หลายคนคงเคยได้ยินเกี่ยวกับ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แต่ไม่ใช่ทุกคนที่รู้ดีว่ามันคืออะไร ในบทความนี้ เราจะให้คำจำกัดความที่เหมาะสม และพิจารณาคำถามว่าจะค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร และให้ตัวอย่างจำนวนหนึ่ง

ความหมายทางคณิตศาสตร์

ดังนั้นถ้า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต (แนวคิดเหล่านี้กำหนดสิ่งเดียวกัน) ซึ่งหมายความว่ามีชุดตัวเลขบางชุดที่เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: ทุก ๆ ตัวเลขที่อยู่ติดกันสองชุดในอนุกรมต่างกันด้วยค่าเดียวกัน ทางคณิตศาสตร์เขียนได้ดังนี้

ในที่นี้ n หมายถึงจำนวนขององค์ประกอบ a n ในลำดับ และหมายเลข d คือความแตกต่างของความก้าวหน้า (ชื่อตามมาจากสูตรที่นำเสนอ)

การรู้ความแตกต่าง d หมายถึงอะไร? ว่าตัวเลขที่อยู่ติดกันห่างกันแค่ไหน อย่างไรก็ตาม ความรู้เกี่ยวกับ d เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการกำหนด (ฟื้นฟู) ความก้าวหน้าทั้งหมด คุณจำเป็นต้องรู้ตัวเลขอีกหนึ่งตัว ซึ่งสามารถเป็นองค์ประกอบใดๆ ของอนุกรมที่กำลังพิจารณาอยู่ เช่น 4, a10 แต่ตามกฎแล้ว ตัวเลขแรกจะถูกใช้ นั่นคือ 1

สูตรสำหรับกำหนดองค์ประกอบของความก้าวหน้า

โดยทั่วไปแล้ว ข้อมูลข้างต้นก็เพียงพอที่จะดำเนินการตัดสินใจได้แล้ว งานเฉพาะ. อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะให้การก้าวหน้าทางเลขคณิต และจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่าง เรานำเสนอสูตรที่มีประโยชน์สองสามสูตร ซึ่งจะช่วยอำนวยความสะดวกในกระบวนการแก้ปัญหาที่ตามมา

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าองค์ประกอบใด ๆ ของลำดับที่มีหมายเลข n สามารถพบได้ดังนี้:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

อันที่จริง ทุกคนสามารถตรวจสอบสูตรนี้ได้ด้วยการแจงนับอย่างง่าย: หากคุณแทนที่ n = 1 คุณจะได้องค์ประกอบแรก หากคุณแทนที่ n = 2 นิพจน์จะให้ผลรวมของตัวเลขตัวแรกและส่วนต่าง เป็นต้น .

เงื่อนไขของปัญหามากมายถูกรวบรวมในลักษณะที่สำหรับคู่ของตัวเลขที่รู้จักซึ่งตัวเลขที่ได้รับในลำดับนั้นจำเป็นต้องคืนค่าชุดตัวเลขทั้งหมด (ค้นหาความแตกต่างและองค์ประกอบแรก) ตอนนี้เราจะแก้ปัญหานี้ด้วยวิธีทั่วไป

สมมติว่าเราได้รับสององค์ประกอบที่มีตัวเลข n และ m โดยใช้สูตรที่ได้รับข้างต้น เราสามารถจัดระบบสมการสองสมการ:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

ในการหาปริมาณที่ไม่รู้จัก เราใช้ Known เคล็ดลับง่ายๆวิธีแก้ปัญหาของระบบดังกล่าว: เราลบส่วนซ้ายและขวาเป็นคู่ในขณะที่ความเท่าเทียมกันยังคงใช้ได้ เรามี:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

ดังนั้นเราจึงได้กำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักออกไปหนึ่งรายการ (a 1) ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์สุดท้ายเพื่อกำหนด d:

d = (a n - a m) / (n - m) โดยที่ n > m

เราได้รับสูตรที่ง่ายมาก: เพื่อคำนวณผลต่าง d ตามเงื่อนไขของปัญหา จำเป็นต้องใช้อัตราส่วนของความแตกต่างระหว่างองค์ประกอบเองและหมายเลขซีเรียลเท่านั้น ควรเน้นที่หนึ่ง จุดสำคัญหมายเหตุ: ความแตกต่างเกิดขึ้นระหว่างสมาชิกที่ "สูงกว่า" และ "ต่ำกว่า" นั่นคือ n > m ("สูงกว่า" หมายถึงยืนอยู่ไกลจากจุดเริ่มต้นของลำดับ ค่าสัมบูรณ์ของมันสามารถมากกว่าหรือน้อยกว่า "น้อง" " องค์ประกอบ) .

นิพจน์สำหรับความแตกต่าง d ของความคืบหน้าควรแทนที่ในสมการใดๆ ที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้ค่าของเทอมแรก

ในยุคของการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ เด็กนักเรียนจำนวนมากพยายามหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับงานของตนบนอินเทอร์เน็ต ดังนั้นคำถามประเภทนี้จึงมักเกิดขึ้น: ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทางออนไลน์ เมื่อมีการร้องขอ เสิร์ชเอ็นจิ้นจะแสดงหน้าเว็บจำนวนหนึ่ง โดยไปที่คุณจะต้องป้อนข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไข (อาจเป็นสองสมาชิกของความคืบหน้าหรือผลรวมของบางส่วน) และรับคำตอบทันที อย่างไรก็ตาม แนวทางการแก้ปัญหาดังกล่าวไม่เกิดผลในแง่ของการพัฒนานักเรียนและการทำความเข้าใจสาระสำคัญของงานที่ได้รับมอบหมาย

วิธีแก้ปัญหาโดยไม่ต้องใช้สูตร

มาแก้ปัญหาแรกกัน ในขณะที่เราจะไม่ใช้สูตรใด ๆ ข้างต้น ให้องค์ประกอบของชุดข้อมูล: a6 = 3, a9 = 18. ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

องค์ประกอบที่รู้จักอยู่ใกล้กันเป็นแถว ต้องบวกส่วนต่างของตัวที่เล็กที่สุดกี่ครั้งถึงจะได้ส่วนที่ใหญ่ที่สุด? สามครั้ง (ครั้งแรกที่เพิ่ม d เราได้องค์ประกอบที่ 7 ครั้งที่สอง - ที่แปดในที่สุดครั้งที่สาม - ที่เก้า) ต้องบวกเลขอะไรถึงสามครั้งจึงจะได้ 18 นี่คือหมายเลขห้า จริงๆ:

ดังนั้นความแตกต่างที่ไม่ทราบค่าคือ d = 5

แน่นอน การแก้ปัญหาสามารถทำได้โดยใช้สูตรที่เหมาะสม แต่ไม่ได้ทำโดยเจตนา คำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับการแก้ปัญหาควรเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนและชัดเจนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

งานที่คล้ายกับงานก่อนหน้า

ทีนี้มาแก้ปัญหาที่คล้ายกันกัน แต่เปลี่ยนข้อมูลอินพุต ดังนั้น คุณควรหาว่า a3 = 2, a9 = 19

แน่นอนคุณสามารถใช้วิธีการแก้ "บนหน้าผาก" ได้อีกครั้ง แต่เนื่องจากองค์ประกอบของซีรีส์ได้รับซึ่งค่อนข้างห่างกัน วิธีการดังกล่าวจึงไม่สะดวกนัก แต่การใช้สูตรผลลัพธ์จะนำเราไปสู่คำตอบอย่างรวดเร็ว:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

ที่นี่เราได้ปัดเศษตัวเลขสุดท้าย การปัดเศษนี้ทำให้เกิดข้อผิดพลาดมากน้อยเพียงใดโดยการตรวจสอบผลลัพธ์:

9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

ผลลัพธ์นี้แตกต่างเพียง 0.1% จากค่าที่ระบุในเงื่อนไข ดังนั้นการปัดเศษเป็นร้อยจึงถือได้ ทางเลือกที่ประสบความสำเร็จ.

ภารกิจการนำสูตรสำหรับสมาชิก

ลองพิจารณาตัวอย่างคลาสสิกของปัญหาการหา d ที่ไม่รู้จัก: ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า a1 = 12, a5 = 40

เมื่อให้ตัวเลขสองตัวของลำดับพีชคณิตที่ไม่รู้จัก และหนึ่งในนั้นคือองค์ประกอบ a 1 คุณไม่จำเป็นต้องคิดนาน แต่คุณควรใช้สูตรสำหรับสมาชิก n ทันที ในกรณีนี้ เรามี:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

เราได้ จำนวนที่แน่นอนเมื่อทำการหารจึงไม่สมเหตุสมผลที่จะตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่คำนวณได้ดังที่ทำในย่อหน้าก่อนหน้า

มาแก้ปัญหาที่คล้ายกันกัน: เราควรหาความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า a1 = 16, a8 = 37

เราใช้วิธีการที่คล้ายกันกับวิธีก่อนหน้าและรับ:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

อะไรอีกบ้างที่คุณควรรู้เกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

นอกเหนือจากภารกิจค้นหาความแตกต่างที่ไม่รู้จักหรือ องค์ประกอบส่วนบุคคลมักจำเป็นต้องแก้ปัญหาผลรวมของพจน์แรกของลำดับ การพิจารณาปัญหาเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหัวข้อบทความ อย่างไรก็ตาม เพื่อความสมบูรณ์ของข้อมูล เราขอเสนอ สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของ n จำนวนชุด:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

ระดับแรก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีรายละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับตัวเลข

มานั่งลงแล้วเริ่มเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้และมีจำนวนเท่าใดก็ได้ (ในกรณีของเราคือตัวเลข) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขกี่ตัว เราก็สามารถบอกได้เสมอว่าตัวเลขใดเป็นตัวแรก ตัวที่สอง และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงตัวสุดท้าย นั่นคือ เราสามารถนับเลขได้ นี่คือตัวอย่าง ลำดับเลข:

ลำดับตัวเลข
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดเป็นหมายเลขเฉพาะสำหรับหมายเลขลำดับเดียวเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ ตัวเลขที่สอง (เช่น ตัวเลข -th) จะเหมือนกันเสมอ
หมายเลขที่มีตัวเลขเรียกว่าสมาชิกลำดับที่ -

เรามักจะเรียกตัวอักษรบางตัวในลำดับทั้งหมด (เช่น) และสมาชิกของลำดับนี้แต่ละตัว - ตัวอักษรตัวเดียวกันที่มีดัชนีเท่ากับจำนวนของสมาชิกนี้: .

ในกรณีของเรา:

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลขซึ่งผลต่างระหว่างจำนวนที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน
ตัวอย่างเช่น:

เป็นต้น
ลำดับตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
คำว่า "ความก้าวหน้า" ได้รับการแนะนำโดยนักเขียนชาวโรมันชื่อ Boethius ในช่วงต้นศตวรรษที่ 6 และเป็นที่เข้าใจกันมากขึ้น ความหมายกว้างเป็นลำดับจำนวนอนันต์ ชื่อ "เลขคณิต" ถูกย้ายจากทฤษฎีสัดส่วนต่อเนื่องซึ่งชาวกรีกโบราณมีส่วนร่วม

นี่คือลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวมีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้า บวกด้วยตัวเลขเดียวกัน ตัวเลขนี้เรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และแสดงไว้

พยายามกำหนดว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และลำดับใดไม่ใช่:

ก)
ข)
ค)
ง)

เข้าใจแล้ว? เปรียบเทียบคำตอบของเรา:
คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - b, c.
ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - a, d.

กลับไปที่ความคืบหน้าที่กำหนด () และพยายามหาค่าของสมาชิก th มีอยู่ สองวิธีค้นหา

1. วิธีการ

เราสามารถเพิ่มค่าก่อนหน้าของหมายเลขความคืบหน้าได้จนกว่าเราจะถึงระยะที่ th ของความก้าวหน้า เป็นการดีที่เราไม่มีอะไรจะสรุปมาก - เพียงสามค่า:

ดังนั้นสมาชิกที่ - ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

2. วิธีการ

เกิดอะไรขึ้นถ้าเราต้องการหาค่าของระยะที่ก้าวหน้า? ผลรวมจะใช้เวลามากกว่าหนึ่งชั่วโมง และไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่เราจะไม่ทำผิดพลาดเมื่อเพิ่มตัวเลข
แน่นอน นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นวิธีที่คุณไม่จำเป็นต้องเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ให้กับค่าก่อนหน้า ดูรูปภาพที่วาดอย่างใกล้ชิด ... แน่นอนว่าคุณสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างแล้ว นั่นคือ:

ตัวอย่างเช่น มาดูกันว่าค่าของสมาชิก -th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง:


กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

พยายามหาค่าสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยวิธีนี้อย่างอิสระ

คำนวณ? เปรียบเทียบรายการของคุณกับคำตอบ:

สังเกตว่าคุณได้ตัวเลขเหมือนกันทุกประการกับวิธีการก่อนหน้านี้ เมื่อเราเพิ่มสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่องให้กับค่าก่อนหน้า
มาลอง "ลดบุคลิก" กัน สูตรนี้- พาเธอไปที่ แบบฟอร์มทั่วไปและรับ:

สมการความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตกำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง

เพิ่มขึ้น- ความก้าวหน้าซึ่งแต่ละค่าที่ตามมาของเงื่อนไขมีค่ามากกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

จากมากไปน้อย- ความคืบหน้าซึ่งแต่ละค่าที่ตามมาของเงื่อนไขมีค่าน้อยกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

สูตรที่ได้รับใช้ในการคำนวณเงื่อนไขทั้งในแง่ที่เพิ่มขึ้นและลดลงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ลองตรวจสอบในทางปฏิบัติ
เราได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย ตัวเลขต่อไปนี้: ลองดูว่าเลข -th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้จะเป็นอย่างไรถ้าเราใช้สูตรของเราในการคำนวณ:

ตั้งแต่นั้นมา:

ดังนั้นเราจึงมั่นใจว่าสูตรนี้ใช้ได้ทั้งในการลดลงและความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น
พยายามหาสมาชิก -th และ -th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ด้วยตัวคุณเอง

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

คุณสมบัติความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มาทำให้งานซับซ้อนกันเถอะ - เราได้รับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
สมมติว่าเราได้รับเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หาค่า
พูดง่าย ๆ แล้วเริ่มนับตามสูตรที่คุณรู้อยู่แล้ว:

ให้, แล้ว:

ถูกต้องที่สุด. ปรากฎว่าเราหาเจอก่อนแล้วค่อยบวกเลขแรกแล้วได้สิ่งที่เรากำลังมองหาอยู่ หากความก้าวหน้าถูกแทนด้วยค่าเล็กน้อย ก็ไม่มีอะไรซับซ้อน แต่ถ้าเราได้รับตัวเลขในเงื่อนไขล่ะ? เห็นด้วย มีความเป็นไปได้ที่จะทำผิดพลาดในการคำนวณ
ลองคิดดูว่า เป็นไปได้ไหมที่จะแก้ปัญหานี้ในขั้นตอนเดียวโดยใช้สูตรใดก็ได้? แน่นอน ใช่ และเราจะพยายามนำมันออกมาเดี๋ยวนี้

ให้ระบุเทอมที่ต้องการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เนื่องจากเราทราบสูตรในการค้นหา - นี่คือสูตรเดียวกับที่เราได้รับในตอนเริ่มต้น:
, แล้ว:

• สมาชิกก่อนหน้าของความก้าวหน้าคือ:
• ระยะต่อไปของความก้าวหน้าคือ:

มารวมสมาชิกก่อนหน้าและถัดไปของความคืบหน้า:

ปรากฎว่าผลรวมของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมาของความก้าวหน้าเป็นสองเท่าของมูลค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าที่อยู่ระหว่างพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการหาค่าของสมาชิกความก้าวหน้าที่มีค่าก่อนหน้าและค่าต่อเนื่องที่ทราบ จำเป็นต้องเพิ่มและหารด้วย

ถูกต้อง เราได้หมายเลขเดียวกัน มาแก้ไขวัสดุกัน คำนวณค่าความก้าวหน้าด้วยตัวเองเพราะไม่ยากเลย

ทำได้ดี! คุณรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้า! ยังคงต้องค้นหาสูตรเพียงสูตรเดียว ซึ่งตามตำนานเล่าว่าหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล "ราชาแห่งนักคณิตศาสตร์" - Karl Gauss อนุมานได้ง่ายสำหรับตัวเขาเอง ...

เมื่อ Carl Gauss อายุ 9 ขวบ ครูกำลังยุ่งอยู่กับการตรวจสอบงานของนักเรียนจากชั้นเรียนอื่น ถามงานต่อไปนี้ในบทเรียน: "คำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจากมากถึง (ตามแหล่งอื่น ๆ ขึ้นไป) รวม " อะไรที่ทำให้ครูแปลกใจเมื่อหนึ่งในนักเรียนของเขา (คือ Karl Gauss) ให้คำตอบที่ถูกต้องกับงานหลังจากผ่านไปหนึ่งนาทีในขณะที่เพื่อนร่วมชั้นส่วนใหญ่ที่บ้าระห่ำหลังจากการคำนวณเป็นเวลานานได้รับผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง ...

Young Carl Gauss สังเกตเห็นรูปแบบที่คุณสังเกตเห็นได้ง่าย
สมมุติว่าเรามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก -ti: เราต้องหาผลรวมของสมาชิกที่ให้มาของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แน่นอน เราสามารถรวมค่าทั้งหมดได้ด้วยตนเอง แต่ถ้าเราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของเงื่อนไขในงานตามที่เกาส์กำลังมองหาล่ะ

มาบรรยายถึงความก้าวหน้าที่มอบให้เรา ดูตัวเลขที่เน้นสีอย่างใกล้ชิดและพยายามดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ กับตัวเลขเหล่านี้


พยายาม? คุณสังเกตเห็นอะไร ถูกต้อง! ผลรวมของพวกเขาเท่ากัน

ตอนนี้ตอบคำถามว่าจะมีคู่ดังกล่าวกี่คู่ในความคืบหน้า? แน่นอนว่าครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมดนั่นคือ
จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของสมาชิกสองคนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นั้นเท่ากัน และคู่ที่เท่ากันที่คล้ายกัน เราจะได้ว่า ยอดรวมเท่ากับ:
.
ดังนั้น สูตรสำหรับผลรวมของเทอมแรกของการคืบหน้าเลขคณิตจะเป็นดังนี้:

ในบางปัญหา เราไม่รู้คำศัพท์ th แต่เรารู้ความแตกต่างของความก้าวหน้า ลองแทนที่ในสูตรผลรวมสูตรของสมาชิก th
คุณได้อะไร

ทำได้ดี! ตอนนี้ กลับมาที่ปัญหาของ Carl Gauss กัน: คำนวณด้วยตัวเองว่าผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก -th คืออะไร และผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก -th

คุณได้รับเท่าไหร่?
เกาส์กลับกลายเป็นว่าผลรวมของเทอมเท่ากัน และผลรวมของเทอม นั่นเป็นวิธีที่คุณตัดสินใจ?

ในความเป็นจริง สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Diophantus ในศตวรรษที่ 3 และตลอดเวลานี้ คนที่มีไหวพริบใช้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีพลังและหลัก
ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพ อียิปต์โบราณและสถานที่ก่อสร้างที่ใหญ่ที่สุดในเวลานั้น - การสร้างปิรามิด ... รูปแสดงด้านใดด้านหนึ่ง

ความก้าวหน้าที่นี่ที่คุณพูดอยู่ที่ไหน ดูอย่างระมัดระวังและค้นหารูปแบบในจำนวนบล็อกทรายในแต่ละแถวของผนังพีระมิด


ทำไมไม่ก้าวหน้าเลขคณิต? นับจำนวนบล็อกที่จำเป็นในการสร้างกำแพงหนึ่งถ้าวางอิฐบล็อกไว้ในฐาน ฉันหวังว่าคุณจะไม่นับโดยเลื่อนนิ้วของคุณผ่านจอภาพ คุณจำสูตรสุดท้ายและทุกสิ่งที่เราพูดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่

ในกรณีนี้ ความคืบหน้าจะมีลักษณะดังนี้:
ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
แทนที่ข้อมูลของเราในสูตรสุดท้าย (เรานับจำนวนบล็อกใน 2 วิธี)

วิธีที่ 1

วิธีที่ 2

และตอนนี้คุณสามารถคำนวณบนหน้าจอได้ด้วย: เปรียบเทียบค่าที่ได้รับกับจำนวนบล็อกที่อยู่ในปิรามิดของเรา ตกลงไหม? ดีมาก คุณเข้าใจผลรวมของเทอมที่ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว
แน่นอนคุณไม่สามารถสร้างปิรามิดจากบล็อกที่ฐาน แต่จาก? ลองคำนวณว่าต้องใช้อิฐทรายกี่ก้อนเพื่อสร้างกำแพงตามเงื่อนไขนี้
คุณจัดการ?
คำตอบที่ถูกต้องคือบล็อก:

ออกกำลังกาย

งาน:

1. Masha กำลังฟิตสำหรับฤดูร้อน ทุกวันเธอเพิ่มจำนวน squats โดย Masha จะหมอบกี่ครั้งในสัปดาห์ถ้าเธอทำ squats ในการออกกำลังกายครั้งแรก
2. ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่มีเป็นเท่าใด
3. เมื่อเก็บท่อนซุง คนตัดไม้จะเรียงซ้อนกันในลักษณะที่แต่ละอัน ชั้นบนมีบันทึกน้อยกว่าหนึ่งบันทึกก่อนหน้านี้ อิฐหนึ่งก้อนมีท่อนซุงกี่ท่อน ถ้าฐานของอิฐเป็นท่อนซุง

คำตอบ:

1. ให้เรากำหนดพารามิเตอร์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้
   (สัปดาห์ = วัน).

   ตอบ:ในสองสัปดาห์ Masha ควรหมอบวันละครั้ง

2. อันดับแรก เลขคี่, เบอร์สุดท้าย.
   ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
   อย่างไรก็ตาม จำนวนเลขคี่ใน - ครึ่งหนึ่ง ให้ตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้โดยใช้สูตรเพื่อค้นหาสมาชิก -th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

   ตัวเลขมีเลขคี่
   เราแทนที่ข้อมูลที่มีอยู่ลงในสูตร:

   ตอบ:ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดมีค่าเท่ากับ

3. จำปัญหาเกี่ยวกับปิรามิด สำหรับกรณีของเรา a เนื่องจากแต่ละเลเยอร์บนสุดถูกลดขนาดลงหนึ่งล็อก จึงมีเพียงเลเยอร์จำนวนหนึ่งเท่านั้น
   แทนที่ข้อมูลในสูตร:

   ตอบ:มีท่อนซุงอยู่ในอิฐ

สรุป

1. - ลำดับตัวเลขที่ผลต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน มันเพิ่มขึ้นและลดลง
2. หาสูตรสมาชิก th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนโดยสูตร - โดยที่คือจำนวนตัวเลขในการก้าวหน้า
3. คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- - ที่ไหน - จำนวนตัวเลขในความคืบหน้า
4. ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ในสองวิธี:
   
   โดยที่จำนวนของค่า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับเฉลี่ย

ลำดับตัวเลข

มานั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้และสามารถมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ แต่คุณสามารถบอกได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันแรก อันไหนที่สอง และต่อๆ ไป นั่นคือเราสามารถนับมันได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข

ลำดับตัวเลขคือชุดของตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละหมายเลขสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติที่แน่นอน และมีเพียงตัวเดียวเท่านั้น และเราจะไม่กำหนดหมายเลขนี้ให้กับหมายเลขอื่นจากชุดนี้

หมายเลขที่มีตัวเลขเรียกว่าสมาชิกลำดับที่ -

เรามักจะเรียกตัวอักษรบางตัวในลำดับทั้งหมด (เช่น) และสมาชิกของลำดับนี้แต่ละตัว - ตัวอักษรตัวเดียวกันที่มีดัชนีเท่ากับจำนวนของสมาชิกนี้: .

จะสะดวกมากถ้าสมาชิก -th ของลำดับสามารถกำหนดได้โดยสูตรบางสูตร ตัวอย่างเช่น สูตร

กำหนดลำดับ:

และสูตรเป็นลำดับต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับ (เทอมแรกที่นี่มีค่าเท่ากัน และส่วนต่าง) หรือ (ความแตกต่าง).

สูตรเทอมที่ n

เราเรียกสูตรที่เกิดซ้ำซึ่งในการค้นหาเทอม -th คุณจำเป็นต้องรู้คำก่อนหน้าหรือหลายคำก่อนหน้า:

ในการหาตัวอย่างเช่นระยะที่ th ของความก้าวหน้าโดยใช้สูตรดังกล่าว เราต้องคำนวณเก้าก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเช่นให้ แล้ว:

ทีนี้ก็ชัดเจนแล้วว่าสูตรคืออะไร?

ในแต่ละบรรทัด เราบวก คูณด้วยจำนวนหนึ่ง เพื่ออะไร? ง่ายมาก: นี่คือจำนวนของสมาชิกปัจจุบันลบ:

สบายใจขึ้นเยอะแล้วใช่ไหม? เราตรวจสอบ:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้หาสูตรสำหรับเทอมที่ n และหาเทอมที่ร้อย

วิธีการแก้:

สมาชิกคนแรกเท่ากัน และความแตกต่างคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:

(หลังจากทั้งหมดเรียกว่าความแตกต่างเพราะมันเท่ากับความแตกต่างของสมาชิกที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้า)

ดังนั้นสูตรคือ:

จากนั้นเทอมที่ร้อยคือ:

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจาก ถึง เป็นเท่าใด

ตามตำนานเล่าว่า นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ คาร์ล เกาส์ ซึ่งเป็นเด็กชายอายุ 9 ขวบ คำนวณจำนวนนี้ในเวลาไม่กี่นาที เขาสังเกตว่าผลรวมของตัวเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายเท่ากัน ผลรวมของตัวที่สองและตัวสุดท้ายจะเท่ากัน ผลรวมของตัวที่สามและตัวที่ 3 จากจุดสิ้นสุดจะเท่ากัน เป็นต้น มีกี่คู่ดังกล่าว? ถูกต้อง ครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมด นั่นคือ ดังนั้น,

สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของเทอมแรกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ จะเป็น:

ตัวอย่าง:
หาผลรวมของทวีคูณสองหลักทั้งหมด

วิธีการแก้:

ตัวเลขตัวแรกคือนี่ แต่ละรายการจะได้รับโดยการเพิ่มตัวเลขไปยังหมายเลขก่อนหน้า ดังนั้นจำนวนที่น่าสนใจสำหรับเราจึงก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเทอมแรกและส่วนต่าง

สูตรสำหรับระยะที่สำหรับความก้าวหน้านี้คือ:

มีเงื่อนไขกี่ข้อในการดำเนินการหากทั้งหมดต้องเป็นตัวเลขสองหลัก

ง่ายมาก: .

ระยะสุดท้ายของความก้าวหน้าจะเท่ากัน แล้วผลรวม:

ตอบ: .

ตอนนี้ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1. ทุกวันนักกีฬาจะวิ่งมากกว่าวันก่อนหน้า 1 เมตร เขาจะวิ่งกี่กิโลเมตรในสัปดาห์ถ้าเขาวิ่ง km m ในวันแรก?
2. นักปั่นจักรยานขี่ไมล์ต่อวันมากกว่าครั้งก่อน ในวันแรกเขาเดินทางกม. เขาต้องขับรถกี่วันถึงจะครบกิโลเมตร? วันสุดท้ายของการเดินทางเขาจะเดินทางกี่กิโลเมตร?
3. ราคาตู้เย็นในร้านค้าลดลงเท่ากันทุกปี กำหนดราคาตู้เย็นที่ลดลงในแต่ละปีหากขายรูเบิลหกปีต่อมาขายรูเบิล

คำตอบ:

1. สิ่งที่สำคัญที่สุดที่นี่คือการรับรู้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และกำหนดพารามิเตอร์ของมัน ในกรณีนี้ (สัปดาห์ = วัน) คุณต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้านี้:
   .
   ตอบ:
2. นี่คือสิ่งที่ได้รับ: มันเป็นสิ่งจำเป็นในการค้นหา
   แน่นอน คุณต้องใช้สูตรผลรวมเดียวกับในปัญหาก่อนหน้านี้:
   .
   แทนค่า:

   เห็นได้ชัดว่ารากไม่พอดี ดังนั้นคำตอบ
   ลองคำนวณระยะทางที่เดินทางในวันสุดท้ายโดยใช้สูตรของเทอมที่ -th:
   (กม.).
   ตอบ:

3. ที่ให้ไว้: . หา: .
   ไม่ง่ายกว่านี้:
   (ถู).
   ตอบ:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

นี่คือลำดับตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันจะเท่ากันและเท่ากัน

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้น () และลดลง ()

ตัวอย่างเช่น:

สูตรการหาสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ถูกเขียนเป็นสูตร โดยที่คือจำนวนตัวเลขในการคืบหน้า

คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ทำให้ง่ายต่อการค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าหากทราบสมาชิกใกล้เคียง - จำนวนของตัวเลขในความคืบหน้า

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มีสองวิธีในการหาผลรวม:

จำนวนค่าอยู่ที่ไหน

จำนวนค่าอยู่ที่ไหน

มีการศึกษาหัวข้อ "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์" ใน หลักสูตรทั่วไปพีชคณิตในโรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 หัวข้อนี้มีความสำคัญสำหรับการศึกษาเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอนุกรมจำนวน ในบทความนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่าง ตลอดจนงานทั่วไปที่เด็กนักเรียนอาจเผชิญ

แนวคิดของความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิต

ความก้าวหน้าเชิงตัวเลขคือลำดับของตัวเลขซึ่งแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาสามารถหาได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าถ้าบางส่วน กฎหมายคณิตศาสตร์. รู้จักกันสองคน แบบง่ายๆความก้าวหน้า: เรขาคณิตและเลขคณิตซึ่งเรียกอีกอย่างว่าพีชคณิต มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกันดีกว่า

ลองนึกภาพบ้าง จำนวนตรรกยะระบุด้วยสัญลักษณ์ a 1 โดยที่ดัชนีระบุหมายเลขลำดับในชุดที่พิจารณา ลองบวกจำนวนอื่นใน 1, ลองแสดงว่า d จากนั้นองค์ประกอบที่สองของชุดข้อมูลสามารถสะท้อนได้ดังนี้: a 2 = a 1 + d ทีนี้บวก d อีกครั้ง เราได้: a 3 = a 2 + d ต่อจากนี้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์คุณสามารถรับชุดตัวเลขทั้งหมดได้ ซึ่งจะเรียกว่าการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ดังที่เข้าใจได้จากด้านบน ในการหาองค์ประกอบที่ n ของลำดับนี้ คุณต้องใช้สูตร: a n \u003d a 1 + (n-1) * d อันที่จริง การแทนที่ n=1 ลงในนิพจน์ เราจะได้ 1 = a 1 ถ้า n = 2 สูตรจะมีความหมายว่า a 2 = a 1 + 1*d เป็นต้น

ตัวอย่างเช่น หากผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 5 และ a 1 \u003d 1 หมายความว่าชุดตัวเลขของประเภทที่เป็นปัญหาจะมีลักษณะดังนี้: 1, 6, 11, 16, 21, ... อย่างคุณ เห็นว่าสมาชิกแต่ละคนมีมากกว่าก่อนหน้านี้ 5 คน

สูตรความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

จากคำจำกัดความข้างต้นของชุดตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณา คุณจำเป็นต้องรู้ตัวเลขสองตัว: a 1 และ d เพื่อกำหนด หลังเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้านี้ โดยจะกำหนดพฤติกรรมของซีรีส์ทั้งหมดโดยเฉพาะ อันที่จริง ถ้า d เป็นค่าบวก ชุดตัวเลขจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง ในทางกลับกัน ในกรณีของค่าลบ d ตัวเลขในชุดจะเพิ่มขึ้นเฉพาะโมดูโล ในขณะที่ค่าสัมบูรณ์จะลดลงเมื่อจำนวน n เพิ่มขึ้น

ความแตกต่างระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร? พิจารณาสองสูตรหลักที่ใช้ในการคำนวณค่านี้:

1. d = a n+1 -a n สูตรนี้เป็นไปตามคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่พิจารณาโดยตรง
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1) นิพจน์นี้ได้มาจากการแสดง d จากสูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ โปรดทราบว่านิพจน์นี้จะไม่ทราบแน่ชัด (0/0) ถ้า n=1 เนื่องจากจำเป็นต้องรู้อย่างน้อย 2 องค์ประกอบของซีรีส์เพื่อกำหนดความแตกต่าง

สูตรพื้นฐานทั้งสองนี้ใช้เพื่อแก้ปัญหาใดๆ ในการค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า อย่างไรก็ตาม มีอีกสูตรหนึ่งที่คุณต้องรู้ด้วย

ผลรวมขององค์ประกอบแรก

สูตรซึ่งสามารถใช้เพื่อกำหนดผลรวมของสมาชิกจำนวนเท่าใดก็ได้ของความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิตตามหลักฐานทางประวัติศาสตร์ ได้มาจาก "เจ้าชาย" แห่งคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ XVIII เป็นครั้งแรก คาร์ล เกาส์ นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน ในขณะที่ยังเป็นเด็กชายใน โรงเรียนประถมโรงเรียนประจำหมู่บ้าน สังเกตว่า ในการบวกจำนวนธรรมชาติในชุดตั้งแต่ 1 ถึง 100 คุณต้องรวมองค์ประกอบแรกและองค์ประกอบสุดท้ายก่อน (ค่าผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมขององค์ประกอบสุดท้ายและองค์ประกอบที่สอง องค์ประกอบสุดท้าย และองค์ประกอบที่สาม และอื่นๆ) จากนั้นจำนวนนี้ควรคูณด้วยจำนวนของจำนวนเหล่านี้ นั่นคือ 50

สูตรที่สะท้อนผลลัพธ์ที่ระบุไว้ในตัวอย่างหนึ่งๆ สามารถสรุปให้เป็นกรณีทั่วไปได้ จะมีลักษณะดังนี้: S n = n/2*(a n + a 1) โปรดทราบว่าในการค้นหาค่าที่ระบุ ไม่จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับความแตกต่าง d หากทราบสมาชิกสองคนของความก้าวหน้า (a n และ a 1)

ตัวอย่าง # 1 กำหนดความแตกต่างโดยรู้สองเทอมของอนุกรม a1 และ an

เราจะแสดงวิธีการใช้สูตรที่ระบุไว้ข้างต้นในบทความ ให้ยกตัวอย่างง่ายๆ: ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่เป็นที่รู้จัก มีความจำเป็นต้องกำหนดว่าจะเท่ากับเท่าใดหาก 13 \u003d -5.6 และ 1 \u003d -12.1

เนื่องจากเราทราบค่าของสององค์ประกอบของลำดับตัวเลข และหนึ่งในนั้นคือตัวเลขแรก เราจึงสามารถใช้สูตรหมายเลข 2 เพื่อกำหนดความแตกต่าง d ได้ เรามี: d \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167 ในนิพจน์ เราใช้ค่า n=13 เนื่องจากสมาชิกที่มีเลขลำดับนี้เป็นที่รู้จัก

ผลต่างบ่งชี้ว่าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้น แม้ว่าองค์ประกอบที่กำหนดในสภาพของปัญหาจะมี ความหมายเชิงลบ. จะเห็นได้ว่า 13 >a 1 แม้ว่า |a 13 |<|a 1 |.

ตัวอย่าง # 2 เงื่อนไขความก้าวหน้าเชิงบวกในตัวอย่าง #1

ลองใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวอย่างก่อนหน้านี้เพื่อแก้ปัญหาใหม่ มีสูตรดังนี้ องค์ประกอบของความก้าวหน้าในตัวอย่างที่ 1 เริ่มหาค่าบวกจากเลขลำดับใด

ดังที่แสดงไว้ ความก้าวหน้าที่ a 1 = -12.1 และ d = 0.54167 กำลังเพิ่มขึ้น ดังนั้นจากจำนวนหนึ่ง ตัวเลขจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น ในการหาจำนวน n นี้ จำเป็นต้องแก้สมการง่าย ๆ ซึ่งเขียนทางคณิตศาสตร์ดังนี้: a n>0 หรือโดยใช้สูตรที่เหมาะสม เราจะเขียนความไม่เท่าเทียมกันใหม่: a 1 + (n-1)*d>0 จำเป็นต้องค้นหา n ที่ไม่รู้จักมาแสดงกันเถอะ: n> -1 * a 1 / d + 1 ตอนนี้มันยังคงแทนที่ ค่าที่รู้จักความแตกต่างและเทอมแรกของลำดับ เราได้รับ: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 หรือ n>23.338 เนื่องจาก n รับได้เฉพาะค่าจำนวนเต็ม มันจึงตามมาจากอสมการที่ได้รับว่าพจน์ใดๆ ของอนุกรมที่มีตัวเลขมากกว่า 23 จะเป็นค่าบวก

ลองตรวจสอบคำตอบของเราโดยใช้สูตรด้านบนเพื่อคำนวณองค์ประกอบที่ 23 และ 24 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ เรามี: a 23 \u003d -12.1 + 22 * ​​​​0.54167 \u003d -0.18326 (จำนวนลบ); 24 \u003d -12.1 + 23 * 0.54167 \u003d 0.3584 (ค่าบวก) ดังนั้น ผลลัพธ์ที่ได้จึงถูกต้อง: เริ่มตั้งแต่ n=24 สมาชิกทั้งหมดของชุดตัวเลขจะมากกว่าศูนย์

ตัวอย่าง #3 กี่บันทึกจะพอดี?

นี่คือปัญหาที่น่าสนใจประการหนึ่ง: ในระหว่างการตัดไม้ ได้มีการตัดสินใจวางท่อนซุงที่ตัดแล้วทับซ้อนกันดังแสดงในรูปด้านล่าง วิธีนี้สามารถซ้อนบันทึกได้กี่รายการ โดยรู้ว่าจะมีทั้งหมด 10 แถว

ด้วยวิธีบันทึกการพับแบบนี้ จะสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: แต่ละแถวที่ตามมาจะมีบันทึกน้อยกว่าบันทึกก่อนหน้าหนึ่งรายการ นั่นคือ มีความก้าวหน้าเกี่ยวกับพีชคณิต ซึ่งความแตกต่างคือ d=1 สมมติว่าจำนวนบันทึกในแต่ละแถวเป็นสมาชิกของความก้าวหน้านี้ และพิจารณาด้วยว่า 1 = 1 (มีเพียงบันทึกเดียวเท่านั้นที่จะพอดีกับด้านบนสุด) เราจะพบหมายเลข 10 เรามี: a 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10 นั่นคือในแถวที่ 10 ซึ่งอยู่บนพื้นจะมี 10 บันทึก

จำนวนทั้งหมดของการก่อสร้าง "พีระมิด" นี้สามารถหาได้โดยใช้สูตรเกาส์ เราได้รับ: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 บันทึก