Сума парної та непарної функцій. Парність та непарність функцій

парність і непарність функції є одним з основних її властивостей, і на парність займає значну частину шкільного курсу з математики. Вона багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного графіка.

Визначимо парність функції. Власне кажучи, досліджувану функцію вважають парною, якщо протилежних значень незалежної змінної (x), що у її області визначення, відповідні значення y (функції) виявляться рівними.

Дамо більш суворе визначення. Розглянемо деяку функцію f(x), яка задана в області D. Вона буде парною, якщо для будь-якої точки x, що знаходиться в області визначення:

• -x (протилежна точка) також лежить у цій галузі визначення,

• f(-x) = f(x).

З наведеного визначення випливає умова, необхідна області визначення подібної функції, а саме, симетричність щодо точки О, що є початком координат, оскільки якщо деяка точка b міститься в області визначення парної функції, то відповідна точка - b теж лежить в цій області. З вищесказаного, таким чином, випливає висновок: парна функція має симетричний до осі ординат (Oy) вигляд.

Як практично визначити парність функції?

Нехай задається з допомогою формули h(x)=11^x+11^(-x). Наслідуючи алгоритм, що випливає безпосередньо з визначення, досліджуємо насамперед її область визначення. Очевидно, що вона визначена для всіх значень аргументу, тобто перша умова виконана.

Наступним кроком підставимо замість аргументу (х) його протилежне значення (-х).
Отримуємо:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Оскільки додавання задовольняє комутативному (переміщувальному) закону, очевидно, h(-x) = h(x) і задана функціональна залежність - парна.

Перевіримо парність функції h(x)=11^x-11^(-x). Наслідуючи той самий алгоритм, отримуємо, що h(-x) = 11^(-x) -11^x. Винісши мінус, у підсумку, маємо
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Отже, h(x) – непарна.

До речі, слід нагадати, що є функції, які неможливо класифікувати за цими ознаками, їх називають ні парними, ні непарними.

Парні функції мають низку цікавих властивостей:

• в результаті складання подібних функцій одержують парну;
• в результаті віднімання таких функцій отримують парну;
• парна, також парна;
• в результаті множення двох таких функцій одержують парну;
• в результаті множення непарної та парної функцій отримують непарну;
• в результаті поділу непарної та парної функцій отримують непарну;
• похідна такої функції – непарна;
• якщо звести непарну функцію квадрат, отримаємо парну.

Чітність функції можна використовувати під час вирішення рівнянь.

Щоб вирішити рівняння типу g(x) = 0, де ліва частина рівняння є парною функцією, буде цілком достатньо знайти її рішення для невід'ємних значень змінної. Отримані коріння рівняння необхідно поєднати з протилежними числами. Один із них підлягає перевірці.

Це успішно застосовують для вирішення нестандартних завдань з параметром.

Наприклад, чи є значення параметра a, при якому рівняння 2x^6-x^4-ax^2=1 матиме три корені?

Якщо врахувати, що змінна входить у рівняння парних ступенях, то зрозуміло, що заміна х на - х задане рівнянняне змінить. Звідси випливає, що якщо деяке число є його коренем, то ним є і протилежне число. Висновок очевидний: коріння рівняння, відмінні від нуля, входять до множини його рішень «парами».

Ясно, що саме число 0 не є, тобто число коренів подібного рівняння може бути парним і, природно, ні за якого значення параметра воно не може мати трьох коренів.

І це число коренів рівняння 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може бути непарним, причому будь-якого значення параметра. Справді, легко перевірити, що багато коренів даного рівняннямістить рішення «парами». Перевіримо, чи є 0 коренем. При підстановці його рівняння, отримуємо 2=2 . Таким чином, окрім «парних» 0 також є коренем, що й доводить їх непарну кількість.

Функція називається парною (непарною), якщо для будь-якого виконується рівність

.

Графік парної функції симетричний щодо осі
.

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

Приклад 6.2.Дослідити на парність чи непарність функції

1)
; 2)
; 3)
.

Рішення.

1) Функція визначена при
. Знайдемо
.

Тобто.
. Отже, ця функція є парною.

2) Функція визначена при

Тобто.
. Таким чином, ця функція непарна.

3) функція визначена для , тобто. для

,
. Тому функція не є ні парною, ні непарною. Назвемо її функцією загального вигляду.

3. Вивчення функції на монотонність.

Функція
називається зростаючою (убутною) на деякому інтервалі, якщо в цьому інтервалі кожному більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.

Функції зростаючі (убутні) на певному інтервалі називаються монотонними.

Якщо функція
диференційована на інтервалі
і має позитивну (негативну) похідну
, то функція
зростає (зменшується) у цьому інтервалі.

Приклад 6.3. Знайти інтервали монотонності функцій

1)
; 3)
.

Рішення.

1) Ця функція визначена по всій числової осі. Знайдемо похідну.

Похідна дорівнює нулю, якщо
і
. Область визначення – числова вісь, що розбивається крапками
,
на інтервали. Визначимо знак похідної у кожному інтервалі.

В інтервалі
похідна негативна, функція цьому інтервалі зменшується.

В інтервалі
похідна позитивна, отже, функція цьому інтервалі зростає.

2) Ця функція визначена, якщо
або

.

Визначаємо знак квадратного тричлена у кожному інтервалі.

Таким чином, область визначення функції

Знайдемо похідну
,
, якщо
, тобто.
, але
. Визначимо знак похідної в інтервалах
.

В інтервалі
похідна негативна, отже, функція зменшується на інтервалі
. В інтервалі
похідна позитивна, функція зростає на інтервалі
.

4. Дослідження функції на екстремум.

Точка, крапка
називається точкою максимуму (мінімуму) функції
, якщо існує така околиця точки , що для всіх
з цієї околиці виконується нерівність

.

Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Якщо функція
у точці має екстремум, то похідна функції у цій точці дорівнює нулю чи немає (необхідна умова існування екстремуму).

Крапки, у яких похідна дорівнює нулю або немає називаються критичними.

5. Достатні умови для існування екстремуму.

Правило 1. Якщо під час переходу (зліва направо) через критичну точку похідна
змінює знак із «+» на «–», то в точці функція
має максимум; якщо з "-" на "+", то мінімум; якщо
не змінює знак, то екстремуму немає.

Правило 2. Нехай у точці
перша похідна функції
дорівнює нулю
а друга похідна існує і відмінна від нуля. Якщо
, то - точка максимуму, якщо
, то - Точка мінімуму функції.

Приклад 6.4 . Дослідити на максимум та мінімум функції:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Рішення.

1) Функція визначена та безперервна на інтервалі
.

Знайдемо похідну
і розв'яжемо рівняння
, тобто.
.Звідси
- Критичні точки.

Визначимо знак похідної в інтервалах
.

При переході через точки
і
похідна змінює знак із «–» на «+», тому за правилом 1
- Точки мінімуму.

При переході через точку
похідна змінює знак із «+» на «–», тому
- Точка максимуму.

,
.

2) Функція визначена та безперервна в інтервалі
. Знайдемо похідну
.

Розв'язавши рівняння
, знайдемо
і
- Критичні точки. Якщо знаменник
, тобто.
, то похідна немає. Отже,
- Третя критична точка. Визначимо похідний знак в інтервалах.

Отже, функція має мінімум у точці
, максимум у точках
і
.

3) Функція визначена та безперервна, якщо
, тобто. при
.

Знайдемо похідну

.

Знайдемо критичні точки:

Околиці точок
не належать області визначення, тому вони не є екстремуму. Отже, досліджуємо критичні точки
і
.

4) Функція визначена та безперервна на інтервалі
. Використовуємо правило 2. Знайдемо похідну
.

Знайдемо критичні точки:

Знайдемо другу похідну
і визначимо її знак у точках

У точках
функція має мінімум.

У точках
функція має максимум.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• сформувати поняття парності та непарності функції, вчити вмінню визначати та використовувати ці властивості при дослідженні функцій, Побудова графіків;
• розвивати творчу активність учнів, логічне мислення, вміння порівнювати, узагальнювати;
• виховувати працьовитість, математичну культуру; розвивати комунікативні якості .

Обладнання:мультимедійне встановлення, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал.

Форми роботи:фронтальна та групова з елементами пошуково-дослідницької діяльності.

Інформаційні джерела:

1. Алгебра9клас А.Г Мордкович. Підручник
2. Алгебра 9клас А.Г Мордкович. Задачник.
3. Алгебра 9 клас. Завдання для навчання та розвитку учнів. Бєлєнкова Є.Ю. Лебедінцева Є.А

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Постановка цілей та завдань уроку.

2. Перевірка домашнього завдання

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. Е( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функція зростає за х € [– 2; + ∞)
6. Функція обмежена знизу.
7. унай = – 3, унаиб не існує
8. Функція безперервна.

(Ви використали алгоритм дослідження функції?) Слайд.

2. Таблицю, яку вам задавалася, перевіримо на слайд.

Заповніть таблицю
	Область визначення	Нулі функції	Проміжки знаковості		Координати точок перетину графіка з ОУ
		х = -5, х = 2	х € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ∞ -5, х ≠ 2		х € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ≠ -5, х ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	х € (–5; 2)

3. Актуалізація знань

– Надано функції.
– Вказати область визначення кожної функції.
– Порівняти значення кожної функції для кожної пари значення аргументу: 1 та – 1; 2 та – 2.
– Для яких з даних функцій у області визначення виконуються рівність f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (отримані дані занести до таблиці) Слайд

		f(1) та f(– 1)	f(2) та f(– 2)	графіки	f(– х) = –f(х)	f(– х) = f(х)
1. f(х) =
2. f(х) = х 3
3. f(х) = | х |
4.f(х) = 2х – 3
5. f(х) =	х ≠ 0
6. f(х)=	х > –1		і не визна.

4. Новий матеріал

- Виконуючи цю роботу, хлопці ми виявили ще одне властивість функції, незнайоме вам, але з менш важливе, ніж інші – це парність і непарність функції. Запишіть тему уроку: «Парні та непарні функції», наше завдання – навчитися визначати парність і непарність функції, з'ясувати важливість цієї якості у дослідженні функцій та побудові графіків.
Отже, знайдемо визначення у підручнику та прочитаємо (стор. 110) . Слайд

Опр. 1Функція у = f (х), задана на множині Х називається парноїякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = f(х). Наведіть приклади.

Опр. 2Функція у = f(х), задана на множині Х називається непарнийякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = -f (х). Наведіть приклади.

Де ми зустрічалися з термінами «парні» та «непарні»?
Які з цих функцій будуть парними, на вашу думку? Чому? Які непарні? Чому?
Для будь-якої функції виду у= х n, де n- ціле число можна стверджувати, що функція непарна при n- непарному і функція парна при n- парному.
- Функції виду у= і у = 2х– 3 є ні парним, ні непарними, т.к. не виконуються рівності f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Вивчення питання у тому, чи є функція парної чи непарної називають дослідженням функції на парність.Слайд

У визначеннях 1 і 2 йшлося про значення функції при х і - х, тим самим передбачається, що функція визначена і при значенні х, і при - х.

Опр 3.Якщо числове безлічразом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, то безліч Хназивають симетричною множиною.

Приклади:

(-2; 2), [-5; 5]; (∞;∞) – симетричні множини, а , [–5;4] – несиметричні.

– У парних функцій область визначення – симетрична множина? У непарних?
- Якщо ж D( f) – несиметрична множина, то функція яка?
– Отже, якщо функція у = f(х) – парна чи непарна, то її область визначення D( f) – симетрична множина. А чи вірне зворотне твердження, якщо область визначення функції симетричне безліч, вона парна, чи непарна?
– Значить наявність симетричної множини області визначення – це необхідна умова, але недостатня.
– То як же досліджувати функцію на парність? Спробуємо скласти алгоритм.

Слайд

Алгоритм дослідження функції на парність

1. Встановити, чи симетрична область визначення функції. Якщо ні, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейдіть до кроку 2 алгоритму.

2. Скласти вираз для f(–х).

3. Порівняти f(–х).і f(х):

• якщо f(–х).= f(х), то функція парна;
• якщо f(–х).= – f(х), то функція непарна;
• якщо f(–х) ≠ f(х) та f(–х) ≠ –f(х), то функція не є ні парною, ні непарною.

Приклади:

Дослідити на парність функцію а) у= х 5+; б) у=; в) у= .

Рішення.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрична множина.

2) h (-х) = (-х) 5 + - х5 - = - (х 5 +),

3) h(-х) = - h(х) => функція h(х)= х 5 + непарна.

б) у =,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несиметрична множина, отже функція ні парна, ні непарна.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Варіант 2

1. Чи є симетричною задана множина: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7)?

а); б) у = х · (5 - х 2). 2. Дослідіть на парність функцію:

а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у =

3. На рис. побудований графік у = f(х), для всіх х, що задовольняють умові х? 0.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) - парна функція.

3. На рис. побудований графік у = f(х), для всіх х, які задовольняють умові х? 0.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) - непарна функція.

Взаємоперевірка з слайд.

6. Завдання додому: №11.11, 11.21,11.22;

Доказ геометричного сенсу якості парності.

***(Завдання варіанта ЄДІ).

1. Непарна функція у = f(х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної x значення цієї функції збігається зі значенням функції g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = при х = 3.

7. Підбиття підсумків

Перетворення графіків.

Словове опис функції.

Графічний метод.

Графічний спосіб завдання функції є найбільш наочним і найчастіше застосовується у техніці. В математичному аналізіграфічний спосіб завдання функцій використовується як ілюстрація.

Графіком функції f називають безліч всіх точок (x; y) координатної площини, де y = f (x), а x «пробігає» всю область визначення цієї функції.

Підмножина координатної площини є графіком будь-якої функції, якщо вона має не більше однієї загальної точки з будь-якої прямої, паралельної осі Оу.

приклад. Чи є графіками функцій фігури, зображені нижче?

Перевагою графічного завданняє його наочність. Відразу видно, як поводиться функція, де зростає, де зменшується. За графіком можна дізнатися деякі важливі характеристики функції.

Взагалі, аналітичний та графічний методизавдання функції йдуть рука об руку. Робота із формулою допомагає побудувати графік. А графік часто нагадує рішення, які у формулі і не помітиш.

Майже будь-який учень знає три способи завдання функції, які ми щойно розглянули.

Спробуємо відповісти на запитання: "Чи існують інші способи завдання функції?"

Такий спосіб є.

Функцію можна цілком однозначно поставити словами.

Наприклад, функцію у = 2х можна задати наступним словесним описом: кожному дійсному значенню аргументу х ставиться у відповідність його подвоєне значення. Правило встановлене, функція задана.

Понад те, словесно можна задати функцію, яку формулою задати дуже важко, або навіть неможливо.

Наприклад: кожному значенню натурального аргументу х ставиться у відповідність сума цифр, у тому числі складається значення х. Наприклад, якщо х = 3, то у = 3. Якщо х = 257, то у = 2 +5 +7 = 14. І так далі. Формулою це записати проблематично. А ось табличку легко скласти.

Спосіб словесного опису - досить рідко використовуваний спосіб. Але іноді трапляється.

Якщо є закон однозначної відповідності між х і у – значить, є функція. Який закон, у якій формі він виражений – формулою, табличкою, графіком, словами – суті справи не змінює.

Розглянемо функції, області визначення яких симетричні щодо початку координат, тобто. для будь-кого хз області визначення число (- х) також належить області визначення. Серед таких функцій виділяють парні та непарні.

Визначення.Функція f називається парний, якщо для будь-кого хз її області визначення

приклад.Розглянемо функцію

Вона є парною. Перевіримо це.

Для будь-кого хвиконані рівності

Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція парна. Нижче наведено графік цієї функції.

Визначення.Функція f називається непарною, якщо для будь-кого хз її області визначення

приклад. Розглянемо функцію

Вона є непарною. Перевіримо це.

Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки (0; 0).

Для будь-кого хвиконані рівності

Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція непарна. Нижче наведено графік цієї функції.

Графіки, зображені на першому та третьому малюнках симетричні щодо осі ординат, а графіки, зображені на другому та четвертому малюнках симетричні щодо початку координат.

Які з функцій, графіки яких зображені на малюнках є парними, які непарними?

Функція- це одне з найважливіших математичних понять. Функція – залежність змінної увід змінної xякщо кожному значенню хвідповідає єдине значення у. Змінну хназивають незалежною змінною чи аргументом. Змінну уназивають залежною змінною. Усі значення незалежної змінної (змінної x) утворюють область визначення функції. Усі значення, які набуває залежна змінна (змінна y), утворюють область значень функції.

Графіком функціїназивають безліч всіх точок координатної площини, абсциси яких рівні значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції, тобто по осі абсцис відкладаються значення змінної x, а по осі ординат відкладаються значення змінної y. Для побудови графіка функції потрібно знати характеристики функції. Основні характеристики функції будуть розглянуті далі!

Для побудови графіка функції рекомендуємо використовувати нашу програму - Побудова графіків функцій онлайн. Якщо під час вивчення матеріалу на даній сторінці у Вас виникнуть питання, Ви завжди можете задати їх на нашому форумі. Також на форумі Вам допоможуть вирішити завдання з математики, хімії, геометрії, теорії ймовірності та багатьох інших предметів!

Основні характеристики функцій.

1) Область визначення функції та область значень функції.

Область визначення функції - це безліч всіх допустимих дійсних значень аргументу x(Змінною x), при яких функція y = f(x)визначено.
Область значень функції - це безліч усіх дійсних значень y, що приймає функцію.

В елементарної математики вивчаються функції лише з безлічі дійсних чисел.

2) Нулі функції.

Значення х, при яких y=0, називається нулями функції. Це абсцис точок перетину графіка функції з віссю Ох.

3) Проміжки знаковості функції.

Проміжки знаковості функції – такі проміжки значень x, на яких значення функції yабо тільки позитивні, або тільки негативні, називаються проміжками знакості функції.

4) Монотонність функції.

Зростаюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

Убутня функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.

5) парність (непарність) функції.

Чітна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого х f(-x) = f(x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат.

Непарна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хз області визначення справедлива рівність f(-x) = - f(x). Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

Парна функція
1) Область визначення симетрична щодо точки (0; 0), тобто якщо точка aналежить області визначення, то точка -aтакож належить області визначення.
2) Для будь-якого значення x f(-x)=f(x)
3) Графік парної функції симетричний щодо осі Оу.

Непарна функціямає такі властивості:
1) Область визначення симетрична щодо точки (0; 0).
2) для будь-якого значення x, що належить області визначення, виконується рівність f(-x)=-f(x)
3) Графік непарної функції симетричний щодо початку координат (0; 0).

Не всяка функція є парною чи непарною. Функції загального вигляду не є ні парними, ні непарними.

6) Обмежена та необмежена функції.

Функція називається обмеженою, якщо є таке позитивне число M, що |f(x)| ≤ M для всіх значень x. Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.

7) Періодичність функції.

Функція f(x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x області визначення функції має місце: f(x+T) = f(x). Таке найменша кількістьназивається періодом функції. Усе тригонометричні функціїє періодичними. (Тригонометричні формули).

Функція fназивається періодичною, якщо існує таке число, що за будь-якого xв галузі визначення виконується рівність f(x)=f(x-T)=f(x+T). T- Це період функції.

Будь-яка періодична функція має безліч періодів. Насправді зазвичай розглядають найменший позитивний період.

Значення періодичної функції через проміжок, що дорівнює періоду, повторюються. Це використовують при побудові графіків.