Урок "Периодичност на функциите y=sinx, y=cosx". Синус (sin x) и косинус (cos x) - свойства, графики, формули

>> Периодичност на функциите y = sin x, y = cos x

§ 11. Периодичност на функциите y = sin x, y = cos x

В предишните параграфи използвахме седем имота функции: домейн, четен или нечетен, монотонен, ограничен, най-голям и най-малката стойност, непрекъснатост, обхват на функцията. Използвахме тези свойства или за конструиране на функционална графика (както беше например в § 9), или за да разчетем конструираната графика (както беше, например, в § 10). Сега дойде благоприятен моментда се въведе още едно (осмо) свойство на функциите, което е отлично видимо на построеното по-горе диаграмифункции y = sin x (виж фиг. 37), y = cos x (виж фиг. 41).

Определение.Функцията се нарича периодична, ако съществува ненулево число T такова, че за всяко x от множествата, двойното равенство:

Числото T, което удовлетворява определено условие, се нарича период на функцията y \u003d f (x).
От това следва, че тъй като за всяко x равенствата са верни:

тогава функциите y = sin x, y = cos x са периодични и числото 2 Пслужи като период на двете функции.
Периодичността на функция е обещаното осмо свойство на функциите.

Сега погледнете графиката на функцията y \u003d sin x (фиг. 37). За да се изгради синусоида, достатъчно е да се изгради една от нейните вълни (на сегмент и след това да се измести тази вълна по оста x с В резултат, използвайки една вълна, ще изградим цялата графика.

Нека разгледаме от същата гледна точка графиката на функцията y = cos x (фиг. 41). Виждаме, че и тук, за да начертаем графика, е достатъчно първо да начертаем една вълна (например на отсечката

И след това го преместете по оста x
Обобщавайки, правим следното заключение.

Ако функцията y \u003d f (x) има период T, тогава, за да начертаете графиката на функцията, първо трябва да начертаете клон (вълна, част) от графиката на всеки интервал с дължина T (най-често те вземат интервал с краища в точки и след това изместете този клон по оста x надясно и наляво към T, 2T, ZT и т.н.
Периодичната функция има безкрайно много периоди: ако T е период, тогава 2T е период, а 3T е период и -T е период; като цяло период е произволно число от формата KT, където k = ± 1, ± 2, ± 3 ... Обикновено, ако е възможно, те се опитват да отделят най-малкия положителен период, той се нарича основен период.
И така, произволно число от формата 2pc, където k = ± 1, ± 2, ± 3, е периодът на функциите y = sinn x, y = cos x; 2p е основният период на двете функции.

Пример.Намерете главния период на функция:

а)Нека T е основният период на функцията y \u003d sin x. Нека сложим

За да бъде числото T периодът на функцията, идентичността Ho трябва да има, тъй като говорим сипри намиране на главния период получаваме
б)Нека T е главният период на функцията y = cos 0.5x. Нека f(x)=cos 0,5x. Тогава f (x + T) = cos 0,5 (x + T) = cos (0,5x + 0,5 T).

За да бъде числото T периодът на функцията, трябва да е изпълнено идентичността cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

И така, 0,5t = 2pp. Но тъй като говорим за намиране на главния период, получаваме 0,5T = 2 l, T = 4l.

Обобщението на резултатите, получени в примера, е следното твърдение: основният период на функцията

A.G. Алгебра Мордкович 10 клас

Съдържание на урока резюме на урокаподкрепа рамка презентация урок ускорителни методи интерактивни технологии Практика задачи и упражнения самоизпитване семинари, обучения, казуси, куестове домашна работа дискусия въпроси реторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картини графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любопитни cheat sheets учебници основни и допълнителен речник на термини други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника, елементи на иновация в урока, замяна на остарелите знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроци

Центрирано в точка А.
α е ъгъл, изразен в радиани.

Определение
Синусе тригонометрична функция в зависимост от ъгъла α между хипотенузата и катета правоъгълен триъгълник, равно на съотношението на дължината на противоположния крак |BC| на дължината на хипотенузата |AC|.

косинус (cos α)е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равна на съотношението на дължината на съседния катет |AB| на дължината на хипотенузата |AC|.

Приети обозначения

;
;
.

Графика на функцията синус, y = sin x

Графика на косинус функцията, y = cos x

Свойства на синус и косинус

Периодичност

Функции y= грях хи y= cos xпериодичен с точка 2 пи.

Паритет

Функцията синус е нечетна. Косинусовата функция е четна.

Област на дефиниция и стойности, екстремуми, увеличение, намаление

Функциите синус и косинус са непрекъснати в своята област на дефиниция, тоест за всички x (вижте доказателството за непрекъснатост). Основните им свойства са представени в таблицата (n - цяло число).

	y= грях х	y= cos x
Обхват и приемственост	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Диапазон от стойности	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Възходящ
Низходящо
Максимум, y= 1
Минимум, y = - 1
Нули, y= 0
Точки на пресичане с оста y, x = 0	y= 0	y= 1

Основни формули

Сбор на квадрат синус и косинус

Формули за синус и косинус за сума и разлика

;
;

Формули за произведението на синуси и косинуси

Формули за сума и разлика

Изразяване на синус чрез косинус

;
;
;
.

Изразяване на косинус чрез синус

;
;
;
.

Изразяване чрез допирателна

; .

За, имаме:
; .

в :
; .

Таблица на синуси и косинуси, тангенси и котангенси

Тази таблица показва стойностите на синусите и косинусите за някои стойности на аргумента.

Изрази чрез комплексни променливи

;

формула на Ойлер

Изрази в термини на хиперболични функции

;
;

Производни

; . Извеждане на формули >>>

Производни от n-ти порядък:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Обратни функции

Обратни функциикъм синус и косинус са съответно арксинус и арккосинус.

Арксин, арксин

Аркосинус, арккос

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Лан, 2009.

Инструкция

За да намерите периода на тригонометрична функция, повдигната на степен, оценете равномерността на степента. Да намали наполовина стандартния период. Например, ако ви е дадена функция y = 3 cos ^ 2x, тогава стандартният период 2P ще намалее 2 пъти, така че периодът ще бъде равен на P. Имайте предвид, че функциите tg, ctg са периодични до всяка степен на П.

Ако ви е дадено уравнение, което съдържа или е частно от две тригонометрични функции, първо намерете периода за всяка от тях поотделно. След това намерете минималния брой, който отговаря на цяло число и от двете. Например, като се има предвид функцията y=tgx*cos5x. За допирателната периодът е P, за косинус 5x периодът е 2P/5. Минималният брой, който може да побере и двата периода, е 2P, така че необходимият период е 2P.

Ако ви е трудно да действате по предложения начин или се съмнявате в отговора, опитайте се да действате по дефиниция. Вземете T като период на функцията, той е по-голям от нула. Заместете израза (x + T) в уравнението за x и решете полученото равенство, сякаш T е параметър или число. В резултат на това ще намерите стойността на тригонометричната функция и ще можете да изберете минималния период. Например, в резултат на опростяването, получавате идентичността sin (T / 2) = 0. Минималната стойност на T, при която се изпълнява е 2P, това ще бъде задачата.

Източници:

период на греха

Периодичната функция е функция, която повтаря своите стойности след период, различен от нула. Периодът на функция е число, чието добавяне към аргумента на функцията не променя стойността на функцията.

Ще имаш нужда

Познания по елементарна математика и началото на анализа.

Инструкция

Подобни видеа

Забележка

всичко тригонометрични функцииса периодични, а всички полиноми със степен по-голяма от 2 са апериодични.

Полезен съвет

Периодът на функция, състояща се от две периодични функции, е най-малкото общо кратно на периодите на тези функции.

Тригонометрични уравненияса уравнения, които съдържат функции на неизвестен аргумент (например: 5sinx-3cosx =7). За да научите как да ги решавате - трябва да знаете някои методи за това.

Инструкция

Разлагане на уравнението на фактори. Първо, прехвърляме всички термини наляво и разлагаме на множители.

Важно е да запомните, че четните и нечетните функции имат права линия с областта на функцията. Ако, например, четно странна функцияне за x=5, то не съществува за x=-5, което не може да се каже за функцията общ изглед. Когато установявате четно и нечетно, обърнете внимание на домейна на функцията.

Проучването на функция за четна и нечетна четност корелира с намирането на набора от стойности на функцията. За да намерите набора от стойности на четна функция, достатъчно е да разгледаме половината от функцията, вдясно или вляво от нулата. Ако за x>0 четна функция y(x) поема от A до B, тогава тя ще има същите стойности за x<0.
За да намерите набора от стойности, взети от нечетна функция, също е достатъчно да разгледате само една функция. Ако за x>0 нечетната функция y(x) приема диапазон от стойности от A до B, тогава за x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Тригонометрични" някога започнаха да се наричат функции, които се определят от зависимостта на острите ъгли в правоъгълния триъгълник от дължините на страните му. Тези функции включват на първо място синус и косинус, и второ, секанс и косеканс, обратни на тези функции, тангенс и котангенс производни на тях, както и обратните функции арксинус, арккосинус и т.н. По-правилно е да се говорим не за „решението“ на такива функции, а за тяхното „изчисляване“, тоест за намиране на числова стойност.

Инструкция

Ако тригонометричният аргумент е неизвестен, тогава неговата стойност може да бъде изчислена индиректно въз основа на дефинициите на тези функции. За да направите това, трябва да знаете дължините на страните на триъгълника, тригонометрията за един от ъглите, на които искате да изчислите. Например, синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на дължината на катета срещу този ъгъл към дължината на хипотенузата. От това следва, че за един ъгъл е достатъчно да се знаят дължините на тези две страни. Аналогът казва, че синусът на острия ъгъл е съотношението на дължината на крака, съседен на този ъгъл, към дължината на хипотенузата. Тангенсът на остър ъгъл може да се изчисли чрез разделяне на дължината на противоположния крак на дължината на съседния и изисква разделяне на дължината на съседния крак на дължината на противоположния. За да се изчисли секансът на остър ъгъл, е необходимо да се намери съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на крака, съседен на желания ъгъл, а косекансът се определя от съотношението на дължината на хипотенузата към дължина на противоположния крак.

Ако аргументът на тригонометричната функция е известен, тогава не е необходимо да знаете дължините на страните на триъгълника - можете да използвате таблиците със стойности или калкулаторите на тригонометричните функции. Това е сред стандартните програми на операционната система Windows. За да го стартирате, можете да натиснете клавишната комбинация Win + R, да въведете командата calc и да щракнете върху бутона OK. В интерфейса на програмата отворете секцията "Изглед" и елемента "Инженерство" или "Наука". След това можете да въведете аргумента на тригонометричната функция. За да изчислите функциите синус, косинус и след въвеждане на стойността, достатъчно е да щракнете върху съответния бутон на интерфейса (sin, cos, tg) и да намерите техните инверсии на арксинуса, арккосинуса и първо трябва да проверите Inv квадратче за отметка.

Има и алтернативни начини. Едно от тях е да отидете на сайта на търсачката Nigma или Google и да въведете желаната функция и нейния аргумент като заявка за търсене (например sin 0.47). Тези търсачки имат вградени калкулатори, така че след изпращане на такава заявка ще получите стойността на тригонометричната функция, която сте въвели.

Подобни видеа

Тригонометричните функции първо възникват като инструменти за абстрактни математически изчисления на зависимостите на величините на острите ъгли в правоъгълен триъгълник от дължините на неговите страни. Сега те се използват много широко както в научните, така и в техническите области на човешката дейност. За практически изчисления на тригонометрични функции от дадени аргументи можете да използвате различни инструменти - някои от най-достъпните от тях са описани по-долу.

Инструкция

Използвайте например програмата за калкулатор, инсталирана по подразбиране с операционната система. Отваря се, като изберете елемента "Калкулатор" в папката "Помощни програми" от подраздел "Стандарт", поставен в секцията "Всички програми". Този раздел може да се отвори чрез щракване върху бутона "Старт" в главното меню на операционната. Ако използвате версията на Windows 7, можете просто да въведете „Калкулатор“ в полето „Търсене на програми и файлове“ в главното меню и след това да щракнете върху съответната връзка в резултатите от търсенето.

Въведете ъгъла, за който искате да изчислите тригонометричната функция, и след това кликнете върху съответния бутон за това - sin, cos или tan. Ако се интересувате от обратни тригонометрични функции (арксинус, арккосинус или ), тогава първо щракнете върху бутона с надпис Inv - той обръща функциите, присвоени на контролните бутони.

В по-ранни версии на операционната система (например Windows XP), за достъп до тригонометрични функции, отворете секцията „Преглед“ в менюто на калкулатора и изберете реда „Инженеринг“. Освен това вместо бутона Inv в интерфейса на по-старите версии на програмата има квадратче за отметка със същия надпис.

Можете да го направите без калкулатор, ако имате достъп до интернет. В мрежата има много услуги, които предлагат различно организирани калкулатори на тригонометрични функции. Един от най-удобните е вграден в търсачката Nigma. Отивайки на главната му страница, просто въведете стойността, която ви интересува, в полето за заявка за търсене - например " arctangent 30». След като кликнете върху "Намери!" търсачката ще изчисли и ще покаже резултата от изчислението - 0,482347907101025.

Подобни видеа

Тригонометрията е раздел от математиката за изучаване, изразяващ различни зависимости на страните на правоъгълен триъгълник от величините на острите ъгли при хипотенузата. Такива функции се наричат тригонометрични и за опростяване на работата с тях са получени тригонометрични функции. самоличности.

концепция самоличности in означава равенство, което е изпълнено за всякакви стойности на аргументите на включените в него функции. Тригонометричен самоличности- това са равенствата на тригонометричните функции, доказани и приети за улесняване на работата с тригонометрични формули.Тригонометричната функция е елементарна функция на зависимостта на един от катетите на правоъгълен триъгълник от големината на остър ъгъл при хипотенузата . Шестте основни тригонометрични функции, които най-често се използват, са sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) и cosec (косеканс). Тези функции се наричат директни, има и такива

Цел: да се обобщят и систематизират знанията на учениците по темата „Периодичност на функциите”; да се формират умения за прилагане на свойствата на периодична функция, намиране на най-малкия положителен период на функция, изобразяване на периодични функции; насърчаване на интереса към изучаването на математика; култивирайте наблюдателност, точност.

Оборудване: компютър, мултимедиен проектор, карти със задачи, диапозитиви, часовници, маси за орнаменти, елементи от народни занаяти

„Математиката е това, което хората използват, за да контролират природата и себе си“
A.N. Колмогоров

По време на занятията

I. Организационен етап.

Проверка на готовността на учениците за урока. Представяне на темата и целите на урока.

II. Проверка на домашната работа.

Проверяваме домашните по мостри, обсъждаме най-трудните точки.

III. Обобщение и систематизиране на знанията.

1. Устна фронтална работа.

Въпроси на теория.

1) Формирайте дефиницията на периода на функцията
2) Какъв е най-малкият положителен период на функциите y=sin(x), y=cos(x)
3). Какъв е най-малкият положителен период на функциите y=tg(x), y=ctg(x)
4) Използвайте кръга, за да докажете правилността на отношенията:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Как да начертаем периодична функция?

устни упражнения.

1) Докажете следните отношения

а) sin(740º) = sin(20º)
б) cos(54º) = cos(-1026º)
° С) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Докажете, че ъгълът от 540º е един от периодите на функцията y= cos(2x)

3. Докажете, че ъгълът от 360º е един от периодите на функцията y=tg(x)

4. Преобразувайте тези изрази така, че включените в тях ъгли да не надвишават 90º по абсолютна стойност.

а) tg375º
б) ctg530º
° С) sin1268º
д) cos(-7363º)

5. Къде се срещнахте с думите ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТ?

Отговорите на учениците: Период в музиката е конструкция, в която е изложена повече или по-малко завършена музикална мисъл. Геоложкият период е част от ера и е разделен на епохи с период от 35 до 90 милиона години.

Времето на полуразпад на радиоактивно вещество. Периодична дроб. Периодичните издания са печатни издания, които се появяват на строго определени дати. Периодична система на Менделеев.

6. Фигурите показват части от графиките на периодичните функции. Определете периода на функцията. Определете периода на функцията.

Отговор: Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Къде в живота си сте се срещали с изграждането на повтарящи се елементи?

Учениците отговарят: Елементи на орнаменти, народно творчество.

IV. Колективно решаване на проблеми.

(Решаване на проблеми на слайдове.)

Нека разгледаме един от начините за изследване на функция за периодичност.

Този метод заобикаля трудностите, свързани с доказването, че един или друг период е най-малък, а също така няма нужда да засягаме въпроси за аритметичните операции върху периодичните функции и за периодичността на сложна функция. Разсъжденията се основават само на дефиницията на периодична функция и на следния факт: ако T е периодът на функцията, то nT(n? 0) е нейният период.

Задача 1. Намерете най-малкия положителен период на функцията f(x)=1+3(x+q>5)

Решение: Да приемем, че Т-периодът на тази функция. Тогава f(x+T)=f(x) за всички x ∈ D(f), т.е.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Нека x=-0,25 получаваме

(Т)=0<=>T=n, n ∈ Z

Получихме, че всички периоди на разглежданата функция (ако съществуват) са сред цели числа. Изберете измежду тези числа най-малкото положително число. Това е 1 . Нека проверим дали всъщност е период 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

Тъй като (T+1)=(T) за всяко T, то f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), т.е. 1 - точка е. Тъй като 1 е най-малкото от всички положителни числа, тогава T=1.

Задача 2. Покажете, че функцията f(x)=cos 2 (x) е периодична и намерете главния й период.

Задача 3. Намерете главния период на функцията

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Да приемем Т-периода на функцията, след това за произволно хсъотношението

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ако x=0 тогава

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Ако x=-T, тогава

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

– sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

Като добавим, получаваме:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

Нека изберем от всички числа "подозрителни" за периода най-малкото положително и да проверим дали е период за f. Този номер

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Следователно, основният период на функцията f.

Задача 4. Проверете дали функцията f(x)=sin(x) е периодична

Нека T е периодът на функцията f. Тогава за произволен x

sin|x+T|=sin|x|

Ако x=0, тогава sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Да предположим. Че за някакво n числото π n е период

разглеждана функция π n>0. Тогава sin|π n+x|=sin|x|

Това означава, че n трябва да бъде едновременно четно и нечетно, което е невъзможно. Следователно тази функция не е периодична.

Задача 5. Проверете дали функцията е периодична

f(x)=

Тогава нека T е периодът f

, следователно sinT=0, T=π n, n € Z. Да приемем, че за някакво n числото π n наистина е периодът на дадената функция. Тогава числото 2π n също ще бъде точка

Тъй като числителите са равни, значи са равни и техните знаменатели

Следователно функцията f не е периодична.

Групова работа.

Задачи за група 1.

Задачи за група 2.

Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задачи за група 3.

В края на работата групите представят своите решения.

VI. Обобщаване на урока.

Отражение.

Учителят дава на учениците карти с рисунки и предлага да изрисуват част от първия чертеж в съответствие с степента, в която, както им се струва, са усвоили методите за изучаване на функцията за периодичност, а в част от втората рисунка , в съответствие с техния принос към работата в урока.

VII. Домашна работа

едно). Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува)

б). f(x)=x 2 -2x+4

° С). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функцията y=f(x) има период T=2 и f(x)=x 2 +2x за x € [-2; 0]. Намерете стойността на израза -2f(-3)-4f(3,5)

литература/