Точка, крапка. Відрізок

Крапка — це абстрактний об'єкт, який має вимірювальних характеристик: ні висоти, ні довжини, ні радіуса. У рамках завдання важливе лише його місцезнаходження

Крапка позначається цифрою або великою (великою) латинською літерою. Декілька точок — різними цифрами або різними літерамищоб їх можна було розрізняти

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можна намалювати на аркуші паперу три точки "А" і запропонувати дитині провести лінію через дві точки "А". Але як зрозуміти через які? A A A

Лінія – це безліч точок. У неї вимірюють лише довжину. Ширини та товщини вона не має

Позначається малими (маленькими) латинськими літерами

лінія a, лінія b, лінія c

a b c

Лінія може бути

1. замкнутої, якщо її початок і кінець знаходяться в одній точці,
2. розімкнутої, якщо її початок і кінець не з'єднані

замкнуті лінії

розімкнені лінії

Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб і повернувся назад у квартиру. Яка лінія вийшла? Правильно замкнута. Ти повернувся у вихідну точку. Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб, зайшов у під'їзд і розговорився із сусідом. Яка лінія вийшла? Розімкнена. Ти не повернувся у вихідну точку. Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб. Яка лінія вийшла? Розімкнена. Ти не повернувся у вихідну точку.

1. самоперетинається
2. без самоперетинів

самоперетинальні лінії

лінії без самоперетинів

1. прямий
2. ламаною
3. кривий

прямі лінії

ламані лінії

криві лінії

Пряма лінія - це лінія, яка не викривляється, не має ні початку, ні кінця, її можна нескінченно продовжувати в обидві сторони

Навіть коли видно невелика ділянкапрямий, передбачається, що вона нескінченно продовжується в обидві сторони

Позначається малою (малою) латинською літерою. Або двома великими (великими) латинськими літерами - точками, що лежать на прямій

пряма лінія a

a

пряма лінія AB

B A

Прямі можуть бути

1. такими, що перетинаються, якщо мають загальну точку. Дві прямі можуть перетинатися лише в одній точці.
   • перпендикулярними, якщо перетинаються під прямим кутом (90 °).
2. паралельними, якщо не перетинаються, немає загальної точки.

паралельні лінії

лінії, що перетинаються

перпендикулярні лінії

Промінь - це частина прямої, яка має початок, але не має кінця, її можна нескінченно продовжувати лише в один бік

У променя світла на малюнку початковою точкою є сонце

сонечко

Крапка поділяє пряму на дві частини - два промені A A

Промінь позначається малою латинською літерою. Або двома великими (великими) латинськими літерами, де перша - це точка, з якої починається промінь, а друга - точка, що лежить на промені.

промінь a

a

промінь AB

B A

Промені збігаються, якщо

1. розташовані на одній і тій же прямій,
2. починаються в одній точці,
3. спрямовані в один бік

промені AB та AC збігаються

промені CB та CA збігаються

C B A

Відрізок - це частина прямої, яка обмежена двома точками, тобто вона має початок і кінець, а значить можна виміряти її довжину. Довжина відрізка - це відстань між його початковою та кінцевою точками

Через одну точку можна провести будь-яку кількість ліній, у тому числі прямих

Через дві точки — необмежену кількість кривих, але лише одну пряму

криві лінії, що проходять через дві точки

B A

пряма лінія AB

B A

Від прямої «відрізали» шматочок і залишився відрізок. З прикладу вище видно, що його довжина - найкоротша відстань між двома точками. ✂ B A ✂

Відрізок позначається двома великими латинськими літерами, де перша — це точка, з якої починається відрізок, а друга — точка, якою закінчується відрізок.

відрізок AB

B A

Завдання: де пряма, промінь, відрізок, крива?

Ломана лінія - це лінія, що складається з послідовно з'єднаних відрізків не під кутом 180 °

Довгий відрізок «поломали» на кілька коротких

Ланки ламаної (схожі на ланки ланцюга) - це відрізки, з яких складається ламана. Сумежні ланки - це ланки, у яких кінець однієї ланки є початком іншої. Сумежні ланки не повинні лежати на одній прямій.

Вершини ламаної (схожі на вершини гір) - це точка, з якої починається ламана, точки, в яких з'єднуються відрізки, що утворюють ламану, точка, якою закінчується ламана.

Позначається ламана перерахуванням її вершин.

ламана лінія ABCDE

вершина ломанної A, вершина ломанної B, вершина ломанної C, вершина ломанної D, вершина ломанної E

ланка ломанної AB, ланка ломанної BC, ланка ломанної CD, ланка ломанної DE

ланка AB та ланка BC є суміжними

ланка BC та ланка CD є суміжними

ланка CD та ланка DE є суміжними

A B C D E 64 62 127 52

Довжина ламаної - це сума довжин її ланок: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Завдання: яка ламана довша, а у якої більше вершин? У першої лінії всі ланки однакової довжини, саме по 13см. У другій лінії всі ланки однакової довжини, саме по 49см. У третьої лінії всі ланки однакової довжини, саме по 41см.

Багатокутник - це замкнута ламана лінія

Сторони багатокутника (допоможуть запам'ятати висловлювання: "піти на всі чотири сторони", "бігти у бік будинку", "з якого боку столу сядеш?") - це ланки ламаною. Сумежні сторони багатокутника – це суміжні ланки ламаної.

Вершини багатокутника – це вершини ламаною. Сусідні вершини – це точки кінців однієї сторони багатокутника.

Позначається багатокутник перерахуванням усіх його вершин.

замкнута ламана лінія, що не має самоперетину, ABCDEF

багатокутник ABCDEF

вершина багатокутника A, вершина багатокутника B, вершина багатокутника C, вершина багатокутника D, вершина багатокутника E, вершина багатокутника F

вершина A та вершина B є сусідніми

вершина B та вершина C є сусідніми

вершина C та вершина D є сусідніми

вершина D та вершина E є сусідніми

вершина E та вершина F є сусідніми

вершина F та вершина A є сусідніми

сторона багатокутника AB, сторона багатокутника BC, сторона багатокутника CD, сторона багатокутника DE, сторона багатокутника EF

сторона AB та сторона BC є суміжними

сторона BC та сторона CD є суміжними

сторона CD та сторона DE є суміжними

сторона DE та сторона EF є суміжними

сторона EF та сторона FA є суміжними

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр багатокутника - це довжина ламанної: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Багатокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма — чотирикутником, із п'ятьма — п'ятикутником тощо.

Крапка та пряма є основними геометричними фігурамина площині.

Давньогрецький учений Евклід говорив: «крапка» – те, що немає частин». Слово «крапка» у перекладі з латинської мовиозначає результат миттєвого дотику, укол. Крапка є основою для побудови будь-якої геометричної фігури.

Пряма лінія або просто пряма – це лінія, вздовж якої відстань між двома точками є найкоротшим. Пряма лінія нескінченна, і зобразити всю пряму та виміряти її неможливо.

Точки позначають великими латинськими літерами А, В, С, D, Е та ін., а прямі тими ж літерами, але малими а, b, c, d, e та ін. Пряму можна позначити і двома літерами, що відповідають точкам, що лежать на ній. Наприклад, пряму a можна позначити АВ.

Можна сміливо сказати, що точки АВ лежать на прямий а чи належать прямий а. А можна сказати, що пряма проходить через точки А і В.

Найпростіші геометричні фігури на площині – це відрізок, промінь, ламана лінія.

Відрізок – це частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, обмежених двома вибраними точками. Ці точки – кінці відрізка. Відрізок позначається вказівкою його кінців.

Промінь або напівпряма - це частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від цієї точки. Ця точка називається початковою точкою напівпрямої або початком променя. Промінь має точку початку, але не має кінця.

Напівпрямі або промені позначаються двома малими латинськими літерами: початковою та будь-якою іншою літерою, що відповідає точці, що належить напівпрямій. У цьому початкова точка ставиться першому місці.

Виходить, що пряма нескінченна: вона не має ні початку, ні кінця; у променя є лише початок, але немає кінця, а відрізок має початок та кінець. Тому лише відрізок ми можемо виміряти.

Декілька відрізків, які послідовно з'єднані між собою так, що мають одну загальну точку відрізки (сусідні) розташовуються не на одній прямій, являють собою ламану лінію.

Ламана лінія може бути замкненою та незамкнутою. Якщо кінець останнього відрізка збігається з початком першого, перед нами замкнута ламана лінія, якщо ні – незамкнута.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

У геометрії основними геометричними фігурами є точка та пряма. Для позначення точок прийнято використовувати великі латинські літери: A, B, C, D, E, F…. Для позначення прямих використовують малі латинські літери: a, b, c, d, e, f … . На малюнку нижче представлена ​​пряма а і кілька точок A, B, C, D.

Для зображення на малюнку прямий ми користуємося лінійкою, але ми зображаємо не всю пряму, а лише її шматок. Так як пряма в нашому уявленні тягнеться до нескінченності в обидві сторони, то пряма є нескінченна.

На малюнку представленому вище ми бачимо, що точки А та С розташовані на прямій а. У разі говорять, що точки А і З належать прямий а. Або кажуть, що пряма проходить через точки А і С. При записі належність точки до прямої позначають спеціальним значком. А той факт, що точка не належить прямої, відзначають таким самим значком, тільки закресленим.

У разі точки B і D не належать прямий а.

Як зазначалося вище, малюнку точки А і З належать прямий а. Частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними крапками, називається відрізком. Іншими словами, відрізком називається частина прямої, обмежена двома точками.

У нашому випадку ми маємо відрізок АB. Точки А та B називаються кінцями відрізка. Щоб позначити відрізок вказують його кінці, у разі АB. Однією з основних властивостей належності точок та прямих є наступне властивість: через будь-які дві точки можна провести пряму, і лише одну.

Якщо дві прямі мають спільну точку, то кажуть, що ці дві прямі перетинаються. На малюнку прямі a та b перетинаються у точці A. Прямі а і с не перетинаються.

Будь-які дві прямі мають лише одну загальну точку або не мають спільних точок. Якщо припустити зворотне, що дві прямі мають дві спільні точки, тоді через них проходили дві прямі. А це неможливо, тому що через дві точки можна провести лише одну пряму.

Ми розглянемо кожну з тем, а наприкінці будуть дані тести з тем.

Крапка в математиці

Що таке точка математики? Математична точка немає розмірів і позначається великими латинськими літерами: A, B, C, D, F тощо.

На малюнку можна побачити зображення точок A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Відрізок у математиці

Що таке відрізок у математиці? На уроках математики можна почути таке пояснення: математичний відрізок має довжину та кінці. Відрізок у математиці - це сукупність всіх точок, що лежать прямо між кінцями відрізка. Кінці відрізка – дві граничні точки.

На малюнку ми бачимо наступне: відрізки ,,,, і , а також дві точки B і S.

Пряма у математиці

Що таке пряма у математиці? Визначення прямої в математиці: пряма немає кінців і може продовжуватися в обидві сторони до нескінченності. Пряма у математиці позначається двома будь-якими точками прямою. Для пояснення поняття прямої учню можна сказати, що пряма – це відрізок, який не має двох кінців.

На малюнку зображено дві прямі: CD та EF.

Промінь у математиці

Що таке промінь? Визначення променя в математиці: промінь - частина пряма, яка має початок і не має кінця. У назві променя є дві літери, наприклад, DC. Причому перша літера завжди означає точку початку променя, тому міняти місцями літери не можна.

На малюнку зображено промені: DC, KC, EF, MT, MS. Промені KC та KD - один промінь, т.к. у них загальний початок.

Числова пряма в математиці

Визначення числової прямої в математиці: пряма, точки якої відзначають числа, називають числовою прямою.

На малюнку зображена числова пряма, а також промінь OD та ED

Для позначення геометричних фігур та їх проекцій, для відображення відношення між ними, а також для стислості записів геометричних речень, алгоритмів розв'язання задач та доказу теорем в курсі використовується геометрична мова, Складений з позначень і символів, прийнятих в курсі математики (зокрема, в новому курсі геометрії в середній школі).

Все різноманіття позначень та символів, а також зв'язки між ними можуть бути поділені на дві групи:

група I – позначення геометричних фігур та відносин між ними;

група II позначення логічних операцій, що становлять синтаксичну основу геометричної мови.

Нижче наводиться повний списокматематичних символів, які використовуються в даному курсі. Особливу увагуприділяється символам, які використовуються для позначення проекцій геометричних фігур.

Група I

СИМВОЛИ, ЩО ПОЗНАЧАЮТЬ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВІДНОСИНИ МІЖ НИМИ

А. Позначення геометричних фігур

1. Геометрична фігура позначається – Ф.

2. Крапки позначаються великими літерамилатинського алфавіту або арабськими цифрами:

А, В, С, D, ..., L, М, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Лінії, які довільно розташовані по відношенню до площин проекцій, позначаються малими літерами латинського алфавіту:

а, b, с, d, ..., l, m, n, ...

Лінії рівня позначаються: h – горизонталь; f-фронталь.

Для прямих використовуються також такі позначення:

(АВ) - пряма, що проходить через точки А АВ;

[АВ) - промінь із початком у точці А;

[АВ] - відрізок прямий, обмежений точками А та В.

4. Поверхні позначаються малими літерами грецького алфавіту:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Щоб підкреслити спосіб завдання поверхні, слід вказувати геометричні елементи, якими визначається, наприклад:

α(а || b) - площина визначається паралельними прямими а і b;

β(d 1 d 2 gα) - поверхня β визначається напрямними d 1 і d 2 утворює g і площиною паралелізму α.

5. Кути позначаються:

∠ABC - кут з вершиною в точці В, а також ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Кутова: величина (градусна міра) позначається знаком, який ставиться над кутом:

Величина кута АВС;

Розмір кута φ.

Прямий кут відзначається квадратом із точкою всередині

7. Відстань між геометричними фігурами позначаються двома вертикальними відрізками - ||.

Наприклад:

|АВ| - відстань між точками А та В (довжина відрізка АВ);

|Аа| - Відстань від точки А до лінії a;

|А?| - Відстань від точки А до поверхні α;

|аb| - відстань між лініями а та b;

|αβ| відстань між поверхнями α та β.

8. Для площин проекцій прийняті позначення: 1 і 2 , де 1 - горизонтальна площина проекцій;

π 2 -фрютальна площина проекцій.

При заміні площин проекцій або запровадження нових площин останні позначають π 3 , π 4 і т.д.

9. Осі проекцій позначаються: х, у, z, де х – вісь абсцис; у - вісь ординат; z – вісь аплікат.

Постійну пряму епюру Монжа позначають k.

10. Проекції точок, ліній, поверхонь будь-якої геометричної фігури позначаються тими самими літерами (або цифрами), що й оригінал, з додаванням верхнього індексу, що відповідає площині проекції, на якій вони отримані:

А", В", С", D", ..., L", М", N", горизонтальні проекції точок; А", В", С", D", ..., L", М" , N", ... фронтальні проекції точок; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - горизонтальні проекції ліній; а" ,b" , с" , d" , ... , l" , m ", n", ... фронтальні проекції ліній; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальні проекції поверхонь; α", β", γ", δ",...,ζ" ,η",ν",... фронтальні проекції поверхонь.

11. Сліди площин (поверхень) позначаються тими самими літерами, що і горизонталь або фронталь, з додаванням підрядкового індексу 0α, що підкреслює, що ці лінії лежать у площині проекції та належать площині (поверхні) α.

Так: h 0α – горизонтальний слід площини (поверхні) α;

f 0α – фронтальний слід площини (поверхні) α.

12. Сліди прямих (ліній) позначаються великими літерами, з яких починаються слова, що визначають назву (латинської транскрипції) площині проекції, яку перетинає лінія, з підрядковим індексом, що вказує на належність до лінії.

Наприклад: H a – горизонтальний слід прямої (лінії) а;

F a – фронтальний слід прямої (лінії) a.

13. Послідовність точок, ліній (будь-якої фігури) відзначається підрядковими індексами 1,2,3,..., n:

А 1, А 2, А 3, ..., А n;

a 1, a 2, a 3, ..., a n;

α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;

Ф 1, Ф 2, Ф 3, ..., Ф n і т. д.

Допоміжна проекція точки, отримана в результаті перетворення для отримання дійсної величини геометричної фігури, позначається тією ж літерою з підрядковим індексом 0:

A 0, B 0, З 0, D 0, ...

Аксонометричні проекції

14. Аксонометричні проекції точок, ліній, поверхонь позначаються тими самими літерами, що й натура з додаванням верхнього індексу 0:

А 0, В 0, З 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0, b 0, c 0, d 0, ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Вторинні проекції позначаються шляхом додавання верхнього індексу 1:

А 1 0, В 1 0, З 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Для полегшення читання креслень у підручнику при оформленні ілюстративного матеріалу використано кілька кольорів, кожен із яких має певне смислове значення: лініями (крапками) чорного кольору позначені вихідні дані; зелений колірвикористано для ліній допоміжних графічних побудов; червоними лініями (точками) показані результати побудов або ті геометричні елементи, на які слід звернути особливу увагу.

Б. Символи, що позначають відносини між геометричними фігурами

№ з часу.	Позначення	Зміст	Приклад символічного запису
1	≡	Збігаються	(АВ)≡(CD) - пряма, що проходить через точки А і В, збігається з прямою, що проходить через точки С та D
2	≅	Конгруентні	∠ABC≅∠MNK - кут АВС конгруентний куту MNK
3	∼	Подібні	ΔАВС~ΔMNK - трикутники АВС та MNK подібні
4	||	Паралельні	α||β - площина α паралельна площині β
5	⊥	Перпендикулярні	а⊥b - прямі а та b перпендикулярні
6		Схрещуються	з d - прямі з і d схрещуються
7		Стосовні	t l - Пряма t є дотичної до лінії l. βα – площина β дотична до поверхні α
8	→	Відображаються	Ф 1 →Ф 2 - фігура Ф 1 відображається на фігуру Ф 2
9	S	Центр проектування. Якщо центр проектування невласна точка, то його положення позначається стрілкою, вказує напрямок проектування	-
10	s	Напрямок проектування	-
11	P	Паралельне проектування	р s α Паралельне проектування - паралельне проектування на площину α у напрямку s

В. Позначення теоретико-множинні

№ з часу.	Позначення	Зміст	Приклад символічного запису	Приклад символічного запису геометрії
1	M,N	Безліч	-	-
2	A,B,C,...	Елементи множини	-	-
3	{ ... }	Складається з...	Ф(A, B, C,...)	Ф(A, B, C,... ) - фігура Ф складається з точок А, В,С, ...
4	∅	Пусте безліч	L - ∅ - множина L порожня (не містить елементів)	-
5	∈	Належить, є елементом	2∈N (де N - безліч натуральних чисел) - число 2 належить множині N	А ∈ а – точка А належить прямий а (Точка А лежить на прямій а)
6	⊂	Включає, містить	N⊂М - безліч N є частиною (підмножиною) множини всіх раціональних чисел	а⊂α - пряма а належить площині α (розуміється у сенсі: безліч точок прямої а є підмножиною точок площини α)
7	∪	Об'єднання	С = A U В - безліч С є об'єднання множин A та В; (1, 2. 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5)	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ламана лінія, ABCD є об'єднання відрізків [АВ], [ВС],
8	∩	Перетин множин	М=К∩L - множина М є перетин множин К і L (містить у собі елементи, що належать як безлічі, так і безлічі L). М ∩ N = ∅- перетин множин М і N є порожня множина (Большості М і N не мають спільних елементів)	а = α ∩ β - пряма а є перетин площин α та β а ∩ b = ∅ - прямі а та b не перетинаються (Не мають спільних точок)

Група II СИМВОЛИ, ЩО ПОЗНАЧАЮТЬ ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ

№ з часу.	Позначення	Зміст	Приклад символічного запису
1	∧	Кон'юнкція речень; відповідає союзу "і". Пропозиція (р∧q) істинна тоді і тільки тоді, коли р і q обидва істинні	α∩β = ( К:K∈α∧K∈β) Перетин поверхонь α і β є безліч точок (лінія), що складається з усіх тих і лише тих точок К, які належать як поверхні α, так і поверхні β
2	∨	Диз'юнкція речень; відповідає союзу "чи". Пропозиція (p∨q) істинно, коли істинно хоча б одне з речень р або q (тобто або р, або q, або обидва).	-
3	⇒	Імплікація – логічне слідство. Пропозиція р⇒q означає: "якщо р, то q"	(а||с∧b||с)⇒a||b. Якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою
4	⇔	Пропозиція (р⇔q) розуміється в сенсі: "якщо р, то q; якщо q, то і р"	А∈α⇔А∈l⊂α. Точка належить площині, якщо вона належить до певної лінії, що належить цій площині. Справедливим є також і зворотне твердження: якщо точка належить певній лінії, що належить площині, вона належить і самій площині
5	∀	Квантор спільності читається: для кожного, для всіх, для будь-кого. Вираз ∀(x)P(x) означає: "для кожного x: має місце властивість Р(х)"	∀(ΔАВС)( = 180°) Для кожного (для будь-якого) трикутника сума величин його кутів при вершинах дорівнює 180 °
6	∃	Квантор існування читається: існує. Вираз ∃(х)P(х) означає: "існує х, що має властивість Р(х)"	(∀α)(∃a). Для будь-якої площини α існує пряма а, яка не належить площині α та паралельна площині α
7	∃1	Квантор єдиності існування, читається: існує єдине (-я, -й)... Вираз ∃1(x)(Рх) означає: "є єдине (тільки одне) х, що володіє властивістю Рх"	(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для будь-яких двох різних точокА і існує єдина пряма a, проходить через ці точки.
8	(Px)	Заперечення висловлювання P(x)	аb(∃α )(α⊃а, Ь). Якщо прямі а і b схрещуються, то не існує площини а, яка містить їх
9	\	Заперечення знаку	≠ -відрізок [АВ] не дорівнює відрізку .а?b - лінія а не паралельна лінії b