Функция на формата , където се извиква квадратична функция.

Графика на квадратична функция − парабола.

Помислете за случаите:

СЛУЧАЙ I, КЛАСИЧЕСКА ПАРАБОЛА

т.е., ,

За да изградите, попълнете таблицата, като замените x стойностите във формулата:

Маркирайте точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.н. в координатната равнина (колкото по-малка е стъпката, която вземаме x стойности (в този случай стъпка 1), и колкото повече x стойности вземем, толкова по-гладка е кривата), получаваме парабола:

Лесно е да се види, че ако вземем случая , , , тоест получаваме парабола, симетрична спрямо оста (ox). Лесно е да проверите това, като попълните подобна таблица:

II СЛУЧАЙ, "a" РАЗЛИЧЕН ОТ ЕДИН

Какво ще се случи, ако вземем , , ? Как ще се промени поведението на параболата? С title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Първата снимка (виж по-горе) ясно показва, че точките от таблицата за параболата (1;1), (-1;1) са трансформирани в точки (1;4), (1;-4), т.е. със същите стойности, ординатата на всяка точка се умножава по 4. Това ще се случи с всички ключови точки от оригиналната таблица. Ние спорим по подобен начин в случаите на снимки 2 и 3.

И когато параболата "стане по-широка", парабола:

Нека обобщим:

1)Знакът на коефициента е отговорен за посоката на клоните. С title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна стойносткоефициентът (модулът) е отговорен за „разширяването“, „компресията“ на параболата. Колкото по-голям е, толкова по-тясна е параболата, толкова по-малък е |a|, толкова по-широка е параболата.

ПОЯВЯВА СЛУЧАЙ III, "C".

Сега нека влезем в игра (тоест разглеждаме случая, когато ), ще разгледаме параболи от формата . Лесно е да се отгатне (винаги можете да се обърнете към таблицата), че параболата ще се движи нагоре или надолу по оста, в зависимост от знака:

IV СЕ ПОЯВЯВА СЛУЧАЙ, "b".

Кога параболата ще се „откъсне“ от оста и накрая ще „върви“ по цялата координатна равнина? Когато престане да бъде равен.

Тук, за да построим парабола, имаме нужда формула за изчисляване на върха: , .

Така че в този момент (както в точката (0; 0) нова системакоординати) ще изградим парабола, която вече е по силите ни. Ако се занимаваме със случая, тогава отгоре отделяме един единствен сегмент вдясно, един нагоре, - получената точка е наша (по същия начин, стъпка вляво, стъпка нагоре е нашата точка); ако имаме работа например, тогава отгоре отделяме един единствен сегмент вдясно, два - нагоре и т.н.

Например върхът на парабола:

Сега основното нещо, което трябва да разберем, е, че в този връх ще изградим парабола според шаблона за парабола, защото в нашия случай.

При конструиране на парабола след намиране на координатите на върха е многоУдобно е да се вземат предвид следните точки:

1) парабола трябва да премине през точката . Всъщност, замествайки x=0 във формулата, получаваме, че . Тоест, ординатата на пресечната точка на параболата с оста (oy), това е. В нашия пример (по-горе), параболата пресича оста y в , тъй като .

2) ос на симетрия параболи е права линия, така че всички точки на параболата ще бъдат симетрични около нея. В нашия пример веднага вземаме точката (0; -2) и изграждаме парабола, симетрична спрямо оста на симетрия, получаваме точката (4; -2), през която ще премине параболата.

3) Приравнявайки към , Ние намираме точките на пресичане на параболата с оста (ox). За да направим това, решаваме уравнението. В зависимост от дискриминанта, ще получим едно (, ), две ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . В предишния пример имаме корен от дискриминанта - не цяло число, когато го изграждаме, няма смисъл да намираме корените, но можем ясно да видим, че ще имаме две пресечни точки с (oh) ос (тъй като заглавие = "(!LANG: Изобразено от QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Така че нека потренираме

Алгоритъм за конструиране на парабола, ако е дадена във формата

1) определете посоката на клоните (a>0 - нагоре, a<0 – вниз)

2) намерете координатите на върха на параболата по формулата , .

3) намираме точката на пресичане на параболата с оста (oy) по свободния член, изграждаме точка, симетрична на дадената по отношение на оста на симетрия на параболата (трябва да се отбележи, че се случва, че е нерентабилно е да се маркира тази точка, например, защото стойността е голяма ... ние пропускаме тази точка ...)

4) В намерената точка - върха на параболата (както в точката (0; 0) на новата координатна система), изграждаме парабола. If title="(!LANG:Предадено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Намираме точките на пресичане на параболата с оста (oy) (ако те самите все още не са „изплували“), решавайки уравнението

Пример 1

Пример 2

Забележка 1.Ако параболата първоначално ни е дадена във формата , където са някои числа (например ), тогава ще бъде още по-лесно да я изградим, тъй като вече са ни дадени координатите на върха. Защо?

Да вземем квадратен трином и да изберем пълен квадрат в него: Вижте, тук имаме това , . Преди това наричахме върха на параболата, тоест сега,.

Например, . Отбелязваме върха на параболата на равнината, разбираме, че клоните са насочени надолу, параболата е разширена (относително). Тоест изпълняваме стъпки 1; 3; 4; 5 от алгоритъма за конструиране на парабола (виж по-горе).

Забележка 2.Ако параболата е дадена във форма, подобна на тази (тоест, представена като продукт на два линейни фактора), тогава веднага виждаме точките на пресичане на параболата с оста (x). В този случай - (0;0) и (4;0). За останалото действаме според алгоритъма, отваряйки скобите.

Всеки знае какво е парабола. Но как да го използвате правилно, компетентно при решаване на различни практически проблеми, ще разберем по-долу.

Първо, нека обозначим основните понятия, които алгебрата и геометрията дават на този термин. Обмислете всичко възможни видоветази диаграма.

Научаваме всички основни характеристики на тази функция. Нека разберем основите на конструирането на крива (геометрия). Нека се научим как да намерим горните, други основни стойности на графиката от този тип.

Ще разберем: как е правилно построена необходимата крива според уравнението, на какво трябва да обърнете внимание. Да видим основното практическа употребатази уникална ценност в човешкия живот.

Какво е парабола и как изглежда

Алгебра: Този термин се отнася до графиката на квадратична функция.

Геометрия: Това е крива от втори ред, която има редица специфични характеристики:

Канонично параболно уравнение

Фигурата показва правоъгълна координатна система (XOY), екстремум, посоката на чертежа на функцията се разклонява по оста на абсцисата.

Каноничното уравнение е:

y 2 \u003d 2 * p * x,

където коефициентът p е фокусният параметър на параболата (AF).

В алгебрата се пише по различен начин:

y = a x 2 + b x + c (разпознаваем модел: y = x 2).

Свойства и графика на квадратична функция

Функцията има ос на симетрия и център (екстремум). Домейнът на дефиниция са всички стойности на оста x.

Диапазонът на стойностите на функцията - (-∞, M) или (M, +∞) зависи от посоката на клоните на кривата. Параметърът M тук означава стойността на функцията в горната част на реда.

Как да определим къде са насочени клоните на парабола

За да намерите посоката на този тип крива от израз, трябва да посочите знака пред първия параметър алгебричен израз. Ако a ˃ 0, тогава те са насочени нагоре. В противен случай надолу.

Как да намерим върха на парабола с помощта на формулата

Намирането на екстремума е основната стъпка при решаването на много практически проблеми. Разбира се, можете да отворите специални онлайн калкулаторино е по-добре да можете да го направите сами.

Как да го определим? Има специална формула. Когато b не е равно на 0, трябва да търсим координатите на тази точка.

Формули за намиране на върха:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Пример.

Има функция y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Нека намерим върховете на тази функция.

За такъв ред:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаваме координатите на върха (-2, -41).

Изместване на парабола

Класическият случай е, когато в квадратична функция y = a x 2 + b x + c, вторият и третият параметър са 0, а = 1 - върхът е в точката (0; 0).

Движението по осите на абсцисата или ординатите се дължи на промяна на параметрите b и c, съответно.Изместването на линията в равнината ще се извърши точно с броя единици, който е равен на стойността на параметъра.

Пример.

Имаме: b = 2, c = 3.

Това означава, че класическият изглед на кривата ще се измести с 2 единични сегмента по оста на абсцисата и с 3 по оста на ординатата.

Как да построим парабола с помощта на квадратно уравнение

Важно е учениците да се научат как правилно да рисуват парабола според дадените параметри.

Като анализирате изрази и уравнения, можете да видите следното:

1. Точката на пресичане на желаната права с ординатния вектор ще има стойност, равна на c.
2. Всички точки на графиката (по оста x) ще бъдат симетрични по отношение на главния екстремум на функцията.

В допълнение, пресечните точки с OX могат да бъдат намерени, като се знае дискриминанта (D) на такава функция:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

За да направите това, трябва да приравните израза на нула.

Наличието на корени от парабола зависи от резултата:

• D ˃ 0, тогава x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, след това x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, то няма пресечни точки с вектора OX.

Получаваме алгоритъма за конструиране на парабола:

• определете посоката на клоните;
• намиране на координатите на върха;
• намерете пресечната точка с оста y;
• намерете пресечната точка с оста x.

Пример 1

Дадена е функция y = x 2 - 5 * x + 4. Необходимо е да се изгради парабола. Действаме според алгоритъма:

1. a \u003d 1, следователно, клоните са насочени нагоре;
2. екстремални координати: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. пресича се с оста y при стойност y = 4;
4. намерете дискриминанта: D = 25 - 16 = 9;
5. търси корени

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Пример 2

За функцията y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, трябва да построите парабола. Ние действаме според горния алгоритъм:

1. a \u003d 3, следователно, клоните са насочени нагоре;
2. екстремални координати: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. с оста y ще се пресича при стойността y \u003d -1;
4. намерете дискриминанта: D = 4 + 12 \u003d 16. Така че корените:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

От получените точки можете да построите парабола.

Директриса, ексцентриситет, фокус на парабола

Въз основа на каноничното уравнение фокусът F има координати (p/2, 0).

Правата AB е директриса (вид параболна хорда с определена дължина). Нейното уравнение е x = -p/2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Разгледахме темата, по която учат учениците гимназия. Сега знаете, гледайки квадратичната функция на парабола, как да намерите нейния връх, в каква посока ще бъдат насочени клоните, дали има изместване по осите и, като имате алгоритъм за изграждане, можете да начертаете нейната графика.

В методически материале за справочни цели и обхваща широк спектър от теми. Статията предоставя преглед на графиките на основните елементарни функции и разглежда най-важния въпрос - как правилно и БЪРЗО да изградите графика. По време на проучването висша математикабез да знаете графиките на основните елементарни функции, ще бъде трудно, така че е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и т.н., запомнете някои стойности на функциите. Ще говорим и за някои свойства на основните функции.

Не претендирам за пълнота и научна задълбоченост на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек трябва да се сблъсква буквално на всяка стъпка, във всяка тема от висшата математика. Графики за манекени? Можете да кажете така.

По популярно искане на читателите съдържание с възможност за щракване:

Освен това има ултра-кратко резюме по темата
– овладейте 16 вида диаграми, като изучавате ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дори аз самият бях изненадан. Това резюме съдържа подобрена графика и се предлага срещу номинална такса, може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!

И започваме веднага:

Как да изградим правилно координатни оси?

На практика тестовете почти винаги се съставят от учениците в отделни тетрадки, подредени в клетка. Защо имате нужда от карирани маркировки? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. А клетката е необходима само за висококачествения и точен дизайн на чертежите.

Всеки чертеж на функционална графика започва с координатни оси.

Чертежите са двуизмерни и триизмерни.

Нека първо разгледаме двумерния случай Декартова координатна система:

1) Начертаваме координатни оси. Оста се нарича ос x , и оста y-ос . Винаги се опитваме да ги нарисуваме спретнато и не изкривено. Стрелките също не трябва да приличат на брадата на Папа Карло.

2) Подписваме осите главни букви"x" и "y". Не забравяйте да подпишете осите.

3) Задайте мащаба по осите: начертайте нула и две единици. Когато правите чертеж, най-удобният и често срещан мащаб е: 1 единица = 2 клетки (чертеж отляво) - придържайте се към него, ако е възможно. Въпреки това, от време на време се случва чертежа да не се побира на лист от тетрадка - тогава намаляваме мащаба: 1 единица = 1 клетка (рисунка вдясно). Рядко, но се случва мащабът на чертежа да се намали (или увеличи) още повече

НЕ драскайте от картечница ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....Защото координатната равнина не е паметник на Декарт, а ученикът не е гълъб. Слагаме нулаИ две единици по осите. Понякога вместоединици, е удобно да се „откриват“ други стойности, например „две“ по оста на абсцисата и „три“ по оста на ординатите - и тази система (0, 2 и 3) също ще зададе уникално координатната мрежа.

По-добре е да оцените приблизителните размери на чертежа ПРЕДИ чертежа да бъде начертан.. Така че, например, ако задачата изисква начертаване на триъгълник с върхове , , , тогава е съвсем ясно, че популярният мащаб 1 единица = 2 клетки няма да работи. Защо? Нека да разгледаме въпроса - тук трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и, очевидно, чертежът няма да се побере (или едва се побере) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб 1 единица = 1 клетка.

Между другото, около сантиметри и клетки на бележника. Вярно ли е, че в 30 клетки на тетрадка има 15 сантиметра? Измерете в тетрадка за интерес 15 сантиметра с линийка. В СССР може би това беше вярно... Интересно е да се отбележи, че ако измервате същите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, тогава резултатите (в клетки) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Може да изглежда като глупост, но рисуването, например, на кръг с компас в такива ситуации е много неудобно. Честно казано, в такива моменти започвате да мислите за коректността на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за хакерска работа в производството, да не говорим за местната автомобилна индустрия, падащи самолети или взривяващи се електроцентрали.

Говорейки за качество, или кратка препоръкачрез канцеларски материали. Към днешна дата повечето от тефтерите, които се продават, без да се казват лоши думи, са пълни таласъми. Поради причината, че се намокрят, и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Спестете на хартия. За освобождаване контролни работиПрепоръчвам да използвате тетрадките на Архангелската целулозно-хартиена фабрика (18 листа, клетка) или Pyaterochka, въпреки че е по-скъпа. Препоръчително е да изберете гел химикал, дори най-евтиният китайски гел пълнител е много по-добър от химикалка, която или размазва, или разкъсва хартия. Единствената "състезателна" химикалка в паметта ми е Erich Krause. Тя пише ясно, красиво и стабилно - или с пълно стебло, или с почти празно.

Освен това: визията на правоъгълна координатна система през очите на аналитичната геометрия е разгледана в статията Линейна (не) зависимост на векторите. Векторна основа, подробна информацияотносно координатните четвъртинки можете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.

3D калъф

Тук е почти същото.

1) Начертаваме координатни оси. стандартно: приложи ос – насочена нагоре, ос – насочена надясно, ос – надолу наляво строгопод ъгъл от 45 градуса.

2) Подписваме осите.

3) Задайте мащаба по осите. Мащаб по оста - два пъти по-малък от мащаба по останалите оси. Също така имайте предвид, че в десния чертеж използвах нестандартен "сериф" по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе). От моя гледна точка е по-точно, по-бързо и по-естетически - не е нужно да търсите средата на клетката под микроскоп и да „извайвате“ единицата точно до началото.

Когато правите 3D чертеж отново - дайте приоритет на мащаба
1 единица = 2 клетки (чертеж вляво).

За какво са всички тези правила? Правилата са там, за да бъдат нарушавани. Какво ще правя сега. Факт е, че следващите чертежи на статията ще бъдат направени от мен в Excel и координатните оси ще изглеждат неправилни от гледна точка правилен дизайн. Бих могъл да начертая всички графики на ръка, но е наистина страшно да ги нарисувам, тъй като Excel не желае да ги нарисува много по-точно.

Графики и основни свойства на елементарните функции

Линейната функция се дава от уравнението . Графиката на линейната функция е директен. За да се построи права линия е достатъчно да се знаят две точки.

Пример 1

Начертайте функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.

Ако, тогава

Вземаме друга точка, например 1.

Ако, тогава

Когато се подготвят задачи, координатите на точките обикновено се обобщават в таблица:

А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.

Намерени са две точки, нека нарисуваме:

Когато съставяме чертеж, ние винаги подписваме графиките.

Няма да е излишно да си припомним специални случаи на линейна функция:

Забележете как поставих надписите, подписите не трябва да са двусмислени при изучаване на чертежа. В този случай беше крайно нежелателно да се постави подпис до точката на пресичане на линиите или долу вдясно между графиките.

1) Линейна функция от формата () се нарича пряка пропорционалност. Например, . Графиката на пряката пропорционалност винаги минава през началото. По този начин изграждането на права линия е опростено - достатъчно е да се намери само една точка.

2) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално самата ос се дава от уравнението. Графиката на функцията се изгражда незабавно, без да се намират никакви точки. Тоест, записът трябва да се разбира по следния начин: "y винаги е равно на -4, за всяка стойност на x."

3) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално самата ос се дава от уравнението. Графиката на функцията също се изгражда веднага. Записът трябва да се разбира по следния начин: "x винаги, за всяка стойност на y, е равно на 1."

Някои ще попитат, добре, защо да помним 6-ти клас?! Така е, може би е така, само през годините на практика срещнах добра дузина студенти, които бяха озадачени от задачата да построят графика като или .

Начертаването на права линия е най-често срещаното действие при правене на чертежи.

Правата линия се обсъжда подробно в хода на аналитичната геометрия, а желаещите могат да се обърнат към статията Уравнение на права линия върху равнина.

Графика на квадратна функция, графика на кубична функция, графика на полинома

парабола. Графика на квадратична функция () е парабола. Помислете за известния случай:

Нека си припомним някои свойства на функцията.

И така, решението на нашето уравнение: - в тази точка се намира върхът на параболата. Защо това е така може да се научи от теоретичната статия за производната и урока за екстремумите на функцията. Междувременно изчисляваме съответната стойност на "y":

Значи върхът е в точката

Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това никой не е отменил симетрията на параболата.

В какъв ред да се намерят останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната таблица:

Този алгоритъмконструкция може образно да се нарече "совалка" или принципа "напред-назад" с Анфиса Чехова.

Нека направим рисунка:

От разглежданите графики се сещам за още една полезна функция:

За квадратична функция () вярно е следното:

Ако , тогава клоните на параболата са насочени нагоре.

Ако , тогава клоните на параболата са насочени надолу.

Задълбочени познания за кривата могат да бъдат получени в урока Хипербола и парабола.

Кубичната парабола се дава от функцията . Ето една рисунка, позната от училище:

Изброяваме основните свойства на функцията

Графика на функциите

Представлява един от клоновете на параболата. Нека направим рисунка:

Основните свойства на функцията:

В този случай оста е вертикална асимптота за графиката на хиперболата при .

Ще бъде ГОЛЯМА грешка, ако при съставянето на чертеж по небрежност позволите на графиката да се пресича с асимптотата.

Също едностранни граници, кажете ни, че хипербола не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу.

Нека разгледаме функцията в безкрайност: , тоест ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат тънка стъпка безкрайно близосе приближават до нула и съответно клоните на хиперболата безкрайно близоприближи се до оста.

Значи оста е хоризонтална асимптота за графиката на функцията, ако "x" клони към плюс или минус безкрайност.

Функцията е странно, което означава, че хиперболата е симетрична по отношение на началото. Този факте очевидно от чертежа, освен това може лесно да се провери аналитично: .

Графиката на функция от вида () представлява два клона на хипербола.

Ако , тогава хиперболата се намира в първия и третия координатен квадрант(вижте снимката по-горе).

Ако , тогава хиперболата се намира във втория и четвъртия координатен квадрант.

Не е трудно да се анализира определената закономерност на мястото на пребиваване на хиперболата от гледна точка на геометричните трансформации на графиките.

Пример 3

Построете десния клон на хиперболата

Използваме метода на точково изграждане, докато е изгодно да изберете стойностите, така че да се разделят напълно:

Нека направим рисунка:

Няма да е трудно да се конструира левия клон на хиперболата, тук нечетността на функцията просто ще помогне. Грубо казано, в таблицата за точково изграждане наум добавете минус към всяко число, поставете съответните точки и начертайте втория клон.

Подробна геометрична информация за разглежданата права може да бъде намерена в статията Хипербола и парабола.

Графика на експоненциална функция

В този параграф веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като в задачите по висша математика в 95% от случаите се среща степента.

Напомням ви, че това е ирационално число: , това ще се изисква при изграждане на графика, която всъщност ще построя без церемония. Три точки вероятно са достатъчни:

Нека оставим графиката на функцията засега, за това по-късно.

Основните свойства на функцията:

По принцип графиките на функциите изглеждат еднакви и т.н.

Трябва да кажа, че вторият случай е по-рядко срещан на практика, но се случва, така че смятах за необходимо да го включа в тази статия.

Графика на логаритмична функция

Помислете за функция с естествен логаритъм.
Нека направим чертеж на линия:

Ако сте забравили какво е логаритъм, моля, обърнете се към училищните учебници.

Основните свойства на функцията:

домейн:

Диапазон от стойности: .

Функцията не е ограничена отгоре: , макар и бавно, но клонът на логаритъма се изкачва до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията близо до нулата вдясно: . Значи оста е вертикална асимптота за графиката на функцията с "x", стремяща се към нула вдясно.

Не забравяйте да знаете и запомнете типичната стойност на логаритъма: .

По същество графикът на логаритъма в основата изглежда същият: , , (десетичен логаритъм до основа 10) и т.н. В същото време, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде диаграмата.

Няма да разглеждаме случая, нещо, което не помня кога за последен път построих графика с такава основа. Да, и логаритъмът изглежда е много рядък гост в задачите по висша математика.

В заключение на параграфа ще кажа още един факт: Експоненциална функция и логаритмична функцияса две взаимни обратни функции . Ако погледнете внимателно графиката на логаритъма, можете да видите, че това е една и съща степен, само че е разположена малко по-различно.

Графики на тригонометрични функции

Как започват тригонометричните мъки в училище? правилно. От синуса

Нека начертаем функцията

Тази линия се нарича синусоида.

Напомням ви, че „пи“ е ирационално число: и в тригонометрията заслепява в очите.

Основните свойства на функцията:

Тази функция е периодично изданиес точка. Какво означава? Нека да разгледаме разфасовката. Отляво и отдясно от него, точно една и съща част от графиката се повтаря безкрайно.

домейн: , тоест за всяка стойност на "x" има стойност на синус.

Диапазон от стойности: . Функцията е ограничен: , тоест всички „игри“ седят строго в сегмента .
Това не се случва: или по-точно се случва, но тези уравнения нямат решение.

Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша си. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете най-много внимание на нашия навигатор полезен ресурсза

За да разберете какво ще пише тук, трябва добре да знаете какво е квадратична функция и с какво се яде. Ако се смятате за професионалист в квадратичните функции, добре дошли. Но ако не, трябва да прочетете темата.

Да започнем с малко чекове:

1. Как изглежда квадратичната функция в общ вид (формула)?
2. Как се казва графиката на квадратична функция?
3. Как водещият коефициент влияе на графиката на квадратична функция?

Ако можете веднага да отговорите на тези въпроси, продължете да четете. Ако поне един въпрос предизвика затруднения, отидете на.

И така, вече знаете как да боравите с квадратична функция, да анализирате нейната графика и да изградите графика по точки.

Е, ето го:.

Нека да разгледаме набързо какво правят. шансове.

1. Старшият коефициент е отговорен за „стръмността“ на параболата или, с други думи, за нейната ширина: колкото по-голяма, толкова по-тясна (стръмна) е параболата и колкото по-малка е, толкова по-широка (по-плоска) е параболата.
2. Свободният член е координатата на пресечната точка на параболата с оста y.
3. И коефициентът по някакъв начин е отговорен за изместването на параболата от центъра на координатите. Ето повече за това сега.

Защо винаги започваме да изграждаме парабола? Каква е нейната отличителна черта?

Това връх. И как да намерите координатите на върха, помните ли?

Абсцисата се търси по следната формула:

Така: какво Повече ▼, теми налявовърхът на параболата се движи.

Ордината на върха може да бъде намерена чрез заместване във функцията:

Заменете се и пребройте. Какво стана?

Ако направите всичко правилно и опростите получения израз колкото е възможно повече, получавате:

Оказва се, че колкото повече по модул, теми по-гореще връхпараболи.

И накрая, нека да преминем към начертаването.
Най-лесният начин е да построите парабола, започвайки от върха.

пример:

Начертайте функцията.

Решение:

Първо, нека дефинираме коефициентите: .

Сега нека изчислим координатите на върха:

И сега запомнете: всички параболи с един и същ водещ коефициент изглеждат еднакво. Така че, ако построим парабола и преместим върха й до точка, получаваме графиката, от която се нуждаем:

Просто, нали?

Остава само един въпрос: как бързо да нарисувате парабола? Дори да начертаем парабола с връх в началото, пак трябва да я изградим точка по точка, което е дълго и неудобно. Но всички параболи изглеждат еднакво, може би има начин да се ускори рисуването им?

Когато бях в училище, моят учител по математика каза на всички да изрежат шаблон с форма на парабола от картон, за да могат да го нарисуват бързо. Но няма да можете да ходите навсякъде с шаблон и няма да им бъде позволено да го вземат на изпит. Така че няма да използваме чужди предмети, а ще търсим модел.

Помислете за най-простата парабола. Нека го изградим по точки:

Правилото тук е следното. Ако се движим отгоре надясно (по оста) до и нагоре (по оста) до, тогава ще стигнем до точката на параболата. По-нататък: ако от тази точка се движим надясно и нагоре, отново ще стигнем до точката на параболата. Следващо: надясно и нагоре. Какво следва? Точно и нагоре. И така нататък: преместете се надясно и на следващия нечетно числонагоре. След това правим същото с левия клон (в края на краищата параболата е симетрична, тоест нейните клонове изглеждат еднакви):

Страхотно, това ще помогне да се изгради всяка парабола от върха с най-висок коефициент, равен на. Например, научихме, че върхът на парабола е в точка. Конструирайте (самостоятелно, на хартия) тази парабола.

Построен?

Трябва да се получи така:

Сега свързваме получените точки:

Това е всичко.

Добре, добре, сега изградете само параболи?

Разбира се, че не. Сега нека да разберем какво да правим с тях, ако.

Нека разгледаме някои типични случаи.

Чудесно, научихме се как да рисуваме парабола, сега нека се упражняваме върху реални функции.

И така, начертайте графики на такива функции:

Отговори:

3. Отгоре: .

Спомняте ли си какво да правите, ако старшият коефициент е по-малък?

Гледаме знаменателя на дроба: той е равен. Така че ще се движим така:

• надясно - нагоре
• надясно - нагоре
• надясно - нагоре

а също и вляво:

4. Отгоре: .

О, какво да правя с него? Как да измерим клетки, ако върхът е някъде между линиите?..

И изневеряваме. Първо, нека нарисуваме парабола и едва след това преместваме върха й до точка. Не дори, нека го направим още по-сложно: Да нарисуваме парабола и след това преместване на оси:- на надолу, а - на право:

Тази техника е много удобна в случай на всяка парабола, запомнете я.

Нека ви напомня, че можем да представим функцията в този вид:

Например: .

Какво ни дава това?

Факт е, че числото, което се изважда от в скоби (), е абсцисата на върха на параболата, а терминът извън скобите () е ордината на върха.

Това означава, че след като сте изградили парабола, просто трябва преместете оста наляво и оста надолу.

Пример: нека начертаем графика на функцията.

Нека изберем пълен квадрат:

Какъв номер изваденот в скоби? Това (а не как можеш да решиш, без да мислиш).

И така, ние изграждаме парабола:

Сега преместваме оста надолу, тоест нагоре:

И сега - отляво, тоест отдясно:

Това е всичко. Това е същото като преместването на парабола с нейния връх от началото до точка, само правата ос е много по-лесна за преместване от крива парабола.

Сега, както обикновено, аз:

И не забравяйте да изтриете старите оси с гумичка!

аз съм като отговориза проверка ще ви напиша ординатите на върховете на тези параболи:

Всичко пасна ли?

Ако да, значи сте страхотни! Да знаеш как да боравиш с парабола е много важно и полезно и тук открихме, че изобщо не е трудно.

ГРАФИКА НА КВАДРАТНА ФУНКЦИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

квадратична функция е функция на формата, където и са произволни числа (коефициенти), е свободен член.

Графиката на квадратична функция е парабола.

Горната част на параболата:
, т.е. колкото по-голям е \displaystyle b, толкова по-наляво се движи горната част на параболата.
Заменете във функцията и получете:
, т.е. колкото по-голям е \displaystyle b модул, толкова по-висок ще бъде горната част на параболата

Свободният член е координатата на пресечната точка на параболата с оста y.

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? Не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения подробен анализ и решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!