Функции на комплексна променлива.
Диференциране на функции на комплексна променлива.

Тази статия отваря поредица от уроци, в които ще разгледам типични задачисвързани с теорията на функциите на комплексна променлива. За да усвоите успешно примерите, трябва да имате основни познанияотносно комплексните числа. За да консолидирате и повторите материала, достатъчно е да посетите страницата. Ще ви трябват и умения за намиране частични производни от втори ред. Ето ги, тези частични производни ... дори сега бях малко изненадан колко често се срещат ...

Темата, която започваме да анализираме, не е особено трудна и във функциите на сложна променлива по принцип всичко е ясно и достъпно. Основното нещо е да се придържаме към основното правило, което е извлечено от мен емпирично. Прочетете!

Понятието функция на комплексна променлива

Първо, нека опресним знанията си за училищната функция на една променлива:

Функция на една променливае правило, според което на всяка стойност на независимата променлива (от областта на дефиниране) съответства една и само една стойност на функцията . Естествено, "x" и "y" са реални числа.

В сложния случай функционалната зависимост се дава по подобен начин:

Еднозначна функция на комплексна променливае правилото, че всеки изчерпателнастойността на независимата променлива (от домейна) съответства на една и само една изчерпателенстойност на функцията. На теория многозначните и някои други видове функции също се разглеждат, но за простота ще се съсредоточа върху едно определение.

Каква е функцията на комплексна променлива?

Основната разлика е, че числата са сложни. Не съм ироничен. От такива въпроси те често изпадат в ступор, в края на статията ще разкажа готина история. На урока Комплексни числа за манекениразгледахме комплексно число във формата . От сега буквата "Z" стана променлива, тогава ще го обозначим по следния начин: , докато "x" и "y" могат да приемат различни валиденстойности. Грубо казано, функцията на комплексна променлива зависи от променливите и , които приемат "обичайни" стойности. от този фактлогично следва следното:

Функцията на комплексна променлива може да бъде записана като:
, където и са две функции на две валиденпроменливи.

Функцията се извиква реална частфункции .
Функцията се извиква въображаема частфункции .

Тоест функцията на комплексна променлива зависи от две реални функции и . За да изясним най-накрая всичко, нека да разгледаме практически примери:

Пример 1

Решение:Независимата променлива "z", както си спомняте, се записва като , следователно:

(1) Заместен в оригиналната функция.

(2) За първия член е използвана формулата за намалено умножение. В термина скобите бяха отворени.

(3) Внимателно квадрат, без да забравяме това

(4) Пренареждане на термини: първо пренапишете термини , в който няма имагинерна единица(първа група), след това термини, където има (втора група). Трябва да се отбележи, че не е необходимо да се разбъркват термините и този етапможе да се пропусне (всъщност го прави устно).

(5) Втората група е извадена в скоби.

В резултат на това нашата функция се оказа представена във формата

Отговор:
е реалната част на функцията.
е имагинерната част на функцията.

Какви са тези функции? Най-обикновените функции на две променливи, от които могат да се намерят толкова популярни частични производни. Без милост - ще намерим. Но малко по-късно.

Накратко, алгоритъмът на решаваната задача може да бъде написан по следния начин: заместваме в оригиналната функция, извършваме опростявания и разделяме всички термини на две групи - без въображаема единица (реална част) и с въображаема единица (въображаема част).

Пример 2

Намерете реалната и имагинерната част на функция

Това е пример за „направи си сам“. Преди да се хвърлите в битка на сложния самолет с чернови, нека ви дам най-много важен съветпо тази тема:

БЪДИ ВНИМАТЕЛЕН!Трябва да внимавате, разбира се, навсякъде, но в сложните числа трябва да внимавате повече от всякога! Не забравяйте, че внимателно разширете скобите, не губете нищо. По мои наблюдения най-честата грешка е загубата на знак. Не бързай!

Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Сега куб. Използвайки формулата за съкратено умножение, извличаме:
.

Формулите са много удобни за използване на практика, тъй като значително ускоряват процеса на решаване.

Диференциране на функции на комплексна променлива.

Имам две новини: добра и лоша. Ще започна с един добър. За функция на комплексна променлива са валидни правилата за диференциране и таблицата с производни на елементарни функции. По този начин производната се взема точно по същия начин, както в случай на функция на реална променлива.

Лошата новина е, че за много функции на комплексна променлива изобщо няма производна и трябва да разберете е диференцируемаедна или друга функция. А „разбирането“ как се чувства сърцето ви е свързано с допълнителни проблеми.

Да разгледаме функция на комплексна променлива. За да бъде тази функция диференцируема, е необходимо и достатъчно, че:

1) За да има частни производни от първи ред. Забравете за тези обозначения веднага, тъй като в теорията на функцията на комплексна променлива традиционно се използва друга версия на обозначението: .

2) Да се ​​извърши т.нар Условия на Коши-Риман:

Само в този случай производното ще съществува!

Пример 3

Решениесе разделя на три последователни етапа:

1) Намерете реалната и имагинерната част на функцията. Тази задача беше анализирана в предишни примери, така че ще я запиша без коментар:

От тогава:

По този начин:

е имагинерната част на функцията.

Ще се спра на още един техническа точка: в какъв реднапишете термини в реални и въображаеми части? Да, по принцип няма значение. Например реалната част може да бъде написана така: , а въображаеми - така: .

2) Нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман. Двама са.

Нека започнем с проверка на състоянието. Намираме частични производни:

Така условието е изпълнено.

Несъмнено добрата новина е, че частичните производни почти винаги са много прости.

Проверяваме изпълнението на второто условие:

Оказа се същото, но с противоположни знаци, тоест условието също е изпълнено.

Условията на Коши-Риман са изпълнени, следователно функцията е диференцируема.

3) Намерете производната на функцията. Производната също е много проста и се намира по обичайните правила:

Въображаемата единица при диференциране се счита за константа.

Отговор: - същинска част е въображаемата част.
Условията на Коши-Риман са изпълнени, .

Има още два начина за намиране на производната, те, разбира се, се използват по-рядко, но информацията ще бъде полезна за разбирането на втория урок - Как да намерим функцията на комплексна променлива?

Производната може да се намери по формулата:

В такъв случай:

По този начин

Необходимо е да се реши обратната задача - в получения израз трябва да изолирате . За да направите това, е необходимо по термини и да извадите от скоби:

Обратното действие, както мнозина са забелязали, е малко по-трудно за изпълнение; за проверка винаги е по-добре да вземете израза и върху черновата или устно да отворите скобите обратно, като се уверите, че се оказва точно

Огледална формула за намиране на производната:

В такъв случай: , Ето защо:

Пример 4

Определяне на реалните и въображаемите части на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Ако са изпълнени условията на Коши-Риман, намерете производната на функцията.

Бързо решениеи примерен образецдовършителни работи в края на урока.

Винаги ли са изпълнени условията на Коши-Риман? Теоретично те по-често не са изпълнени, отколкото са. Но в практически примериНе помня случай, в който те не са били изпълнени =) Така, ако вашите частични производни „не се сближиха“, тогава с много голяма вероятност можем да кажем, че сте направили грешка някъде.

Нека усложним нашите функции:

Пример 5

Определяне на реалните и въображаемите части на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Изчисли

Решение:Алгоритъмът за решаване е напълно запазен, но накрая е добавена нова мода: намиране на производната в точка. За куба необходимата формула вече е изведена:

Нека дефинираме реалните и въображаемите части на тази функция:

Внимание и пак внимание!

От тогава:


По този начин:
е реалната част на функцията ;
е имагинерната част на функцията.

Проверка на второто условие:

Оказа се същото, но с противоположни знаци, тоест условието също е изпълнено.

Условията на Коши-Риман са изпълнени, следователно функцията е диференцируема:

Изчислете стойността на производната в исканата точка:

Отговор:, , условията на Коши-Риман са изпълнени,

Функциите с кубчета са често срещани, така че пример за консолидиране:

Пример 6

Определяне на реалните и въображаемите части на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Изчисли .

Решение и примерен завършек в края на урока.

В теорията на комплексния анализ се дефинират и други функции на комплексен аргумент: експоненциална, синусова, косинусова и др. Тези функции имат необичайни и дори странни свойства - и това е наистина интересно! Много искам да ви кажа, но ето, просто така се случи, не справочник или учебник, а решение, така че ще разгледам същата задача с някои общи функции.

Първо за т.нар Формули на Ойлер:

За всеки валиденчисла, валидни са следните формули:

Можете също да го копирате в бележника си като справка.

Строго погледнато, има само една формула, но обикновено, за удобство, те също пишат специален случайс индикатор минус. Не е необходимо параметърът да е една буква, може да е сложен израз, функция, важно е само да вземат само валиденстойности. Всъщност ще го видим точно сега:

Пример 7

Намерете производна.

Решение:Генералната линия на партията остава непоклатима - необходимо е да се откроят реалната и мнимата част на функцията. Ще дам подробно решение и ще коментирам всяка стъпка по-долу:

От тогава:

(1) Заместител на "z".

(2) След замяна е необходимо да се разделят реалната и имагинерната част първи в експонентаизложители. За да направите това, отворете скобите.

(3) Групираме въображаемата част на индикатора, като поставяме имагинерната единица извън скоби.

(4) Използвайте училищна акциясъс степени.

(5) За множителя използваме формулата на Ойлер , докато .

(6) Отваряме скобите, като резултат:

е реалната част на функцията ;
е имагинерната част на функцията.

По-нататъшните действия са стандартни, нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман:

Пример 9

Определяне на реалните и въображаемите части на функция . Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман. Така да бъде, няма да намерим производната.

Решение:Алгоритъмът за решение е много подобен на предишните два примера, но има много важни точки, Ето защо Първи етапЩе коментирам отново стъпка по стъпка:

От тогава:

1) Заменяме вместо "z".

(2) Първо изберете реалните и въображаемите части вътре в синуса. За тази цел отворете скобите.

(3) Използваме формулата , докато .

(4) Използвайте четност на хиперболичен косинус: и хиперболичен синус нечетност: . Хиперболиката, макар и не от този свят, но в много отношения прилича на подобни тригонометрични функции.

В крайна сметка:
е реалната част на функцията ;
е имагинерната част на функцията.

внимание!Знакът минус се отнася за имагинерната част и в никакъв случай не трябва да я губим! За визуална илюстрация полученият по-горе резултат може да бъде пренаписан, както следва:

Нека проверим изпълнението на условията на Коши-Риман:

Условията на Коши-Риман са изпълнени.

Отговор:, , условията на Коши-Риман са изпълнени.

С косинус, дами и господа, разбираме сами:

Пример 10

Определете реалните и имагинерните части на функцията. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман.

Нарочно избрах по-сложни примери, тъй като всеки може да се справи с нещо като белени фъстъци. В същото време тренирайте вниманието си! Лешникотрошачката в края на урока.

Е, в заключение ще разгледам още един интересен примеркогато сложният аргумент е в знаменателя. Срещнахме се няколко пъти на практика, нека анализираме нещо просто. Ох, остарявам...

Пример 11

Определете реалните и имагинерните части на функцията. Проверете изпълнението на условията на Коши-Риман.

Решение:Отново е необходимо да се разделят реалната и имагинерната част на функцията.
Ако , тогава

Възниква въпросът какво да правим, когато в знаменателя е "Z"?

Всичко е просто - стандартът ще помогне метод за умножаване на числителя и знаменателя по спрегнатия израз, вече е използвано в примерите от урока Комплексни числа за манекени. Да си припомним училищната формула. В знаменателя вече имаме , така че спрегнатият израз ще бъде . Следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по: