Интегралът и неговото практическо приложение. Курсова работа Приложение на интеграла

Изследователска тема

Приложение на интегрално изчисление при планиране на семейни разходи

Актуалност на проблема

Все по-често в социалните и икономически сферипри изчисляване на степента на неравенство в разпределението на дохода се използва математиката, а именно интегралното смятане. изучаване практическа употребаполучаваме интеграла:

Как интегралът и изчисляването на площта с помощта на интеграла помагат при разпределянето на материалните разходи?

Как интегралът ще помогне за спестяване на пари за почивка.

Цел

планирайте семейните разходи, като използвате интегрално изчисление

Задачи

Разгледайте геометричен смисълинтегрална.
Помислете за методите за интеграция в социалната и икономическата сфера на живота.
Направете прогноза за материалните разходи на семейството при ремонт на апартамент с помощта на интеграла.
Изчислете обема на потреблението на енергия на семейството за една година, като вземете предвид интегралното изчисление.
Изчислете размера на спестовния депозит в Сбербанк за ваканция.

Хипотеза

интегралното смятане помага при икономични изчисления при планиране на семейни доходи и разходи.

Етапи на изследване

Изучавахме геометричния смисъл на интеграла и методите на интеграция в социалната и икономическата сфера на живота.
Изчислихме материалните разходи, необходими за ремонта на апартамент, използвайки интеграла.
Изчислихме обема на потреблението на електроенергия в апартамента и цената на електроенергията за семейството за една година.
Разгледахме една от възможностите за събиране на семейни доходи чрез депозити в Сбербанк, използвайки интеграла.

Обект на изследване

интегрално смятане в социалната и икономическата сфера на живота.

Методи

Анализ на литературата по темата "Практическо приложение на интегралното смятане"
Изучаване на методите за интегриране при решаване на задачи за изчисляване на площи и обеми на фигурите с помощта на интеграла.
Анализ на семейните разходи и доходи чрез интегрално изчисление.

Работен процес

Преглед на литературата на тема "Практическо приложение на интегралното смятане"
Решаване на система от задачи за изчисляване на площите и обемите на фигурите с помощта на интеграла.
Изчисляване на семейните разходи и доходи с помощта на интегрално изчисление: ремонт на стая, обем на електроенергията, депозити в Сбербанк за почивка.

Нашите резултати

Как интегралът и изчисляването на обема с помощта на интеграла помагат при прогнозиране на обема на потреблението на електроенергия?

заключения

Икономическото изчисление на необходимите средства за ремонт на апартамент може да се извърши по-бързо и по-точно с помощта на интегрално изчисление.

По-лесно и по-бързо е да се изчисли потреблението на електроенергия на семейството с помощта на интегрално изчисление и Microsoft Office Excel, което означава прогнозиране на разходите за електроенергия на семейството за една година.

Печалбата от депозити в спестовна банка може да се изчисли чрез интегрално изчисление, което означава планиране на семейна ваканция.

Списък с ресурси

Печатни издания:

Учебник. Алгебра и началото на анализа 10-11 клас. A.G. Мордкович. Мнемозина. М: 2007 г
Учебник. Алгебра и началото на анализа 10-11 клас. А. Колмогоров Просвещение. М: 2007 г
Математика за социолози и икономисти. Ахтямов A.M. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с.
Интегрално изчисление.Справочник Висша математикаМ. Я. Вигодски, Просвещение, 2000 г

Иванов Сергей, студент гр.14-ЕОП-33Д

Работата може да се използва в обобщаващ урок по темите "Производна", "Интеграл".

Изтегли:

Визуализация:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

GBPOU KNT им. Б. И. Корнилова Изследванияна тема: „Използването на производни и интеграли във физиката, математиката и електротехниката”. Студент гр. 2014-eop-33d Иванов Сергей.

1. Историята на появата на производното. В края на 17-ти век великият английски учен Исак Нютон доказа, че Пътят и скоростта са взаимосвързани с формулата: V (t) = S '(t) и такава връзка съществува между количествените характеристики на най-разнообразните изучавани процеси: физика, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , импулс P = mV = mx ' , кинетичен E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), химия, биология и инженерство. Това откритие на Нютон е повратна точка в историята на естествените науки.

1. Историята на появата на производното. Честта да откриеш основните закони математически анализзаедно с Нютон принадлежи на немския математик Готфрид Вилхелм Лайбниц. Лайбниц стига до тези закони, като решава проблема за тегленето на допирателна към произволна крива, т.е. формулира геометричния смисъл на производната, че стойността на производната в точката на контакт е наклондопирателна или tg ъгълът на наклон на допирателната с положителната посока на оста O X. Терминът производно и съвременните обозначения y’ , f’ са въведени от Ж. Лагранж през 1797г.

2. Историята на появата на интеграла. Концепцията за интегрално и интегрално смятане възникна от необходимостта да се изчисли площта (квадратурата) на всякакви фигури и обемите (кубатурата) на произволни тела. Праисторията на интегралното смятане датира от древността. Първият известен метод за изчисляване на интеграли е методът за изследване на площта или обема на криволинейните фигури - методът на изчерпване на Евдокс (Eudoxus of Cnidus (c. 408 BC - c. 355 BC) - древногръцки математик, механик и астроном), което е предложено около 370 г. пр.н.е. д. Същността на този метод е следната: фигурата, чиято площ или обем се е опитала да бъде намерена, е разделена на безкраен брой части, за които площта или обемът вече са известни.

„Методът на изчерпване“ Да предположим, че трябва да изчислим обема на лимон, който има неправилна форма, и следователно прилагайте всякакви известна формулаобемът не е възможен. С помощта на претегляне също е трудно да се намери обемът, тъй като плътността на един лимон е в различни частиразлично е. Нека продължим по следния начин. Нарежете лимона на тънки филийки. Всяко парче може приблизително да се счита за цилиндър, радиусът на основата, който може да бъде измерен. Обемът на такъв цилиндър може лесно да се изчисли от готова формула. Като добавим обемите на малките цилиндри, получаваме приблизителната стойност на обема на целия лимон. Приближението ще бъде толкова по-точно, колкото по-тънки части можем да нарежем лимона.

2. Историята на появата на интеграла. След Евдокс методът на "изчерпването" и неговите варианти за изчисляване на обеми и площи са използвани от древния учен Архимед. Успешно развивайки идеите на своите предшественици, той определя обиколката, площта на кръга, обема и повърхността на топката. Той показа, че определянето на обемите на сфера, елипсоид, хиперболоид и параболоид на въртене се свежда до определяне на обема на цилиндъра.

Основата на теорията на диференциалните уравнения е диференциалното смятане, създадено от Лайбниц и Нютон. Самият термин "диференциално уравнение" е предложен през 1676 г. от Лайбниц. 3. История на появата на диференциални уравнения. Първоначално диференциалните уравнения възникват от проблемите на механиката, в които се изискваше да се определят координатите на телата, техните скорости и ускорения, разглеждани като функции на времето при различни влияния. Някои от геометричните проблеми, разглеждани по това време, също водят до диференциални уравнения.

3. История на появата на диференциални уравнения. От огромния брой произведения от 17-ти век върху диференциалните уравнения се открояват произведенията на Ойлер (1707-1783) и Лагранж (1736-1813). В тези произведения за първи път е разработена теорията за малките трептения и следователно теорията линейни системидиференциални уравнения; по пътя се появиха основните понятия на линейната алгебра ( собствени стойностии вектори в n-мерния случай). След Нютон, Лаплас и Лагранж, а по-късно и Гаус (1777-1855), също разработиха методите на теорията на смущенията.

4. Приложение на производната и интеграла в математиката: В математиката производната се използва широко при решаване на много задачи, уравнения, неравенства, както и в процеса на изучаване на функция. Пример: Алгоритъм за изследване на функция за екстремум: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 и решете уравнението. 3) O.O.F. разбийте го на интервали. 4) Определяме знака на производната на всеки интервал. Ако f ′(x)>0, тогава функцията се увеличава. Ако f′(x)

4. Приложение на производната и интеграла в математиката: Интегралът (определен интеграл) се използва в математиката (геометрията) за намиране на площта на криволинеен трапец. Пример: Алгоритъм за намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл: 1) Изграждаме графика на посочените функции. 2) Посочете фигурата, ограничена от тези линии. 3) Намерете границите на интегриране, запишете определения интеграл и го изчислете.

5. Приложение на производната и интеграла във физиката. Във физиката производната се използва главно за решаване на задачи, например: намиране на скоростта или ускорението на всякакви тела. Пример: 1) Законът за движение на точка по права линия се дава с формулата s(t)= 10t^2 , където t е времето (в секунди), s(t) е отклонението на точката при време t (в метри) от първоначалната позиция. Намерете скоростта и ускорението в момент t, ако: t=1,5 s. 2) Материалната точка се движи праволинейно по закона x(t)= 2+20t+5t2. Намерете скоростта и ускорението в момент t=2s (x е координатата на точката в метри, t е времето в секунди).

Физическа величина Средна стойност Моментна стойност Скорост Ускорение Ъглова скорост Ток Сила Мощност

5. Приложение на производната и интеграла във физиката. Интегралът се използва и при проблеми като намиране на скорост или разстояние. Тялото се движи със скорост v(t) = t + 2 (m/s). Намерете пътя, който тялото ще измине за 2 секунди след началото на движението. пример:

6. Приложение на производната и интеграла в електротехниката. Производната е намерила приложение и в електротехниката. Във верига електрически ток електрически зарядсе променя във времето според закона q=q (t). Токът I е производна на заряда q спрямо времето. I=q ′(t) Пример: 1) Зарядът, протичащ през проводника, се променя според закона q=sin(2t-10) Намерете силата на тока в момента t=5 сек. Интегралът в електротехниката може да се използва за решаване на обратни задачи, т.е. намиране на електрическия заряд като се знае силата на тока и др. 2) Електрическият заряд, протичащ през проводника, започвайки от момента t = 0, се дава с формулата q (t) = 3t2 + t + 2. Намерете силата на тока в момент t = 3 s. Интегралът в електротехниката може да се използва за решаване на обратни задачи, т.е. намиране на електрическия заряд като се знае силата на тока и др.

Концепцията за интеграл е широко приложима в живота. Интегралите се използват в различни области на науката и технологиите. Основните задачи, изчислени с помощта на интеграли, са задачи за:

1. Намиране на обема на тялото

2. Намиране на центъра на масата на тялото.

Нека разгледаме всеки един от тях по-подробно. Тук и по-долу, за да обозначим определен интеграл от някаква функция f(x), с граници на интегриране от a до b, ще използваме следната нотация ∫ a b f(x).

Намиране на обема на тялото

Помислете за следната фигура. Да предположим, че има някакво тяло, чийто обем е равен на V. Има и права линия, така че ако вземем определена равнина, перпендикулярна на тази права, ще бъде известна площта на напречното сечение S на това тяло по тази равнина.

Всяка такава равнина ще бъде перпендикулярна на оста x и следователно ще я пресича в някаква точка x. Тоест на всяка точка x от сегмента ще бъде присвоен номер S (x) - площта на напречното сечение на тялото, равнината, минаваща през тази точка.

Оказва се, че на отсечката ще бъде дадена някаква функция S(x). Ако тази функция е непрекъсната на този сегмент, тогава следната формула ще бъде валидна:

V = ∫ a b S(x)dx.

Доказателството на това твърдение е извън обхвата на училищната програма.

Изчисляване на центъра на масата на тялото

Центърът на масата се използва най-често във физиката. Например, има някакво тяло, което се движи с произволна скорост. Но е неудобно да се разглежда голямо тяло и затова във физиката това тяло се разглежда като движение на точка, като се приема, че тази точка има същата маса като цялото тяло.

И задачата за изчисляване на центъра на масата на тялото е основната в този въпрос. Тъй като тялото е голямо и коя точка трябва да се вземе за център на масата? Може би този в средата на тялото? Или може би най-близката точка до предния ръб? Тук идва интеграцията.

Следните две правила се използват за намиране на центъра на масата:

1. Координата x' на центъра на масата на някаква система от материални точки A1, A2,A3, … An с маси съответно m1, m2, m3, … mn, разположени на права линия в точки с координати x1, x2, x3, … xn се намира по следната формула:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. При изчисляване на координатите на центъра на масата всяка част от разглежданата фигура може да бъде заменена с материална точка, като го поставите в центъра на масата на тази отделна част от фигурата и вземете масата, равна на масата на тази част от фигурата.

Например, ако маса с плътност p(x) е разпределена по протежение на пръта - сегмент от оста Ox, където p(x) е непрекъсната функция, тогава координатата на центъра на масата x' ще бъде равна на.

Представете си, че имаме някаква функция на зависимост на нещо от нещо.

Например, ето как можете грубо да представите скоростта на моята работа в зависимост от времето на деня на графиката:

Измервам скоростта в редове код на минута, в реалния животАз съм компютърен програмист.

Обемът на работа е скоростта на работа, умножена по времето. Тоест, ако пиша 3 реда в минута, тогава получавам 180 на час. Ако имаме такъв график, можете да разберете колко работа свърших на ден: това е зоната под графика. Но как го изчислявате?

Нека разделим графиката на колони с еднаква ширина, всеки час. И ще направим височината на тези колони равна на скоростта на работа в средата на този час.

Площта на всяка колона поотделно е лесна за изчисляване, трябва да умножите нейната ширина по нейната височина. Оказва се, че площта на всяка колона е приблизително колко работа съм свършил за всеки час. И ако сумирате всички колони, получавате приблизителна моя работа за деня.

Проблемът е, че резултатът ще бъде приблизителен, но имаме нужда точен номер. Нека разделим диаграмата на колони за половин час:

Картината показва, че това вече е много по-близо до това, което търсим.

Така че можете да намалите сегментите на графиката до безкрайност и всеки път ще се приближаваме все по-близо до областта под графиката. И когато ширината на колоните клони към нула, тогава сумата от техните площи ще клони към площта под графиката. Това се нарича интеграл и се обозначава по следния начин:

В тази формула f(x) означава функция, която зависи от стойността на x, а буквите a и b са отсечката, на която искаме да намерим интеграла.

Защо е необходимо това?

Учените се опитват да изразят всички физически явления под формата на математическа формула. След като имаме формула, тогава можем да я използваме за изчисляване на всичко. А интегралът е един от основните инструменти за работа с функции.

Например, ако имаме формулата за окръжност, можем да използваме интеграла, за да изчислим неговата площ. Ако имаме формулата за сфера, тогава можем да изчислим нейния обем. С помощта на интегрирането се намират енергия, работа, налягане, маса, електрически заряд и много други величини.

Не, защо ми трябва?

Да, нищо - просто така, от любопитство. Всъщност интегралите са включени дори в училищна програма, но не много хора наоколо си спомнят какво е това.

Като щракнете върху бутона "Изтегляне на архив", вие ще изтеглите безплатно необходимия ви файл.
Преди да изтеглите този файл, запомнете тези добри есета, контролни, курсови работи, тези, статии и други документи, които лежат непотърсени на вашия компютър. Това е ваша работа, тя трябва да участва в развитието на обществото и да е в полза на хората. Намерете тези произведения и ги изпратете в базата знания.
Ние и всички студенти, специализанти, млади учени, които използват базата от знания в своето обучение и работа, ще Ви бъдем много благодарни.

За да изтеглите архив с документ, въведете петцифрено число в полето по-долу и кликнете върху бутона "Изтегляне на архив"

Подобни документи

Запознаване с историята на понятието интеграл. Разпределение на интегралното смятане, откриване на формулата на Нютон-Лайбниц. Символ за сума; разширяване на понятието сума. Описание на необходимостта от изразяване на всички физически явления под формата на математическа формула.

презентация, добавена на 26.01.2015

Идеите на интегралното смятане в произведенията на древните математици. Характеристики на метода на изчерпване. Историята на намирането на формулата за обем на тора на Кеплер. Теоретично обосноваване на принципа на интегралното смятане (принципа на Кавалиери). Понятието за определен интеграл.

презентация, добавена на 05.07.2016

История на интегралното смятане. Определение и свойства на двойния интеграл. Неговата геометрична интерпретация, изчисление в декартови и полярни координати, свеждането му до повторения. Приложение в икономиката и геометрията за изчисляване на обеми и площи.

курсова работа, добавена на 16.10.2013

Дефиниране на криволинейния интеграл по координати, неговите основни свойства и изчисление. Условие за независимост на криволинейния интеграл от пътя на интегриране. Изчисляване на площите на фигурите с помощта на двойния интеграл. Използване на формулата на Грийн.

тест, добавен на 23.02.2011

Условия за съществуване на определен интеграл. Приложение на интегрално смятане. Интегрално смятане в геометрията. Механично приложение на определения интеграл. Интегрално смятане в биологията. Интегрално смятане в икономиката.

курсова работа, добавена на 21.01.2008 г

История на интегралното и диференциалното смятане. Приложения на определения интеграл за решаване на някои проблеми на механиката и физиката. Моменти и центрове на масата на плоските криви, теорема на Гулден. Диференциални уравнения. Примери за решаване на проблеми в MatLab.

резюме, добавен на 07.09.2009

Концепцията за интеграла на Stieltjes. Общи условиясъществуване на интеграла на Стилтьес, класове случаи на неговото съществуване и преминаване до предела под неговия знак. Намаляване на интеграла на Стилтьес до интеграла на Риман. Приложение в теорията на вероятностите и квантовата механика.

дисертация, добавена на 20.07.2009г