बिना समय के एकसमान त्वरित गति से गति करने का सूत्र। समान रूप से त्वरित गति: सूत्र, उदाहरण

रेक्टिलिनियर एकसमान गति एक गति है जिसमें एक पिंड समान दूरी को समान समय अंतराल में तय करता है।

वर्दी आंदोलन- यह शरीर की एक ऐसी गति है जिसमें इसकी गति स्थिर () रहती है, अर्थात यह हर समय एक ही गति से चलती है, और त्वरण या मंदी नहीं होती ()।

आयताकार गति- यह शरीर की एक सीधी रेखा में गति है, अर्थात हमें जो प्रक्षेपवक्र मिलता है वह सीधा होता है।

एकसमान रेखीय गति की गति समय पर निर्भर नहीं करती है और प्रक्षेपवक्र के प्रत्येक बिंदु पर उसी तरह निर्देशित होती है जैसे शरीर की गति। अर्थात् वेग सदिश विस्थापन सदिश के साथ संपाती होता है। इस सब के साथ औसत गतिकिसी भी अवधि में प्रारंभिक और तात्कालिक गति के बराबर है:

एकसमान सीधी गति की गतिएक भौतिक सदिश राशि है जो इस अंतराल t के मान के लिए किसी भी अवधि के लिए शरीर के विस्थापन के अनुपात के बराबर है:

इस सूत्र से। हम आसानी से व्यक्त कर सकते हैं शरीर की हरकतपर एकसमान गति:

गति और विस्थापन की समय पर निर्भरता पर विचार करें

चूँकि हमारा शरीर एक सीधी रेखा में गति करता है और समान रूप से त्वरित () करता है, तो समय पर गति की निर्भरता वाला ग्राफ समय अक्ष के समानांतर सीधी रेखा की तरह दिखेगा।

निर्भर करता है शरीर के वेग बनाम समय का अनुमानकुछ भी जटिल नहीं है। पिंड की गति का प्रक्षेपण संख्यात्मक रूप से आयत AOBC के क्षेत्रफल के बराबर है, क्योंकि विस्थापन वेक्टर का परिमाण उस समय के वेग वेक्टर के गुणनफल के बराबर होता है, जिसके दौरान आंदोलन किया गया था।

चार्ट पर हम देखते हैं विस्थापन बनाम समय.

यह ग्राफ से देखा जा सकता है कि वेग प्रक्षेपण के बराबर है:

इस सूत्र को ध्यान में रखते हुए हम कह सकते हैं कि कोण जितना बड़ा होता है, हमारा शरीर उतनी ही तेजी से चलता है और कम समय में अधिक दूरी तय करता है

पिछले पाठों में, हमने चर्चा की थी कि वर्दी के साथ तय की गई दूरी का निर्धारण कैसे किया जाता है सीधा गति. यह सीखने का समय है कि एक सीधी रेखा में शरीर के निर्देशांक, तय की गई दूरी और विस्थापन को कैसे निर्धारित किया जाए। समान रूप से त्वरित गति. यह तब किया जा सकता है जब हम एक समुच्चय के रूप में रेक्टिलिनियर एकसमान त्वरित गति पर विचार करें एक लंबी संख्याबहुत छोटे समान शरीर की गति।

त्वरित गति के साथ एक निश्चित बिंदु पर शरीर के स्थान की समस्या को हल करने वाले पहले इतालवी वैज्ञानिक गैलीलियो गैलीली (चित्र 1) थे।

चावल। 1. गैलीलियो गैलीली (1564-1642)

उन्होंने एक झुके हुए विमान के साथ अपने प्रयोग किए। ढलान के साथ, उन्होंने एक गेंद, एक मस्कट बुलेट लॉन्च की, और फिर इस शरीर के त्वरण को निर्धारित किया। उसने ऐसा कैसे किया था? वह झुके हुए विमान की लंबाई जानता था, और अपने दिल की धड़कन या नाड़ी द्वारा समय निर्धारित करता था (चित्र 2)।

चावल। 2. गैलीलियो का अनुभव

आइए गति ग्राफ को देखें समान रूप से त्वरित सीधा गतिसमय से। आप इस निर्भरता को जानते हैं, यह एक सीधी रेखा है:।

चावल। 3. एकसमान त्वरित रेखीय गति में विस्थापन की परिभाषा

गति ग्राफ को छोटे में विभाजित किया गया है आयताकार भूखंड(चित्र 3)। प्रत्येक खंड एक निश्चित गति के अनुरूप होगा, जिसे किसी निश्चित अवधि में स्थिर माना जा सकता है। समय की पहली अवधि के लिए तय की गई दूरी को निर्धारित करना आवश्यक है। आइए सूत्र लिखें: . आइए अब हमारे पास मौजूद सभी आंकड़ों के कुल क्षेत्रफल की गणना करें।

समान गति वाले क्षेत्रों का योग कुल तय की गई दूरी है।

कृपया ध्यान दें: बिंदु से बिंदु तक, गति बदल जाएगी, इस प्रकार हम सीधे समान रूप से त्वरित गति के दौरान शरीर द्वारा तय किया गया पथ प्राप्त करेंगे।

ध्यान दें कि शरीर की एक समान रूप से त्वरित गति के साथ, जब गति और त्वरण एक ही दिशा में निर्देशित होते हैं (चित्र 4), विस्थापन मॉड्यूल यात्रा की गई दूरी के बराबर है, इसलिए, जब हम विस्थापन मॉड्यूल निर्धारित करते हैं, तो हम निर्धारित करते हैं तय की गई दूरी. इस मामले में, हम कह सकते हैं कि विस्थापन मॉड्यूल होगा क्षेत्रफल के बराबरगति और समय के ग्राफ से घिरा हुआ आंकड़ा।

चावल। 4. विस्थापन मापांक तय की गई दूरी के बराबर होता है

आइए निर्दिष्ट आकृति के क्षेत्र की गणना करने के लिए गणितीय सूत्रों का उपयोग करें।

चावल। 5 क्षेत्र गणना के लिए चित्रण

आकृति का क्षेत्रफल (संख्यात्मक रूप से तय की गई दूरी के बराबर) ऊंचाई से गुणा किए गए आधारों के योग के आधे के बराबर है। कृपया ध्यान दें कि आकृति में, आधारों में से एक प्रारंभिक गति है, और ट्रेपेज़ॉइड का दूसरा आधार अंतिम गति होगी, जिसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाएगा। ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के बराबर है, यह उस समय की अवधि है जिसके दौरान आंदोलन हुआ था।

पिछले पाठ में चर्चा की गई अंतिम वेग को प्रारंभिक वेग और शरीर के निरंतर त्वरण के कारण योगदान के योग के रूप में लिखा जा सकता है। यह अभिव्यक्ति निकलता है:

यदि आप कोष्ठक खोलते हैं, तो यह दोगुना हो जाता है। हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

यदि आप इनमें से प्रत्येक भाव को अलग-अलग लिखते हैं, तो परिणाम निम्न होगा:

यह समीकरण सबसे पहले प्रयोगों द्वारा प्राप्त किया गया था गैलीलियो गैलीली. इसलिए, हम मान सकते हैं कि यह वह वैज्ञानिक था जिसने किसी भी समय एक समान रूप से त्वरित गति में किसी पिंड के स्थान को निर्धारित करना संभव बनाया। यह यांत्रिकी की मुख्य समस्या का समाधान है।

अब आइए याद रखें कि तय की गई दूरी, हमारे मामले में बराबर है आंदोलन मॉड्यूल, अंतर द्वारा व्यक्त किया जाता है:

यदि इस व्यंजक को गैलीलियो के समीकरण में प्रतिस्थापित कर दिया जाए, तो हमें वह नियम प्राप्त होता है जिसके अनुसार रेक्टिलिनियर एकसमान त्वरित गति के दौरान पिंड का निर्देशांक बदल जाता है:

यह याद रखना चाहिए कि मान चयनित अक्ष पर गति और त्वरण के अनुमान हैं। इसलिए, वे सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं।

निष्कर्ष

गति पर विचार करने का अगला चरण वक्रीय प्रक्षेपवक्र के साथ गति का अध्ययन होगा।

ग्रन्थसूची

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इंटरनेट संसाधनों के लिए अतिरिक्त अनुशंसित लिंक

1. इंटरनेट पोर्टल "class-fizika.narod.ru" ()
2. इंटरनेट पोर्टल "videouroki.net" ()
3. इंटरनेट पोर्टल "foxford.ru" ()

होम वर्क

1. वह सूत्र लिखिए जिसके द्वारा वस्तु के विस्थापन सदिश का प्रक्षेपण रेक्टिलिनियर एकसमान त्वरित गति के दौरान निर्धारित किया जाता है।
2. एक साइकिल चालक 15 किमी/घंटा की प्रारंभिक गति से 5 सेकंड में एक पहाड़ी से नीचे चला गया है। स्लाइड की लंबाई निर्धारित करें यदि साइकिल चालक 0.5 मीटर/सेकेंड के निरंतर त्वरण से आगे बढ़ रहा था^2 .
3. एकसमान और समान रूप से त्वरित गति के लिए समय पर विस्थापन की निर्भरता के बीच क्या अंतर है?

जब सड़क पर कोई दुर्घटना होती है, तो विशेषज्ञ ब्रेकिंग दूरी को मापते हैं। किस लिए? ब्रेक लगाने की शुरुआत में वाहन की गति और ब्रेक लगाने के दौरान त्वरण का निर्धारण करना। दुर्घटना के कारणों का पता लगाने के लिए यह सब आवश्यक है: या तो चालक ने गति को पार कर लिया, या ब्रेक दोषपूर्ण थे, या कार के साथ सब कुछ क्रम में है, और नियमों का उल्लंघन करने वाले को दोष देना है यातायातएक पैदल यात्री। शरीर की गति और त्वरण को निर्धारित करने के लिए, मंदी के समय और ब्रेकिंग दूरी को जानने के लिए कैसे?

के बारे में जानना ज्यामितीय अर्थविस्थापन अनुमान

7 वीं कक्षा में, आपने सीखा कि किसी भी आंदोलन के लिए, पथ संख्यात्मक रूप से अवलोकन समय पर गति की गति के मॉड्यूल की निर्भरता के ग्राफ के तहत आकृति के क्षेत्र के बराबर है। स्थिति विस्थापन प्रक्षेपण की परिभाषा के समान है (चित्र 29.1)।

आइए t: = 0 से t 2 = t तक के समय अंतराल के लिए पिंड विस्थापन के प्रक्षेपण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें। एक समान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर गति पर विचार करें, जिसमें प्रारंभिक वेग और त्वरण की दिशा OX अक्ष के साथ समान हो। इस मामले में, वेग प्रक्षेपण ग्राफ में अंजीर में दिखाया गया रूप है। 29.2, और विस्थापन प्रक्षेपण संख्यात्मक रूप से समलम्बाकार OABC के क्षेत्र के बराबर है:

ग्राफ पर, खंड OA प्रारंभिक वेग v 0 x के प्रक्षेपण से मेल खाता है, खंड BC अंतिम वेग v x के प्रक्षेपण से मेल खाता है, और खंड OC समय अंतराल t से मेल खाता है। इन खंडों को संबंधित खंडों से बदलना भौतिक मात्राऔर दिया गया है कि s x = S OABC , हमें विस्थापन प्रक्षेपण निर्धारित करने के लिए एक सूत्र मिलता है:

फॉर्मूला (1) का उपयोग किसी भी समान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

शरीर के विस्थापन का निर्धारण करें, जिसका गति ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। उलटी गिनती शुरू होने के बाद 29.1, बी, 2 एस और 4 एस। अपना जवाब समझाएं।

हम विस्थापन प्रक्षेपण समीकरण लिखते हैं

आइए हम चर v x को सूत्र (1) से हटा दें। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि समान रूप से त्वरित सीधी गति के साथ v x \u003d v 0 x + a x t। v x के व्यंजक को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, एक समान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर गति के लिए, विस्थापन प्रक्षेपण समीकरण प्राप्त किया गया था:

चावल। 29.3. समान रूप से त्वरित रेक्टिलाइनियर गति के लिए विस्थापन प्रक्षेपण ग्राफ मूल से गुजरने वाला एक परवलय है: यदि a x > 0, परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं (a); अगर एक x<0, ветви параболы направлены вниз (б)

चावल। 29.4. सीधी गति की स्थिति में निर्देशांक अक्ष का चुनाव

तो, समान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर गति के लिए विस्थापन प्रक्षेपण ग्राफ एक परवलय है (चित्र 29.3), जिसका शीर्ष मोड़ से मेल खाता है:

चूँकि मात्राएँ v 0 x और a x प्रेक्षण समय पर निर्भर नहीं करती हैं, इसलिए निर्भरता s x (ί) द्विघात है। उदाहरण के लिए, यदि

आप समान रूप से त्वरित रेक्टिलाइनियर गति के लिए विस्थापन के प्रक्षेपण की गणना के लिए एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

सूत्र (3) उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है यदि समस्या की स्थिति शरीर की गति के समय को संदर्भित नहीं करती है और इसे निर्धारित करना आवश्यक नहीं है।

व्युत्पन्न सूत्र (3) स्वयं।

कृपया ध्यान दें: प्रत्येक सूत्र (1-3) में, अनुमान v x , v 0 x और a x दोनों सकारात्मक और नकारात्मक हो सकते हैं - इस पर निर्भर करता है कि सदिश v, v 0 और a को OX अक्ष के सापेक्ष कैसे निर्देशित किया जाता है।

निर्देशांक समीकरण लिखिए

यांत्रिकी के मुख्य कार्यों में से एक किसी भी समय शरीर की स्थिति (शरीर के निर्देशांक) का निर्धारण करना है। हम रेक्टिलाइनियर गति पर विचार कर रहे हैं, इसलिए यह एक समन्वय अक्ष (उदाहरण के लिए, OX अक्ष) को चुनने के लिए पर्याप्त है, जो इस प्रकार है

शरीर की गति के साथ प्रत्यक्ष (चित्र। 29.4)। इस आंकड़े से हम देखते हैं कि, गति की दिशा की परवाह किए बिना, शरीर के x-निर्देशांक को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

चावल। 29.5. समान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर गति के साथ, निर्देशांक बनाम समय का प्लॉट एक परवलय है जो x-अक्ष को बिंदु x 0 पर प्रतिच्छेद करता है।

जहां x 0 प्रारंभिक निर्देशांक है (अवलोकन की शुरुआत के समय शरीर का समन्वय); s x विस्थापन प्रक्षेपण है।

इसलिए, ऐसी गति के लिए, निर्देशांक समीकरण का रूप है:

समान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर गति के लिए

अंतिम समीकरण का विश्लेषण करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि निर्भरता x (t) द्विघात है, इसलिए निर्देशांक ग्राफ एक परवलय है (चित्र 29.5)।

समस्याओं को हल करना सीखना

हम उदाहरणों का उपयोग करते हुए समान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर गति के लिए समस्याओं को हल करने के मुख्य चरणों पर विचार करेंगे।

समस्या समाधान उदाहरण

परिणाम को

कार्य

1. समस्या की स्थिति को ध्यान से पढ़ें। निर्धारित करें कि कौन से निकाय गति में भाग लेते हैं, निकायों की गति की प्रकृति क्या है, गति के कौन से पैरामीटर ज्ञात हैं।

समस्या 1. ब्रेक लगने के बाद, ट्रेन 225 मीटर के स्टॉप पर चली गई। ब्रेक लगने से पहले ट्रेन की गति क्या थी? विचार करें कि मंदी के दौरान ट्रेन का त्वरण स्थिर है और 0.5 मीटर/सेकेंड 2 के बराबर है।

व्याख्यात्मक आकृति में, आइए ट्रेन की दिशा में OX अक्ष को निर्देशित करें। जैसे ही ट्रेन धीमी होती है,

2. समस्या की एक संक्षिप्त स्थिति लिखिए। यदि आवश्यक हो, तो भौतिक मात्राओं के मानों को SI इकाइयों में परिवर्तित करें। 2

समस्या 2। एक पैदल यात्री सड़क के एक सीधे हिस्से में 2 मीटर/सेकेंड की निरंतर गति से चलता है। वह एक मोटरसाइकिल से आगे निकल जाता है, जिससे इसकी गति बढ़ जाती है, 2 m/s 3 के त्वरण के साथ चलती है। मोटरसाइकिल को पैदल यात्री से आगे निकलने में कितना समय लगेगा, यदि उलटी गिनती शुरू होने के समय, उनके बीच की दूरी 300 मीटर थी, और मोटरसाइकिल 22 मीटर/सेकेंड की गति से आगे बढ़ रही थी? इस समय में बाइक कितनी दूरी तय करेगी?

1. समस्या की स्थिति को ध्यान से पढ़ें। निकायों की गति की प्रकृति का पता लगाएं, गति के कौन से पैरामीटर ज्ञात हैं।

उपसंहार

शरीर के समान रूप से त्वरित सीधा गति के लिए: विस्थापन का प्रक्षेपण संख्यात्मक रूप से गति के वेग के प्रक्षेपण के ग्राफ के तहत आकृति के क्षेत्र के बराबर है - निर्भरता का ग्राफ v x (ί):

3. निर्देशांक अक्ष, पिंडों की स्थिति, त्वरण की दिशा और वेग दिखाते हुए एक व्याख्यात्मक चित्र बनाएं।

4. निर्देशांक के समीकरण को सामान्य रूप में लिखिए; आकृति का उपयोग करते हुए, प्रत्येक निकाय के लिए इस समीकरण को निर्दिष्ट करें।

5. यह देखते हुए कि बैठक के समय (ओवरटेकिंग) निकायों के निर्देशांक समान हैं, एक द्विघात समीकरण प्राप्त करें।

6. परिणामी समीकरण को हल करें और निकायों के मिलने का समय ज्ञात करें।

7. बैठक के समय निकायों के समन्वय की गणना करें।

8. वांछित मूल्य खोजें और परिणाम का विश्लेषण करें।

9. उत्तर लिखिए।

यह विस्थापन का ज्यामितीय अर्थ है;

विस्थापन प्रक्षेपण समीकरण का रूप है:

परीक्षण प्रश्न

1. समान रूप से त्वरित रेक्टिलाइनियर गति के लिए विस्थापन प्रक्षेपण s x ज्ञात करने के लिए किन सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है? इन सूत्रों को व्युत्पन्न कीजिए। 2. सिद्ध कीजिए कि पिंड विस्थापन बनाम प्रेक्षण समय का ग्राफ एक परवलय है। इसकी शाखाओं को कैसे निर्देशित किया जाता है? गति का कौन सा क्षण परवलय के शीर्ष से मेल खाता है? 3. एकसमान त्वरित रेखीय गति के लिए निर्देशांक समीकरण लिखिए। इस समीकरण से कौन-सी भौतिक राशियाँ जुड़ी हैं?

व्यायाम संख्या 29

1. एक स्कीयर 1 मीटर/सेकेंड की गति से चल रहा है, नीचे की ओर शुरू होता है। वंश की लंबाई निर्धारित करें यदि स्कीयर इसे 10 एस में सवार करता है। विचार करें कि स्कीयर का त्वरण अपरिवर्तित था और इसकी मात्रा 0.5 m/s 2 थी।

2. यात्री ट्रेन ने अपनी गति को 54 किमी/घंटा से 5 मीटर/सेकेंड में बदल दिया है। ब्रेकिंग के दौरान ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करें यदि ट्रेन का त्वरण स्थिर था और 1 मीटर / सेकंड 2 था।

3. एक कार के ब्रेक अच्छी स्थिति में हैं, यदि 8 मीटर/सेकेंड की गति से उसकी ब्रेकिंग दूरी 7.2 मीटर है कार के ब्रेकिंग समय और त्वरण का निर्धारण करें।

4. OX अक्ष पर गतिमान दो पिंडों के निर्देशांकों के समीकरणों का रूप है:

1) प्रत्येक शरीर के लिए, निर्धारित करें: क) आंदोलन की प्रकृति; बी) प्रारंभिक समन्वय; ग) प्रारंभिक वेग का मॉड्यूल और दिशा; डी) त्वरण।

2) निकायों की बैठक का समय और समन्वय खोजें।

3) प्रत्येक पिंड के लिए, समीकरण v x (t) और s x (t), प्लॉट वेग और विस्थापन अनुमान लिखिए।

5. अंजीर में। 1 किसी पिंड के लिए गति की गति के प्रक्षेपण का एक ग्राफ दिखाता है।

समय की शुरुआत से 4 सेकंड में शरीर का पथ और विस्थापन निर्धारित करें। निर्देशांक का समीकरण लिखिए यदि t = 0 के समय पिंड -20 m के निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर था।

6. दो कारें एक ही बिंदु से एक ही दिशा में आगे बढ़ने लगीं, दूसरी कार 20 सेकंड बाद निकल गई। दोनों कारें 0.4 m/s 2 के त्वरण के साथ समान रूप से चलती हैं। पहली कार की आवाजाही शुरू होने के बाद कितने समय के अंतराल के बाद, कारों के बीच की दूरी 240 मीटर हो जाएगी?

7. अंजीर में। 2 अपने आंदोलन के समय पर शरीर के समन्वय की निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है।

निर्देशांक समीकरण लिखिए यदि यह ज्ञात हो कि त्वरण मापांक 1.6 m/s 2 है।

8. मेट्रो में एक एस्केलेटर 2.5 मीटर/सेकेंड की गति से ऊपर उठता है। क्या एस्केलेटर पर बैठा कोई व्यक्ति पृथ्वी से जुड़े संदर्भ के फ्रेम में आराम कर सकता है? यदि हां, तो किन परिस्थितियों में ? क्या इन परिस्थितियों में किसी व्यक्ति की गति को जड़ता द्वारा गति मानना ​​संभव है? आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

यह पाठ्यपुस्तक सामग्री है।

कैसे, रोकने की दूरी जानने के बाद, कार की प्रारंभिक गति निर्धारित करें और कैसे, आंदोलन की विशेषताओं को जानकर, जैसे प्रारंभिक गति, त्वरण, समय, कार की गति निर्धारित करें? आज के पाठ के विषय से परिचित होने के बाद हमें उत्तर मिलेंगे: "समान रूप से त्वरित गति के साथ विस्थापन, समान रूप से त्वरित गति के साथ समय पर निर्देशांक की निर्भरता"

समान रूप से त्वरित गति के साथ, ग्राफ ऊपर की ओर जाने वाली एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, क्योंकि इसका त्वरण प्रक्षेपण शून्य से अधिक है।

एकसमान सीधी गति के साथ, क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से पिंड के विस्थापन के प्रक्षेपण के मापांक के बराबर होगा। यह पता चला है कि इस तथ्य को न केवल एकसमान गति के मामले के लिए, बल्कि किसी भी गति के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है, अर्थात यह दिखाने के लिए कि ग्राफ के नीचे का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से विस्थापन प्रक्षेपण मापांक के बराबर है। यह कड़ाई से गणितीय रूप से किया जाता है, लेकिन हम एक ग्राफिकल विधि का उपयोग करेंगे।

चावल। 2. समान रूप से त्वरित गति के साथ समय पर गति की निर्भरता का ग्राफ ()

आइए समय से गति के प्रक्षेपण के ग्राफ को समान रूप से त्वरित गति के लिए छोटे समय अंतराल Δt में विभाजित करें। आइए मान लें कि वे इतने छोटे हैं कि उनकी लंबाई के दौरान गति व्यावहारिक रूप से नहीं बदली है, यानी, हम सशर्त रूप से रैखिक निर्भरता ग्राफ को एक सीढ़ी में बदल देंगे। इसके हर कदम पर हम मानते हैं कि गति में ज्यादा बदलाव नहीं आया है। कल्पना कीजिए कि हम समय अंतराल को असीम रूप से छोटा नहीं बनाते हैं। गणित में वे कहते हैं: हम सीमा तक एक मार्ग बनाते हैं। इस मामले में, ऐसी सीढ़ी का क्षेत्र अनिश्चित काल के लिए समलम्बाकार क्षेत्र के साथ निकटता से मेल खाएगा, जो कि ग्राफ V x (t) द्वारा सीमित है। और इसका मतलब यह है कि समान रूप से त्वरित गति के मामले में, हम कह सकते हैं कि विस्थापन प्रक्षेपण मॉड्यूल संख्यात्मक रूप से ग्राफ V x (t) से घिरे क्षेत्र के बराबर है: एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट कुल्हाड़ियों और लंबवत को एब्सिस्सा अक्ष पर उतारा जाता है, अर्थात्, समलम्ब चतुर्भुज OABS का क्षेत्रफल, जिसे हम चित्र 2 में देखते हैं।

समस्या भौतिक से गणितीय में बदल जाती है - एक समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाना। यह एक मानक स्थिति है जब भौतिक विज्ञानी एक मॉडल बनाते हैं जो एक विशेष घटना का वर्णन करता है, और फिर गणित खेल में आता है, जो इस मॉडल को समीकरणों, कानूनों से समृद्ध करता है - जो मॉडल को एक सिद्धांत में बदल देता है।

हम ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र पाते हैं: ट्रेपोजॉइड आयताकार है, क्योंकि कुल्हाड़ियों के बीच का कोण 90 0 है, हम ट्रेपोजॉइड को दो आकृतियों में विभाजित करते हैं - एक आयत और एक त्रिकोण। जाहिर है, कुल क्षेत्रफल इन आंकड़ों के क्षेत्रों के योग के बराबर होगा (चित्र 3)। आइए उनके क्षेत्र खोजें: आयत का क्षेत्रफल भुजाओं के गुणनफल के बराबर है, अर्थात V 0x t, समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों के आधे गुणनफल के बराबर होगा - 1/2AD बीडी, प्रक्षेपण मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 1/2t (V x - V 0x), और, समान रूप से त्वरित गति के साथ समय से गति परिवर्तन के नियम को याद करते हुए: V x (t) = V 0x + axt, यह है बिल्कुल स्पष्ट है कि वेगों के अनुमानों में अंतर समय t द्वारा त्वरण कुल्हाड़ी के प्रक्षेपण के उत्पाद के बराबर है, अर्थात V x - V 0x = a x t।

चावल। 3. समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना ( एक स्रोत)

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से विस्थापन प्रक्षेपण मॉड्यूल के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं:

एस एक्स (टी) \u003d वी 0 एक्स टी + ए एक्स टी 2/2

हमने अदिश रूप में समान रूप से त्वरित गति के साथ समय पर विस्थापन के प्रक्षेपण की निर्भरता का कानून प्राप्त किया है, वेक्टर रूप में यह इस तरह दिखेगा:

(टी) = टी + टी 2 / 2

आइए विस्थापन प्रक्षेपण के लिए एक और सूत्र प्राप्त करें, जिसमें समय को एक चर के रूप में शामिल नहीं किया जाएगा। हम इसमें से समय को छोड़कर, समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

एस एक्स (टी) \u003d वी 0 एक्स + ए एक्स टी 2/2

वी एक्स (टी) \u003d वी 0 एक्स + ए एक्स टी

कल्पना कीजिए कि हम समय नहीं जानते हैं, तो हम दूसरे समीकरण से समय व्यक्त करेंगे:

टी \u003d वी एक्स - वी 0x / ए एक्स

परिणामी मान को पहले समीकरण में बदलें:

हमें ऐसी बोझिल अभिव्यक्ति मिलती है, हम इसे वर्गाकार करते हैं और समान देते हैं:

जब हम गति के समय को नहीं जानते हैं तो हमें मामले के लिए एक बहुत ही सुविधाजनक विस्थापन प्रक्षेपण व्यंजक प्राप्त होता है।

आइए हम कार की प्रारंभिक गति लें, जब ब्रेक लगाना शुरू हुआ, V 0 \u003d 72 किमी / घंटा, अंतिम गति V \u003d 0, त्वरण a \u003d 4 m / s 2 है। ब्रेकिंग दूरी की लंबाई ज्ञात कीजिए। किलोमीटर को मीटर में बदलने और मानों को सूत्र में बदलने पर, हम पाते हैं कि रुकने की दूरी होगी:

एस एक्स \u003d 0 - 400 (एम / एस) 2 / -2 4 मीटर / एस 2 \u003d 50 मीटर

आइए निम्नलिखित सूत्र का विश्लेषण करें:

एस एक्स \u003d (वी 0 एक्स + वी एक्स) / 2 टी

आंदोलन का प्रक्षेपण प्रारंभिक और अंतिम गति के अनुमानों का आधा योग है, जो आंदोलन के समय से गुणा होता है। औसत गति के लिए विस्थापन सूत्र को याद करें

एस एक्स \u003d वी सीएफ टी

समान रूप से त्वरित गति के मामले में, औसत गति होगी:

वी सीएफ \u003d (वी 0 + वी के) / 2

हम समान रूप से त्वरित गति के यांत्रिकी की मुख्य समस्या को हल करने के करीब आ गए हैं, अर्थात कानून प्राप्त करना जिसके अनुसार समन्वय समय के साथ बदलता है:

एक्स(टी) \u003d एक्स 0 + वी 0 एक्स टी + ए एक्स टी 2/2

इस नियम का उपयोग कैसे करना है, यह जानने के लिए हम एक विशिष्ट समस्या का विश्लेषण करेंगे।

आराम की स्थिति से गतिमान कार 2 m / s 2 का त्वरण प्राप्त करती है। कार द्वारा 3 सेकंड में और तीसरे सेकंड में तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: वी 0 एक्स = 0

आइए हम उस नियम को लिखें जिसके अनुसार समय के साथ विस्थापन में परिवर्तन होता है

समान रूप से त्वरित गति: S x \u003d V 0 x t + a x t 2 /2। 2 सी< Δt 2 < 3.

हम डेटा में प्लग इन करके समस्या के पहले प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं:

टी 1 \u003d 3 सी एस 1x \u003d ए एक्स टी 2/2 \u003d 2 3 2/2 \u003d 9 (एम) - यह वह रास्ता है जो चला गया

सी कार 3 सेकंड में।

ज्ञात कीजिए कि उसने 2 सेकंड में कितनी दूरी तय की:

एस एक्स (2 एस) \u003d ए एक्स टी 2/2 \u003d 2 2 2/2 \u003d 4 (एम)

तो, आप और मैं जानते हैं कि दो सेकंड में कार 4 मीटर चली।

अब, इन दो दूरियों को जानने के बाद, हम वह रास्ता खोज सकते हैं जो उसने तीसरे सेकंड में तय किया था:

एस 2x \u003d एस 1x + एस एक्स (2 एस) \u003d 9 - 4 \u003d 5 (एम)

समान रूप से त्वरित गति त्वरण के साथ एक गति है, जिसका वेक्टर परिमाण और दिशा में नहीं बदलता है। इस तरह के आंदोलन के उदाहरण: एक साइकिल जो एक पहाड़ी से लुढ़कती है; एक पत्थर क्षितिज के कोण पर फेंका गया।

आइए अंतिम मामले पर अधिक विस्तार से विचार करें। प्रक्षेपवक्र के किसी भी बिंदु पर, मुक्त गिरावट त्वरण g → पत्थर पर कार्य करता है, जो परिमाण में नहीं बदलता है और हमेशा एक दिशा में निर्देशित होता है।

एक कोण पर क्षितिज पर फेंके गए पिंड की गति को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अक्षों के बारे में गति के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक्स अक्ष के साथ गति एकसमान और सीधी है, और वाई अक्ष के साथ यह समान रूप से त्वरित और सीधा है। हम अक्ष पर वेग और त्वरण सदिशों के अनुमानों पर विचार करेंगे।

समान रूप से त्वरित गति के साथ गति के लिए सूत्र:

यहाँ v 0 शरीर की प्रारंभिक गति है, a = c o n s t त्वरण है।

आइए हम ग्राफ पर दिखाएं कि एकसमान त्वरित गति के साथ, निर्भरता v (t) में एक सीधी रेखा का रूप होता है।

त्वरण को वेग ग्राफ के ढलान से निर्धारित किया जा सकता है। ऊपर की आकृति में, त्वरण मापांक त्रिभुज ABC की भुजाओं के अनुपात के बराबर है।

ए = वी - वी 0 टी = बी सी ए सी

कोण जितना बड़ा होगा, समय अक्ष के संबंध में ग्राफ का ढलान (स्थिरता) उतना ही अधिक होगा। तदनुसार, शरीर का त्वरण जितना अधिक होगा।

पहले ग्राफ के लिए: v 0 = - 2 m s; ए \u003d 0, 5 एम एस 2।

दूसरे ग्राफ के लिए: v 0 = 3 m s; ए = - 1 3 एम एस 2।

इस ग्राफ से, आप समय t में पिंड की गति की गणना भी कर सकते हैं। यह कैसे करना है?

आइए ग्राफ पर एक छोटे से समय अंतराल t को एकल करें। हम मानेंगे कि यह इतना छोटा है कि t के दौरान की गति को अंतराल के बीच में शरीर की गति के बराबर गति के साथ एक समान गति माना जा सकता है t । फिर, समय t के दौरान विस्थापन s s = v t के बराबर होगा।

आइए सभी समय t को अपरिमित रूप से छोटे अंतरालों ∆ t में विभाजित करें। समय t में विस्थापन s समलम्ब चतुर्भुज O D E F के क्षेत्रफल के बराबर है।

एस = ओ डी + ई एफ 2 ओ एफ = वी 0 + वी 2 टी = 2 वी 0 + (वी - वी 0) 2 टी।

हम जानते हैं कि v - v 0 = a t , इसलिए पिंड को हिलाने का अंतिम सूत्र होगा:

एस = वी 0 टी + ए टी 2 2

किसी निश्चित समय पर पिंड के स्थान के निर्देशांक को खोजने के लिए, आपको शरीर के प्रारंभिक निर्देशांक में विस्थापन जोड़ने की आवश्यकता है। समान रूप से त्वरित गति के दौरान निर्देशांक में परिवर्तन समान रूप से त्वरित गति के नियम को व्यक्त करता है।

एकसमान त्वरित गति का नियम

एकसमान त्वरित गति का नियम

वाई = वाई 0 + वी 0 टी + ए टी 2 2।

एक अन्य सामान्य समस्या जो समान रूप से त्वरित गति के विश्लेषण में उत्पन्न होती है, वह है प्रारंभिक और अंतिम वेगों और त्वरण के दिए गए मानों के लिए विस्थापन का पता लगाना।

उपरोक्त समीकरणों से t को हटाने और उन्हें हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एस \u003d वी 2 - वी 0 2 2 ए।

ज्ञात प्रारंभिक गति, त्वरण और विस्थापन से, आप शरीर की अंतिम गति पा सकते हैं:

वी = वी 0 2 + 2 ए एस।

v 0 = 0 s = v 2 2 a और v = 2 a s . के लिए

जरूरी!

व्यंजकों में शामिल मान v , v 0 , a , y 0 , s बीजगणितीय मात्राएँ हैं। गति की प्रकृति और किसी विशेष कार्य में समन्वय अक्षों की दिशा के आधार पर, वे सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकते हैं।

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