Формула за максимална сила на тока в осцилаторната верига. Осцилаторна верига

Електромагнитното поле може да съществува и при липса на електрически заряди или токове: именно такива „самоподдържащи се“ електрически и магнитни полета представляват електромагнитни вълникоито включват видима светлина, инфрачервена, ултравиолетова и рентгеново лъчение, радиовълни и др.

§ 25. Осцилаторна верига

Най-простата система, в която са възможни естествени електромагнитни трептения, е т. нар. осцилаторна верига, състояща се от кондензатор и индуктор, свързани един с друг (фиг. 157). Подобно на механичен осцилатор, като масивно тяло върху еластична пружина, естествените трептения във веригата са придружени от енергийни трансформации.

Ориз. 157. Осцилаторна верига

Аналогия между механични и електромагнитни трептения.За осцилаторна верига аналогът на потенциалната енергия на механичен осцилатор (например еластичната енергия на деформирана пружина) е енергията на електрическото поле в кондензатор. Аналог на кинетичната енергия на движещо се тяло е енергията магнитно полев индуктора. Всъщност енергията на пружината е пропорционална на квадрата на изместването от равновесното положение, а енергията на кондензатора е пропорционална на квадрата на заряда. Кинетичната енергия на тялото е пропорционална на квадрата на неговата скорост, а енергията на магнитното поле в намотката е пропорционална на квадрата на тока.

Общата механична енергия на пружинния осцилатор E е равна на сумата от потенциалната и кинетичната енергия:

Енергия на вибрации.По същия начин, общата електромагнитна енергия на осцилаторната верига е равна на сумата от енергиите на електрическото поле в кондензатора и магнитното поле в намотката:

От сравнение на формули (1) и (2) следва, че аналогът на твърдостта k на пружинния осцилатор в осцилаторната верига е реципрочната стойност на капацитета C, а аналогът на масата е индуктивността на бобината

Припомнете си, че в механична система, чиято енергия е дадена с израз (1), могат да възникнат собствени незатихващи хармонични трептения. Квадратът на честотата на такива трептения е равен на съотношението на коефициентите при квадратите на преместването и скоростта в израза за енергия:

Собствена честота.В осцилаторна верига, чиято електромагнитна енергия е дадена от израз (2), могат да възникнат собствени незатихващи хармонични трептения, квадратът на честотата на които също очевидно е равен на съотношението на съответните коефициенти (т.е. коефициентите на квадратите на заряда и силата на тока):

От (4) следва изразът за периода на трептене, наречен формула на Томсън:

При механични трептения зависимостта на преместването x от времето се определя от косинусова функция, чийто аргумент се нарича фаза на трептене:

Амплитуда и начална фаза.Амплитудата A и началната фаза a се определят от началните условия, т.е. стойностите на преместването и скоростта при

По същия начин, при електромагнитни собствени трептения във веригата, зарядът на кондензатора зависи от времето според закона

където честотата се определя в съответствие с (4) само от свойствата на самата верига, а амплитудата на колебанията на заряда и началната фаза a, както в случая на механичен осцилатор, се определят

начални условия, т.е. стойностите на заряда на кондензатора и силата на тока при По този начин естествената честота не зависи от метода на възбуждане на трептения, докато амплитудата и началната фаза се определят точно от условията на възбуждане .

Енергийни трансформации.Нека разгледаме по-подробно енергийните трансформации при механични и електромагнитни трептения. На фиг. 158 схематично показва състоянията на механичните и електромагнитните осцилатори на интервали от време от една четвърт от периода

Ориз. 158. Енергийни трансформации при механични и електромагнитни вибрации

Два пъти през периода на трептене енергията се преобразува от една форма в друга и обратно. Общата енергия на осцилаторния кръг, както и общата енергия на механичния осцилатор, остава непроменена при липса на разсейване. За да се провери това, е необходимо изразът (6) за и изразът за сила на тока да се заменят с формула (2)

Използвайки формула (4) за получаваме

Ориз. 159. Графики на енергията на електрическото поле на кондензатора и енергията на магнитното поле в бобината като функция от времето за зареждане на кондензатора

Постоянната обща енергия съвпада с потенциалната енергия в моментите, когато зарядът на кондензатора е максимален, и съвпада с енергията на магнитното поле на бобината - "кинетична" енергия - в моментите, когато зарядът на кондензатора изчезва и токът е максимален. При взаимни трансформации два вида енергия правят хармонични трептения с еднаква амплитуда в противофаза един спрямо друг и с честота спрямо средната им стойност. Това е лесно да се провери от фиг. 158 и с помощта на формули тригонометрични функцииполовин аргумент:

Графики на зависимостта на енергията на електрическото поле и енергията на магнитното поле от времето на зареждане на кондензатора са показани на фиг. 159 за началната фаза

Количествените закономерности на естествените електромагнитни трептения могат да се установят директно на базата на законите за квазистационарните токове, без да се прибягва до аналогията с механичните трептения.

Уравнението за трептенията във веригата.Помислете за най-простата осцилаторна верига, показана на фиг. 157. При заобикаляне на веригата, например, обратно на часовниковата стрелка, сумата от напреженията на индуктора и кондензатора в такава затворена последователна верига е нула:

Напрежението на кондензатора е свързано със заряда на плочата и с капацитета С отношението Напрежението върху индуктивността по всяко време е равно по абсолютна стойност и противоположно по знак ЕМП самоиндукция, така че токът във веригата е равен на скоростта на промяна на заряда на кондензатора:

Получаваме сега израз (10) приема формата

Нека пренапишем това уравнение по различен начин, като въведем по дефиниция:

Уравнение (12) съвпада с уравнението хармонични вибрациимеханичен осцилатор със собствена честота Решението на такова уравнение се дава от хармоничната (синусоидалната) функция на времето (6) с произволни стойности на амплитудата и началната фаза a. От това следват всички горепосочени резултати относно електромагнитните трептения във веригата.

Затихване на електромагнитните трептения.Досега обсъдихме собствените колебания в идеализирана механична система и идеализирана LC верига. Идеализацията беше да се пренебрегне триенето в осцилатора и електрическото съпротивление във веригата. Само в този случай системата ще бъде консервативна и енергията на трептенията ще бъде запазена.

Ориз. 160. Осцилаторна верига със съпротивление

Отчитането на разсейването на енергията на трептения във веригата може да се извърши по същия начин, както беше направено в случая на механичен осцилатор с триене. Наличието на електрическо съпротивление на бобината и свързващите проводници е неизбежно свързано с отделянето на джаулова топлина. Както и преди, това съпротивление може да се разглежда като независим елементв електрическа схемаосцилаторна верига, като се счита, че намотката и проводниците са идеални (фиг. 160). Когато се разглежда квазистационарен ток в такава верига, в уравнение (10) е необходимо да се добави напрежението през съпротивлението

Замествайки в получаваме

Представяне на нотацията

пренаписваме уравнение (14) във вида

Уравнение (16) за има точно същия вид като уравнението за за вибрации на механичен осцилатор с

триене, пропорционално на скоростта (вискозно триене). Следователно, при наличието на електрическо съпротивление във веригата, електромагнитните трептения възникват по същия закон като механичните трептения на осцилатор с вискозно триене.

Разсейване на вибрационната енергия.Както при механичните вибрации, възможно е да се установи законът за намаляване на енергията на естествените вибрации с времето, като се прилага закона на Джоул-Ленц за изчисляване на отделената топлина:

В резултат на това в случай на ниско затихване за интервали от време, много по-дълги от периода на трептения, скоростта на намаляване на енергията на трептенията се оказва пропорционална на самата енергия:

Решението на уравнение (18) има вида

Енергията на естествените електромагнитни трептения във верига със съпротивление намалява експоненциално.

Енергията на трептенията е пропорционална на квадрата на тяхната амплитуда. За електромагнитните трептения това следва например от (8). Следователно амплитудата на затихващите трептения, в съответствие с (19), намалява по закон

Живот на трептенията.Както се вижда от (20), амплитудата на трептенията намалява с коефициент 1 за време, равно на, независимо от началната стойност на амплитудата. Това време x се нарича продължителност на живота на трептенията, въпреки че, както може както се вижда от (20), осцилациите формално продължават за неопределено време. В действителност, разбира се, има смисъл да се говори за трептения само докато тяхната амплитуда надвишава характерната стойност на нивото на топлинния шум в дадена верига. Следователно всъщност трептенията във веригата "живеят" за крайно време, което обаче може да бъде няколко пъти по-голямо от времето на живот x, въведено по-горе.

Често е важно да се знае не продължителността на живота на самите трептения x, а броят на пълните трептения, които ще възникнат във веригата през това време x. Това число, умножено по, се нарича качествен фактор на веригата.

Строго погледнато, затихналите трептения не са периодични. С малко затихване условно можем да говорим за период, който се разбира като интервал от време между две

последователни максимални стойности на заряда на кондензатора (със същата полярност) или максимални стойности на тока (от една посока).

Затихването на трептенията влияе на периода, което води до увеличаването му в сравнение с идеализирания случай на липса на затихване. При ниско затихване увеличението на периода на трептене е много малко. При силно затихване обаче може да няма никакви трептения: зареденият кондензатор ще се разрежда периодично, т.е. без да променя посоката на тока във веригата. Така ще бъде с т.е. с

Точно решение. Формулираните по-горе модели на затихващи трептения следват от точното решение на диференциалното уравнение (16). Чрез директно заместване може да се провери дали има формата

където са произволни константи, чиито стойности се определят от началните условия. За ниско затихване косинусният множител може да се разглежда като бавно променяща се амплитуда на трептене.

Задача

Презареждане на кондензатори чрез индуктор. Във веригата, чиято диаграма е показана на фиг. 161, зарядът на горния кондензатор е равен, а долния не е зареден. В момента ключът е затворен. Намерете зависимостта от времето на заряда на горния кондензатор и тока в намотката.

Ориз. 161. В началния момент на времето се зарежда само един кондензатор

Ориз. 162. Заряди на кондензатори и ток във веригата след затваряне на ключа

Ориз. 163. Механична аналогия за електрическата верига, показана на фиг. 162

Решение. След затваряне на ключа във веригата възникват трептения: горният кондензатор започва да се разрежда през бобината, докато зарежда долния; тогава всичко се случва в обратната посока. Нека например при , горната плоча на кондензатора е положително заредена. Тогава

след кратък период от време знаците на зарядите на плочите на кондензатора и посоката на тока ще бъдат както е показано на фиг. 162. Означете с зарядите на онези пластини на горния и долния кондензатор, които са свързани помежду си чрез индуктор. Въз основа на закона за опазване електрически заряд

Сумата от напреженията върху всички елементи на затворена верига във всеки момент от време е равна на нула:

Знакът на напрежението на кондензатора съответства на разпределението на зарядите на фиг. 162. и посочената посока на тока. Изразът за тока през бобината може да се запише в една от двете форми:

Нека изключим от уравнението, използвайки отношения (22) и (24):

Представяне на нотацията

пренаписваме (25) в следния вид:

Ако вместо да се въведе функцията

и вземете предвид, че (27) приема формата

Това е обичайното уравнение на незатихващите хармонични трептения, което има решение

където и са произволни константи.

Връщайки се от функцията, получаваме следния израз за зависимостта от времето за зареждане на горния кондензатор:

За да определим константите и a, вземаме предвид, че в началния момент зарядът a ток За силата на тока от (24) и (31) имаме

Тъй като от тук следва, че Замествайки сега в и като вземем предвид, че получаваме

И така, изразите за заряда и силата на тока са

Характерът на колебанията на заряда и тока е особено очевиден, когато същите стойностикапацитет на кондензатора. В такъв случай

Зарядът на горния кондензатор осцилира с амплитуда около средна стойност, равна на половината от периода на трептене, намалява от максималната стойност в началния момент до нула, когато целият заряд е върху долния кондензатор.

Израз (26) за честотата на трептене, разбира се, може да се запише веднага, тъй като в разглежданата верига кондензаторите са свързани последователно. Трудно е обаче директно да се напишат изрази (34), тъй като при такива начални условия е невъзможно да се заменят кондензаторите, включени във веригата, с един еквивалентен.

Визуално представяне на процесите, протичащи тук, се дава от механичния аналог на тази електрическа верига, показан на фиг. 163. Еднакви пружини отговарят на случая на кондензатори със същия капацитет. В началния момент лявата пружина е компресирана, което съответства на зареден кондензатор, а дясната е в недеформирано състояние, тъй като степента на деформация на пружината служи като аналог на заряда на кондензатора. При преминаване през средното положение и двете пружини са частично компресирани, като в крайно дясно положение лявата пружина не се деформира, а дясната се компресира по същия начин като лявата в началния момент, което съответства на пълен поток на заряд от един кондензатор към друг. Въпреки че топката извършва обичайните хармонични трептения около положението на равновесие, деформацията на всяка от пружините се описва с функция, чиято средна стойност е различна от нула.

За разлика от осцилаторна верига с единичен кондензатор, при която по време на трептения се случва неговото повтарящо се пълно презареждане, в разглежданата система първоначално зареденият кондензатор не се презарежда напълно. Например, когато зарядът му намалее до нула и след това се възстановява отново в същата полярност. В противен случай тези трептения не се различават от хармоничните трептения в конвенционалната верига. Енергията на тези трептения се запазва, ако, разбира се, съпротивлението на намотката и свързващите проводници може да се пренебрегне.

Обяснете защо от сравнение на формули (1) и (2) за механични и електромагнитни енергии се стигна до заключението, че аналогът на твърдостта k е, а аналогът на масата е индуктивността, а не обратното.

Дайте обосновка за извеждането на израз (4) за собствената честота на електромагнитните трептения във веригата от аналогията с механичен пружинен осцилатор.

Хармоничните трептения в -веригата се характеризират с амплитуда, честота, период, фаза на трептене, начална фаза. Кои от тези величини се определят от свойствата на самата трептяща верига и кои зависят от начина на възбуждане на трептенията?

Докажете, че средните стойности на електрическата и магнитната енергия по време на естествени трептения във веригата са равни една на друга и съставляват половината от общата електромагнитна енергия на трептенията.

Как да приложим законите на квазистационарните явления в електрическа верига, за да изведем диференциално уравнение (12) за хармонични трептения в -верига?

На какво диференциално уравнение удовлетворява тока в LC верига?

Изведете уравнение за скоростта на намаляване на енергията на вибрациите при ниско затихване по същия начин, както е направено за механичен осцилатор с триене, пропорционално на скоростта, и покажете, че за интервали от време, значително надвишаващи периода на трептене, това намаление настъпва според експоненциален закон. Какво е значението на термина "малко затихване", използван тук?

Покажете, че функцията, дадена от формула (21), удовлетворява уравнение (16) за всякакви стойности на и a.

Помислете за механичната система, показана на фиг. 163, и намерете зависимостта от времето на деформация на лявата пружина и скоростта на масивното тяло.

Примка без съпротива с неизбежни загуби.В разгледания по-горе проблем, въпреки не съвсем обичайните начални условия за заряди на кондензатори, беше възможно да се приложат обичайните уравнения за електрически вериги, тъй като там бяха изпълнени условията за квазистационарност на протичащите процеси. Но във веригата, чиято диаграма е показана на фиг. 164, с формална външна прилика с диаграмата на фиг. 162, условията за квазистационарност не са изпълнени, ако в началния момент единият кондензатор е зареден, а вторият не е.

Нека обсъдим по-подробно причините, поради които тук се нарушават условията на квазистационарност. Веднага след затваряне

Ориз. 164. Електрическа верига, за която не са изпълнени условията за квазистационарност

Ключът е, че всички процеси се извършват само във взаимосвързани кондензатори, тъй като увеличаването на тока през индуктора е сравнително бавно и в началото може да се пренебрегне разклоняването на тока в намотката.

Когато ключът е затворен, във верига, състояща се от кондензатори и свързващи ги проводници, възникват бързи затихващи трептения. Периодът на такива трептения е много малък, тъй като индуктивността на свързващите проводници е малка. В резултат на тези трептения зарядът върху плочите на кондензатора се преразпределя, след което двата кондензатора могат да се разглеждат като един. Но в първия момент това не може да се направи, защото наред с преразпределението на зарядите има и преразпределение на енергията, част от която преминава в топлина.

След затихването на бързите трептения в системата възникват трептения, както при верига с един кондензатор с капацитет, чийто заряд в началния момент е равен на първоначалния заряд на кондензатора.Условието за валидност на горните разсъждения е малката индуктивност на свързващите проводници в сравнение с индуктивността на бобината.

Както в разглеждания проблем, и тук е полезно да се намери механична аналогия. Ако там двете пружини, съответстващи на кондензаторите, са били разположени от двете страни на масивно тяло, тук те трябва да са разположени от едната му страна, така че вибрациите на едната от тях да могат да се предават на другата, докато тялото е неподвижно. Вместо две пружини можете да вземете една, но само в началния момент тя трябва да се деформира нехомогенно.

Хващаме пружината за средата и разтягаме лявата й половина на известно разстояние.Втората половина на пружината ще остане в недеформирано състояние, така че товарът в началния момент да се измести от равновесното положение вдясно на разстояние и почива. Тогава нека освободим пружината. Какви характеристики ще произтичат от факта, че в началния момент пружината се деформира нехомогенно? тъй като, както е лесно да се види, твърдостта на „половината“ на пружината е Ако масата на пружината е малка в сравнение с масата на топката, естествената честота на пружината като разширена система е много по-голяма от честотата на топката върху пружината. Тези „бързи“ трептения ще изчезнат за време, което е малка част от периода на трептенията на топката. След затихване на бързи трептения напрежението в пружината се преразпределя и изместването на товара остава практически същото, тъй като товарът няма време да се движи забележимо през това време. Деформацията на пружината става равномерна, а енергията на системата е равна на

По този начин ролята на бързите трептения на пружината се свежда до факта, че енергийният резерв на системата намалява до стойността, която съответства на равномерната първоначална деформация на пружината. Ясно е, че по-нататъшните процеси в системата не се различават от случая на хомогенна първоначална деформация. Зависимостта на изместването на товара от времето се изразява със същата формула (36).

В разглеждания пример в резултат на бързи колебания се превърна в вътрешна енергия(в топлина) половината от първоначалната доставка на механична енергия. Ясно е, че като се подложи първоначалната деформация не на половината, а на произволна част от пружината, е възможно да се преобразува всяка част от първоначалното подаване на механична енергия във вътрешна енергия. Но във всички случаи енергията на вибрациите на натоварването на пружината съответства на енергийния резерв за една и съща равномерна първоначална деформация на пружината.

В електрическа верига, в резултат на затихване на бързи трептения, енергията на зареден кондензатор се освобождава частично под формата на джаулова топлина в свързващите проводници. При равни мощности това ще бъде половината от първоначалния енергиен резерв. Другата половина остава под формата на енергия на относително бавни електромагнитни трептения във верига, състояща се от намотка и два кондензатора C, свързани паралелно, и

По този начин в тази система идеализацията е принципно неприемлива, при която се пренебрегва разсейването на енергията на трептене. Причината за това е, че тук са възможни бързи трептения, без да се засягат индукторите или масивното тяло в подобна механична система.

Осцилаторна верига с нелинейни елементи.Изучавайки механичните вибрации, ние видяхме, че вибрациите не винаги са хармонични. Хармоничните вибрации са характерно свойство линейни системи, в който

възстановяващата сила е пропорционална на отклонението от положението на равновесие, а потенциалната енергия е пропорционална на квадрата на отклонението. Реалните механични системи като правило не притежават тези свойства и трептенията в тях могат да се считат за хармонични само при малки отклонения от равновесното положение.

В случай на електромагнитни трептения във верига може да се създаде впечатлението, че имаме работа с идеални системи, в които трептенията са строго хармонични. Това обаче е вярно само докато капацитетът на кондензатора и индуктивността на бобината могат да се считат за постоянни, т.е. независими от заряда и тока. Кондензатор с диелектрик и намотка с ядро са, строго погледнато, нелинейни елементи. Когато кондензаторът е запълнен с фероелектрик, т.е. вещество, чиято диелектрична константа зависи силно от приложеното електрическо поле, капацитетът на кондензатора вече не може да се счита за постоянен. По същия начин, индуктивността на намотка с феромагнитно ядро зависи от силата на тока, тъй като феромагнитът има свойството на магнитно насищане.

Ако в механичните осцилаторни системи масата, като правило, може да се счита за постоянна и нелинейността възниква само поради нелинейния характер на действащата сила, то в електромагнитната осцилаторна верига нелинейността може да възникне както поради кондензатор (аналогично на еластичен пружина) и поради индуктор (масов аналог).

Защо идеализацията е неприложима за осцилаторна верига с два успоредни кондензатора (фиг. 164), в която системата се счита за консервативна?

Защо бързите трептения водят до разсейване на енергията на трептене във веригата на фиг. 164 не се появи във веригата с два последователни кондензатора, показани на фиг. 162?

Какви причини могат да доведат до несинусоидалност на електромагнитните трептения във веригата?

Електрическата осцилаторна верига е система за възбуждане и поддържане на електромагнитни трептения. В най-простата си форма това е верига, състояща се от намотка с индуктивност L, кондензатор с капацитет C и резистор със съпротивление R, свързани последователно (фиг. 129). Когато ключ P е поставен в положение 1, кондензатор C се зарежда до напрежение У т. В този случай се образува между плочите на кондензатора електрическо поле, чиято максимална енергия е равна на

Когато превключвателят се премести в позиция 2, веригата се затваря и в нея протичат следните процеси. Кондензаторът започва да се разрежда и токът протича през веригата и, чиято стойност се увеличава от нула до максимална стойност и след това намалява обратно до нула. Тъй като във веригата протича променлив ток, в намотката се индуцира EMF, което предотвратява разреждането на кондензатора. Следователно процесът на разреждане на кондензатора не се случва незабавно, а постепенно. В резултат на появата на ток в намотката възниква магнитно поле, чиято енергия е
достига максималната си стойност при ток, равен на . Максималната енергия на магнитното поле ще бъде равна на

След достигане на максималната стойност токът във веригата ще започне да намалява. В този случай кондензаторът ще се презареди, енергията на магнитното поле в намотката ще намалее, а енергията на електрическото поле в кондензатора ще се увеличи. При достигане на максималната стойност. Процесът ще започне да се повтаря и във веригата се появяват трептения на електрически и магнитни полета. Ако приемем, че съпротивлението
(т.е. не се изразходва енергия за отопление), тогава според закона за запазване на енергията, общата енергия Уостава постоянен

и
;
.

Верига, в която няма загуба на енергия, се нарича идеална. Напрежението и токът във веригата се променят според хармоничния закон

;

където - честота на кръгови (циклични) трептения
.

Кръговата честота е свързана с честотата на трептене и периоди на флуктуации T съотношение.

Х и фиг. 130 показва графики на напрежението U и тока I в бобината на идеална осцилаторна верига. Може да се види, че силата на тока изостава във фаза с напрежението .

;
;
- Формулата на Томсън.

В случай, че съпротивата
, формулата на Томсън приема формата

Основи на теорията на Максуел

Теорията на Максуел е теорията за едно единствено електромагнитно поле, създадено от произволна система от заряди и токове. На теория се решава основният проблем на електродинамиката - според дадено разпределение на зарядите и токове се намират характеристиките на създаваните от тях електрически и магнитни полета. Теорията на Максуел е обобщение на най-важните закони, описващи електрически и електромагнитни явления - теоремата на Остроградски-Гаус за електрически и магнитни полета, законът за общия ток, законът електромагнитна индукцияи теореми за циркулацията на вектора на силата на електрическото поле. Теорията на Максуел има феноменологичен характер, т.е. той не разглежда вътрешния механизъм на явленията, протичащи в околната среда и причиняващи появатаелектрически и магнитни полета. В теорията на Максуел средата се описва с помощта на три характеристики – диелектрична ε и магнитна μ проницаемост на средата и електрическа проводимост γ.

Електрическите трептения се разбират като периодични промени в заряда, тока и напрежението. Най-простата система, в която са възможни свободни електрически трептения, е така наречената осцилаторна верига. Това е устройство, състоящо се от кондензатор и намотка, свързани един с друг. Ще приемем, че няма активно съпротивление на бобината, в този случай веригата се нарича идеална. Когато енергията се предава на тази система, в нея ще се появят незатихващи хармонични трептения на заряда върху кондензатора, напрежението и тока.

Възможно е да се информира осцилаторната верига на енергията различни начини. Например чрез зареждане на кондензатор от източник постоянен токили възбуждащ ток в индуктора. В първия случай електрическото поле между плочите на кондензатора притежава енергия. Във втория, енергията се съдържа в магнитното поле на тока, протичащ през веригата.

§1 Уравнението на трептенията във веригата

Нека докажем, че когато енергията се предаде на веригата, в нея ще се появят незатихващи хармонични трептения. За да направите това, е необходимо да се получи диференциално уравнение на хармоничните трептения от формата .

Да предположим, че кондензаторът е зареден и затворен към бобината. Кондензаторът ще започне да се разрежда, токът ще тече през бобината. Според втория закон на Кирхоф, сумата от спада на напрежението по затворена верига е равна на сумата от ЕМП в тази верига .

В нашия случай спадът на напрежението е защото веригата е идеална. Кондензаторът във веригата се държи като източник на ток, потенциалната разлика между плочите на кондензатора действа като EMF, където е зарядът на кондензатора, е капацитетът на кондензатора. Освен това, когато през намотката протича променящ се ток, в нея възниква ЕДС на самоиндукция, където е индуктивността на бобината, е скоростта на промяна на тока в намотката. Тъй като ЕМП на самоиндукция предотвратява процеса на разреждане на кондензатора, вторият закон на Кирхоф приема формата

Следователно токът във веригата е токът на разреждане или зареждане на кондензатора. Тогава

Диференциалното уравнение се трансформира във вида

Чрез въвеждането на обозначението получаваме добре познатото диференциално уравнение на хармоничните трептения.

Това означава, че зарядът на кондензатора в осцилаторната верига ще се промени според хармоничния закон

където е максималната стойност на заряда на кондензатора, е цикличната честота, е началната фаза на трептенията.

Период на колебание на заряда . Този израз се нарича формула на Томпсън.

Напрежение на кондензатора

Ток на веригата

Виждаме, че в допълнение към заряда на кондензатора, според хармоничния закон, токът във веригата и напрежението върху кондензатора също ще се променят. Напрежението осцилира във фаза със заряда, а токът е пред заряда

фаза включена.

Енергия на електрическото поле на кондензатора

Енергията на тока на магнитното поле

Така енергиите на електрическото и магнитното поле също се променят по хармоничния закон, но с удвоена честота.

Обобщавайте

Електрическите трептения трябва да се разбират като периодични промени в заряда, напрежението, силата на тока, енергията на електрическото поле, енергията на магнитното поле. Тези трептения, подобно на механичните, могат да бъдат както свободни, така и принудителни, хармонични и нехармонични. В идеална осцилаторна верига са възможни свободни хармонични електрически трептения.

§2 Процеси, протичащи в осцилаторна верига

Математически доказахме съществуването на свободни хармонични трептения в осцилаторна верига. Въпреки това остава неясно защо е възможен подобен процес. Какво причинява трептения във веригата?

В случай на свободни механични вибрации беше намерена такава причина - това е вътрешна сила, което възниква при извеждане на системата от равновесие. Тази сила във всеки един момент е насочена към положението на равновесие и е пропорционална на координатата на тялото (със знак минус). Нека се опитаме да намерим подобна причина за появата на трептения в осцилаторния кръг.

Нека трептенията във веригата се възбуждат, като зареждате кондензатора и го затваряте към намотката.

В началния момент от времето зарядът на кондензатора е максимален. Следователно напрежението и енергията на електрическото поле на кондензатора също са максимални.

Във веригата няма ток, енергията на магнитното поле на тока е нула.

Първо тримесечие на периода- разреждане на кондензатора.

Кондензаторните плочи, които имат различни потенциали, са свързани с проводник, така че кондензаторът започва да се разрежда през намотката. Зарядът, напрежението на кондензатора и енергията на електрическото поле намаляват.

Токът, който се появява във веригата, се увеличава, но растежът му се предотвратява от самоиндукционната ЕМП, която се появява в намотката. Енергията на магнитното поле на тока се увеличава.

Измина една четвърт- кондензаторът е разреден.

Кондензаторът се разреди, напрежението върху него стана равно на нула. Енергията на електрическото поле в този момент също е равна на нула. Според закона за запазване на енергията тя не може да изчезне. Енергията на полето на кондензатора напълно се е превърнала в енергията на магнитното поле на бобината, която в този момент достига максималната си стойност. Максималният ток във веригата.

Изглежда, че в този момент токът във веригата трябва да спре, защото причината за тока, електрическото поле, е изчезнала. Въпреки това изчезването на тока отново се предотвратява от ЕМП на самоиндукция в намотката. Сега той ще поддържа намаляващ ток и ще продължи да тече в същата посока, зареждайки кондензатора. Започва второто тримесечие на периода.

Втората четвърт на периода - Презареждане на кондензатор.

Токът, поддържан от ЕМП на самоиндукция, продължава да тече в същата посока, като постепенно намалява. Този ток зарежда кондензатора в противоположна полярност. Зарядът и напрежението в кондензатора се увеличават.

Енергията на магнитното поле на тока, намалявайки, преминава в енергията на електрическото поле на кондензатора.

Измина второто тримесечие на периода - кондензаторът се презареди.

Кондензаторът се зарежда, докато има ток. Следователно, в момента, когато токът спре, зарядът и напрежението на кондензатора придобиват максимална стойност.

Енергията на магнитното поле в този момент напълно се превърна в енергията на електрическото поле на кондензатора.

Ситуацията във веригата в този момент е еквивалентна на първоначалната. Процесите във веригата ще се повторят, но в обратна посока. Едно пълно трептене във веригата, продължаващо за определен период, ще приключи, когато системата се върне в първоначалното си състояние, тоест когато кондензаторът се презареди в първоначалната си полярност.

Лесно е да се види, че причината за трептенията във веригата е феноменът на самоиндукция. ЕМП на самоиндукция предотвратява промяната в тока: не му позволява моментално да се увеличи и незабавно да изчезне.

Между другото, не би било излишно да сравним изразите за изчисляване на квазиеластична сила в механична осцилаторна система и ЕМП на самоиндукция във веригата:

Преди това бяха получени диференциални уравнения за механични и електрически осцилаторни системи:

Въпреки фундаментални различия физически процесиза механични и електрически осцилаторни системи, математическата идентичност на уравненията, описващи процесите в тези системи, е ясно видима. Това трябва да се обсъди по-подробно.

§3 Аналогия между електрически и механични вибрации

Внимателният анализ на диференциалните уравнения за пружинно махало и осцилаторна верига, както и формули, свързващи величините, характеризиращи процесите в тези системи, дава възможност да се идентифицира кои величини се държат по същия начин (Таблица 2).

Пружинно махало	Осцилаторна верига
Координата на тялото ()	Зареждане на кондензатора ()
скорост на тялото	Ток на контура
Потенциална енергия на еластично деформирана пружина	Енергия на електрическото поле на кондензатора
Кинетична енергия на товара	Енергията на магнитното поле на бобината с ток
Реципрочната твърдост на пружината	Капацитет на кондензатора
Тегло на натоварване	Индуктивност на бобината
Еластична сила	ЕДС на самоиндукция, равна на напрежението на кондензатора

таблица 2

Важно е не просто формално сходство между величините, които описват процесите на трептене на махалото и процесите във веригата. Самите процеси са идентични!

Крайните положения на махалото са еквивалентни на състоянието на веригата, когато зарядът на кондензатора е максимален.

Равновесното положение на махалото е еквивалентно на състоянието на веригата, когато кондензаторът е разреден. В този момент еластичната сила изчезва и няма напрежение върху кондензатора във веригата. Скоростта на махалото и токът във веригата са максимални. Потенциалната енергия на еластична деформация на пружината и енергията на електрическото поле на кондензатора са равни на нула. Енергията на системата се състои от кинетичната енергия на товара или енергията на магнитното поле на тока.

Разрядът на кондензатора протича подобно на движението на махалото от крайна позициядо позиция на баланс. Процесът на презареждане на кондензатора е идентичен с процеса на премахване на товара от равновесно положение до крайно положение.

Обща енергия на осцилаторната система или остава непроменен във времето.

Подобна аналогия може да се проследи не само между пружинно махало и осцилаторна верига. Общи модели на свободни трептения от всякакво естество! Тези модели, илюстрирани с примера на две осцилаторни системи (пружинно махало и осцилаторна верига), са не само възможни, но и трябва да видите във вибрациите на всяка система.

По принцип е възможно да се реши проблемът с всеки трептящ процес, като се замени с трептения на махалото. За да направите това, достатъчно е компетентно да изградите еквивалентна механична система, да решите механичен проблем и да промените стойностите в крайния резултат. Например, трябва да намерите периода на трептене във верига, съдържаща кондензатор и две намотки, свързани паралелно.

Осцилаторната верига съдържа един кондензатор и две намотки. Тъй като намотката се държи като тежестта на пружинно махало, а кондензаторът се държи като пружина, еквивалентната механична система трябва да съдържа една пружина и две тежести. Целият проблем е как тежестите са закрепени към пружината. Възможни са два случая: единият край на пружината е фиксиран и една тежест е прикрепена към свободния край, втората е върху първия или тежестите са прикрепени към различни краища на пружината.

В паралелна връзкабобини с различна индуктивност през тях протичат различни токове. Следователно скоростите на товарите в една и съща механична система също трябва да са различни. Очевидно това е възможно само във втория случай.

Вече открихме периода на тази колебателна система. Той е равен . Замествайки масите на тежестите с индуктивността на намотките и реципрочната твърдост на пружината с капацитета на кондензатора, получаваме .

§4 Осцилаторна верига с източник на постоянен ток

Помислете за осцилаторна верига, съдържаща източник на постоянен ток. Нека кондензаторът първоначално е незареден. Какво ще се случи в системата след затваряне на ключа K? Ще се наблюдават ли трептения в този случай и каква е тяхната честота и амплитуда?

Очевидно, след като ключът е затворен, кондензаторът ще започне да се зарежда. Пишем втория закон на Кирхоф:

Следователно токът във веригата е токът на зареждане на кондензатора. Тогава . Диференциалното уравнение се трансформира във вида

*Решете уравнението чрез промяна на променливите.

Да обозначим . Диференцирайте два пъти и, като се вземе предвид, че , Получаваме . Диференциалното уравнение приема формата

Това е диференциално уравнение на хармоничните трептения, неговото решение е функцията

където е цикличната честота, интегралните константи и се намират от началните условия.

Зарядът на кондензатор се променя според закона

Веднага след затваряне на ключа, зарядът на кондензатора нулаи няма ток във веригата . Като се вземат предвид началните условия, получаваме система от уравнения:

Решавайки системата, получаваме и . След затваряне на ключа зарядът на кондензатора се променя според закона.

Лесно е да се види, че във веригата възникват хармонични трептения. Наличието на източник на постоянен ток във веригата не повлия на честотата на трептене, тя остана равна. „Положението на равновесие“ се е променило - в момента, когато токът във веригата е максимален, кондензаторът се зарежда. Амплитудата на колебанията на заряда на кондензатора е равна на Cε.

Същият резултат може да се получи по-просто, като се използва аналогията между трептения във веригата и трептения на пружинно махало. Източникът на DC е еквивалентен на DC силово поле, в който е поставено пружинно махало, например гравитационно поле. Липсата на заряд на кондензатора в момента на затваряне на веригата е идентична с липсата на деформация на пружината в момента на привеждане на махалото в осцилаторно движение.

В постоянно силово поле периодът на трептене на пружинното махало не се променя. Периодът на трептене във веригата се държи по същия начин - той остава непроменен, когато източник на постоянен ток се въведе във веригата.

В равновесно положение, когато скоростта на натоварване е максимална, пружината се деформира:

Когато токът в осцилаторната верига е максимален . Вторият закон на Кирхоф е написан по следния начин

В този момент зарядът на кондензатора е равен на Същият резултат може да се получи въз основа на израза (*) чрез замяна

§5 Примери за решаване на проблеми

Задача 1Закон за запазване на енергията

Л\u003d 0,5 μH и кондензатор с капацитет С= 20 pF възникват електрически трептения. Какво е максималното напрежение на кондензатора, ако амплитудата на тока във веригата е 1 mA? Активното съпротивление на бобината е незначително.

решение:

(1)

2 В момента, когато напрежението на кондензатора е максимално (максимален заряд на кондензатора), във веригата няма ток. Общата енергия на системата се състои само от енергията на електрическото поле на кондензатора

(2)

3 В момента, когато токът във веригата е максимален, кондензаторът е напълно разреден. Общата енергия на системата се състои само от енергията на магнитното поле на бобината

(3)

4 Въз основа на изрази (1), (2), (3) получаваме равенството . Максималното напрежение на кондензатора е

Задача 2Закон за запазване на енергията

В осцилаторна верига, състояща се от индуктивна намотка Ли кондензатор С,възникват електрически трептения с период T = 1 μs. Максимална стойност на зареждане . Какъв е токът във веригата в момента, когато зарядът на кондензатора е равен? Активното съпротивление на бобината е незначително.

решение:

1 Тъй като активното съпротивление на намотката може да се пренебрегне, общата енергия на системата, състояща се от енергията на електрическото поле на кондензатора и енергията на магнитното поле на бобината, остава непроменена с течение на времето:

(1)

2 В момента, когато зарядът на кондензатора е максимален, във веригата няма ток. Общата енергия на системата се състои само от енергията на електрическото поле на кондензатора

(2)

3 Въз основа на (1) и (2) получаваме равенството . Токът във веригата е .

4 Периодът на трептене във веригата се определя от формулата на Томсън. Оттук. Тогава за тока във веригата получаваме

Задача 3Осцилаторна верига с два паралелно свързани кондензатора

В осцилаторна верига, състояща се от индуктивна намотка Ли кондензатор С,възникват електрически трептения с амплитуда на заряда. В момента, когато зарядът на кондензатора е максимален, ключът K е затворен. Какъв ще бъде периодът на трептения във веригата след затваряне на ключа? Каква е амплитудата на тока във веригата след затваряне на ключа? Игнорирайте омичното съпротивление на веригата.

решение:

1 Затварянето на ключа води до появата във веригата на друг кондензатор, свързан паралелно на първия. Общият капацитет на два паралелно свързани кондензатора е .

Периодът на трептения във веригата зависи само от нейните параметри и не зависи от това как трептенията са били възбудени в системата и каква енергия е била предадена на системата за това. Според формулата на Томсън.

2 За да намерим амплитудата на тока, нека да разберем какви процеси се случват във веригата след затваряне на ключа.

Вторият кондензатор беше свързан в момента, когато зарядът на първия кондензатор беше максимален, следователно нямаше ток във веригата.

Кондензаторът на контура трябва да започне да се разрежда. Разрядният ток, достигнал до възела, трябва да бъде разделен на две части. Въпреки това, в клона с намотката възниква ЕМП на самоиндукция, което предотвратява увеличаването на разрядния ток. Поради тази причина целият разряден ток ще се влее в клона с кондензатора, чието омично съпротивление е нула. Токът ще спре веднага щом напреженията на кондензаторите се изравнят, докато първоначалният заряд на кондензатора се преразпределя между двата кондензатора. Времето за преразпределение на заряда между два кондензатора е незначително поради липсата на омично съпротивление в клоните на кондензатора. През това време токът в клона с намотката няма да има време да се появи. флуктуации в нова системапродължете, след като зарядът се преразпредели между кондензаторите.

Важно е да се разбере, че в процеса на преразпределение на заряда между два кондензатора енергията на системата не се запазва! Преди затварянето на ключа един кондензатор, кондензатор с контур, имаше енергия:

След преразпределение на заряда батерия от кондензатори притежава енергия:

Лесно е да се види, че енергията на системата е намаляла!

3 Откриваме новата амплитуда на тока, използвайки закона за запазване на енергията. В процеса на трептения енергията на кондензаторната банка се преобразува в енергията на магнитното поле на тока:

Моля, имайте предвид, че законът за запазване на енергията започва да "работи" едва след завършване на преразпределението на заряда между кондензаторите.

Задача 4Осцилаторна верига с два последователно свързани кондензатора

Осцилаторната верига се състои от намотка с индуктивност L и два кондензатора C и 4C, свързани последователно. Кондензатор с капацитет C се зарежда до напрежение, кондензатор с капацитет 4C не се зарежда. След затваряне на ключа започват трептения във веригата. Какъв е периодът на тези трептения? Определете амплитудата на тока, максималните и минималните стойности на напрежението на всеки кондензатор.

решение:

1 В момента, когато токът във веригата е максимален, в намотката няма самоиндукционна ЕМП . Записваме за този момент втория закон на Кирхоф

Виждаме, че в момента, когато токът във веригата е максимален, кондензаторите се зареждат до същото напрежение, но в обратна полярност:

2 Преди да затворите ключа, общата енергия на системата се състои само от енергията на електрическото поле на кондензатора C:

В момента, когато токът във веригата е максимален, енергията на системата е сумата от енергията на магнитното поле на тока и енергията на два кондензатора, заредени до едно и също напрежение:

Според закона за запазване на енергията

За да намерим напрежението на кондензаторите, използваме закона за запазване на заряда - зарядът на долната плоча на кондензатора C е частично прехвърлен към горната плоча на кондензатора 4C:

Заместваме намерената стойност на напрежението в закона за запазване на енергията и намираме амплитудата на тока във веригата:

3 Нека намерим границите, в които напрежението на кондензаторите се променя по време на процеса на трептене.

Ясно е, че в момента на затваряне на веригата е имало максимално напрежение на кондензатора C. Кондензатор 4C не беше зареден, следователно, .

След затваряне на ключа, кондензатор C започва да се разрежда и кондензатор с капацитет 4C започва да се зарежда. Процесът на разреждане на първия и зареждане на втория кондензатори приключва веднага щом токът във веригата спре. Това ще стане след половин период. Според законите за запазване на енергията и електрическия заряд:

Решавайки системата, намираме:

Знакът минус означава, че след половин период, капацитетът C се зарежда в обратната полярност на оригинала.

Задача 5Осцилаторна верига с две намотки, свързани последователно

Осцилиращата верига се състои от кондензатор с капацитет C и две намотки с индуктивност L1и L2. В момента, когато токът във веригата достигне максималната си стойност, в първата намотка бързо се въвежда желязна сърцевина (в сравнение с периода на трептене), което води до увеличаване на нейната индуктивност с μ пъти. Каква е амплитудата на напрежението в процеса на по-нататъшни трептения във веригата?

решение:

1 С бързото въвеждане на сърцевината в намотката, магнитен поток(феноменът на електромагнитната индукция). Следователно, бързата промяна в индуктивността на една от намотките ще доведе до бърза промяна в тока във веригата.

2 По време на въвеждането на ядрото в намотката, зарядът на кондензатора не е имал време да се промени, той остава незареден (ядрото е въведено в момента, когато токът във веригата е максимален). След една четвърт от периода енергията на магнитното поле на тока ще се превърне в енергията на зареден кондензатор:

Заменете в получения израз стойността на тока ази намерете амплитудата на напрежението в кондензатора:

Задача 6Осцилаторна верига с две намотки, свързани паралелно

Индукторите L 1 и L 2 са свързани чрез ключовете K1 и K2 към кондензатор с капацитет C. В началния момент и двата ключа са отворени, а кондензаторът се зарежда до потенциална разлика. Първо, ключът K1 е затворен и когато напрежението в кондензатора стане равно на нула, K2 е затворен. Определете максималното напрежение на кондензатора след затваряне на K2. Игнорирайте съпротивленията на бобините.

решение:

1 Когато ключът K2 е отворен, се появяват трептения във веригата, състояща се от кондензатора и първата намотка. По времето, когато K2 се затвори, енергията на кондензатора се прехвърля в енергията на магнитното поле на тока в първата намотка:

2 След затваряне на K2 в осцилаторния кръг се появяват две намотки, свързани паралелно.

Токът в първата намотка не може да спре поради феномена на самоиндукция. На възела се разделя: една част от тока отива към втората намотка, а другата част зарежда кондензатора.

3 Напрежението на кондензатора ще стане максимално, когато токът спре аззареждащ кондензатор. Очевидно е, че в този момент токовете в намотките ще бъдат равни.

: Тежестите са подложени на един и същ модул на сила - и двете тежести са прикрепени към пружината Веднага след затварянето на К2, в първата намотка съществува ток В началния момент първият товар имаше скорост Веднага след затваряне на K2 нямаше ток във втората намотка В началния момент вторият товар беше в покой Какво е максималното напрежение на кондензатора? Каква е максималната еластична сила, която възниква в пружината по време на трептене?

Махалото се движи напред със скоростта на центъра на масата и трепти около центъра на масата.

Силата на еластичност е максимална в момента на максимална деформация на пружината. Очевидно в този момент относителната скорост на тежестите става равна на нула, а спрямо масата тежестите се движат със скоростта на центъра на масата. Записваме закона за запазване на енергията:

Решавайки системата, намираме

Правим подмяна

и вземете за максимално напрежениепо-рано намерена стойност

§6 Задачи за самостоятелно решение

Упражнение 1 Изчисляване на периода и честотата на собствените трептения

1 Осцилаторната верига включва намотка с променлива индуктивност, варираща вътре L1= 0.5 µH до L2\u003d 10 μH и кондензатор, чийто капацитет може да варира от От 1= 10 pF до

От 2\u003d 500 pF. Какъв честотен диапазон може да се покрие чрез настройка на тази схема?

2 Колко пъти ще се промени честотата на собствените трептения във веригата, ако нейната индуктивност се увеличи 10 пъти, а капацитетът се намали с 2,5 пъти?

3 Осцилаторна верига с 1 uF кондензатор е настроена на честота от 400 Hz. Ако свържете втори кондензатор успоредно към него, тогава честотата на трептене във веригата става равна на 200 Hz. Определете капацитета на втория кондензатор.

4 Осцилаторната верига се състои от намотка и кондензатор. Колко пъти ще се промени честотата на собствените трептения във веригата, ако във веригата се включи последователно втори кондензатор, чийто капацитет е 3 пъти по-малък от капацитета на първия?

5 Определете периода на трептене на веригата, която включва намотка (без ядро) с дължина в= 50 cm m площ на напречното сечение

С\u003d 3 cm 2, като има н\u003d 1000 оборота и кондензатор с капацитет С= 0,5 uF.

6 Осцилаторната верига включва индуктор Л\u003d 1,0 μH и въздушен кондензатор, площите на плочите на които С\u003d 100 см 2. Веригата е настроена на честота от 30 MHz. Определете разстоянието между плочите. Активното съпротивление на веригата е незначително.

ЕЛЕКТРОМАГНИТНИ ТРЕТЕНИЯ И ВЪЛНИ

§1 Осцилаторна верига.

Естествени вибрации в осцилаторния кръг.

Формула на Томсън.

Демпферни и принудителни трептения в c.c.

Свободни вибрации в c.c.

Осцилаторната верига (c.c.) е верига, състояща се от кондензатор и индуктор. При определени условия в к.к. могат да възникнат електромагнитни колебания в заряда, тока, напрежението и енергията.

Помислете за веригата, показана на фигура 2. Ако поставите ключа в позиция 1, тогава кондензаторът ще се зареди и на плочите му ще се появи зарядВи напрежение U C. Ако след това завъртите ключа в позиция 2, тогава кондензаторът ще започне да се разрежда, ток ще тече във веригата, докато енергията на електрическото поле, затворено между плочите на кондензатора, ще се преобразува в енергия на магнитно поле, концентрирана в индуктораЛ. Наличието на индуктор води до факта, че токът във веригата не се увеличава мигновено, а постепенно поради феномена на самоиндукция. Тъй като кондензаторът се разрежда, зарядът на плочите му ще намалее, токът във веригата ще се увеличи. Максималната стойност на тока на контура ще достигне, когато зарядът на плочите е равен на нула. От този момент нататък токът на контура ще започне да намалява, но поради феномена на самоиндукция той ще се поддържа от магнитното поле на индуктора, т.е. когато кондензаторът е напълно разреден, енергията на магнитното поле, съхранявана в индуктора, ще започне да се превръща в енергия на електрическо поле. Поради тока на контура, кондензаторът ще започне да се презарежда и върху плочите му ще започне да се натрупва заряд, противоположен на оригиналния. Кондензаторът ще се презарежда, докато цялата енергия на магнитното поле на индуктора се преобразува в енергията на електрическото поле на кондензатора. След това процесът ще се повтори в обратна посока и по този начин във веригата ще възникнат електромагнитни трептения.

Нека запишем 2-ри закон на Кирхоф за разглежданата к.к.,

Диференциално уравнение k.k.

Получихме диференциално уравнение за осцилации на заряда в c.c. Това уравнение е подобно на диференциално уравнение, описващо движението на тяло под действието на квазиеластична сила. Следователно решението на това уравнение ще бъде записано по подобен начин

Уравнението на флуктуациите на заряда в c.c.

Уравнението на колебанията на напрежението върху плочите на кондензатора в c.c.

Уравнението на колебанията на тока в к.к.

Затихване на трептения в QC

Помислете за C.C., съдържащ капацитет, индуктивност и съпротивление. Вторият закон на Кирхоф в този случай ще бъде написан във формата

- коефициент на затихване,

Собствена циклична честота.

- - диференциално уравнение на затихващите трептения в в.с.

Уравнението на затихващите колебания на заряда в в.с.

Законът за промяна на амплитудата на заряда по време на затихване на трептения в c.c.;

Периодът на затихване на трептения.

Намаляване на затихването.

- логаритмичен декремент на затихване.

Добротата на веригата.

Ако затихването е слабо, тогава T ≈T 0

Изследваме промяната в напрежението на плочите на кондензатора.

Промяната в тока е извън фаза с φ от напрежението.

при - са възможни затихващи трептения,

при - критична ситуация

вратовръзка. Р > РДа се- не се появяват флуктуации (апериодично разреждане на кондензатора).

Електромагнитни вибрацииса периодични промени във времето в електрическите и магнитни количествав електрическа верига.

Безплатносе наричат такива флуктуации, които възникват в затворена система поради отклонението на тази система от състояние на стабилно равновесие.

По време на трептения протича непрекъснат процес на преобразуване на енергията на системата от една форма в друга. В случай на колебание електромагнитно полеобменът може да се осъществи само между електрическите и магнитните компоненти на това поле. Най-простата система, където може да се осъществи този процес е осцилаторна верига.

Идеална осцилаторна верига (LC верига) - електрическа верига, състояща се от индуктивна намотка Ли кондензатор ° С.

За разлика от истинската осцилаторна верига, която има електрическо съпротивление Р, електрическо съпротивлениеидеалният контур винаги е нула. Следователно идеалната осцилаторна верига е опростен модел на реална верига.

Фигура 1 показва диаграма на идеална осцилаторна верига.

Енергия на веригата

Обща енергия на осцилаторния кръг

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Където ние- енергия на електрическото поле на осцилаторния кръг в този моментвреме Се капацитетът на кондензатора, u- стойността на напрежението на кондензатора в даден момент, q- стойността на заряда на кондензатора в даден момент, Wm- енергията на магнитното поле на осцилаторната верига в даден момент, Л- индуктивност на бобината, и- стойността на тока в бобината в даден момент.

Процеси в осцилаторния кръг

Помислете за процесите, които протичат в осцилаторния кръг.

За да премахнем веригата от равновесно положение, зареждаме кондензатора, така че да има заряд върху плочите му Qm(фиг. 2, позиция 1 ). Като вземем предвид уравнението \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\), намираме стойността на напрежението през кондензатора. В този момент във веригата няма ток, т.е. и = 0.

След като ключът е затворен, под действието на електрическото поле на кондензатора във веригата, електричество, сила на тока икоето ще се увеличава с времето. Кондензаторът в този момент ще започне да се разрежда, т.к. електроните, които създават тока (припомням ви, че посоката на движение на положителните заряди се приема за посока на тока) напускат отрицателната плоча на кондензатора и идват в положителната (виж фиг. 2, позиция 2 ). Заедно със зареждането qнапрежението ще намалее u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Тъй като силата на тока се увеличава, през намотката ще се появи емф на самоиндукция, предотвратявайки промяна в силата на тока. В резултат на това силата на тока в осцилаторната верига ще се увеличи от нула до определена максимална стойност не мигновено, а за определен период от време, определен от индуктивността на бобината.

Зареждане на кондензатор qнамалява и в даден момент от време става равно на нула ( q = 0, u= 0), токът в намотката ще достигне определена стойност аз съм(виж фиг. 2, позиция 3 ).

Без електрическото поле на кондензатора (и съпротивлението), електроните, които създават тока, продължават да се движат по инерция. В този случай електроните, пристигащи в неутралната плоча на кондензатора, му дават отрицателен заряд, електроните, напускащи неутралната плоча, му дават положителен заряд. Кондензаторът започва да се зарежда q(и напрежение u), но с противоположен знак, т.е. кондензаторът се презарежда. Сега новото електрическо поле на кондензатора пречи на електроните да се движат, така че токът изапочва да намалява (виж фиг. 2, позиция 4 ). Отново това не се случва мигновено, тъй като сега ЕМП на самоиндукция се стреми да компенсира намаляването на тока и го „поддържа“. И стойността на тока аз съм(бременна 3 ) оказа се максимален токв контур.

И отново, под действието на електрическото поле на кондензатора, във веригата ще се появи електрически ток, но насочен в обратна посока, силата на тока икоето ще се увеличава с времето. И кондензаторът ще бъде разреден в този момент (виж Фиг. 2, позиция 6 ) до нула (виж фиг. 2, позиция 7 ). И т.н.

Тъй като зарядът на кондензатора q(и напрежение u) определя енергията на електрическото му поле ние\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) и тока в бобината и- енергия на магнитното поле wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) тогава заедно с промените в заряда, напрежението и тока, енергиите също ще се променят.

Обозначения в таблицата:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Общата енергия на идеалната осцилаторна верига се запазва с течение на времето, тъй като в нея има загуба на енергия (няма съпротивление). Тогава

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Така в идеалния случай LC- веригата ще изпитва периодични промени в стойностите на силата на тока и, зареждане qи стрес u, а общата енергия на веригата ще остане постоянна. В този случай казваме, че има свободни електромагнитни трептения.

Свободни електромагнитни трептениявъв веригата - това са периодични промени в заряда на плочите на кондензатора, силата на тока и напрежението във веригата, настъпващи без консумация на енергия от външни източници.

По този начин възникването на свободни електромагнитни трептения във веригата се дължи на презареждането на кондензатора и появата на ЕМП на самоиндукция в намотката, която „осигурява“ това презареждане. Имайте предвид, че зарядът на кондензатора qи тока в намотката идостигат максималните си стойности Qmи аз съмв различни моменти от време.

Свободните електромагнитни трептения във веригата възникват според хармоничния закон:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \вдясно), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \вдясно), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \вдясно).\)

Най-малкият период от време, през който LC- веригата се връща в първоначалното си състояние (до първоначалната стойност на заряда на тази облицовка), се нарича период на свободни (естествени) електромагнитни трептения във веригата.

Периодът на свободни електромагнитни трептения в LC-контурът се определя по формулата на Томсън:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

От гледна точка на механичната аналогия, пружинно махало без триене отговаря на идеална осцилаторна верига, а на реална - с триене. Поради действието на силите на триене, трептенията на пружинното махало затихват с времето.

*Извеждане на формулата на Томсън

Тъй като общата енергия на идеала LC-контур, равен на сумата от енергии електростатично полекондензатор и магнитното поле на бобината се запазва, тогава по всяко време равенството

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Получаваме уравнението на трептенията в LC-верига, използваща закона за запазване на енергията. Диференциране на израза за неговата обща енергия по отношение на времето, като се вземе предвид фактът, че

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

получаваме уравнение, описващо свободни трептения в идеална верига:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Като го пренапишеш като:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

имайте предвид, че това е уравнението на хармоничните трептения с циклична честота

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Съответно, периодът на разглежданите колебания

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

литература

Жилко, В.В. Физика: учебник. надбавка за общо образование за 11 клас. училище от руски език обучение / В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. - Минск: Нар. Асвета, 2009. - С. 39-43.