Як знайти косинус кута між площинами. Двогранний кут

Ця стаття присвячена розі між площинами та його знаходженням. Спочатку наведено визначення кута між двома площинами та дана графічна ілюстрація. Після цього розібраний принцип знаходження кута між двома площинами, що перетинаються, методом координат, отримана формула, що дозволяє обчислювати кут між площинами, що перетинаються, за відомими координатами нормальних векторів цих площин. Наприкінці показані докладні рішення характерних завдань.

Навігація на сторінці.

Кут між площинами – визначення.

Наведемо міркування, які дозволять поступово підійти до визначення кута між двома площинами, що перетинаються.

Нехай нам дано дві площини, що перетинаються, і . Ці площини перетинаються прямою, яку позначимо літерою c . Побудуємо площину, що проходить через точку М прямої c і перпендикулярну до прямої c. При цьому площина перетинатиме площини і . Позначимо пряму, якою перетинаються площини як a , а пряму, якою перетинаються площини як і b . Вочевидь, прямі a і b перетинаються у точці М .

Легко показати, що кут між прямими a і b, що перетинаються, не залежить від розташування точки М на прямій c , через яку проходить площину .

Побудуємо площину, перпендикулярну до прямої c і відмінну від площини. Площина перетинають площини і по прямих, які позначимо a1 і b1 відповідно.

З способу побудови площин і випливає, що прямі a і b перпендикулярні до прямої c , і прямі a 1 і b 1 перпендикулярні до прямої c . Так як прямі a і a 1 лежать в одній площині і перпендикулярні до прямої c , то вони паралельні. Аналогічно, прямі b і b 1 лежать в одній площині і перпендикулярні до прямої c , отже, вони паралельні. Таким чином, можна виконати паралельне перенесення площини на площину , при якому пряма a 1 збігається з прямою a а пряма b з прямою b 1 . Отже, кут між двома прямими, що перетинаються, a 1 і b 1 дорівнює куту між прямими, що перетинаються, і b .

Цим доведено, що кут між прямими a і b , що перетинаються, лежать у перетинаються площинах і , не залежить від вибору точки M , через яку проходить площину . Тому, логічно цей кут прийняти за кут між двома площинами, що перетинаються.

Тепер можна озвучити визначення кута між двома площинами, що перетинаються, і .

Визначення.

Кут між двома перетинаються по прямій c площинами і– це кут між двома пересічними прямими a і b , якими площини і перетинаються з площиною , перпендикулярною до прямої c .

Визначення кута між двома площинами можна дати трохи інакше. Якщо на прямій з , по якій перетинаються площини і відзначити точку М і через неї провести прямі а і b , перпендикулярні прямий c і лежать у площинах і відповідно, то кут між прямими і b являє собою кут між площинами і . Зазвичай практично виконують саме такі побудови, щоб отримати кут між площинами.

Так як кут між перетинаються прямими не перевищує , то з озвученого визначення випливає, що градусна міра кута між двома площинами, що перетинаються, виражається дійсним числом з інтервалу . При цьому, площини, що перетинаються, називають перпендикулярнимиякщо кут між ними дорівнює дев'яноста градусам. Кут між паралельними площинами або не визначають зовсім, або вважають його рівним нулю.

Знаходження кута між двома площинами, що перетинаються.

Зазвичай при знаходженні кута між двома площинами, що перетинаються, спочатку доводиться виконувати додаткові побудови, щоб побачити прямі, що перетинаються, кут між якими дорівнює шуканому куту, і після цього зв'язувати цей кут з вихідними даними за допомогою ознак рівності, ознак подібності, теореми косінусів або визначень синуса, косин та тангенсу кута. У курсі геометрії середньої школи зустрічаються такі завдання.

Наприклад наведемо вирішення завдання С2 з ЄДІ з математики за 2012 рік (умова має намір змінено, але це не впливає на принцип вирішення). У ній якраз треба було знайти кут між двома площинами, що перетинаються.

приклад.

Рішення.

Для початку зробимо креслення.

Виконаємо додаткові побудови, щоб побачити кут між площинами.

Для початку визначимо пряму лінію, якою перетинаються площини АВС і BED 1 . Точка В – це одна з їхніх спільних точок. Знайдемо другу загальну точку цих площин. Прямі DA і D 1 E лежать у одній площині АDD 1 , причому вони паралельні, отже, перетинаються. З іншого боку, пряма DA лежить у площині АВС, а пряма D 1 E – у площині BED 1, отже, точка перетину прямих DA та D 1 E буде загальною точкою площин АВС та BED 1 . Отже, продовжимо прямі DA і D 1 E до їхнього перетину, позначимо точку їхнього перетину буквою F . Тоді BF – пряма, якою перетинаються площини АВС і BED 1 .

Залишилося побудувати дві прямі, що лежать у площинах АВС і BED 1 відповідно, що проходять через одну точку на прямій BF і перпендикулярні прямий BF - кут між цими прямими за визначенням буде дорівнює куту між площинами АВС і BED 1 . Зробимо це.

Точка, крапка А є проекцією точки Е на площину АВС. Проведемо пряму, що перетинає під прямим кутом пряму ВF у точці М . Тоді пряма АМ є проекцією прямої ЕМ на площину АВС, і за теоремою про три перпендикуляри.

Таким чином, кут, що шукається між площинами АВС і BED 1 дорівнює .

Синус, косинус або тангенс цього кута (а значить і сам кут) ми можемо визначити з прямокутного трикутника АЕМ, якщо знатимемо довжини двох його сторін. З умови легко знайти довжину АЕ : оскільки точка Е ділить сторону АА 1 щодо 4 до 3 , рахуючи від точки А , а довжина сторони АА 1 дорівнює 7 то АЕ = 4 . Знайдемо ще довжину АМ.

Для цього розглянемо прямокутний трикутник АВF із прямим кутом А, де АМ є висотою. За умовою АВ=2. Довжину сторони АF ми можемо знайти з прямокутних трикутників DD 1 F і AEF :

По теоремі Піфагора з трикутника АВF знаходимо. Довжину АМ знайдемо через площу трикутника ABF : з одного боку площа трикутника АВF дорівнює , з іншого боку , звідки .

Таким чином, із прямокутного трикутника АЕМ маємо .

Тоді шуканий кут між площинами АВС та BED 1 дорівнює (зауважимо, що ).

Відповідь:

У деяких випадках для знаходження кута між двома площинами, що перетинаються, зручно задати Oxyz і скористатися методом координат. На ньому і зупинимося.

Поставимо завдання: знайти кут між двома площинами, що перетинаються, і . Позначимо шуканий кут як .

Будемо вважати, що в заданій прямокутній системі координат Oxyz нам відомі координати нормальних векторів площин, що перетинаються, або є можливість їх знайти. Нехай - нормальний вектор площини, а - Нормальний вектор площини. Покажемо, як знайти кут між площинами, що перетинаються, і через координати нормальних векторів цих площин.

Позначимо пряму, якою перетинаються площини і як c . Через точку М на прямій c проведемо площину, перпендикулярну до прямої c. Площина перетинає площини і за прямими a і b відповідно, прямі a і b перетинаються в точці М . За визначенням кут між площинами, що перетинаються, і дорівнює куту між прямими, що перетинаються, a і b .

Відкладемо від точки М у площині нормальні вектори та площин і . При цьому вектор лежить на прямій, яка перпендикулярна до прямої a , а вектор - на прямій, яка перпендикулярна до прямої b . Таким чином, у площині вектор - нормальний вектор прямий a - нормальний вектор прямий b .

У статті знаходження кута між прямими, що перетинаються, ми отримали формулу, яка дозволяє обчислювати косинус кута між прямими, що перетинаються, по координатах нормальних векторів. Таким чином, косинус кута між прямими a і b , а, отже, і косинус кута між площинами, що перетинаються.і знаходиться за формулою , де і – нормальні вектори площин та відповідно. Тоді обчислюється як .

Розв'яжемо попередній приклад методом координат.

приклад.

Даний прямокутний паралелепіпед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 , в якому АВ = 2, AD = 3, АА 1 = 7 і точка E ділить сторону АА 1 щодо 4 до 3, рахуючи від точки А. Знайдіть кут між площинами АВС та ВЕD 1 .

Рішення.

Так як сторони прямокутного паралелепіпеда при одній вершині попарно перпендикулярні, то зручно ввести прямокутну систему координат Oxyz так: почало поєднати з вершиною, а координатні осі Ox, Oy і Oz направити по сторонах CD, CB і CC 1 відповідно.

Кут між площинами АВС та BED 1 може бути знайдений через координати нормальних векторів цих площин за формулою , де і – нормальні вектори площин АВС та BED 1 відповідно. Визначимо координати звичайних векторів.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Теорема

Кут між площинами не залежить від вибору площини.

Доказ.

Нехай є дві площини і β, які перетинаються по прямій с. проведемо площину γ перпендикулярно до прямої с. Тоді площину γ перетне площини α і β за прямими a і b відповідно. Кут між площинами і β дорівнює куту між прямими a і b.
Візьмемо іншу секучу площину γ`, перпендикулярну до с. Тоді площину γ` перетне площини α і β по прямих a` і b` відповідно.
При паралельному перенесенні точка перетину площини з прямої з перейде в точку перетину площини з прямою с. при цьому за властивістю паралельного перенесення пряма a перейде в пряму a, b - в пряму b. отже кути між прямими a і b, a і b рівні. Теорему доведено.

Навігація на сторінці.

Кут між площинами – визначення.

При викладанні матеріалу ми будемо використовувати визначення та поняття, дані у статтяхплощину у просторі та пряма у просторі.

Нехай нам дано дві площини, що перетинаються, і . Ці площини перетинаються по прямій, яку позначимо буквою c. Побудуємо площину, що проходить через точку Мпрямий cі перпендикулярну до прямої c. При цьому площина перетинатиме площини і . Позначимо пряму, якою перетинаються площини і як a, А пряму, по якій перетинаються площини і як b. Очевидно, прямі aі bперетинаються у точці М.

Легко показати, що кут між прямими, що перетинаються. aі bне залежить від розташування точки Мна прямий c, якою проходить площину .

Побудуємо площину, перпендикулярну до прямої cі відмінну від площини. Площина перетинають площини і по прямих, які позначимо a 1і b 1відповідно.

З способу побудови площин і випливає, що прямі aі bперпендикулярні до прямої c, та прямі a 1і b 1перпендикулярні до прямої c. Оскільки прямі aі a 1 c, то вони паралельні. Аналогічно, прямі bі b 1лежать в одній площині і перпендикулярні до прямої c, Отже, вони паралельні. Таким чином, можна виконати паралельне перенесення площини на площину , при якому пряма a 1збігається з прямою a, а пряма bз прямою b 1. Отже, кут між двома прямими, що перетинаються a 1і b 1дорівнює куту між прямими, що перетинаються. aі b.

Цим доведено, що кут між прямими, що перетинаються. aі b, що лежать у площинах, що перетинаються і , не залежить від вибору точки M, якою проходить площину . Тому, логічно цей кут прийняти за кут між двома площинами, що перетинаються.

Тепер можна озвучити визначення кута між двома площинами, що перетинаються, і .

Визначення.

Кут між двома перетинаються по прямій cплощинами та– це кут між двома прямими, що перетинаються. aі b, за якими площини і перетинаються з площиною , перпендикулярною до прямої c.

Визначення кута між двома площинами можна дати трохи інакше. Якщо на прямій з, по якій перетинаються площини і , відзначити точку Мі через неї провести прямі аі b, перпендикулярні до прямої cі лежать у площинах і відповідно, то кут між прямими аі bявляє собою кут між площинами та . Зазвичай практично виконують саме такі побудови, щоб отримати кут між площинами.

На початок сторінки

Знаходження кута між двома площинами, що перетинаються.

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1, в якому АВ=3, AD=2, АА 1 = 7і крапка Eділить бік АА 1у відносинах 4 до 3 , рахуючи від точки А АВСі ВЕD 1.

Для початку зробимо креслення.

Виконаємо додаткові побудови, щоб побачити кут між площинами.

Для початку визначимо пряму лінію, якою перетинаються площини АВСі BED 1. Точка, крапка В– це одна з їхніх спільних точок. Знайдемо другу загальну точку цих площин. Прямі DAі D 1 Eлежать в одній площині АDD 1, причому вони паралельні, отже, перетинаються. З іншого боку, пряма DAлежить у площині АВС, а пряма D 1 E– у площині BED 1, отже, точка перетину прямих DAі D 1 Eбуде загальною точкою площин АВСі BED 1. Отже, продовжимо прямі DAі D 1 Eдо їх перетину, позначимо точку їх перетину буквою F. Тоді BF- Пряма, по якій перетинаються площини АВСі BED 1.

Залишилося побудувати дві прямі, що лежать у площинах АВСі BED 1відповідно, що проходять через одну точку на прямій BFта перпендикулярні прямий BF, - Кут між цими прямими за визначенням буде дорівнює шуканому куту між площинами АВСі BED 1. Зробимо це.

Точка, крапка Ає проекцією точки Ена площину АВС. Проведемо пряму, що перетинає під прямим кутом пряму ВFу точці М. Тоді пряма АМє проекцією прямою ЇМна площину АВСі по теоремі про три перпендикуляри.

Таким чином, шуканий кут між площинами АВСі BED 1дорівнює.

Синус, косинус або тангенс цього кута (отже і сам кут) ми можемо визначити з прямокутного трикутника АЕМ, якщо знатимемо довжини двох його сторін. З умови легко знайти довжину АЕ: оскільки точка Еділить бік АА 1у відносинах 4 до 3 , рахуючи від точки А, а довжина сторони АА 1дорівнює 7 , то АЕ = 4. Знайдемо ще довжину АМ.

Для цього розглянемо прямокутний трикутник АВFз прямим кутом А, де АМє заввишки. За умовою АВ=2. Довжина сторони АFми можемо знайти з подоби прямокутних трикутників DD 1 Fі AEF:

За теоремою Піфагора з трикутника АВFзнаходимо. Довжину АМзнайдемо через площу трикутника АBF: з одного боку площа трикутника АВFдорівнює, з іншого боку, звідки.

Таким чином, з прямокутного трикутника АЕМмаємо.

Тоді шуканий кут між площинами АВСі BED 1дорівнює (зауважимо, що).

У деяких випадках для знаходження кута між двома площинами, що перетинаються, зручно задати прямокутну систему координат Oxyzта скористатися методом координат. На ньому і зупинимося.

Поставимо завдання: знайти кут між двома площинами, що перетинаються, і . Позначимо шуканий кут як .

Вважатимемо, що в заданій прямокутній системі координат Oxyzнам відомі координати нормальних векторів площин, що перетинаються, або є можливість їх знайти. Нехай - нормальний вектор площини, а - нормальний вектор площини. Покажемо, як знайти кут між площинами, що перетинаються, і через координати нормальних векторів цих площин.

Позначимо пряму, якою перетинаються площини і як c. Через точку Мна прямий cпроведемо площину, перпендикулярну до прямої c. Площина перетинає площини і прямою aі bвідповідно, прямі aі bперетинаються у точці М. За визначенням кут між площинами, що перетинаються, і дорівнює куту між прямими, що перетинаються. aі b.

Відкладемо від крапки Му площині нормальні вектори та площин і . При цьому вектор лежить на прямій, яка перпендикулярна до прямої a, а вектор - на прямій, яка перпендикулярна до прямої b. Таким чином, у площині вектор - нормальний вектор прямий a, - нормальний вектор прямий b.

У статті знаходження кута між прямими, що перетинаються, ми отримали формулу, яка дозволяє обчислювати косинус кута між прямими, що перетинаються, по координатах нормальних векторів. Таким чином, косинус кута між прямими aі b, а, отже, і косинус кута між площинами, що перетинаються.і знаходиться за формулою , де - нормальні вектори площин і відповідно. Тоді кут між площинами, що перетинаютьсяобчислюється як .

Розв'яжемо попередній приклад методом координат.

Даний прямокутний паралелепіпед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1, в якому АВ=3, AD=2, АА 1 = 7і крапка Eділить бік АА 1у відносинах 4 до 3 , рахуючи від точки А. Знайдіть кут між площинами АВСі ВЕD 1.

Оскільки сторони прямокутного паралелепіпеда при одній вершині попарно перпендикулярні, то зручно ввести прямокутну систему координат Oxyzтак: почало поєднати з вершиною З, а координатні осі Ox, Ойі Ozнаправити на всі боки CD, CBі CC 1відповідно.

Кут між площинами АВСі BED 1може бути знайдено через координати нормальних векторів цих площин за формулою , де і – нормальні вектори площин АВСі BED 1відповідно. Визначимо координати звичайних векторів.

Оскільки площина АВСзбігається з координатною площиною Oxy, то її нормальним вектором є координатний вектор , тобто .

Як нормальний вектор площини BED 1можна прийняти векторний добуток векторів і , у свою чергу, координати векторів і можна знайти через координати точок В, Еі D 1(про що написано у статті координати вектора через координати точок його початку та кінця), а координати точок В, Еі D 1у введеній системі координат визначимо з умови завдання.

Зрозуміло, . Так як , то по координатах точок знаходимо (при необхідності дивіться статтю поділ відрізка в заданому відношенні). Тоді і Oxyz рівняння і .

Коли ми вивчали загальне рівняння прямого виду, то з'ясували, що коефіцієнти А, Ві Зє відповідними координатами нормального вектора площини. Таким чином, і нормальні вектори площин і відповідно.

Підставляємо координати нормальних векторів площин у формулу для обчислення кута між двома площинами, що перетинаються:

Тоді. Оскільки кут між двома площинами, що перетинаються, не тупий, то за допомогою основного тригонометричного тотожності знаходимо синус кута: .

Мірою кута між площинами є гострий кут, утворений двома прямими, що лежать у цих площинах і проведеними перпендикулярно до лінії їх перетину.

Алгоритм побудови

З довільної точки K проводять перпендикуляри до кожної із заданих площин.
Спосіб обертання навколо лінії рівня визначають величину кута γ° з вершиною в точці K.
Обчислюють кут між площинами ϕ° = 180 – γ° за умови, що γ° > 90°. Якщо γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

На малюнку представлений випадок, коли площини і β задані слідами. Усі необхідні побудови виконані згідно з алгоритмом та описані нижче.

Рішення

У довільному місці креслення відзначаємо точку K. З неї опускаємо перпендикуляри m та n відповідно до площин α та β. Напрямок проекцій m і n наступний: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Визначаємо дійсний розмір ∠γ° між прямими m та n. Для цього навколо фронталі f повертаємо площину кута з вершиною K у положення, паралельне фронтальній площині проекції. Радіус повороту R точки K дорівнює величині гіпотенузи прямокутного трикутника O KK 0 , катет якого K 0 = y K - y O .
Шуканий кут ϕ° = ∠γ°, оскільки ∠γ° гострий.

На малюнку нижче показано розв'язання задачі, в якій потрібно знайти кут γ° між площинами α і β, заданими паралельними і прямими, що перетинаються відповідно.

Рішення

Визначаємо напрямок проекцій горизонталів h 1 , h 2 і фронталей f 1 , f 2 , що належать площинам α та β, у порядку, вказаному стрілками. Із довільної точки K на пл. α та β опускаємо перпендикуляри e та k. При цьому e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 і k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
Визначаємо ∠γ° між прямими e та k. Для цього проводимо горизонталь h 3 і навколо неї повертаємо точку K в положення K 1 , при якому ΔCKD стане паралельний горизонтальній площині і позначиться на ній у натуральну величину - ΔC"K" 1 D". Проекція центру повороту O" знаходиться на проведеному до h" 3 перпендикулярі K"O". Радіус R визначається з прямокутного трикутника O"K"K 0, у якого сторона K"K 0 = ZO - ZK.
Значення шуканого ∠ϕ° = ∠γ°, оскільки кут γ° гострий.

При вирішенні геометричних завдань у просторі часто зустрічаються такі, де необхідно розрахувати кути між різними просторовими об'єктами. У цій статті розглянемо питання знаходження кутів між площинами та між ними та прямою.

Пряма у просторі

Відомо, що будь-яка пряма на площині може бути визначена такою рівністю:

Тут a та b - деякі числа. Якщо уявити тим самим виразом пряму в просторі, то вийде вже площина, паралельна осі z. Для математичного визначення просторової прямої застосовують інший спосіб розв'язання, ніж у двовимірному випадку. Він полягає у використанні поняття "напрямний вектор".

Приклади розв'язання задач на визначення кута перетину площин

Знаючи, як знайти між площинами кут, розв'яжемо наступне завдання. Дано дві площини, рівняння яких мають вигляд:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2*y+5*z+1=0

Чому між площинами дорівнює кут?

Щоб відповісти на питання задачі, згадаємо, що коефіцієнти, що стоять при змінних у рівнянні площині, є координатами вектора напрямного. Для зазначених площин маємо такі координати їх нормалей:

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Тепер знайдемо твір скалярний цих векторів та їх модулі, маємо:

(n 1 ? * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Тепер можна підставити знайдені числа у наведену у попередньому пункті формулу. Отримуємо:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Отримане значення відповідає гострому куту перетину площин, вказаних за умови завдання.

Тепер розглянемо інший приклад. Дані дві площини:

Чи перетинаються вони? Випишемо значення координат їх напрямних векторів, порахуємо скалярний твір їх та модулі:

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ? * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Тоді кут перетину дорівнює:

α = arccos(|6|/(√2 * √18) =0 o .

Цей кут свідчить, що площини не перетинаються, а є паралельними. Той факт, що вони не збігаються один з одним просто перевірити. Візьмемо при цьому довільну точку, що належить першої їх, наприклад, P(0; 3; 2). Підставимо її координати у друге рівняння, отримаємо:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Тобто точка P належить лише першій площині.

Таким чином, дві площини є паралельними, коли такими будуть їх нормалі.

Площина та пряма

У разі розгляду взаємного розташування між площиною та прямою існує дещо більше варіантів, ніж із двома площинами. Пов'язаний цей факт про те, що пряма є одномірним об'єктом. Пряма та площина можуть бути:

взаємно паралельними, у разі площина не перетинає пряму;
остання може належати площині, причому вона також буде паралельна їй;
обидва об'єкти можуть перетинатися під деяким кутом.

Розглянемо спочатку останній випадок, оскільки він вимагає запровадження поняття про вугілля перетину.

Пряма та площина, значення кута між ними

Якщо площина пряма перетинає, вона називається похилою стосовно неї. Точку перетину прийнято називати основою похилою. Щоб визначити між цими геометричними об'єктами кут, необхідно опустити із будь-якої точки прямий перпендикуляр на площину. Тоді точка перетину перпендикуляра з площиною та місце перетину з нею похилою утворюють пряму. Остання називається проекцією вихідної прямої на площину, що розглядається. Гострий та проекцією її є шуканим.

Дещо заплутане визначення кута між площиною та похилою прояснить малюнок нижче.

Тут кут ABO – це кут між AB прямою та a площиною.

Щоб записати формулу йому, розглянемо приклад. Нехай є пряма та площина, які описуються рівняннями:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Розрахувати кут для цих об'єктів можна легко, якщо знайти скалярний твір між напрямними векторами прямої і площини. Отриманий гострий кут слід відняти з 90 o тоді він виходить між прямою і площиною.

Рисунок вище демонструє описаний алгоритм знаходження кута, що розглядається. Тут β – це кут між нормаллю та прямою, а α – між прямою та її проекцією на площину. Видно, що їхня сума дорівнює 90 o .

Вище було представлено формулу, дає у відповідь питання, як між площинами знайти кут. Тепер наведемо відповідний вираз для випадку прямої та площини:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Модуль у формулі дозволяє обчислювати лише гострі кути. Функція арксинусу з'явилася замість арккосинусу завдяки використанню відповідної формули приведення між тригонометричними функціями (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Завдання: площина перетинає пряму

Тепер покажемо, як працювати із наведеною формулою. Розв'яжемо задачу: необхідно обчислити кут між віссю y і площиною, заданою рівнянням:

Ця площина показана малюнку.

Видно, що вона перетинає осі y та z у точках (0; -12; 0) та (0; 0; 12) відповідно і паралельна осі x.

Напрямний вектор прямої y має координати (0; 1; 0). Вектор перпендикулярний заданій площині характеризується координатами (0; 1; -1). Застосовуємо формулу для кута перетину прямої та площини, отримуємо:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o

Завдання: паралельна площині пряма

Тепер вирішимо аналогічне попереднє завдання, питання якого поставлене інакше. Відомі рівняння площини та прямої:

x + y – z – 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Необхідно з'ясувати, чи ці геометричні об'єкти є паралельними один одному.

Маємо два вектори: напрямний прямий дорівнює (0; 2; 2) та напрямний площини дорівнює (1; 1; -1). Знаходимо їхній скалярний твір:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Отриманий нуль говорить про те, що кут між цими векторами дорівнює 90 o що доводить прямий і площині паралельність.

Тепер перевіримо, чи є ця пряма тільки паралельною або ще й лежить у площині. Для цього слід вибрати довільну точку на прямій і перевірити, чи вона належить площині. Наприклад, приймемо λ = 0, тоді точка P(1; 0; 0) прямої належить. Підставляємо в рівняння площини P:

Точка P площині не належить, отже, і вся пряма у ній лежить.

Де важливо знати кути між розглянутими геометричними об'єктами?

Наведені вище формули та приклади розв'язання задач є не тільки теоретичним інтересом. Вони часто застосовуються визначення важливих фізичних величин реальних об'ємних фігур, наприклад призми чи піраміди. Важливо вміти визначити між площинами кут при розрахунку обсягів фігур та площ їх поверхонь. При цьому, якщо у разі прямої призми можна використовувати ці формули визначення зазначених величин, то будь-якого виду піраміди їх застосування виявляється неминучим.

Нижче розглянемо приклад використання викладеної теорії для визначення кутів піраміди з квадратною основою.

Піраміда та її кути

Нижче малюнок демонструє піраміду, на основі якої лежить квадрат зі стороною а. Висота фігури складає h. Потрібно знайти два кути:

між бічною поверхнею та основою;
між бічним ребром та основою.

Щоб вирішити поставлене завдання, спочатку слід ввести систему координат та визначити параметри відповідних вершин. На малюнку показано, що початок координат збігається з точкою у центрі квадратної основи. В цьому випадку площина основи описується рівнянням:

Тобто для будь-яких x та y значення третьої координати завжди дорівнює нулю. Бічна площина ABC перетинає вісь z у точці B(0; 0; h), а вісь y у точці з координатами (0; a/2; 0). Ось x вона не перетинає. Це означає, що рівняння площини ABC можна записати як:

y/(a/2) + z/h = 1 або
2 * h * y + a * z - a * h = 0

Вектор AB є боковим ребром. Координати його початку та кінця рівні: A(a/2; a/2; 0) та B(0; 0; h). Тоді координати самого вектора:

Ми знайшли всі необхідні рівняння та вектора. Тепер залишається користуватися розглянутими формулами.

Розрахуємо спочатку в піраміді кут між площинами основи та збоку. Відповідні нормальні вектори рівні: n 1 (0; 0; 1) і n 2 (0; 2 * h; a). Тоді кут становитиме: