องศา หมายถึง สามเหลี่ยมมุมแหลม ประเภทของสามเหลี่ยม: มุมฉาก, มุมแหลม, มุมป้าน

ตามกฎแล้ว สามเหลี่ยมสองรูปจะถือว่าคล้ายกันหากมีรูปร่างเหมือนกัน แม้ว่าจะมีขนาดต่างกัน หมุนหรือกลับหัวก็ตาม

การแสดงทางคณิตศาสตร์ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสองรูป A 1 B 1 C 1 และ A 2 B 2 C 2 ที่แสดงในรูปเขียนดังนี้:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

สามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกันถ้า:

1. มุมแต่ละมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับมุมที่สอดคล้องกันของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2และ ∠C1 = ∠C2

2. อัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งต่อด้านที่สัมพันธ์กันของอีกสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากัน:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. ความสัมพันธ์ สองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งไปยังด้านที่สัมพันธ์กันของอีกสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากันและในเวลาเดียวกัน
มุมระหว่างด้านเหล่านี้มีค่าเท่ากัน:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ และ $\angle A_1 = \angle A_2$
หรือ
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ และ $\angle B_1 = \angle B_2$
หรือ
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ และ $\angle C_1 = \angle C_2$

ไม่ควรสับสนสามเหลี่ยมที่คล้ายกันกับสามเหลี่ยมที่เท่ากัน สามเหลี่ยมที่เท่ากันจะมีความยาวด้านเท่ากัน ดังนั้นสำหรับสามเหลี่ยมที่เท่ากัน:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

จากนี้ไปสามเหลี่ยมเท่ากันทั้งหมดจะคล้ายกัน อย่างไรก็ตาม รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายคลึงกันไม่เท่ากันทั้งหมด

แม้ว่าสัญกรณ์ข้างต้นจะแสดงให้เห็นว่า ในการหาว่าสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเหมือนกันหรือไม่ เราจำเป็นต้องรู้ค่าของมุมทั้งสามหรือความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมแต่ละรูป เพื่อแก้ปัญหาสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ก็เพียงพอที่จะรู้ค่าสามค่าจากด้านบนสำหรับแต่ละสามเหลี่ยม ค่าเหล่านี้สามารถอยู่ในชุดค่าผสมต่างๆ:

1) สามมุมของสามเหลี่ยมแต่ละรูป (ไม่จำเป็นต้องรู้ความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยม)

หรืออย่างน้อย 2 มุมของสามเหลี่ยมหนึ่งต้องเท่ากับ 2 มุมของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง
เนื่องจากถ้า 2 มุมเท่ากัน มุมที่สามก็จะเท่ากัน (ค่าของมุมที่สามคือ 180 - มุม 1 - มุม2)

2) ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมแต่ละรูป (ไม่จำเป็นต้องรู้มุม)

3) ความยาวของทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน อันดับแรก เราจะพิจารณาปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎข้างต้นโดยตรง จากนั้นเราจะพูดถึงปัญหาเชิงปฏิบัติที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ปัญหาเชิงปฏิบัติกับสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ตัวอย่าง # 1: แสดงว่าสามเหลี่ยมสองรูปในรูปด้านล่างมีความคล้ายคลึงกัน

วิธีการแก้:
เนื่องจากทราบความยาวของด้านของสามเหลี่ยมทั้งสอง จึงสามารถใช้กฎข้อที่สองได้ที่นี่:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

ตัวอย่าง #2: แสดงว่าสามเหลี่ยมสองรูปที่ให้มามีความคล้ายคลึงกันและหาความยาวของด้าน PQและ PR.

วิธีการแก้:
∠A = ∠Pและ ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(เพราะ ∠C = 180 - ∠A - ∠B และ ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

จากนี้ไปสามเหลี่ยม ∆ABC และ ∆PQR จะคล้ายกัน เพราะเหตุนี้:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ และ
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

ตัวอย่าง #3: กำหนดความยาว ABในรูปสามเหลี่ยมนี้

วิธีการแก้:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDและ ∠Aสามัญ => สามเหลี่ยม ΔABCและ ΔADEมีความคล้ายคลึงกัน

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

ตัวอย่าง #4: กำหนดความยาว โฆษณา(x)รูปทรงเรขาคณิตในรูป

สามเหลี่ยม ∆ABC และ ∆CDE มีความคล้ายคลึงกันเพราะ AB || DE และพวกเขามีร่วมกัน มุมบนค.
เราเห็นว่าสามเหลี่ยมหนึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง อย่างไรก็ตาม เราต้องพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

AB || DE, ซีดี || AC และ BC || สหภาพยุโรป
∠BAC = ∠EDC และ ∠ABC = ∠DEC

ตามที่กล่าวมาและคำนึงถึงการมีอยู่ของมุมร่วม คเราสามารถระบุได้ว่ารูปสามเหลี่ยม ∆ABC และ ∆CDE มีความคล้ายคลึงกัน

เพราะเหตุนี้:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7) ) = $23.57
x = ไฟฟ้ากระแสสลับ - กระแสตรง = 23.57 - 15 = 8.57

ตัวอย่างการปฏิบัติ

ตัวอย่าง #5: โรงงานใช้สายพานลำเลียงแบบเอียงในการขนส่งสินค้าจากระดับ 1 ถึงระดับ 2 ซึ่งสูงกว่าระดับ 1 3 เมตร ดังแสดงในรูป สายพานลำเลียงแบบเอียงให้บริการจากปลายด้านหนึ่งไปยังระดับ 1 และจากปลายอีกด้านหนึ่งไปยังเวิร์กสเตชันที่อยู่ห่างจากจุดปฏิบัติการระดับ 1 เป็นระยะทาง 8 เมตร

โรงงานต้องการอัพเกรดสายพานลำเลียงเพื่อเข้าถึงระดับใหม่ ซึ่งสูงกว่าระดับ 1 ถึง 9 เมตร โดยยังคงรักษามุมของสายพานลำเลียงไว้

กำหนดระยะทางที่คุณต้องใช้ในการตั้งค่าสถานีงานใหม่ เพื่อให้สายพานลำเลียงทำงานที่ส่วนปลายใหม่ที่ระดับ 2 และคำนวณระยะทางเพิ่มเติมที่ผลิตภัณฑ์จะเคลื่อนที่เมื่อเคลื่อนไปยังระดับใหม่

วิธีการแก้:

ขั้นแรก ให้กำหนดจุดแยกแต่ละจุดด้วยตัวอักษรเฉพาะ ดังที่แสดงในภาพ

จากเหตุผลข้างต้นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสามารถสรุปได้ว่ารูปสามเหลี่ยม ∆ABC และ ∆ADE มีความคล้ายคลึงกัน เพราะเหตุนี้,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

ดังนั้นต้องติดตั้งจุดใหม่ในระยะ 16 เมตรจากจุดที่มีอยู่

และเนื่องจากโครงสร้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก เราจึงสามารถคำนวณระยะการเดินทางของผลิตภัณฑ์ได้ดังนี้

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 m$

ในทำนองเดียวกัน $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
คือระยะทางที่ผลิตภัณฑ์เดินทางเข้า ช่วงเวลานี้เมื่อเข้าสู่ระดับที่มีอยู่

y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 m
นี่คือระยะทางพิเศษที่ผลิตภัณฑ์ต้องเดินทางถึงระดับใหม่

ตัวอย่าง #6: สตีฟอยากไปเยี่ยมเพื่อนที่เพิ่งย้ายมา บ้านใหม่. แผนที่การเดินทางไปยังสตีฟและบ้านเพื่อนของเขา พร้อมด้วยระยะทางที่สตีฟรู้ได้แสดงไว้ในรูปภาพ ช่วยสตีฟไปที่บ้านเพื่อนของเขาด้วยวิธีที่สั้นที่สุด

วิธีการแก้:

แผนงานสามารถแสดงทางเรขาคณิตในรูปแบบต่อไปนี้ ดังแสดงในรูป

เราจะเห็นว่ารูปสามเหลี่ยม ∆ABC และ ∆CDE มีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้น:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

คำสั่งงานระบุว่า:

AB = 15 กม., AC = 13.13 กม., CD = 4.41 กม. และ DE = 5 กม.

โดยใช้ข้อมูลนี้ เราสามารถคำนวณระยะทางต่อไปนี้:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

สตีฟสามารถไปบ้านเพื่อนของเขาโดยใช้เส้นทางต่อไปนี้:

A -> B -> C -> E -> G ระยะทางรวม 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 กม.

F -> B -> C -> D -> G ระยะทางรวม 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 กม.

F -> A -> C -> E -> G ระยะทางรวม 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 กม.

F -> A -> C -> D -> G ระยะทางรวม 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 กม.

ดังนั้นเส้นทาง #3 จึงสั้นที่สุดและสามารถเสนอให้สตีฟได้

ตัวอย่างที่ 7:
ตรีชาอยากวัดส่วนสูงของบ้านแต่เธอไม่มี เครื่องมือที่เหมาะสม. เธอสังเกตเห็นว่ามีต้นไม้ต้นหนึ่งเติบโตที่หน้าบ้าน และตัดสินใจใช้ความเฉลียวฉลาดและความรู้ด้านเรขาคณิตที่ได้รับจากโรงเรียนเพื่อกำหนดความสูงของอาคาร เธอวัดระยะทางจากต้นไม้ถึงบ้าน ผลลัพธ์คือ 30 ม. จากนั้นเธอก็ยืนอยู่หน้าต้นไม้และเริ่มถอยห่างออกไปจนมองเห็นขอบบนสุดของอาคารเหนือยอดต้นไม้ ทริชาทำเครื่องหมายจุดนั้นและวัดระยะห่างจากจุดนั้นไปยังต้นไม้ ระยะนี้ 5 เมตร

ความสูงของต้นไม้คือ 2.8 ม. และความสูงของดวงตาของตรีชาคือ 1.6 ม. ช่วยทริชากำหนดความสูงของอาคาร

วิธีการแก้:

การแสดงปัญหาทางเรขาคณิตของปัญหาแสดงในรูป

อันดับแรก เราใช้ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ∆ABC และ ∆ADE

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 ครั้ง) + AC) = 8 + 1.6 \ครั้ง AC$

$(2.8 - 1.6) \ครั้ง AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

จากนั้นเราสามารถใช้ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ∆ACB และ ∆AFG หรือ ∆ADE และ ∆AFG มาเลือกตัวเลือกแรกกัน

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \ลูกศรขวา H = \frac(1.6 )(0.16) = 10 m$

สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันถ้าสามารถทับซ้อนกันได้ รูปที่ 1 แสดงสามเหลี่ยมเท่ากัน ABC และ A 1 B 1 C 1 สามเหลี่ยมแต่ละรูปเหล่านี้สามารถซ้อนทับกันเพื่อให้เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือจุดยอดและด้านข้างของพวกมันถูกจับคู่เข้าด้วยกัน เป็นที่ชัดเจนว่าในกรณีนี้มุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะรวมกันเป็นคู่

ดังนั้น ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน องค์ประกอบ (เช่น ด้านและมุม) ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับองค์ประกอบของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สังเกตว่า ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากันกับด้านเท่ากันตามลำดับ(เช่น ซ้อนทับกันเมื่อซ้อนทับ) นอนมุมเท่ากันและกลับ: ด้านตรงข้ามมุมเท่ากันจะอยู่ด้านเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ ABC และ A 1 B 1 C 1 แสดงในรูปที่ 1 มุมที่เท่ากัน C และ C 1 อยู่กับด้านที่เท่ากัน AB และ A 1 B 1 ตามลำดับ ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จะแสดงดังนี้: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 ปรากฎว่าความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูปสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเปรียบเทียบองค์ประกอบบางอย่าง

ทฤษฎีบทที่ 1 สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมหากด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสองด้านตามลำดับ และมุมระหว่างพวกมันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน (รูปที่ 2)

การพิสูจน์. พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 ซึ่ง AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (ดูรูปที่ 2) ให้เราพิสูจน์ว่า Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

เนื่องจาก ∠ A \u003d ∠ A 1 จากนั้นสามเหลี่ยม ABC สามารถซ้อนทับบนสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เพื่อให้จุดยอด A อยู่ในแนวเดียวกับจุดยอด A 1 และด้าน AB และ AC ทับซ้อนกันตามลำดับบน รังสี A 1 B 1 และ A 1 C หนึ่ง ตั้งแต่ AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 จากนั้นด้าน AB จะถูกรวมเข้ากับด้าน A 1 B 1 และด้าน AC - กับด้าน A 1 C 1; โดยเฉพาะจุด B และ B 1 , C และ C 1 จะตรงกัน ดังนั้นด้าน BC และ B 1 C 1 จะอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จึงเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าพวกมันเท่ากัน

ทฤษฎีบท 2 ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันโดยวิธีการทับซ้อน

ทฤษฎีบท 2 เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมหากด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้านตามลำดับและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน (รูปที่ 34)

ความคิดเห็น จากทฤษฎีบท 2 ทฤษฎีบท 3 ได้รับการจัดตั้งขึ้น

ทฤษฎีบทที่ 3 ผลรวมของมุมภายในสองมุมใดๆ ของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่า 180°

ทฤษฎีบทที่ 4 ต่อจากทฤษฎีบทที่แล้ว

ทฤษฎีบทที่ 4 มุมภายนอกของสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่าใดๆ มุมด้านในไม่ได้อยู่ติดกับมัน

ทฤษฎีบทที่ 5 เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากับ ()

ตัวอย่างที่ 1ในรูปสามเหลี่ยม ABC และ DEF (รูปที่ 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 ซม., AC = 18 ซม., DE = 18 ซม., EF = 20 ซม. เปรียบเทียบสามเหลี่ยม ABC และ DEF มุมใดในรูปสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B

วิธีการแก้. สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากันในเครื่องหมายแรก มุม F ของสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B ของสามเหลี่ยม ABC เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกับด้านเท่ากัน DE และ AC

ตัวอย่าง 2ส่วน AB และ CD (รูปที่ 5) ตัดกันที่จุด O ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของแต่ละส่วน เซ็กเมนต์ BD เท่ากับเท่าใดหากเซกเมนต์ AC เท่ากับ 6 ม.

วิธีการแก้. สามเหลี่ยม AOC และ BOD เท่ากัน (ตามเกณฑ์แรก): ∠ AOC = ∠ BOD (แนวตั้ง), AO = OB, CO = OD (ตามเงื่อนไข)
จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นไปตามความเท่าเทียมกันของด้านของมัน นั่นคือ AC = BD แต่เนื่องจากตามเงื่อนไข AC = 6 m แล้ว BD = 6 m.

สัญกรณ์มาตรฐาน

สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด อา, บีและ คแสดงเป็น (ดูรูป) สามเหลี่ยมมีสามด้าน:

ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมแสดงด้วยตัวพิมพ์เล็ก ด้วยอักษรละติน(a,b,c):

สามเหลี่ยมมีมุมดังต่อไปนี้:

ค่าของมุมที่จุดยอดที่สอดคล้องกันจะแสดงแทน ตัวอักษรกรีก (α, β, γ).

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมบนระนาบแบบยุคลิดสามารถกำหนดได้ไม่ซ้ำกัน (ขึ้นอยู่กับความสอดคล้องกัน) โดยกำหนดสามองค์ประกอบพื้นฐานต่อไปนี้:

1. a, b, γ (ความเท่าเทียมกันของทั้งสองด้านและมุมที่วางอยู่ระหว่างพวกเขา);
2. a, β, γ (ความเสมอภาคในด้านข้างและมุมประชิดสองมุม);
3. a, b, c (ความเท่าเทียมกันทั้งสามด้าน)

สัญญาณความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

1. ตามขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก
2. บนสองขา;
3. ตามขาและมุมแหลม
4. ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

บางจุดในรูปสามเหลี่ยมถูก "จับคู่" ตัวอย่างเช่น มีจุดสองจุดที่มองเห็นทุกด้านที่มุม 60° หรือที่มุม 120° เรียกว่า จุด Torricelli. นอกจากนี้ยังมีจุดสองจุดที่เส้นโครงด้านข้างอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมปกติ มัน - จุด Apollonius. คะแนนและอื่น ๆ เรียกว่า คะแนนโบรการ์ด.

โดยตรง

ในสามเหลี่ยมใดๆ จุดศูนย์ถ่วง จุดศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เรียกว่า สายออยเลอร์.

เส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและจุด Lemoine เรียกว่า แกนโบรการ์. จุด Apollonius อยู่บนนั้น จุด Torricelli และจุด Lemoine ก็อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ฐานของเส้นแบ่งครึ่งด้านนอกของมุมของสามเหลี่ยมอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียกว่า แกนของเส้นแบ่งครึ่งภายนอก. จุดตัดของเส้นที่มีด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากกับเส้นที่มีด้านข้างของสามเหลี่ยมนั้นอยู่บนเส้นเดียวกันด้วย สายนี้เรียกว่า แกนออร์โธเซนตริก, ตั้งฉากกับเส้นออยเลอร์

หากเราเอาจุดบนวงกลมที่ล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยม การฉายที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้น เรียกว่า เส้นตรงของซิมสันจุดที่กำหนดให้ เส้นตรงของจุดตรงข้ามตามเส้นทแยงมุมของ Simson นั้นตั้งฉาก

สามเหลี่ยม

• สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ฐานของเซเวียนลากผ่านจุดที่กำหนดเรียกว่า สามเหลี่ยมซีเวียนจุดนี้.
• สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ในเส้นโครงของจุดที่กำหนดที่ด้านข้างเรียกว่า ใต้ผิวหนังหรือ สามเหลี่ยมเหยียบจุดนี้.
• สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่จุดตัดที่สองของเส้นที่ลากผ่านจุดยอดและจุดที่กำหนดที่มีวงกลมล้อมรอบเรียกว่า สามเหลี่ยมซีเวียน. สามเหลี่ยมซีเวียนนั้นคล้ายกับรูปสามเหลี่ยมใต้ผิวหนัง

วงกลม

• วงกลมจารึกเป็นวงกลมแทนเจนต์ทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม เธอเป็นคนเดียว ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้เรียกว่า incenter.
• วงกลม- วงกลมที่ผ่านจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยม วงกลมที่ล้อมรอบก็มีเอกลักษณ์เช่นกัน
• Excircle- วงกลมสัมผัสด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมและส่วนขยายของอีกสองด้าน มีสามวงกลมดังกล่าวในรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางรากของมันคือศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ของสามเหลี่ยมมัธยฐานที่เรียกว่า ประเด็นของสปีกเกอร์.

จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ฐานของความสูงทั้งสาม และจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงทั้งสามที่เชื่อมต่อจุดยอดกับศูนย์กลางออร์โธอยู่บนวงกลมเดียวเรียกว่า วงกลมเก้าแต้มหรือ วงกลมออยเลอร์. จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดอยู่บนเส้นออยเลอร์ วงกลมที่มีเก้าจุดสัมผัสวงกลมที่จารึกไว้และวงกลมนอกสามวง จุดสัมผัสระหว่างวงกลมที่จารึกไว้กับวงกลมเก้าจุดเรียกว่า จุด Feuerbach. หากจากจุดยอดแต่ละอันเราจัดวางสามเหลี่ยมบนเส้นตรงที่มีด้านต่างๆ orthoses ยาวเท่ากันกับด้านตรงข้ามดังนั้นจุดหกจุดที่ได้จะอยู่บนวงกลมเดียว - วงการคอนเวย์. ในสามเหลี่ยมใดๆ วงกลมสามวงสามารถถูกจารึกในลักษณะที่แต่ละวงกลมสัมผัสทั้งสองด้านของสามเหลี่ยมและวงกลมอีกสองวง วงกลมดังกล่าวเรียกว่า วงการมัลฟัตตี. ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยมหกรูปที่สามเหลี่ยมหารด้วยค่ามัธยฐานอยู่บนวงกลมหนึ่งวงซึ่งเรียกว่า วงเวียนละมุล.

สามเหลี่ยมมีวงกลมสามวงที่แตะสองด้านของสามเหลี่ยมและวงกลมที่ล้อมรอบ วงกลมดังกล่าวเรียกว่า กึ่งจารึกหรือ วงกลม Verrier. ส่วนเชื่อมต่อจุดสัมผัสของวงกลม Verrier กับวงกลมล้อมรอบตัดกันที่จุดหนึ่งเรียกว่า จุด Verrier. มันทำหน้าที่เป็นศูนย์กลางของ homothety ซึ่งนำวงกลมที่ล้อมรอบไปยัง incircle จุดสัมผัสของวงกลม Verrier กับด้านข้างอยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสัมผัสของวงกลมที่จารึกไว้กับจุดยอดตัดกัน ณ จุดหนึ่ง เรียกว่า จุด Gergonneและส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดสัมผัสของ excircle - in จุดนาเจล.

วงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา

สลักรูปกรวย (วงรี) และมุมมองของมัน

สามารถเขียนรูปกรวยจำนวนอนันต์ (วงรี พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลา) ในรูปสามเหลี่ยมได้ หากเราเขียนรูปกรวยตามอำเภอใจในรูปสามเหลี่ยมและเชื่อมจุดสัมผัสกับจุดยอดตรงข้าม เส้นที่ได้จะตัดกันที่จุดหนึ่งเรียกว่า ทัศนคติรูปกรวย สำหรับจุดใดๆ ของระนาบที่ไม่ได้นอนตะแคงข้างหรือตรงส่วนต่อขยาย มีรูปกรวยที่สลักไว้พร้อมเปอร์สเปคทีฟอยู่ที่จุดนั้น

วงรีของ Steiner ถูกล้อมรอบและเซเวียนผ่านจุดโฟกัส

วงรีสามารถจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมที่สัมผัสด้านข้างที่จุดกึ่งกลาง วงรีดังกล่าวเรียกว่า Steiner จารึกวงรี(มุมมองของมันจะเป็นเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม) วงรีที่อธิบายไว้ซึ่งสัมผัสกับเส้นที่ผ่านจุดยอดขนานกับด้านข้างเรียกว่า ล้อมรอบด้วยวงรี Steiner. หากการเปลี่ยนรูปแบบคล้ายคลึง ("เอียง") แปลรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ จากนั้นวงรี Steiner ที่จารึกและล้อมรอบจะเข้าสู่วงกลมที่จารึกและล้อมรอบ Cevians ที่ลากผ่านจุดโฟกัสของวงรี Steiner ที่อธิบายไว้ (จุด Skutin) นั้นเท่ากัน (ทฤษฎีบทของ Skutin) จากวงรีที่มีวงรีทั้งหมด วงรี Steiner ที่ถูกล้อมรอบมี พื้นที่ที่เล็กที่สุดและจากวงรีที่จารึกไว้ทั้งหมด วงรีที่จารึก Steiner มีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุด

วงรีของโบรการ์ดและมุมมอง - Lemoine point

วงรีที่มีจุดโฟกัสอยู่ที่จุดของ Brokar เรียกว่า วงรีโบรการ์ด. มุมมองของมันคือจุด Lemoine

คุณสมบัติของพาราโบลาที่จารึกไว้

คีเพิร์ต พาราโบลา

มุมมองของพาราโบลาที่จารึกอยู่บนวงรี Steiner ที่ล้อมรอบ จุดเน้นของพาราโบลาที่จารึกไว้อยู่บนวงกลมที่ล้อมรอบ และไดเรกทริกซ์จะเคลื่อนผ่านออร์โธเซ็นเตอร์ พาราโบลาที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมที่มีไดเรกทริกซ์คือเส้นออยเลอร์เรียกว่า พาราโบลาของคีเพิร์ต. มุมมองของมันคือจุดที่สี่ของจุดตัดของวงกลมที่ล้อมรอบและวงรี Steiner ที่ล้อมรอบเรียกว่า จุดสไตเนอร์.

อติพจน์ของ Cypert

หากไฮเปอร์โบลาที่อธิบายไว้ผ่านจุดตัดของความสูง แสดงว่าเป็นด้านเท่ากันหมด (กล่าวคือ เส้นกำกับจะตั้งฉาก) จุดตัดของเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาด้านเท่าอยู่บนวงกลมเก้าจุด

การแปลงร่าง

ถ้าเส้นที่ลากผ่านจุดยอดและจุดบางจุดไม่ได้อยู่ด้านข้างและส่วนต่อขยายของเส้นนั้นสะท้อนถึงเส้นแบ่งครึ่งที่สอดคล้องกัน ภาพเหล่านั้นก็จะตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่า คอนจูเกตแบบ isogonallyอันเดิม (ถ้าจุดอยู่บนวงกลมที่ล้อมรอบ เส้นที่ได้จะขนานกัน) จุดที่โดดเด่นหลายคู่เป็นคอนจูเกตแบบแยกส่วน: จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและออร์โธเซนเตอร์ จุดเซนทรอยด์และจุดเลมอยน์ จุดโบรการ์ด จุด Apollonius จะคอนจูเกตแบบ isogonally กับจุด Torricelli และศูนย์กลางของ incircle จะคอนจูเกตแบบ isogonally กับตัวมันเอง ภายใต้การกระทำของการคอนจูเกตแบบไอโซกอน เส้นตรงเข้าสู่รูปกรวยที่ล้อมรอบ และรูปกรวยที่ล้อมรอบเป็นเส้นตรง ดังนั้นไฮเพอร์โบลา Kiepert และแกนโบรการ์ด, ไฮเพอร์โบลา Enzhabek และเส้นออยเลอร์, ไฮเพอร์โบลา Feuerbach และเส้นกึ่งกลางของวงกลมที่จารึกไว้จะคอนจูเกตแบบไอโซกอน วงกลมที่ล้อมรอบของสามเหลี่ยมใต้ผิวหนังของจุดคอนจูเกตแบบ isogonally เกิดขึ้นพร้อมกัน จุดโฟกัสของวงรีที่จารึกไว้เป็นคอนจูเกตแบบไอโซกอน

หากแทนที่จะเป็นเซเวียนที่สมมาตรเราใช้เซเวียนซึ่งฐานอยู่ห่างจากตรงกลางด้านข้างเท่ากับฐานของเซเวียนดั้งเดิมจากนั้นเซเวียนดังกล่าวก็จะตัดกันที่จุดหนึ่งเช่นกัน การแปลงผลลัพธ์เรียกว่า การผันคำกริยาแบบไอโซโทป. นอกจากนี้ยังจับคู่เส้นกับรูปกรวยที่ล้อมรอบ จุด Gergonne และ Nagel เป็นคอนจูเกตแบบไอโซโทม ภายใต้การแปลงแบบคล้ายคลึงกัน จุดคอนจูเกตแบบไอโซโทปจะผ่านไปยังจุดคอนจูเกตแบบไอโซโทม ที่คอนจูเกชันของไอโซโทมี วงรี Steiner ที่อธิบายไว้จะผ่านเข้าไปในเส้นตรงที่อนันต์

หากในส่วนที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมถูกตัดออกจากวงกลมที่ล้อมรอบ วงกลมจะถูกจารึกที่สัมผัสด้านข้างที่ฐานของ cevians ที่ลากผ่านจุดใดจุดหนึ่งแล้วจุดสัมผัสของวงกลมเหล่านี้เชื่อมต่อกับ วงกลมที่มีจุดยอดตรงกันข้าม แล้วเส้นดังกล่าวจะตัดกันที่จุดหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงของระนาบซึ่งตรงกับจุดเดิมกับจุดที่เกิดเรียกว่า การแปลงแบบมีมิติเท่ากัน. องค์ประกอบของการผันไอโซกอนและไอโซโทมิกเป็นองค์ประกอบของการเปลี่ยนแปลงไอโซเซอร์คิวลาร์ด้วยตัวมันเอง องค์ประกอบนี้เป็นการแปลงแบบโปรเจ็กเตอร์ที่ทำให้ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมอยู่ในตำแหน่ง และแปลงแกนของเส้นแบ่งครึ่งด้านนอกเป็นเส้นตรงที่ระยะอนันต์

หากเราดำเนินการต่อด้านข้างของสามเหลี่ยม cevian ของจุดใดจุดหนึ่งแล้วนำจุดตัดกับด้านที่ตรงกันจากนั้นจุดตัดที่ได้จะอยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้นเรียกว่า ขั้วไตรลิเนียร์จุดเริ่ม. แกนออร์โธเซนตริก - ขั้วไตรลิเนียร์ของออร์โธเซนเตอร์ ขั้วไตรลิเนียร์ของจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้คือแกนของเส้นแบ่งครึ่งชั้นนอก ขั้วที่เป็นเส้นตรงของจุดที่วางอยู่บนจุดตัดรูปกรวยที่ล้อมรอบอยู่ตัดกันที่จุดหนึ่ง (สำหรับวงกลมที่ล้อมรอบนี่คือจุด Lemoine สำหรับวงรี Steiner ที่ล้อมรอบคือเซนทรอยด์) องค์ประกอบของการคอนจูเกตแบบไอโซกอน (หรือไอโซโทนิก) และขั้วไตรลิเนียร์คือการแปลงความเป็นคู่ (หากจุดคอนจูเกตแบบไอโซกอนอล (ไอโซโทป) กับจุดนั้นอยู่บนขั้วไตรลิเนียร์ของจุด จากนั้นขั้วไตรลิเนียร์ของจุดแบบไอโซกอนอล (isotomically) คอนจูเกตไปยังจุดอยู่บนขั้วไตรลิเนียร์ของจุด )

ลูกบาศก์

ความสัมพันธ์ในรูปสามเหลี่ยม

บันทึก:ในส่วนนี้ , , , คือความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม และ , , คือมุมที่อยู่ตรงข้ามกันทั้งสามด้านตามลำดับ (มุมตรงข้าม)

อสมการสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมไม่เสื่อม ผลรวมของความยาวของด้านทั้งสองนั้นมากกว่าความยาวของด้านที่สาม ในอันที่เสื่อมจะเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมีความสัมพันธ์กันโดยความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในสัจพจน์ของตัวชี้วัด

ผลรวมสามเหลี่ยมของทฤษฎีบทมุม

ทฤษฎีบทไซน์

,

โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม จากทฤษฎีบทว่าถ้า a< b < c, то α < β < γ.

ทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบทแทนเจนต์

อัตราส่วนอื่นๆ

อัตราส่วนเมตริกในรูปสามเหลี่ยมกำหนดไว้สำหรับ:

การแก้สามเหลี่ยม

การคำนวณด้านและมุมที่ไม่รู้จักของรูปสามเหลี่ยม จากค่าที่รู้จัก ในอดีตเรียกว่า "คำตอบของสามเหลี่ยม" ในกรณีนี้ จะใช้ทฤษฎีบทตรีโกณมิติทั่วไปข้างต้น

พื้นที่สามเหลี่ยม

กรณีพิเศษ สัญกรณ์

ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นพื้นที่:

การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมในอวกาศโดยใช้เวกเตอร์

ให้จุดยอดของสามเหลี่ยมอยู่ที่จุด , , .

มาแนะนำเวกเตอร์พื้นที่กัน ความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยม และมันชี้ไปตามเส้นปกติถึงระนาบของสามเหลี่ยม:

ให้ , โดยที่ , เป็นการฉายภาพของสามเหลี่ยมบนระนาบพิกัด โดยที่

และเช่นเดียวกัน

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ .

อีกทางเลือกหนึ่งคือการคำนวณความยาวของด้าน (โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) แล้วใช้สูตรนกกระสา

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท Desargues: ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นเปอร์สเปคทีฟ (เส้นที่ผ่านจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง) แล้วด้านที่เกี่ยวข้องกันจะตัดกันเป็นเส้นตรงเส้นเดียว

ทฤษฎีบทของซัน: ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นเปอร์สเปคทีฟและออร์โธโลโกลัส (รูปฉากตั้งฉากหล่นจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งไปยังด้านตรงข้ามกับจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยม และในทางกลับกัน) ศูนย์วิทยาการวิทยาทั้งสอง (จุดตัดของรูปสามเหลี่ยมตั้งฉากเหล่านี้) และศูนย์กลางของเปอร์สเปคทีฟ นอนบนเส้นตรงเส้นเดียวที่ตั้งฉากกับแกนเปอร์สเปคทีฟ (เส้นตรงจากทฤษฎีบทเดซาร์กิส)

วันนี้เราจะไปดินแดนแห่งเรขาคณิต ที่เราจะมาทำความรู้จักกับ หลากหลายชนิดสามเหลี่ยม.

พิจารณา ตัวเลขทางเรขาคณิตและพบ "พิเศษ" ในหมู่พวกเขา (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ภาพประกอบเช่น

เราจะเห็นว่าตัวเลขที่ 1, 2, 3, 5 เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ละคนมีชื่อของตัวเอง (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. สี่เหลี่ยม

ซึ่งหมายความว่าตัวเลข "พิเศษ" เป็นรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

ข้าว. 3. ภาพประกอบเช่น

สามเหลี่ยมเป็นรูปที่ประกอบด้วยสามจุดที่ไม่ติดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่

จุดที่เรียกว่า จุดยอดสามเหลี่ยม, เซ็กเมนต์ - his ปาร์ตี้. ด้านของรูปสามเหลี่ยม มีมุมสามมุมที่จุดยอดของสามเหลี่ยม

ลักษณะสำคัญของรูปสามเหลี่ยมคือ สามด้านและสามมุมสามเหลี่ยมแบ่งตามมุม เฉียบพลัน สี่เหลี่ยม และป้าน

สามเหลี่ยมเรียกว่ามุมแหลม ถ้ามุมทั้งสามของมันเป็นมุมแหลม นั่นคือ น้อยกว่า 90 ° (รูปที่ 4)

ข้าว. 4. สามเหลี่ยมเฉียบพลัน

สามเหลี่ยมเรียกว่ามุมฉากถ้ามุมหนึ่งของมันคือ 90° (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. สามเหลี่ยมขวา

สามเหลี่ยมจะเรียกว่ามุมป้าน ถ้ามุมหนึ่งเป็นมุมป้าน นั่นคือ มากกว่า 90° (รูปที่ 6)

ข้าว. 6. สามเหลี่ยมป้าน

จากจำนวนด้านเท่ากัน สามเหลี่ยมคือด้านเท่า หน้าจั่ว มาตราส่วน

สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านเท่ากัน (รูปที่ 7)

ข้าว. 7. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ด้านเหล่านี้เรียกว่า ด้านข้าง, ด้านที่สาม - พื้นฐาน. ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน

สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือ เฉียบพลันและป้าน(รูปที่ 8) .

ข้าว. 8. สามเหลี่ยมหน้าจั่วแบบเฉียบพลันและแบบป้าน

เรียกว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งทั้งสามด้านเท่ากัน (รูปที่ 9)

ข้าว. 9. สามเหลี่ยมด้านเท่า

ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ทุกมุมเท่ากัน. สามเหลี่ยมด้านเท่าเสมอ มุมแหลม

สามเหลี่ยมเรียกว่าเอนกประสงค์ซึ่งทั้งสามด้านมีความยาวต่างกัน (รูปที่ 10)

ข้าว. 10. สามเหลี่ยมมุมฉาก

ทำงานให้เสร็จ แบ่งสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นสามกลุ่ม (รูปที่ 11)

ข้าว. 11. ภาพประกอบสำหรับงาน

ขั้นแรกให้กระจายตามขนาดของมุม

สามเหลี่ยมเฉียบพลัน: No. 1, No. 3

สามเหลี่ยมมุมฉาก: #2, #6.

สามเหลี่ยมป้าน: #4, #5.

สามเหลี่ยมเหล่านี้แบ่งออกเป็นกลุ่มตามจำนวนด้านเท่ากัน

สามเหลี่ยมมุมฉาก: ลำดับที่ 4, ลำดับที่ 6

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว: หมายเลข 2, หมายเลข 3, หมายเลข 5

สามเหลี่ยมด้านเท่า: ลำดับที่ 1

ทบทวนภาพวาด

ลองนึกดูว่าสามเหลี่ยมแต่ละอันทำมาจากลวดอะไร (รูปที่ 12)

ข้าว. 12. ภาพประกอบสำหรับงาน

เถียงแบบนี้ก็ได้

ลวดชิ้นแรกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน คุณจึงสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ มันแสดงให้เห็นที่สามในรูป

ลวดชิ้นที่สองแบ่งออกเป็นสามส่วน คุณจึงสามารถสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ จะแสดงเป็นอันดับแรกในภาพ

ลวดชิ้นที่สามแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยที่ทั้งสองส่วนนั้นมีความยาวเท่ากัน คุณจึงสามารถสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วออกมาได้ มันแสดงให้เห็นที่สองในภาพ

วันนี้ในบทเรียนนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับรูปสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ

บรรณานุกรม

1. เอ็มไอ โมโร, แมสซาชูเซตส์ Bantova และอื่น ๆ คณิตศาสตร์: ตำราเรียน. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 3: ใน 2 ส่วนตอนที่ 1 - ม.: "การตรัสรู้", 2555
2. เอ็มไอ โมโร, แมสซาชูเซตส์ Bantova และอื่น ๆ คณิตศาสตร์: ตำราเรียน. เกรด 3: ใน 2 ส่วนตอนที่ 2 - M.: "การตรัสรู้", 2012
3. เอ็มไอ โมโร. บทเรียนคณิตศาสตร์: แนวปฏิบัติสำหรับครู เกรด 3 - ม.: การศึกษา, 2555.
4. เอกสารกำกับดูแล การติดตามและประเมินผลการเรียนรู้ - ม.: "การตรัสรู้", 2011.
5. "School of Russia": โปรแกรมสำหรับ โรงเรียนประถมศึกษา. - ม.: "การตรัสรู้", 2011.
6. เอสไอ วอลคอฟ. คณิตศาสตร์: งานตรวจสอบ. เกรด 3 - ม.: การศึกษา, 2555.
7. ว.น. รุดนิทสกายา การทดสอบ - ม.: "สอบ", 2555.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

การบ้าน

1. จบวลี

ก) สามเหลี่ยมเป็นรูปที่ประกอบด้วย ... ไม่ได้นอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และ ... เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่

b) คะแนนเรียกว่า … , เซ็กเมนต์ - his … . ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ….

ค) ตามขนาดของมุม สามเหลี่ยมคือ ..., ..., ....

d) จากจำนวนด้านเท่ากัน สามเหลี่ยมคือ ..., ..., ....

2. วาด

ก) สามเหลี่ยมมุมฉาก

b) สามเหลี่ยมแหลม;

c) สามเหลี่ยมป้าน

d) สามเหลี่ยมด้านเท่า

จ) สามเหลี่ยมมุมฉาก

e) สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

3. สร้างงานในหัวข้อบทเรียนสำหรับสหายของคุณ

ศาสตร์แห่งเรขาคณิตบอกเราว่าสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ลูกบาศก์คืออะไร ที่ โลกสมัยใหม่มีการศึกษาในโรงเรียนโดยทุกคนโดยไม่มีข้อยกเว้น นอกจากนี้ วิทยาศาสตร์ที่ศึกษาโดยตรงว่าสามเหลี่ยมคืออะไรและมีคุณสมบัติอย่างไรคือตรีโกณมิติ เธอสำรวจในรายละเอียดเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับ data เราจะพูดถึงสามเหลี่ยมในบทความของเราในวันนี้ ประเภทของพวกเขาจะอธิบายไว้ด้านล่าง เช่นเดียวกับบางทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับพวกเขา

สามเหลี่ยมคืออะไร? คำนิยาม

นี่คือรูปหลายเหลี่ยมแบน มีสามมุมซึ่งเห็นได้ชัดเจนจากชื่อ นอกจากนี้ยังมีสามด้านและจุดยอดสามจุด อันแรกเป็นส่วน ส่วนที่สองเป็นจุด เมื่อรู้ว่ามุมสองมุมมีค่าเท่ากับเท่าใด คุณสามารถหามุมที่สามได้โดยการลบผลรวมของสองมุมแรกออกจากจำนวน 180

สามเหลี่ยมคืออะไร?

พวกเขาสามารถจำแนกตามเกณฑ์ต่างๆ

ประการแรกพวกเขาจะแบ่งออกเป็นมุมแหลมมุมป้านและสี่เหลี่ยม มุมแรกมีมุมแหลมนั่นคือมุมที่น้อยกว่า 90 องศา ในมุมป้าน มุมหนึ่งเป็นมุมป้าน นั่นคือ มุมหนึ่งมีค่ามากกว่า 90 องศา อีกมุมหนึ่งเป็นมุมแหลม สามเหลี่ยมเฉียบพลันยังรวมถึงสามเหลี่ยมด้านเท่า สามเหลี่ยมดังกล่าวมีด้านและมุมเท่ากันทุกประการ พวกมันทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 60 องศา ซึ่งคำนวณได้ง่าย ๆ โดยการหารผลรวมของมุมทั้งหมด (180) ด้วยสาม

สามเหลี่ยมมุมฉาก

เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พูดถึงว่าสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร

ตัวเลขดังกล่าวมีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา (ตรง) นั่นคือด้านสองด้านตั้งฉาก อีกสองมุมเป็นมุมแหลม พวกมันเท่ากันได้ แล้วมันจะเป็นหน้าจั่ว ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้วยความช่วยเหลือ คุณสามารถค้นหาด้านที่สาม โดยรู้สองด้านแรก ตามทฤษฎีบทนี้ หากคุณบวกกำลังสองของขาข้างหนึ่งเข้ากับกำลังสองของอีกข้างหนึ่ง คุณจะได้กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก ตารางของขาสามารถคำนวณได้โดยการลบกำลังสองของขาที่รู้จักออกจากกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อพูดถึงสามเหลี่ยมคืออะไร เราสามารถจำหน้าจั่วได้ นี่คือมุมที่ด้านสองด้านเท่ากัน และมุมสองมุมก็เท่ากัน

ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร?

ขาเป็นด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมที่มีมุม 90 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่เหลือที่อยู่ตรงข้าม มุมฉาก. จากนั้นสามารถวางแนวตั้งฉากลงบนขาได้ อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าโคไซน์ และด้านตรงข้ามเรียกว่าไซน์

- คุณสมบัติของมันคืออะไร?

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขาของมันคือสามและสี่ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือห้า ถ้าคุณเห็นว่าขาของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับสามและสี่ คุณแน่ใจได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับห้า นอกจากนี้ ตามหลักการนี้ สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายว่าขาจะเท่ากับสามถ้าวินาทีเท่ากับสี่ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือห้า เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส หากสองขาเป็น 3 และ 4 แล้ว 9 + 16 \u003d 25 รากของ 25 คือ 5 นั่นคือด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 5 นอกจากนี้สามเหลี่ยมอียิปต์ยังเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีด้านเป็น 6, 8 และ 10 ; 9, 12 และ 15 และตัวเลขอื่นๆ ที่มีอัตราส่วน 3:4:5

สามเหลี่ยมอะไรได้อีก?

สามเหลี่ยมยังสามารถจารึกและล้อมรอบ รูปที่อธิบายวงกลมนั้นเรียกว่าถูกจารึกไว้ จุดยอดทั้งหมดเป็นจุดที่วางอยู่บนวงกลม สามเหลี่ยมที่ถูกล้อมรอบคือรูปวงกลมที่มีเครื่องหมายวงกลม ทุกด้านสัมผัสกับมันในบางจุด

อย่างไร

พื้นที่ของตัวเลขใด ๆ วัดเป็น ตารางหน่วย(ตารางเมตร ตารางมิลลิเมตร ตารางเซนติเมตร ตารางเดซิเมตร เป็นต้น) ค่านี้สามารถคำนวณได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับประเภทของสามเหลี่ยม พื้นที่ของรูปใดๆ ที่มีมุมหาได้จากการคูณด้านของมันด้วยเส้นตั้งฉากที่ตกลงมา มุมตรงข้ามและหารตัวเลขนี้ด้วยสอง คุณยังหาค่านี้ได้ด้วยการคูณทั้งสองข้าง แล้วคูณจำนวนนี้ด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้ แล้วหารด้วยสอง เมื่อรู้ทุกด้านของสามเหลี่ยม แต่ไม่รู้มุม คุณสามารถหาพื้นที่ด้วยวิธีอื่นได้ ในการทำเช่นนี้คุณต้องหาเส้นรอบวงครึ่งหนึ่ง จากนั้นให้ลบด้านต่างๆ ออกจากจำนวนนี้แล้วคูณค่าทั้งสี่ที่ได้รับ ถัดไป หาตัวเลขที่ออกมา พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่จารึกไว้สามารถพบได้โดยการคูณด้านทั้งหมดและหารจำนวนผลลัพธ์โดยที่ล้อมรอบมันด้วยสี่

พบพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่อธิบายไว้ในลักษณะนี้: เราคูณครึ่งปริมณฑลด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ หากสามารถหาพื้นที่ได้ดังนี้: เรายกกำลังด้าน คูณตัวเลขผลลัพธ์ด้วยรากของสาม แล้วหารตัวเลขนี้ด้วยสี่ ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณความสูงของสามเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านเท่ากันได้ สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องคูณหนึ่งในนั้นด้วยรากของสาม แล้วหารจำนวนนี้ด้วยสอง

ทฤษฎีบทสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทหลักที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขนี้คือทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่อธิบายไว้ข้างต้นและโคไซน์ อันที่สอง (ไซน์) คือถ้าคุณหารด้านใด ๆ ด้วยไซน์ของมุมตรงข้าม คุณจะได้รัศมีของวงกลมที่อธิบายรอบ ๆ มันคูณด้วยสอง ที่สาม (โคไซน์) คือถ้าผลรวมของกำลังสองของทั้งสองด้านถูกลบออกจากผลคูณของพวกมัน คูณด้วยสองและโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างพวกมัน จะได้กำลังสองของด้านที่สาม

สามเหลี่ยมต้าหลี่ - มันคืออะไร?

หลายคนต้องเผชิญกับแนวคิดนี้ ในตอนแรกคิดว่านี่เป็นคำจำกัดความบางอย่างในเรขาคณิต แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น สามเหลี่ยมต้าหลี่คือ ชื่อสามัญสามสถานที่ใกล้ชิดกับชีวิตของศิลปินดัง “ยอด” ของมันคือบ้านที่ซัลวาดอร์ ดาลีอาศัยอยู่ ปราสาทที่เขามอบให้ภรรยาของเขา และพิพิธภัณฑ์ภาพวาดเหนือจริง ในระหว่างการเที่ยวชมสถานที่เหล่านี้คุณสามารถเรียนรู้ได้มากมาย ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับศิลปินสร้างสรรค์ที่มีเอกลักษณ์ซึ่งเป็นที่รู้จักไปทั่วโลก