तो लोचदार माध्यम में तरंग भी एक साइनसॉइड का रूप लेगी। एक लोचदार माध्यम के किसी भी स्थान पर होने वाले दोलन माध्यम के घनत्व और लोचदार गुणों के आधार पर एक निश्चित गति से माध्यम में फैलते हैं।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि जब लहर फैलती है पदार्थ का स्थानांतरण नहीं, यानी, कण केवल संतुलन की स्थिति के पास ही दोलन करते हैं। एक लंबी अवधि में संतुलन की स्थिति के सापेक्ष कणों का औसत विस्थापन शून्य होता है।

लहर की मुख्य विशेषताएं

लहर की मुख्य विशेषताओं पर विचार करें।

• "वेव फ्रंट"- यह एक काल्पनिक सतह है जिस पर तरंग विक्षोभ एक निश्चित समय पर पहुंच गया है।

• तरंग प्रसार की दिशा में तरंग के अग्रभाग पर लंबवत खींची गई रेखा कहलाती है खुशी से उछलना.

बीम तरंग प्रसार की दिशा को इंगित करता है।

वेव फ्रंट के आकार के आधार पर, तरंगें समतल, गोलाकार आदि होती हैं।

पर समतल लहरतरंग सतह तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत तल हैं। समतल छड़ के दोलनों का उपयोग करके समतल स्नान में जल की सतह पर समतल तरंगें प्राप्त की जा सकती हैं (चित्र 1)।

मैक्स-वोल्न-1-01.swfचावल। 1. फ्लैश बढ़ाएं

पर गोलाकार तरंगतरंग सतह संकेंद्रित गोले हैं। एक सजातीय लोचदार माध्यम में स्पंदित गेंद द्वारा एक गोलाकार तरंग बनाई जा सकती है। ऐसी तरंग सभी दिशाओं में समान गति से फैलती है। किरणें गोले की त्रिज्याएँ हैं (चित्र 2)।

लहर की मुख्य विशेषताएं:

• आयाम (ए) कंपन के दौरान संतुलन की स्थिति से माध्यम के बिंदुओं के अधिकतम विस्थापन का मापांक है;

• अवधि (टी) पूर्ण दोलन का समय है (माध्यम के बिंदुओं के दोलन की अवधि तरंग स्रोत के दोलन की अवधि के बराबर है)

\(टी=\dfrac(टी)(एन),\)

कहाँ टी- समय की अवधि जिसके दौरान एनउतार-चढ़ाव;

• आवृत्ति(ν) - किसी दिए गए बिंदु पर प्रति इकाई समय में किए गए पूर्ण दोलनों की संख्या

\((\rm \nu) =\dfrac(N)(t).\)

तरंग की आवृत्ति स्रोत की दोलन आवृत्ति द्वारा निर्धारित की जाती है;

• रफ़्तार(υ) - तरंग शिखा की गति (यह कणों की गति नहीं है!)

• तरंग दैर्ध्य(λ) - दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी, दोलन जिसमें एक ही चरण में होते हैं, अर्थात यह वह दूरी है जिस पर तरंग स्रोत के दोलन की अवधि के बराबर समय अंतराल में फैलती है

\(\lambda =\upsilon \cdot T.\)

तरंगों द्वारा ले जाने वाली ऊर्जा को चिह्नित करने के लिए, अवधारणा का उपयोग किया जाता है तरंग तीव्रता (मैं), ऊर्जा के रूप में परिभाषित ( वू) प्रति इकाई समय तरंग द्वारा किया जाता है ( टी= 1 ग) एक सतह क्षेत्र के माध्यम से एस\u003d 1 मीटर 2, तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत स्थित:

\(I=\dfrac(W)(S\cdot t).\)

दूसरे शब्दों में, तीव्रता एक इकाई क्षेत्र की सतह के माध्यम से तरंगों द्वारा की जाने वाली शक्ति है, जो तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत है। तीव्रता का SI मात्रक वाट प्रति वर्ग मीटर (1 W/m2) है।

यात्रा तरंग समीकरण

चक्रीय आवृत्ति ω \(\left(\omega =2\pi \cdot \nu =\dfrac(2\pi )(T) \right)\) और आयाम के साथ होने वाली तरंग स्रोत दोलनों पर विचार करें ए:

\(x(t)=A\cdot \sin \; (\omega \cdot t),\)

कहाँ पे एक्स(टी) संतुलन की स्थिति से स्रोत का विस्थापन है।

माध्यम में एक निश्चित बिंदु पर, दोलन तुरंत नहीं आएंगे, लेकिन तरंग की गति और स्रोत से अवलोकन बिंदु तक की दूरी द्वारा निर्धारित समय की अवधि के बाद। यदि किसी माध्यम में तरंग की गति है, तो समय पर निर्भरता टीनिर्देशांक (ऑफसेट) एक्सदूरी पर दोलन बिंदु आरस्रोत से, समीकरण द्वारा वर्णित है

\(x(t,r) = A\cdot \sin \; \omega \cdot \left(t-\dfrac(r)(\upsilon ) \right)=A\cdot \sin \; \बाएं(\omega \cdot t-k\cdot r \right), \;\;\; (1)\)

कहाँ पे क-वेव नंबर \(\बाएं(k=\dfrac(\omega )(\upsilon ) = \dfrac(2\pi )(\lambda ) \right), \;\;\; \varphi =\omega \cdot t-k \cdot r\) - तरंग चरण।

व्यंजक (1) कहा जाता है यात्रा तरंग समीकरण.

निम्नलिखित प्रयोग में एक यात्रा तरंग देखी जा सकती है: यदि एक चिकनी क्षैतिज मेज पर पड़ी रबर की रस्सी का एक सिरा तय हो और, हाथ से कॉर्ड को थोड़ा खींचकर, इसके दूसरे छोर को कॉर्ड के लंबवत दिशा में दोलन गति में लाएं, तब उसके साथ एक लहर दौड़ेगी।

अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें

अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें होती हैं।

• लहर कहा जाता है आड़ा, अगरमाध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत समतल में दोलन करते हैं।

आइए हम अनुप्रस्थ तरंगों के बनने की प्रक्रिया पर अधिक विस्तार से विचार करें। आइए हम वास्तविक स्ट्रिंग के एक मॉडल के रूप में गेंदों की एक श्रृंखला लें ( भौतिक बिंदु) लोचदार बलों द्वारा एक दूसरे से जुड़े (चित्र 3, ए)। चित्र 3 एक अनुप्रस्थ तरंग के प्रसार की प्रक्रिया को दर्शाता है और एक चौथाई अवधि के बराबर क्रमिक समय अंतराल पर गेंदों की स्थिति को दर्शाता है।

प्रारंभिक समय में \(\left(t_1 = 0 \right)\) सभी बिंदु संतुलन में हैं (चित्र 3, ए)। यदि आप गेंद को डिफ्लेक्ट करते हैं 1 संतुलन की स्थिति से गेंदों की पूरी श्रृंखला के लंबवत, तब 2 -वीं गेंद, इलास्टिक से जुड़ी हुई 1 -वें, उसका पीछा करना शुरू कर देंगे। आंदोलन की जड़ता के कारण 2 वें गेंद आंदोलनों को दोहराएगी 1 वें, लेकिन समय में देरी के साथ। गेंद 3 वें, लोचदार रूप से जुड़ा हुआ है 2 -वें, पीछे हटना शुरू कर देंगे 2 गेंद, लेकिन और भी अधिक देरी के साथ।

अवधि के एक चौथाई के बाद \(\बाएं(t_2 = \dfrac(T)(4) \right)\) दोलनों तक फैलते हैं 4 -वीं गेंद, 1 -वें गेंद के पास दोलनों के आयाम के बराबर अधिकतम दूरी से अपनी संतुलन स्थिति से विचलित होने का समय होगा लेकिन(चित्र। 3बी)। आधी अवधि के बाद \(\बाएं(t_3 = \dfrac(T)(2) \right)\) 1 -वीं गेंद, नीचे जाने पर, संतुलन की स्थिति में वापस आ जाएगी, 4 -th संतुलन की स्थिति से दोलनों के आयाम के बराबर दूरी से विचलित हो जाएगा लेकिन(चित्र 3, सी)। इस दौरान लहर पहुंचती है 7 -वीं गेंद, आदि।

अवधि के दौरान \(\बाएं(t_5 = टी \दाएं)\) 1 -वीं गेंद, एक पूर्ण दोलन करने के बाद, संतुलन की स्थिति से गुजरती है, और दोलन गति फैल जाएगी 13 वीं गेंद (चित्र 3, ई)। और फिर आंदोलन 1 गेंद दोहराना शुरू करती है, और अधिक से अधिक गेंदें दोलन गति में भाग लेती हैं (चित्र 3, ई)।

मेक्स-वोल्न-1-06.swfचावल। 6. फ्लैश बढ़ाएं

वायु और तरल में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगों के उदाहरण हैं। गैसों और तरल पदार्थों में लोचदार तरंगें तभी उत्पन्न होती हैं जब माध्यम संकुचित या विरल होता है। इसलिए, ऐसे मीडिया में केवल अनुदैर्ध्य तरंगें ही फैल सकती हैं।

लहरें न केवल एक माध्यम में, बल्कि दो मीडिया के बीच इंटरफेस के साथ भी फैल सकती हैं। ऐसी तरंगों को कहा जाता है सतही तरंगें. एक उदाहरण इस प्रकार केलहरें पानी की सतह पर प्रसिद्ध लहरें हैं।

साहित्य

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2. झिल्को, वी.वी. भौतिकी: पाठ्यपुस्तक। 11 वीं कक्षा की सामान्य शिक्षा के लिए भत्ता। विद्यालय रूसी से लैंग प्रशिक्षण / वी.वी. झिल्को, एल.जी. मार्कोविच। - मिन्स्क: नर। अश्वेता, 2009. - एस। 25-29।

1.7. यांत्रिक तरंगें

अंतरिक्ष में फैलने वाले किसी पदार्थ या क्षेत्र के कंपन को तरंग कहा जाता है। पदार्थ के उतार-चढ़ाव से लोचदार तरंगें उत्पन्न होती हैं (एक विशेष मामला ध्वनि है)।

यांत्रिक तरंगसमय के साथ माध्यम के कणों के दोलनों का प्रसार है।

निरंतर माध्यम में तरंगें कणों के बीच परस्पर क्रिया के कारण फैलती हैं। यदि कोई कण दोलन गति में आता है, तो, लोचदार संबंध के कारण, यह गति पड़ोसी कणों में स्थानांतरित हो जाती है, और तरंग फैल जाती है। इस स्थिति में, दोलन करने वाले कण स्वयं तरंग के साथ नहीं चलते हैं, लेकिन हिचकिचानाउनके आसपास संतुलन की स्थिति.

अनुदैर्ध्य तरंगेंवे तरंगें हैं जिनमें कण दोलनों की दिशा x तरंग प्रसार की दिशा के साथ मेल खाती है . अनुदैर्ध्य तरंगें गैसों, तरल पदार्थों और ठोस पदार्थों में फैलती हैं।

पी
ओपेरा तरंगें- ये वे तरंगें हैं जिनमें कण दोलनों की दिशा तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होती है . अनुप्रस्थ तरंगें केवल ठोस माध्यम में ही फैलती हैं।

तरंगों की दो आवृत्तियाँ होती हैं- समय और स्थान में. समय में आवधिकता का अर्थ है कि माध्यम का प्रत्येक कण अपनी संतुलन स्थिति के आसपास दोलन करता है, और यह गति एक दोलन अवधि T के साथ दोहराई जाती है। अंतरिक्ष में आवधिकता का अर्थ है कि माध्यम के कणों की दोलन गति उनके बीच कुछ निश्चित दूरी पर दोहराई जाती है।

अंतरिक्ष में तरंग प्रक्रिया की आवधिकता को तरंगदैर्घ्य नामक एक मात्रा की विशेषता होती है और इसे निरूपित किया जाता है .

तरंग दैर्ध्य वह दूरी है जिस पर कण दोलन की एक अवधि के दौरान एक तरंग एक माध्यम में फैलती है। .

यहां से
, कहाँ पे - कण दोलन अवधि, - दोलन आवृत्ति, - माध्यम के गुणों के आधार पर तरंग प्रसार की गति।

सेवा तरंग समीकरण कैसे लिखें? बिंदु O (लहर का स्रोत) पर स्थित कॉर्ड के एक टुकड़े को कोसाइन नियम के अनुसार दोलन करने दें

मान लीजिए कोई बिंदु B स्रोत (बिंदु O) से x की दूरी पर है। v वेग से चलने वाली किसी तरंग को उस तक पहुँचने में समय लगता है।
. इसका अर्थ है कि बिंदु B पर दोलन बाद में शुरू होंगे
. अर्थात। इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने के बाद के लिए व्यंजक
और कई गणितीय परिवर्तन, हम प्राप्त करते हैं

,
. आइए संकेतन का परिचय दें:
. फिर। बिंदु B के चुनाव की मनमानी के कारण, यह समीकरण आवश्यक समतल तरंग समीकरण होगा
.

कोज्या चिह्न के नीचे के व्यंजक को तरंग की कला कहते हैं
.

इ यदि दो बिंदु तरंग के स्रोत से अलग-अलग दूरी पर हैं, तो उनके चरण अलग-अलग होंगे। उदाहरण के लिए, दूरी पर स्थित बिंदु बी और सी के चरण और तरंग के स्रोत से, क्रमशः के बराबर होगा

बिंदु B और बिंदु C पर होने वाले दोलनों का चरण अंतर निरूपित किया जाएगा
और यह बराबर होगा

ऐसे मामलों में, यह कहा जाता है कि बिंदु B और C पर होने वाले दोलनों के बीच एक फेज शिफ्ट होता है। ऐसा कहा जाता है कि बिंदु B और C पर दोलन चरण में होते हैं यदि
. यदि एक
, तो बिंदु बी और सी पर दोलन एंटीफेज में होते हैं। अन्य सभी मामलों में, केवल एक चरण परिवर्तन होता है।

"तरंग दैर्ध्य" की अवधारणा को दूसरे तरीके से परिभाषित किया जा सकता है:

इसलिए k को तरंग संख्या कहते हैं।

हमने नोटेशन पेश किया है
और दिखाया कि
. फिर

.

तरंगदैर्घ्य दोलन की एक अवधि में एक तरंग द्वारा तय किया गया पथ है।

आइए हम तरंग सिद्धांत में दो महत्वपूर्ण अवधारणाओं को परिभाषित करें।

लहर की सतहमाध्यम में बिंदुओं का स्थान है जो एक ही चरण में दोलन करता है। तरंग सतह को माध्यम के किसी भी बिंदु से खींचा जा सकता है, इसलिए इनकी संख्या अनंत होती है।

लहर की सतहें किसी भी आकार की हो सकती हैं, और सबसे सरल मामले में वे एक दूसरे के समानांतर विमानों का एक सेट (यदि तरंग स्रोत एक अनंत विमान है) या संकेंद्रित क्षेत्रों का एक सेट है (यदि तरंग स्रोत एक बिंदु है)।

वेव फ्रंट(लहर मोर्चा) - उन बिंदुओं का स्थान जहाँ तक उतार-चढ़ाव समय के क्षण तक पहुँचते हैं . वेव फ्रंट तरंग प्रक्रिया में शामिल अंतरिक्ष के उस हिस्से को उस क्षेत्र से अलग करता है जहां अभी तक दोलन नहीं हुए हैं। इसलिए, तरंग मोर्चा तरंग सतहों में से एक है। यह दो क्षेत्रों को अलग करता है: 1 - जिस तक लहर t, 2 तक पहुँची - नहीं पहुँची।

किसी भी समय केवल एक तरंग मोर्चा होता है, और यह लगातार गतिमान रहता है, जबकि तरंग की सतह स्थिर रहती है (वे एक ही चरण में दोलन करने वाले कणों की संतुलन स्थिति से गुजरती हैं)।

समतल लहर- यह एक लहर है जिसमें तरंग सतह (और लहर सामने) समानांतर विमान हैं।

गोलाकार तरंगएक तरंग है जिसकी तरंग सतह संकेंद्रित गोले हैं। गोलाकार तरंग समीकरण:
.

दो या दो से अधिक तरंगों द्वारा पहुँचे गए माध्यम का प्रत्येक बिंदु प्रत्येक तरंग के कारण अलग-अलग दोलनों में भाग लेगा। परिणामी कंपन क्या होगा? यह कई कारकों पर निर्भर करता है, विशेष रूप से, माध्यम के गुणों पर। यदि तरंग प्रसार की प्रक्रिया के कारण माध्यम के गुण नहीं बदलते हैं, तो माध्यम को रैखिक कहा जाता है। अनुभव से पता चलता है कि तरंगें एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से रैखिक माध्यम में फैलती हैं। हम केवल रैखिक मीडिया में तरंगों पर विचार करेंगे। और उस बिंदु का उतार-चढ़ाव क्या होगा, जो एक ही समय में दो तरंगों तक पहुंच गया हो? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि इस दोहरी क्रिया के कारण होने वाले दोलन के आयाम और चरण का पता कैसे लगाया जाए। परिणामी दोलन के आयाम और चरण को निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक तरंग के कारण होने वाले विस्थापन को खोजना और फिर उन्हें जोड़ना आवश्यक है। कैसे? ज्यामितीय रूप से!

तरंगों के सुपरपोजिशन (ओवरले) का सिद्धांत: जब कई तरंगें एक रैखिक माध्यम में फैलती हैं, तो उनमें से प्रत्येक इस तरह फैलती है जैसे कि कोई अन्य तरंगें नहीं थीं, और किसी भी समय माध्यम के एक कण का परिणामी विस्थापन ज्यामितीय योग के बराबर होता है। तरंग प्रक्रियाओं के प्रत्येक घटक में भाग लेते हुए, कणों को प्राप्त होने वाले विस्थापन।

तरंग सिद्धांत की एक महत्वपूर्ण अवधारणा अवधारणा है सुसंगतता - कई दोलन या तरंग प्रक्रियाओं के समय और स्थान में समन्वित प्रवाह. यदि प्रेक्षण बिंदु पर आने वाली तरंगों का कला अंतर समय पर निर्भर नहीं करता है, तो ऐसी तरंगें कहलाती हैं सुसंगत. जाहिर है, केवल समान आवृत्ति वाली तरंगें सुसंगत हो सकती हैं।

आर आइए विचार करें कि अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु (अवलोकन बिंदु) बी में आने वाली दो सुसंगत तरंगों को जोड़ने का परिणाम क्या होगा। गणितीय गणना को सरल बनाने के लिए, हम मान लेंगे कि स्रोत एस 1 और एस 2 द्वारा उत्सर्जित तरंगों का आयाम समान है और प्रारंभिक चरण शून्य. अवलोकन के बिंदु पर (बिंदु B पर), स्रोत S 1 और S 2 से आने वाली तरंगें माध्यम के कणों के दोलन का कारण बनेंगी:
और
. बिंदु B पर परिणामी उतार-चढ़ाव को योग के रूप में पाया जाता है।

आमतौर पर, प्रेक्षण बिंदु पर होने वाले परिणामी दोलन का आयाम और चरण वेक्टर आरेखों की विधि का उपयोग करके पाया जाता है, जो प्रत्येक दोलन को कोणीय वेग के साथ घूमते हुए वेक्टर के रूप में दर्शाता है। वेक्टर की लंबाई दोलन के आयाम के बराबर है। प्रारंभ में, यह वेक्टर दोलनों के प्रारंभिक चरण के बराबर चुनी हुई दिशा के साथ एक कोण बनाता है। फिर परिणामी दोलन का आयाम सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आयाम के साथ दो दोलनों को जोड़ने के हमारे मामले के लिए
,
और चरण
,

.

इसलिए, बिंदु B पर होने वाले दोलनों का आयाम इस बात पर निर्भर करता है कि पथ अंतर क्या है
स्रोत से प्रेक्षण बिंदु तक प्रत्येक तरंग द्वारा अलग-अलग यात्रा की जाती है (
प्रेक्षण बिंदु पर आने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर है)। व्यतिकरण मिनिमा या मैक्सिमा को उन बिंदुओं पर देखा जा सकता है जिनके लिए
. और यह बिंदु S 1 और S 2 पर foci के साथ एक अतिपरवलय का समीकरण है।

अंतरिक्ष में उन बिंदुओं पर जिसके लिए
, परिणामी दोलनों का आयाम अधिकतम और बराबर होगा
. जैसा
, तो दोलन आयाम उन बिंदुओं पर अधिकतम होगा जिनके लिए।

अंतरिक्ष में उन बिंदुओं पर जिसके लिए
, परिणामी दोलनों का आयाम न्यूनतम और बराबर होगा
.दोलन आयाम उन बिंदुओं पर न्यूनतम होगा जिनके लिए .

एक सीमित संख्या में सुसंगत तरंगों के योग से उत्पन्न ऊर्जा पुनर्वितरण की घटना को व्यतिकरण कहा जाता है।

तरंगों के बाधाओं के चारों ओर मुड़ने की घटना को विवर्तन कहते हैं।

कभी-कभी विवर्तन को ज्यामितीय प्रकाशिकी के नियमों से बाधाओं के पास तरंग प्रसार का कोई विचलन कहा जाता है (यदि बाधाओं के आयाम तरंग दैर्ध्य के अनुरूप हैं)।

बी
विवर्तन के कारण, तरंगें ज्यामितीय छाया के क्षेत्र में प्रवेश कर सकती हैं, बाधाओं को पार कर सकती हैं, स्क्रीन में छोटे छिद्रों से प्रवेश कर सकती हैं, आदि। ज्यामितीय छाया के क्षेत्र में तरंगों के प्रहार की व्याख्या कैसे करें? ह्यूजेन्स सिद्धांत का उपयोग करके विवर्तन की घटना को समझाया जा सकता है: प्रत्येक बिंदु जिस पर एक लहर पहुंचती है वह माध्यमिक तरंगों (एक सजातीय गोलाकार माध्यम में) का स्रोत होता है, और इन तरंगों का लिफाफा अगले पल में तरंग मोर्चे की स्थिति निर्धारित करता है। समय।

क्या काम आ सकता है यह देखने के लिए हल्के हस्तक्षेप से डालें

लहरअंतरिक्ष में कंपन के प्रसार की प्रक्रिया कहलाती है।

लहर की सतहउन बिंदुओं का स्थान है जहां एक ही चरण में दोलन होते हैं।

वेव फ्रंटउन बिंदुओं का स्थान है जहाँ तक तरंग एक निश्चित समय में पहुँचती है टी. वेव फ्रंट तरंग प्रक्रिया में शामिल अंतरिक्ष के उस हिस्से को उस क्षेत्र से अलग करता है जहां अभी तक दोलन नहीं हुए हैं।

एक बिंदु स्रोत के लिए, तरंग मोर्चा स्रोत स्थान S पर केंद्रित एक गोलाकार सतह है। 1, 2, 3 - लहर सतहों; 1 - लहर सामने। स्रोत से निकलने वाली किरण के साथ फैलने वाली गोलाकार तरंग का समीकरण: . यहां - तरंग प्रसार गति, - तरंग दैर्ध्य; लेकिन- दोलन आयाम; - परिपत्र (चक्रीय) दोलन आवृत्ति; समय t पर एक बिंदु स्रोत से r दूरी पर स्थित बिंदु की संतुलन स्थिति से विस्थापन है।

समतल लहरएक सपाट लहर के साथ एक लहर है। अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश प्रसार करने वाली समतल तरंग का समीकरण आप:
, कहाँ पे एक्स- समय t पर स्रोत से y दूरी पर स्थित बिंदु की संतुलन स्थिति से विस्थापन।