O'rtacha perpendikulyarning ta'rifi. Uchburchakning to'rtta ajoyib nuqtasi

O'rta perpendikulyar (median perpendikulyar yoki mediatrix) berilgan kesmaga perpendikulyar va uning oʻrta nuqtasidan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq.

Xususiyatlari

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

bu erda pastki belgi perpendikulyar chizilgan tomonni ko'rsatadi;

S

uchburchakning maydoni bo'lib, tomonlar tengsizliklar bilan bog'liq deb ham taxmin qilinadi.

a \geqslant b \geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

Boshqacha qilib aytganda, uchburchak uchun eng kichik perpendikulyar bissektrisa o'rta segmentni anglatadi.

"O'rta perpendikulyar" maqolasiga sharh yozing

Eslatmalar

Perpendikulyar bissektrisani tavsiflovchi parcha

Kutuzov chaynashni to'xtatib, Volzogenga nima deyilganini tushunmagandek hayrat bilan tikildi. Volzogen des alten Herrnning (keksa janob (nemis)) hayajonini payqab, tabassum bilan dedi:
- Men ko'rganlarimni sizdan yashirishga o'zimni haqqim yo'q deb hisoblamadim ... Qo'shinlar butunlay tartibsizlikda ...
- Ko'rdingizmi? Ko'rdingizmi? .. - Kutuzov qovog'ini solib baqirdi va tezda o'rnidan turdi va Volzogen tomon yurdi. "Qanday jur'at etasan ... qanday jur'at qilasan ...!" - deb qichqirdi u qo'llarini silkitib, bo'g'ilib qo'rqinchli imo-ishoralar qilib. - Qanday jur'at etasiz, azizim, menga buni aytishga. Siz hech narsani bilmaysiz. Mendan general Barklayga aytingki, uning ma'lumotlari noto'g'ri va jangning asl yo'nalishi unga qaraganda men, bosh qo'mondonga yaxshi ma'lum.
Volzogen nimagadir e'tiroz bildirmoqchi edi, lekin Kutuzov uning gapini bo'ldi.
- Dushman chap qanotda qaytariladi va o'ng qanotda mag'lub bo'ladi. Agar yaxshi ko‘rmagan bo‘lsangiz, aziz janob, bilmaganingizni aytishga o‘zingizga ruxsat bermang. Iltimos, general Barklayning oldiga boring va unga ertaga dushmanga hujum qilish haqidagi ajralmas niyatimni ayting, - dedi Kutuzov qattiq ohangda. Hamma jim bo'lib qoldi, keksa generalning og'ir nafas olishi eshitildi. - Hamma joyda qaytarildi, buning uchun Xudoga va jasur armiyamizga rahmat aytaman. Dushman mag'lub bo'ldi, ertaga biz uni muqaddas rus zaminidan haydab chiqaramiz, - dedi Kutuzov o'zini kesib o'tib; va birdan yig'lab yubordi. Volzogen yelkasini qisib, lablarini burishtirib, indamay chetga chiqdi va uber diese Eingenommenheit des alten Herrnga hayron bo‘ldi. [keksa janobning bu zulmi haqida. (Nemis)]
"Ha, u mening qahramonim", dedi Kutuzov o'sha paytda tepalikka kirib kelayotgan to'la, kelishgan qora sochli generalga. Bu kun bo'yi Borodino konining asosiy nuqtasida o'tkazgan Raevskiy edi.
Raevskiyning xabar berishicha, qo'shinlar o'z joylariga mahkam o'rnashgan va frantsuzlar endi hujum qilishga jur'at eta olmaydilar. Uni tinglab, Kutuzov frantsuz tilida dedi:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous pensez pensez? [Demak, siz boshqalarga o'xshab biz chekinishimiz kerak deb o'ylamaysizmi?]

Ko'rsatma

Doiralarning kesishish nuqtalari orqali chiziq torting. Siz berilgan segmentga perpendikulyar bissektrisani oldingiz.

Endi bizga nuqta va chiziq berilsin. Bu nuqtadan perpendikulyar chizish kerak.Nuqtaga igna qo'ying. Radiusli doira chizing (radius nuqtadan chiziqqa bo'lishi kerak, shunda doira chiziqni ikki nuqtada kesishi mumkin). Endi sizda ikkita nuqta bor. Bu nuqtalar chiziq hosil qiladi. Segmentga perpendikulyar bissektrisani tuzing, uchlari yuqorida muhokama qilingan algoritmga muvofiq olingan nuqtalardir. Perpendikulyar boshlang'ich nuqtadan o'tishi kerak.

To'g'ri chiziqlarni qurish texnik chizmaning asosidir. Endi bu dizaynerga katta imkoniyatlarni taqdim etadigan grafik muharrirlar yordamida tobora ko'proq amalga oshirilmoqda. Biroq, ba'zi qurilish tamoyillari klassik chizmadagi kabi qoladi - qalam va o'lchagich yordamida.

Sizga kerak bo'ladi

- qog'oz;
- qalam;
- hukmdor;
- AutoCAD dasturiga ega kompyuter.

Ko'rsatma

Klassik qurilishdan boshlang. Chiziqni chizadigan tekislikni aniqlang. Bu qog'oz varag'ining tekisligi bo'lsin. Muammoning shartlariga qarab, tartibga soling. Ular o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin, lekin koordinatalar tizimi berilgan bo'lishi mumkin. O'zboshimchalik bilan ochkolar sizga eng yoqqan joyga qo'yiladi. Ularni A va B yorlig'i bilan belgilang. Ularni ulash uchun o'lchagichdan foydalaning. Aksiomaga ko'ra, har doim ikkita nuqta orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin va faqat bitta.

Koordinatalar tizimini chizing. Sizga A (x1; y1) nuqtalari berilsin. Ular uchun x o'qi bo'ylab kerakli sonni chetga surib qo'yish va belgilangan nuqta orqali y o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkazish kerak. Keyin tegishli o'q bo'ylab y1 ga teng qiymatni chizing. Belgilangan nuqtadan u bilan kesishguncha perpendikulyar chizamiz. Ularning kesishgan joyi A nuqta bo'ladi. Xuddi shu tarzda koordinatalarini (x2; y2) sifatida belgilash mumkin bo'lgan B nuqtani toping. Ikkala nuqtani ulang.

AutoCAD-da bir nechta to'g'ri chiziqni qurish mumkin. Odatda "by" funktsiyasi sukut bo'yicha o'rnatiladi. Yuqori menyuda "Uy" yorlig'ini toping. Oldingizda Chizma panelini ko'rasiz. To'g'ri chiziqli tugmachani toping va ustiga bosing.

AutoCAD ham ikkalasining koordinatalarini o'rnatishga imkon beradi. Pastki qismida tering buyruq qatori(_xline). Enter tugmasini bosing. Birinchi nuqtaning koordinatalarini kiriting va Enter tugmasini bosing. Xuddi shu tarzda ikkinchi nuqtani aniqlang. Kursorni sichqonchani bosish orqali ham belgilash mumkin kerakli nuqta ekran.

AutoCAD-da siz to'g'ri chiziqni nafaqat ikki nuqta, balki qiyalik burchagi bo'yicha ham qurishingiz mumkin. Chizish kontekst menyusidan to'g'ri chiziqni, so'ngra burchak variantini tanlang. Boshlanish nuqtasi oldingi usulda bo'lgani kabi sichqonchani bosish yoki orqali o'rnatilishi mumkin. Keyin burchak o'lchamini o'rnating va Enter tugmasini bosing. Odatiy bo'lib, chiziq gorizontalga kerakli burchak ostida joylashtiriladi.

Tegishli videolar

Murakkab chizmada (diagramma) perpendikulyarlik to'g'ridan-to'g'ri va samolyot asosiy qoidalar bilan belgilanadi: agar bir tomon to'g'ri burchak parallel samolyot proyeksiyalar, keyin bu tekislikka buzilmasdan to'g'ri burchak proyeksiya qilinadi; agar chiziq kesishuvchi ikkita chiziqqa perpendikulyar bo'lsa samolyot, u bunga perpendikulyar samolyot.

Sizga kerak bo'ladi

Qalam, o'lchagich, transportyor, uchburchak.

Ko'rsatma

Misol: M nuqta orqali perpendikulyar chizamiz samolyot ga perpendikulyar chizish samolyot, bu yerda ikkita kesishuvchi chiziq yotadi samolyot, va ularga perpendikulyar chiziq yasang. Bu ikki kesishuvchi chiziq sifatida frontal va gorizontal tanlanadi. samolyot.

Frontal f(f₁f₂) to’g’ri chiziq ichida joylashgan samolyot va old tomonga parallel samolyot prognozlar P₂. Demak, f₂ uning tabiiy qiymati va f₁ har doim x₁₂ ga parallel. A₂ nuqtadan x₁₂ ga parallel ravishda h₂ chizamiz va B₂C₂ da 1₂ nuqtasini oling.

V₁S₁ ustidagi 1₁ aloqa nuqtasining proyeksiya chizig'i yordamida. A₁ bilan ulaning - bu h₁ - gorizontalning tabiiy o'lchami. B₁ nuqtadan f₁‖x₁₂ chizing, A₁C₁da 2₁ nuqtasini oling. A₂C₂ ustidagi 2₂ nuqtasini proyeksiyalovchi ulanish chizig‘idan foydalanib toping. B₂ nuqtasi bilan ulaning - bu f₂ bo'ladi - old tomonning to'liq o'lchami.

ga perpendikulyar proyeksiyalarning qurilgan tabiiy gorizontallari h₁ va frontallari f₂. samolyot. M₂ nuqtadan uning a₂ frontal proyeksiyasini 90 burchak ostida chizamiz

Uchburchakda to'rtta diqqatga sazovor nuqta bor: medianalarning kesishish nuqtasi. Bissektrisalarning kesishish nuqtasi, balandliklarning kesishish nuqtasi va perpendikulyar bissektrisalarning kesishish nuqtasi. Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik.

Uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi

Teorema 1

Uchburchak medianalarining kesishmasida: Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi va kesishish nuqtasini uchidan boshlab $2:1$ nisbatda ajratadi.

Isbot.

$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing, bu erda $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ uning medianasidir. Medianlar tomonlarni yarmiga bo'lganligi sababli. $A_1B_1$ o'rta chizig'ini ko'rib chiqing (1-rasm).

1-rasm. Uchburchakning medianalari

1-teorema bo'yicha, $AB||A_1B_1$ va $AB=2A_1B_1$, demak, $\burchak ABB_1=\burchak BB_1A_1,\ \burchak BAA_1=\burchak AA_1B_1$. Demak, $ABM$ va $A_1B_1M$ uchburchaklar birinchisiga o'xshash o'xshashlik uchburchaklar. Keyin

Xuddi shunday, bu ham isbotlangan

Teorema isbotlangan.

Uchburchak bissektrisalarining kesishish nuqtasi

Teorema 2

Uchburchak bissektrisalarining kesishmasida: Uchburchakning bissektrisalari bir nuqtada kesishadi.

Isbot.

$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing, bu erda $AM,\BP,\CK$ uning bissektrisalari. $O$ nuqtasi $AM\ va\ BP$ bissektrisalarining kesishish nuqtasi bo'lsin. Ushbu nuqtadan uchburchakning tomonlariga perpendikulyar chizilgan (2-rasm).

2-rasm. Uchburchakning bissektrisalari

Teorema 3

Kengaymagan burchak bissektrisasining har bir nuqtasi uning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan.

3-teorema bo'yicha bizda quyidagilar mavjud: $OX=OZ,\ OX=OY$. Demak, $OY=OZ$. Demak, $O$ nuqta $ACB$ burchak tomonlaridan teng masofada joylashgan va shuning uchun uning $CK$ bissektrisasida yotadi.

Teorema isbotlangan.

Uchburchakning perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasi

Teorema 4

Uchburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalari bir nuqtada kesishadi.

Isbot.

$ABC$ uchburchak, uning perpendikulyar bissektrisalari $n,\ m,\ p$ berilsin. $O$ nuqta $n\ va\ m$ perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasi bo'lsin (3-rasm).

3-rasm. Uchburchakning perpendikulyar bissektrisalari

Isbot uchun bizga quyidagi teorema kerak.

Teorema 5

Kesimga perpendikulyar bissektrisaning har bir nuqtasi berilgan segmentning uchlaridan teng masofada joylashgan.

3-teorema bo'yicha bizda quyidagilar mavjud: $OB=OC,\ OB=OA$. Demak, $OA=OC$. Demak, $O$ nuqta $AC$ segmentining uchlaridan teng masofada joylashgan va shuning uchun uning $p$ perpendikulyar bissektrisasida yotadi.

Teorema isbotlangan.

Uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasi

Teorema 6

Uchburchakning balandliklari yoki ularning kengaytmalari bir nuqtada kesishadi.

Isbot.

$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing, bu erda $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ uning balandligi. Uchburchakning har bir cho'qqisidan cho'qqiga qarama-qarshi tomonga parallel ravishda chiziq o'tkazing. Biz yangi uchburchakni olamiz $A_2B_2C_2$ (4-rasm).

Shakl 4. Uchburchakning balandliklari

$AC_2BC$ va $B_2ABC$ umumiy tomoni boʻlgan parallelogrammalar boʻlgani uchun $AC_2=AB_2$, yaʼni $A$ nuqtasi $C_2B_2$ tomonining oʻrta nuqtasidir. Xuddi shunday, biz $B$ nuqtasi $C_2A_2$ tomonining o'rta nuqtasi va $C$ nuqtasi $A_2B_2$ tomonining o'rta nuqtasi ekanligini tushunamiz. Qurilishdan bizda $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ bor. Demak, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ $A_2B_2C_2$ uchburchakning perpendikulyar bissektrisalaridir. Keyin, 4-teoremaga ko'ra, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ balandliklar bir nuqtada kesishadi.