สูตรคำนวณมุมระหว่างเส้น มุมระหว่างเส้นบนระนาบ
ให้บรรทัดในช่องว่าง lและ ม. ผ่านจุด A ของพื้นที่เราวาดเส้นตรง l 1 || lและ ม 1 || ม(รูปที่ 138)
โปรดทราบว่าสามารถเลือกจุด A ได้โดยพลการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันสามารถอยู่บนเส้นที่กำหนดได้ ถ้าตรง lและ มตัดกัน แล้ว A สามารถนำมาเป็นจุดตัดของเส้นเหล่านี้ได้ ( l 1 = ลและ ม 1 = ม).
มุมระหว่างเส้นไม่ขนานกัน lและ มคือค่ามุมที่เล็กที่สุดของมุมประชิดที่เกิดจากการตัดกันเส้นตรง l 1 และ ม 1 (l 1 || l, ม 1 || ม). มุมระหว่างเส้นคู่ขนานจะถือว่าเป็นศูนย์
มุมระหว่างเส้น lและ มแสดงโดย \(\widehat((l;m)) \) จากคำจำกัดความตามว่าถ้าวัดเป็นองศาแล้ว 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90° และถ้าเป็นเรเดียน จะได้ 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
งาน.ให้ลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (รูปที่ 139)
หามุมระหว่างเส้นตรง AB และ DC 1
ทางแยก AB และ DC 1 ทางตรง เนื่องจากเส้น DC ขนานกับเส้น AB มุมระหว่างเส้น AB และ DC 1 จึงเท่ากับ \(\widehat(C_(1)DC)\)
ดังนั้น \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°
โดยตรง lและ มเรียกว่า ตั้งฉาก, if \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. ตัวอย่างเช่น ในลูกบาศก์
การคำนวณมุมระหว่างเส้น
ปัญหาการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับในระนาบ แทนด้วย φ มุมระหว่างเส้น l 1 และ l 2 , และผ่าน ψ - มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง เอ และ ข เส้นตรงเหล่านี้
แล้วถ้า
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (รูปที่ 206.6) จากนั้น φ = 180° - ψ เห็นได้ชัดว่าในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน cos φ = |cos ψ| เป็นจริง ตามสูตร (โคไซน์ของมุมระหว่าง เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a และ b เท่ากัน สินค้าจุดของเวกเตอร์เหล่านี้หารด้วยผลคูณของความยาว) เรามี
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
เพราะเหตุนี้,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
ให้เส้นถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของพวกมัน
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; และ \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
จากนั้นกำหนดมุม φ ระหว่างเส้นโดยใช้สูตร
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
หากเส้นใดเส้นหนึ่ง (หรือทั้งสองอย่าง) ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่เป็นที่ยอมรับ ในการคำนวณมุม คุณต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ แล้วใช้สูตร (1)
ภารกิจที่ 1คำนวณมุมระหว่างเส้น
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;และ\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงมีพิกัดดังนี้
a \u003d (-√2; √2; -2), ข = (√3 ; √3 ; √6 ).
โดยสูตร (1) เราพบว่า
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
ดังนั้น มุมระหว่างเส้นเหล่านี้คือ 60°
ภารกิจที่ 2คำนวณมุมระหว่างเส้น
$$ \begin(กรณี)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(กรณี) และ \begin(กรณี)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(กรณี) $$
เบื้องหลังเวกเตอร์ไกด์ เอ เส้นตรงเส้นแรก เราหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติ น 1 = (3; 0; -12) และ น 2 = (1; 1; -3) ระนาบที่กำหนดเส้นนี้ โดยสูตร \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) เราได้รับ
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
ในทำนองเดียวกัน เราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่สอง:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
แต่สูตร (1) คำนวณโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$
ดังนั้น มุมระหว่างเส้นเหล่านี้คือ 90°
ภารกิจที่ 3ใน MAVS พีระมิดสามเหลี่ยม ขอบ MA, MB และ MC จะตั้งฉากกัน (รูปที่ 207);
ความยาวตามลำดับเท่ากับ 4, 3, 6 จุด D คือตรงกลาง [MA] หามุม φ ระหว่างเส้น CA และ DB
ให้ SA และ DB เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้น SA และ DB
ลองหาจุด M เป็นจุดกำเนิดของพิกัดกัน ตามเงื่อนไขงาน เรามี A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0) ดังนั้น \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3) เราใช้สูตร (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
จากตารางโคไซน์ เราพบว่ามุมระหว่างเส้นตรง CA และ DB อยู่ที่ประมาณ 72 °
คำแนะนำ
บันทึก
ระยะเวลา ฟังก์ชันตรีโกณมิติแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ 180 องศา ซึ่งหมายความว่ามุมเอียงของเส้นตรงไม่สามารถ โมดูโล เกินค่านี้
หากสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากัน มุมระหว่างเส้นดังกล่าวจะเป็น 0 เนื่องจากเส้นดังกล่าวจะตรงหรือขนานกัน
ในการกำหนดมุมระหว่างเส้นตัดขวาง จำเป็นต้องย้ายทั้งสองเส้น (หรือเส้นใดเส้นหนึ่ง) ไปยังตำแหน่งใหม่โดยวิธีการถ่ายโอนแบบขนานไปยังทางแยก หลังจากนั้น คุณควรหามุมระหว่างเส้นตัดกันที่เกิดขึ้น
คุณจะต้องการ
- ไม้บรรทัด, สามเหลี่ยมมุมฉาก, ดินสอ, ไม้โปรแทรกเตอร์
คำแนะนำ
ดังนั้น ให้เวกเตอร์ V = (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติ แล้วโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์ V และ N คือ: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))
ในการคำนวณค่ามุมในหน่วยองศาหรือเรเดียน คุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์ กล่าวคือ อาร์คโคไซน์: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)))
ตัวอย่าง: find มุมระหว่าง เวกเตอร์(5, -3, 8) และ เครื่องบินกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x - 5 y + 3 z = 0 วิธีแก้ปัญหา: จดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ N = (2, -5, 3) ทดแทนทุกอย่าง ค่าที่รู้จักในสูตรข้างต้น: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°
วิดีโอที่เกี่ยวข้อง
เส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลมจะสัมผัสกับวงกลม คุณลักษณะอีกประการของแทนเจนต์คือมันตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสเสมอ นั่นคือ แทนเจนต์และรัศมีสร้างเป็นเส้นตรง มุม. ถ้าแทนเจนต์สองเส้นของวงกลม AB และ AC ถูกดึงจากจุด A หนึ่งจุด พวกมันจะเท่ากันเสมอ ความหมายของมุมระหว่างแทนเจนต์ ( มุม ABC) ผลิตขึ้นโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
คำแนะนำ
ในการกำหนดมุม คุณต้องทราบรัศมีของวงกลม OB และ OS และระยะห่างของจุดเริ่มต้นของเส้นสัมผัสจากจุดศูนย์กลางของวงกลม - O ดังนั้น มุม ABO และ ACO จะเท่ากัน รัศมี OB ตัวอย่างเช่น 10 ซม. และระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลม AO คือ 15 ซม. กำหนดความยาวของเส้นสัมผัสตามสูตรตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: AB = รากที่สองจาก AO2 - OB2 หรือ 152 - 102 = 225 - 100 = 125;
วัสดุนี้มีไว้สำหรับแนวคิดเช่นมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน ในย่อหน้าแรก เราจะอธิบายว่ามันคืออะไรและแสดงในภาพประกอบ จากนั้นเราจะวิเคราะห์ว่าคุณสามารถหาไซน์ โคไซน์ของมุมนี้และมุมได้อย่างไร (เราจะพิจารณากรณีที่มีระนาบและพื้นที่สามมิติแยกกัน) เราจะให้สูตรที่จำเป็นและแสดงพร้อมตัวอย่างว่ามีการใช้อย่างไร ในทางปฏิบัติ
Yandex.RTB R-A-339285-1
เพื่อให้เข้าใจว่ามุมที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นสองเส้นคืออะไร เราต้องระลึกถึงคำจำกัดความของมุม ความตั้งฉาก และจุดตัดกัน
คำจำกัดความ 1
เราเรียกเส้นสองเส้นที่ตัดกันหากมีจุดร่วมหนึ่งจุด จุดนี้เรียกว่าจุดตัดของสองเส้น
แต่ละเส้นแบ่งตามจุดตัดกันเป็นรังสี ในกรณีนี้ เส้นทั้งสองสร้างมุม 4 มุม โดยสองเส้นเป็นแนวตั้งและสองเส้นอยู่ติดกัน หากเราทราบขนาดของหนึ่งในนั้น เราก็สามารถกำหนดขนาดที่เหลือได้
สมมุติว่าเรารู้ว่ามุมหนึ่งเท่ากับ α ในกรณีเช่นนี้ มุมที่เป็นแนวตั้งกับมุมนั้นจะเท่ากับ α ด้วย ในการหามุมที่เหลือ เราต้องคำนวณผลต่าง 180 ° - α . ถ้า α เท่ากับ 90 องศา มุมทั้งหมดจะเป็นมุมขวา เส้นที่ตัดกันที่มุมฉากเรียกว่าตั้งฉาก (บทความแยกต่างหากมีไว้สำหรับแนวคิดเรื่องการตั้งฉาก)
ลองดูที่ภาพ:
ให้เราดำเนินการกำหนดคำจำกัดความหลัก
คำจำกัดความ 2
มุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นคือการวัดมุมที่เล็กกว่าของมุมทั้งสี่ที่สร้างเส้นสองเส้นนี้
จากคำจำกัดความจำเป็นต้องทำให้ ข้อสรุปที่สำคัญ: ขนาดของมุมในกรณีนี้จะถูกแสดงโดยใดๆ เบอร์จริงในช่วงเวลา (0 , 90 ] . หากเส้นตั้งฉากมุมระหว่างพวกเขาจะเท่ากับ 90 องศาในทุกกรณี
ความสามารถในการหาค่ามุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นนั้นมีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง วิธีการแก้ปัญหาสามารถเลือกได้จากหลายตัวเลือก
สำหรับการเริ่มต้น เราสามารถใช้วิธีทางเรขาคณิต ถ้าเรารู้บางอย่างเกี่ยวกับมุมเพิ่มเติม เราก็สามารถเชื่อมมันเข้ากับมุมที่เราต้องการได้โดยใช้คุณสมบัติของรูปทรงที่เท่ากันหรือคล้ายกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรารู้ด้านของสามเหลี่ยมและจำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงที่ด้านเหล่านี้ตั้งอยู่ ทฤษฎีบทโคไซน์ก็เหมาะสำหรับการแก้สมการ ถ้าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากในเงื่อนไข สำหรับการคำนวณ เราจะต้องรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมด้วย
วิธีการพิกัดยังสะดวกมากสำหรับการแก้ปัญหาประเภทนี้ มาอธิบายวิธีการใช้งานอย่างถูกต้องกันเถอะ
เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) O x y ที่มีเส้นตรงสองเส้น ลองแทนด้วยตัวอักษร a และ b ในกรณีนี้ คุณสามารถอธิบายเส้นตรงโดยใช้สมการใดก็ได้ เส้นเดิมมีจุดตัด M จะกำหนดมุมที่ต้องการได้อย่างไร (ให้แทนค่า α) ระหว่างเส้นเหล่านี้
เริ่มจากการกำหนดหลักการพื้นฐานของการหามุมภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด
เรารู้ว่าแนวคิดเช่นการกำกับและเวกเตอร์ปกตินั้นสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของเส้นตรง ถ้าเรามีสมการของเส้นตรง เราสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จากมันได้ เราสามารถทำได้สำหรับสองเส้นตัดกันในครั้งเดียว
มุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นสามารถหาได้โดยใช้:
- มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง
- มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ
- มุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ทิศทางของอีกเส้นหนึ่ง
ทีนี้มาดูแต่ละวิธีแยกกัน
1. สมมติว่าเรามีเส้น a ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) และเส้น b ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง b → (b x , b y) ทีนี้ลองกันเวกเตอร์สองตัว a → และ b → กันจากจุดตัดกัน หลังจากนั้นเราจะมาดูกันว่าพวกเขาแต่ละคนจะอยู่ในสายของตัวเอง แล้วเรามีสี่ตัวเลือกสำหรับพวกเขา ตำแหน่งสัมพัทธ์. ดูภาพประกอบ:
ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวไม่ป้าน มันจะเป็นมุมที่เราต้องการระหว่างเส้นตัด a กับ b หากเป็นมุมป้าน มุมที่ต้องการจะเท่ากับมุมที่อยู่ติดกับมุม a → , b → ^ . ดังนั้น α = a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ ≤ 90 ° และ α = 180 ° - a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ > 90 °
จากข้อเท็จจริงที่ว่าโคไซน์ของมุมเท่ากันนั้นเท่ากัน เราสามารถเขียนค่าความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ใหม่ได้ดังนี้: cos α = cos a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ > 90 ° .
ในกรณีที่สอง ใช้สูตรการลดขนาด ทางนี้,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
ลองเขียนสูตรสุดท้ายเป็นคำ:
คำจำกัดความ 3
โคไซน์ของมุมที่เกิดจากเส้นตัดสองเส้นจะเท่ากับโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง
รูปแบบทั่วไปของสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว a → = (a x, a y) และ b → = (b x, b y) มีลักษณะดังนี้:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
จากนั้นเราจะได้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างสองบรรทัดที่กำหนด:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
จากนั้นสามารถหามุมได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
โดยที่ a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด
ให้เรายกตัวอย่างการแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 1
ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เส้นแบ่งสองเส้น a และ b ถูกกำหนดไว้บนระนาบ สามารถอธิบายได้ด้วยสมการพาราเมตริก x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R และ x 5 = y - 6 - 3 . คำนวณมุมระหว่างเส้นเหล่านี้
วิธีการแก้
เรามีสมการพาราเมทริกอยู่ในเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าสำหรับเส้นตรงนี้ เราสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของมันได้ทันที ในการทำเช่นนี้ เราต้องใช้ค่าสัมประสิทธิ์ที่พารามิเตอร์ กล่าวคือ เส้น x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R จะมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (4 , 1) .
เส้นตรงที่สองอธิบายโดยใช้สมการมาตรฐาน x 5 = y - 6 - 3 ที่นี่เราสามารถหาพิกัดจากตัวส่วนได้ ดังนั้น เส้นนี้มีเวกเตอร์ทิศทาง b → = (5 , - 3) .
ต่อไปเราดำเนินการค้นหามุมโดยตรง ในการทำเช่นนี้ เพียงแทนที่พิกัดที่มีอยู่ของเวกเตอร์ทั้งสองลงในสูตรข้างต้น α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
ตอบ: เส้นเหล่านี้เป็นมุม 45 องศา
เราสามารถแก้ปัญหาที่คล้ายกันได้โดยการหามุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉาก ถ้าเรามีเส้น a ที่มีเวกเตอร์ปกติ n a → = (n a x , n a y) และเส้น b ที่มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) มุมระหว่างพวกมันจะเท่ากับมุมระหว่าง n a → และ n b → หรือมุมที่จะอยู่ติดกับ n a → , n b → ^ . วิธีนี้แสดงในรูปภาพ:
สูตรสำหรับคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตัดกับมุมนี้เองโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ปกติมีลักษณะดังนี้:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
ในที่นี้ n a → และ n b → หมายถึงเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดสองเส้น
ตัวอย่าง 2
เส้นตรงสองเส้นอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้สมการ 3 x + 5 y - 30 = 0 และ x + 4 y - 17 = 0 หาไซน์ โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน และขนาดของมุมนั้นเอง
วิธีการแก้
เส้นตรงเดิมถูกกำหนดโดยใช้สมการเส้นตรงปกติของรูปแบบ A x + B y + C = 0 แสดงถึงเวกเตอร์ปกติ n → = (A , B) หาพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากตัวแรกสำหรับเส้นตรงหนึ่งเส้นแล้วจดไว้: n a → = (3 , 5) สำหรับบรรทัดที่สอง x + 4 y - 17 = 0 เวกเตอร์ปกติจะมีพิกัด n b → = (1 , 4) ตอนนี้เพิ่มค่าที่ได้รับลงในสูตรและคำนวณผลรวม:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
ถ้าเรารู้โคไซน์ของมุม เราก็สามารถคำนวณไซน์ของมุมนั้นได้โดยใช้ค่าฐาน เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ. เนื่องจากมุม α ที่เกิดจากเส้นตรงนั้นไม่ป้าน ดังนั้นบาป α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34
ในกรณีนี้ α = a rc cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
คำตอบ: cos α = 23 2 34 , บาป α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c บาป 7 2 34
มาวิเคราะห์กรณีสุดท้ายกัน - การหามุมระหว่างเส้น ถ้าเรารู้พิกัดของเวกเตอร์กำกับของเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ปกติของอีกเส้น
สมมติว่าเส้น a มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) และเส้น b มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) เราจำเป็นต้องเลื่อนเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดตัดและพิจารณาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับตำแหน่งสัมพัทธ์ ดูภาพ:
ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดไม่เกิน 90 องศา ปรากฎว่ามันจะเสริมมุมระหว่าง a และ b ให้เป็นมุมฉาก
a → , n b → ^ = 90 ° - α ถ้า a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
หากน้อยกว่า 90 องศา เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:
a → , n b → ^ > 90 ° จากนั้น a → , n b → ^ = 90 ° + α
โดยใช้กฎความเท่าเทียมกันของโคไซน์ของมุมเท่ากัน เราเขียน:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = บาป α สำหรับ a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - บาป α ที่ a → , n b → ^ > 90 °
ทางนี้,
บาป α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ บาป α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
มาสร้างข้อสรุปกัน
คำจำกัดความ 4
ในการหาค่าไซน์ของมุมระหว่างเส้นสองเส้นที่ตัดกันในระนาบ คุณต้องคำนวณโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรกกับเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง
มาเขียนสูตรที่จำเป็นกัน หาไซน์ของมุม:
บาป α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
ค้นหามุมตัวเอง:
α = a r c บาป = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
โดยที่ a → คือเวกเตอร์ทิศทางของบรรทัดแรก และ n b → คือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง
ตัวอย่างที่ 3
เส้นตัดกันสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการ x - 5 = y - 6 3 และ x + 4 y - 17 = 0 . หามุมของทางแยก
วิธีการแก้
เราใช้พิกัดของทิศทางและเวกเตอร์ปกติจากสมการที่กำหนด ปรากฎว่า a → = (- 5 , 3) และ n → b = (1 , 4) . เราใช้สูตร α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 และพิจารณา:
α = a r c บาป = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c บาป 7 2 34
โปรดทราบว่าเราใช้สมการจากปัญหาก่อนหน้านี้และได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันทุกประการ แต่ในทางที่ต่างออกไป
ตอบ:α = a rc บาป 7 2 34
นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการหามุมที่ต้องการโดยใช้สัมประสิทธิ์ความชันของเส้นที่กำหนด
เรามีเส้น a ซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้สมการ y = k 1 · x + b 1 และเส้น b กำหนดเป็น y = k 2 · x + b 2 นี่คือสมการของเส้นที่มีความชัน ในการหามุมของทางแยก ให้ใช้สูตร:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 โดยที่ k 1 และ k 2 คือ ปัจจัยความชันเส้นที่กำหนด เพื่อให้ได้เร็กคอร์ดนี้ จะใช้สูตรสำหรับกำหนดมุมผ่านพิกัดของเวกเตอร์ปกติ
ตัวอย่างที่ 4
มีเส้นตรงสองเส้นตัดกันในระนาบ กำหนดโดยสมการ y = - 3 5 x + 6 และ y = - 1 4 x + 17 4 . คำนวณมุมของทางแยก
วิธีการแก้
ความชันของเส้นตรงของเราเท่ากับ k 1 = - 3 5 และ k 2 = - 1 4 . มาบวกกันในสูตร α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 แล้วคำนวณ:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
ตอบ:α = a rc cos 23 2 34
ในบทสรุปของย่อหน้านี้ ควรสังเกตว่า สูตรสำหรับหามุมที่ให้มาไม่จำเป็นต้องเรียนรู้ด้วยใจ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบพิกัดของเส้นบอกแนวและ/หรือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดและสามารถกำหนดได้จาก ประเภทต่างๆสมการ แต่สูตรการคำนวณโคไซน์ของมุมควรจำหรือจดไว้ดีกว่า
วิธีการคำนวณมุมระหว่างเส้นตัดกันในอวกาศ
การคำนวณมุมดังกล่าวสามารถลดลงเป็นการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางและการกำหนดขนาดของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้ สำหรับตัวอย่างดังกล่าว เราใช้เหตุผลเดียวกันกับที่เราให้ไว้ก่อนหน้านี้
สมมติว่าเรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอยู่ในพื้นที่ 3 มิติ ประกอบด้วยสองบรรทัด a และ b ที่มีจุดตัด M . ในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เราต้องรู้สมการของเส้นเหล่านี้ ระบุเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) ในการคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เราใช้สูตร:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
ในการหามุมนั้น เราต้องการสูตรนี้:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
ตัวอย่างที่ 5
เรามีเส้นตรงที่กำหนดในพื้นที่ 3 มิติโดยใช้สมการ x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 เป็นที่ทราบกันดีว่ามันตัดกับแกน O z คำนวณมุมของจุดตัดกับโคไซน์ของมุมนั้น
วิธีการแก้
แสดงว่ามุมที่จะคำนวณด้วยตัวอักษร α ลองเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นตรงเส้นแรก - a → = (1 , - 3 , - 2) สำหรับแกนประยุกต์ เราสามารถใช้เวกเตอร์พิกัด k → = (0 , 0 , 1) เป็นแนวทางได้ เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นแล้วและสามารถเพิ่มลงในสูตรที่ต้องการได้:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
เป็นผลให้เราได้ว่ามุมที่เราต้องการจะเท่ากับ a r c cos 1 2 = 45 °
ตอบ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนทุกคนที่เตรียมสอบวิชาคณิตศาสตร์เพื่อทำซ้ำหัวข้อ "การหามุมระหว่างบรรทัด" ตามสถิติแสดงให้เห็นว่า เมื่อผ่านการทดสอบการรับรอง งานในส่วนนี้ของ stereometry ทำให้เกิดปัญหาสำหรับ จำนวนมากนักเรียน. ในเวลาเดียวกัน งานที่ต้องการหามุมระหว่างเส้นตรงจะพบได้ใน USE ที่ระดับพื้นฐานและระดับโปรไฟล์ ซึ่งหมายความว่าทุกคนควรจะสามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้
ช่วงเวลาพื้นฐาน
มีการจัดเรียงเส้นร่วมกันในช่องว่าง 4 ประเภท พวกเขาสามารถตรง, ตัดกัน, ขนานหรือตัดกัน. มุมระหว่างพวกเขาสามารถเป็นแบบเฉียบพลันหรือตรง
ในการหามุมระหว่างเส้นในการสอบ Unified State หรือตัวอย่างเช่นในการแก้ปัญหาเด็กนักเรียนในมอสโกและเมืองอื่น ๆ สามารถใช้วิธีการหลายวิธีในการแก้ปัญหาในส่วนนี้ของ stereometry คุณสามารถทำงานให้สำเร็จด้วยโครงสร้างแบบคลาสสิก ในการทำเช่นนี้ การเรียนรู้สัจพจน์พื้นฐานและทฤษฎีบทของสเตอริโอเมทรีนั้นคุ้มค่า นักเรียนต้องสามารถสร้างเหตุผลอย่างมีเหตุมีผลและสร้างภาพวาดเพื่อที่จะนำงานไปสู่ปัญหาการวางแผน
คุณยังสามารถใช้วิธีพิกัดเวกเตอร์ โดยใช้สูตร กฎ และอัลกอริธึมอย่างง่าย สิ่งสำคัญในกรณีนี้คือการคำนวณทั้งหมดอย่างถูกต้อง มันจะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสเตอริโอเมทรีและส่วนอื่นๆ ของหลักสูตรของโรงเรียน โครงการการศึกษา"ชโคลโกโว"
ก. ให้สองบรรทัด เส้นเหล่านี้ตามที่ระบุไว้ในบทที่ 1 ก่อให้เกิดมุมบวกและลบต่างๆ ซึ่งอาจเป็นแบบเฉียบพลันหรือแบบป้านก็ได้ เมื่อรู้มุมใดมุมหนึ่งเหล่านี้ เราก็สามารถหามุมอื่นได้ง่าย
อย่างไรก็ตาม สำหรับมุมทั้งหมดนี้ ค่าตัวเลขของแทนเจนต์จะเท่ากัน ส่วนต่างสามารถอยู่ในเครื่องหมายเท่านั้น
สมการของเส้น ตัวเลขคือเส้นโครงของเวกเตอร์กำกับของเส้นแรกและเส้นที่สองมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับมุมหนึ่งที่เกิดจากเส้นตรง ดังนั้น ปัญหาจะลดลงจนถึงการกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์ เราจะได้
เพื่อความง่าย เราสามารถตกลงเรื่องมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเพื่อทำความเข้าใจมุมบวกเฉียบพลัน (เช่น ในรูปที่ 53)
จากนั้นแทนเจนต์ของมุมนี้จะเป็นบวกเสมอ ดังนั้น หากได้เครื่องหมายลบทางด้านขวาของสูตร (1) เราต้องทิ้งมัน นั่นคือ เก็บเฉพาะค่าสัมบูรณ์เท่านั้น
ตัวอย่าง. กำหนดมุมระหว่างเส้น
โดยสูตร (1) เรามี
กับ. หากมีการระบุว่าด้านใดของมุมเป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมุม จากนั้น ให้นับทิศทางของมุมทวนเข็มนาฬิกาเสมอ เราสามารถแยกข้อมูลเพิ่มเติมจากสูตร (1) ได้ ดังที่เห็นได้ง่ายจากรูปที่ 53 เครื่องหมายที่ได้รับทางด้านขวาของสูตร (1) จะระบุว่าอันใดอันหนึ่ง - แหลมหรือป้าน - มุมสร้างบรรทัดที่สองด้วยอันแรก
(อันที่จริง จากรูปที่ 53 เราเห็นว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางที่หนึ่งและที่สองนั้นเท่ากับมุมที่ต้องการระหว่างเส้นตรง หรือต่างกันไป ±180°)
ง. ถ้าเส้นขนานกัน, เวกเตอร์ทิศทางของมันก็ขนานกัน. ใช้เงื่อนไขของการขนานกันของเวกเตอร์สองตัว, เราจะได้!
นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นสองเส้นที่จะขนานกัน
ตัวอย่าง. โดยตรง
ขนานกันเพราะ
อี หากเส้นตั้งฉาก เวกเตอร์ทิศทางของมันก็จะตั้งฉากด้วย การนำเงื่อนไขการตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวมาประยุกต์ใช้ จะได้เงื่อนไขความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น กล่าวคือ
ตัวอย่าง. โดยตรง
ตั้งฉากเพราะ
ในการเชื่อมต่อกับเงื่อนไขของการขนานและการตั้งฉาก เราจะแก้ปัญหาสองข้อต่อไปนี้
ฉ. ลากเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดผ่านจุด
การตัดสินใจเช่นนี้ เนื่องจากเส้นที่ต้องการขนานกับเส้นที่กำหนด ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์การกำกับ เราจึงสามารถใช้เส้นเดียวกับเส้นที่กำหนด นั่นคือเวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และ B จากนั้นจึงเขียนสมการของเส้นที่ต้องการ ในรูปแบบ (§ 1)
ตัวอย่าง. สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (1; 3) ขนานกับเส้นตรง
จะเป็นรายต่อไป!
กรัม ลากเส้นผ่านจุดที่ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด
ที่นี่ ไม่เหมาะสมที่จะใช้เวกเตอร์ที่มีเส้นโครง A และเป็นเวกเตอร์กำกับอีกต่อไป แต่จำเป็นต้องชนะเวกเตอร์ตั้งฉากกับมัน ดังนั้น การคาดคะเนของเวกเตอร์นี้จึงต้องเลือกตามเงื่อนไขที่เวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉาก กล่าวคือ ตามเงื่อนไข
เงื่อนไขนี้สามารถบรรลุได้หลายวิธี เนื่องจากที่นี่มีสมการหนึ่งที่มี 2 ค่าไม่ทราบค่า แต่วิธีที่ง่ายที่สุดคือเอา จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ต้องการจะเขียนอยู่ในรูป
ตัวอย่าง. สมการของเส้นที่ผ่านจุด (-7; 2) ในเส้นตั้งฉาก
จะเป็นดังนี้ (ตามสูตรที่สอง)!
ชม. ในกรณีที่เส้นถูกกำหนดโดยสมการของแบบฟอร์ม
กำลังโหลด...