Визначення зворотної функції її властивості та графік. Взаємно зворотні функції

Нехай безлічі $X$ і $Y$ включені в безліч дійсних чисел. Введемо поняття оборотної функції.

Визначення 1

Функція $f:X\to Y$ відображає безліч $X$ у безліч $Y$ називається оборотною, якщо для будь-яких елементів $x_1,x_2\in X$ з того що $x_1\ne x_2$ слід, що $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Тепер ми можемо запровадити поняття зворотної функції.

Визначення 2

Нехай функція $f:X\to Y$ відображає безліч $X$ безліч $Y$ оборотна. Тоді функція $f^(-1):Y\to X$ відображає безліч $Y$ у безліч $X$ визначається умовою $f^(-1)\left(y\right)=x$ називається зворотною для $f( x) $.

Сформулюємо теорему:

Теорема 1

Нехай функція $y=f(x)$ визначена, монотонно зростає (зменшується) і безперервна у певному проміжку $X$. Тоді у відповідному проміжку $Y$ значень цієї функції у неї існує зворотна функція, яка також монотонно зростає (зменшується) і безперервна на проміжку $Y$.

Введемо тепер безпосередньо поняття взаємно зворотних функцій.

Визначення 3

У рамках визначення 2 функції $f(x)$ і $f^(-1)\left(y\right)$ називаються взаємно зворотними функціями.

Властивості взаємно зворотних функцій

Нехай функції $y=f(x)$ і $x=g(y)$ взаємно зворотні, тоді

$y=f(g\left(y\right))$ і $x=g(f(x))$

Область визначення функції $ y = f (x) $ дорівнює області значення функції $ \ x = g (y) $. А область визначення функції $ x = g (y) $ дорівнює області значення функції $ \ y = f (x) $.

Графіки функцій $y=f(x)$ і $x=g(y)$ симетричні щодо прямої $y=x$.

Якщо одна з функцій збільшується (зменшується), то й інша функція збільшується (зменшується).

Знаходження зворотної функції

Вирішується рівняння $y=f(x)$ щодо змінної $x$.

З отриманого коріння знаходять ті, що належать проміжку $X$.

Знайдені $x$ ставлять у відповідності до числа $y$.

Приклад 1

Знайти зворотну функцію для функції $y=x^2$ на проміжку $X=[-1,0]$

Так як ця функція зменшується і безперервна на проміжку $X$, то на проміжку $Y=$, яка також зменшується і безперервна на цьому проміжку (теорема 1).

Обчислимо $x$:

\ \

Вибираємо відповідні $x$:

Відповідь:обернена функція $y=-\sqrt(x)$.

Завдання на перебування зворотних функцій

У цій частині розглянемо зворотні функції деяких елементарних функцій. Завдання вирішуватимемо за схемою, даною вище.

Приклад 2

Знайти обернену функцію для функції $y=x+4$

Знайдемо $x$ із рівняння $y=x+4$:

Приклад 3

Знайти обернену функцію для функції $y=x^3$

Рішення.

Оскільки функція зростає і безперервна по всій області визначення, то, по теоремі 1, має у ній зворотну безперервну і зростаючу функцію.

Знайдемо $x$ із рівняння $y=x^3$:

Знаходимо відповідні значення $x$

Значення у разі підходить (оскільки область визначення -- все числа)

Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд

Приклад 4

Знайти обернену функцію для функції $y=cosx$ на проміжку $$

Рішення.

Розглянемо на величезній кількості $X=\left$ функцію $y=cosx$. Вона безперервна і убуває на безлічі $X$ і відображає безліч $X=\left$ на безліч $Y=[-1,1]$, тому теорема про існування зворотної безперервної монотонної функції у функції $y=cosx$ в безлічі $ Y$ існує зворотна функція, яка також безперервна і зростає у множині $Y=[-1,1]$ і відображає безліч $[-1,1]$ на безліч $\left$.

Знайдемо $x$ із рівняння $y=cosx$:

Знаходимо відповідні значення $x$

Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд

Приклад 5

Знайти зворотну функцію для функції $y=tgx$ на проміжку $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Рішення.

Розглянемо на безлічі $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ функцію $y=tgx$. Вона безперервна і зростає на безлічі $X$ і відображає безліч $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ на безліч $Y=R$, тому за теоремою про існування зворотної безперервної монотонної функції у функції $y=tgx$ у множині $Y$ існує зворотна функція, яка також безперервна і зростає в множині $Y=R$ і відображає безліч $R$ на безліч $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Знайдемо $x$ із рівняння $y=tgx$:

Знаходимо відповідні значення $x$

Перевизначимо змінні, отримаємо, що зворотна функція має вигляд

Що таке зворотна функція? Як визначити функцію, обернену даної?

Визначення.

Нехай функція y = f (x) визначена на множині D, а E - безліч її значень. Зворотня функція щодофункції y=f(x) — це функція x=g(y), яка визначена на множині E і кожному y∈E ставить у відповідність таке значення x∈D, що f(x)=y.

Таким чином, область визначення функції y = f (x) є областю значень зворотної до неї функції, а область значень y = f (x) - областю визначення зворотної функції.

Щоб знайти функцію, обернену до цієї функції y=f(x), треба :

1) У формулу функції замість y підставити x замість x — y:

2) З отриманої рівності виразити y через x:

Знайти функцію, обернену до функції y=2x-6.

Функції y=2x-6 та y=0,5x+3 є взаємно зворотними.

Графіки прямої та зворотної функцій симетричні щодо прямої y=x(бісектриси I та III координатних чвертей).

y=2x-6 та y=0,5x+3 - . Графіком лінійної функції є. Для побудови прямої беремо дві точки.



Однозначно виразити y через x можна у разі, коли рівняння x=f(y) має єдине рішення. Це можна зробити у тому випадку, якщо кожне своє значення функція y=f(x) приймає у єдиній точці її області визначення (така функція називається оборотний).

Теорема (необхідна та достатня умова оборотності функції)

Якщо функція y=f(x) визначена і безперервна на числовому проміжку, то оборотності функції необхідно і достатньо, щоб f(x) була суворо монотонна.

Причому, якщо y=f(x) зростає у проміжку, те й зворотна до неї функція також зростає у цьому проміжку; якщо y=f(x) зменшується, те й зворотна функція зменшується.

Якщо умова оборотності не виконано по всій області визначення, можна назвати проміжок, де функція лише збільшується чи лише зменшується, і цьому проміжку визначити функцію, зворотну даної.

Класичний приклад -. На проміжку

Е(у) = [-π/2;π/2]

у (-х) = arcsin (-х) = - arcsin х - функція непарна, графік симетричний щодо точки О (0; 0).

arcsin x = 0 при x = 0.

arcsin х > 0 при х є (0; 1)

arcsin х< 0 при х є [-1;0)

у = arcsin х зростає за будь-якого х є [-1;1]

1 ≤ х 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin х 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Арккосінус

Функція косинус зменшується на відрізку і набуває всіх значень від -1 до 1. Тому будь-якого числа а, такого, що |а|1, на відрізку існує єдиний корінь у рівнянні cosx=a. Це число називають арккосинусом числа а і позначають arcos а.

Визначення . Арккосинусом числа а, де -1 а 1, називається таке число з відрізка , косинус якого дорівнює а.

Властивості.

1. Е(у) =

   у(-х) = arccos(-х) = π - arccos х – функція не є ні парною, ні непарною.

   arccos х = 0 при х = 1

   arccos x > 0 при x є [-1;1)

arccos х< 0 – нет решений

у = arccos х зменшується за будь-якого х є [-1;1]

1 ≤ х 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin х 1 ≥ arcsin х 2 – спадна.

Арктангенс

Функція тангенс зростає на відрізку -
, Отже, по теоремі про корені рівняння tgx = a, де а - будь-яке дійсне число, має єдиний корінь х на інтервалі -. Цей корінь називають арктангенсом числа а та позначають arctga.

Визначення. Арктангенсом числа aR називається така кількість х , тангенс якого дорівнює а.

Властивості.

Е(у) = (-π/2;π/2)

у(-х) = у = arctg(-х) = - arctg х – функція є непарною, графік симетричний щодо точки О(0;0).

arctg х = 0 при х = 0

Функція зростає за будь-якого х є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg х 1< arctg х 2

Арккотангенс

Функція котангенс на інтервалі (0;) зменшується і набуває всіх значень з R. Тому для будь-якого числа а в інтервалі (0;) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число а називають арккотангенсом числа а та позначають arcctg а.

Визначення. Арккотангенсом числа а, де а R називається таке число з інтервалу (0;) , котангенс якого дорівнює а.

Властивості.

Е(у) = (0;π)

у(-х) = arcctg(-х) = π - arcctg х – функція не є ні парною, ні непарною.

arcctg х = 0- не існує.

Функція у = arcctg хубуває за будь-якого х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg х 1 > arcctg х 2

Функція безперервна за будь-якого х є R.

2.3 Тотожні перетворення виразів, що містять зворотні тригонометричні функції

Приклад 1 . Спростити вираз:

а)
де

Рішення. Покладемо
. Тоді
і
Щоб знайти
, скористаємося співвідношенням
Отримуємо
Але. На цьому відрізку косинус набуває лише позитивних значень. Таким чином,
, тобто
де
.

б)

Рішення.

в)

Рішення. Покладемо
. Тоді
і
Знайдемо спочатку, для чого скористаємося формулою
, звідки
Оскільки і на цьому інтервалі косинус набуває лише позитивних значень, то
.

Цілі уроку:

Освітня:

• формувати знання з нової теми відповідно до програмного матеріалу;
• вивчити властивість оборотності функції та навчити знаходити функцію, обернену даної;

Розвиваюча:

• розвивати навички самоконтролю, предметне мовлення;
• оволодіти поняттям зворотна функція та засвоїти методи знаходження зворотної функції;

Виховна: формувати комунікативну компетентність.

Обладнання:комп'ютер, проектор, екран, інтерактивна дошка SMART Board, роздатковий матеріал для роботи в групі.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

Ціль – підготовка учнів до роботи на уроці:

Визначення відсутніх,

Настрій учнів працювати, організація уваги;

Повідомлення теми та мети уроку.

2. Актуалізація опорних знань учнів.Фронтальне опитування.

Ціль - встановити правильність та усвідомленість вивченого теоретичного матеріалу, повторення пройденого матеріалу.<Приложение 1 >

Для учнів на інтерактивній дошці показується графік функції. Вчителем формулюється завдання – розглянути графік функції та перерахувати вивчені властивості функції. Учні перераховують властивості функції відповідно до схеми дослідження. Вчитель праворуч від графіка функції маркером на інтерактивній дошці записує ці властивості.

Властивості функції:

Після закінчення дослідження вчитель повідомляє, що сьогодні на уроці вони познайомляться ще з однією властивістю функції – оборотністю. Для осмисленого вивчення нового матеріалу вчитель пропонує хлопцям познайомитися з основними питаннями, куди учні мають відповісти після закінчення уроку. Питання записані на звичайній дошці та у вигляді роздавального матеріалу є у кожного учня (лунає до уроку)

1. Яка функція називається оборотною?
2. Чи будь-яка функція оборотна?
3. Яка функція називається зворотною даною?
4. Як пов'язані область визначення та безліч значень функції та зворотної їй функції?
5. Якщо функція задана аналітично, як визначити формулою зворотну функцію?
6. Якщо функція задана графічно, як побудувати графік зворотної функції?

3. Пояснення нового матеріалу.

Ціль - формувати знання з нової теми відповідно до програмного матеріалу; вивчити властивість оборотності функції та навчити знаходити функцію, обернену даної; розвивати предметне мовлення.

Вчитель проводить викладення матеріалу відповідно до матеріалу параграфа. На інтерактивній дошці вчитель проводить порівняння графіків двох функцій, у яких області визначення та безлічі значень однакові, але одна з функцій монотонна, а інша ні, тим самим підводить учнів під поняття оборотної функції.

Потім вчитель формулює визначення оборотної функції та проводить доказ теореми про оборотну функцію, використовуючи графік монотонної функції на інтерактивній дошці.

Визначення 1: Функцію y=f(x), x X називають оборотнийякщо будь-яке своє значення вона приймає тільки в одній точці множини X.

Теорема: Якщо функція y=f(x) монотонна на множині X, вона оборотна.

Доказ:

1. Нехай функція y=f(x)зростає на Хі нехай х 1 ≠х 2- дві точки множини Х.
2. Для певності нехай х 1< х 2.
   Тоді з того, що х 1< х 2випливає, що f(х 1) < f(х 2).
3. Отже, різним значенням аргументу відповідають різні значення функції, тобто. функція оборотна.

(Під час доказу теореми вчитель маркером робить всі необхідні пояснення на кресленні)

Перед тим як сформулювати визначення зворотної функції вчитель просить учнів визначити, яка із запропонованих функцій оборотна? На інтерактивній дошці показані графіки функцій та записані кілька аналітично заданих функцій:

Б)

Г) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Вчитель вводить визначення зворотної функції.

Визначення 2: Нехай оборотна функція y=f(x)визначена на безлічі Хі Е(f)=Y. Поставимо у відповідність кожному yз Yто єдине значення х, за якого f(x)=y.Тоді отримаємо функцію, яка визначена на Y, а Х– область значень функції

Цю функцію позначають x=f -1 (y)і називають зворотною по відношенню до функції y=f(x).

Учням пропонується зробити висновок про зв'язок між областю визначення та безліччю значень зворотних функцій.

Для розгляду питання про засоби знаходження функції зворотної даної, вчитель залучив двох учнів. Діти напередодні отримали завдання у вчителя самостійно розібрати аналітичний та графічний способи знаходження функції зворотної даної. Вчитель виступив у ролі консультанта під час підготовки учнів до уроку.

Повідомлення першого учня.

Зауваження: монотонність функції, є достатнімумовою існування зворотної функції. Але воно не єнеобхідною умовою.

Учень навів приклади різних ситуацій, коли функція не монотонна, але оборотна, коли функція не монотонна і не оборотна, коли монотонна і оборотна

Потім учень знайомить учнів із засобом перебування зворотної функції, заданої аналітично.

Алгоритм знаходження

1. Переконатись, що функція монотонна.
2. Виразити змінну х через у.
3. Позначити змінні. Замість х=f-1(y) пишуть y=f-1(x)

Потім вирішує два приклади перебування функції зворотної даної.

Приклад 1:Показати, що з функції y=5x-3 існує зворотна функція, і визначити її аналітичний вираз.

Рішення. Лінійна функція y=5x-3 визначена на R, зростає на R і область її значень є R. Отже, зворотна функція існує на R. Щоб знайти її аналітичний вираз, розв'яжемо рівняння y=5x-3 щодо х; Отримаємо Це і є потрібна зворотна функція. Вона визначена та зростає на R.

Приклад 2:Показати, що для функції y=x 2 х≤0 існує зворотна функція, і знайти її аналітичний вираз.

Функція безперервна, монотонна у своїй області визначення, отже, вона оборотна. Проаналізувавши області визначення та безлічі значень функції, робиться відповідний висновок про аналітичний вираз для зворотної функції.

Другий учень виступає з повідомленням про графічномуспособі знаходження зворотної функції. У результаті пояснення учень використовує можливості інтерактивної дошки.

Щоб отримати графік функції y = f -1 (x), зворотної по відношенню до функції y = f (x), треба графік функції y = f (x) перетворити симетрично щодо прямої y = x.

Під час пояснення на інтерактивній дошці виконується таке завдання:

Побудувати в одній системі координат графік функції та графік зворотної їй функції. Запишіть аналітичний вираз зворотної функції.

4. Первинне закріплення нового матеріалу.

Ціль – встановити правильність та усвідомленість розуміння вивченого матеріалу, виявити прогалини первинного осмислення матеріалу, провести їхню корекцію.

Учні поділяються на пари. Їм лунають листи із завданнями, в яких вони виконують роботу в парах. Час виконання роботи обмежено (5-7 хв). Одна пара учнів працює на комп'ютері, проектор на цей час вимикається і іншим хлопцям не видно, як учні працюють на комп'ютері.

По закінченні часу (передбачається, що з роботою впоралася більшість учнів) на інтерактивній дошці (знову включається проектор) показується робота учнів, де й з'ясовується під час перевірки правильність виконання завдання у парі. При необхідності вчителем проводиться корекційна робота, що роз'яснює.

Самостійна робота у парах<Додаток 2 >

5. Підсумок уроку.З питань, які були поставлені перед початком лекції. Оголошення оцінок за урок.

Домашнє завдання §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12(б)

Алгебра та початку аналізу. 10 клас У 2-х частинах для загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова та ін; за ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозіна, 2007 рік

Взаємно зворотні функції.

Нехай функція строго монотонна (зростаюча або спадна) і безперервна на області визначення, область значень цієї функції, тоді на інтервалі визначена безперервна строго монотонна функція з областю значень, яка є зворотною для .

Іншими словами, про зворотну функцію для функції на конкретному проміжку має сенс говорити, якщо на цьому інтервалі або зростає, або зменшується.

Функції f і g називають взаємно оберненими.

Навіщо взагалі розглядати поняття обернених функцій?

Це викликано завданням вирішення рівнянь. Рішення таки записуються через зворотні функції.

Розглянемо кілька прикладів знаходження зворотних функцій .

Почнемо з лінійних взаємно зворотних функцій.

Знайти функцію, обернену для.

Ця функція лінійна, її графіком є ​​пряма. Отже, функція монотонна по всій області визначення. Тому шукати зворотну їй функцію будемо на всій області визначення.

.

Висловимо x через y (іншими словами, вирішимо рівняння щодо x ).

- це і є обернена функція, правда тут y - аргумент, а x - Функція цього аргументу. Щоб не порушувати звички в позначеннях (це не має принципового значення), переставивши літери x і y , будемо писати .

Таким чином, і – взаємно зворотні функції.

Наведемо графічну ілюстрацію взаємно зворотних лінійних функцій.

Очевидно, що графіки симетричні щодо прямої (бісектриси першої та третьої чверті). Це одна з властивостей взаємно зворотних функцій, про які йтиметься нижче.

Знайти функцію, обернену.

Ця функція квадратна, графік є парабола з вершиною в точці.

.

Функція зростає при і спадає. Отже, шукати обернену функцію для заданої можна на одному з двох проміжків.

Нехай тоді, і, міняючи місцями х і у, отримуємо зворотну функцію на заданому проміжку: .

Знайти функцію, обернену.

Ця функція кубічна, графіком є ​​кубічна парабола з вершиною у точці.

.

Функція зростає за. Отже, шукати зворотну функцію для заданої можна по всій області визначення.

, і, міняючи місцями х і у, отримуємо зворотну функцію.

Проілюструємо це на графіку.

Перерахуємо властивості взаємно зворотних функцій і.

і.

З першого властивості видно, що область визначення функції збігається з областю значень функції та навпаки.

Графіки взаємно зворотних функцій симетричні щодо прямої.

Якщо зростає, те й зростає, якщо зменшується, те й зменшується.

Для заданої функції знайдіть обернену функцію:

Для заданої функції знайдіть зворотну та побудуйте графіки заданої та зворотної функції: З'ясуйте, чи існує зворотна функція заданої функції. Якщо так, то задайте зворотну функцію аналітично, побудуйте графік заданої та зворотної функції: Знайдіть область визначення та область значень функції, зворотної для функції, якщо:

1. Знайдіть область значень кожної із взаємно зворотних функцій і, якщо зазначені їх області визначення:

Чи є функції взаємно зворотні, якщо:

1. Знайдіть функцію, обернену даної. Побудуйте на одній системі координат графіки цих взаємно зворотних функцій:

   Чи є ця функція зворотної по відношенню до самої себе: Задайте функцію, обернену на цю і побудуйте її графік: