"Vektorskalär produkt" - Den skalära produkten av vektorer. I en liksidig triangel ABC med sida 1 ritas höjden BD. Per definition, karakterisera en vinkel? mellan vektorer och om: a) b) c) d). Vid vilket värde av t är vektorn vinkelrät mot vektorn if (2, -1), (4, 3). Den skalära produkten av vektorer och betecknas.

"Geometry 9 class "Vectors"" - Avståndet mellan två punkter. De enklaste problemen i koordinater. Kontrollera dig själv! Vektorkoordinater. 1903 föreslog O. Henrichi att skalärprodukten betecknas med symbolen (a, c). En vektor är ett riktat segment. Nedbrytning av en vektor i koordinatvektorer. Begreppet en vektor. Nedbrytning av en vektor på ett plan i två icke-kollinjära vektorer.

"Problemlösningsvektor" - Uttryck vektorerna AM, DA, CA, MB, CD i termer av vektor a och vektor b. № 2 Uttryck vektorerna DP, DM, AC genom vektorerna a och b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Uttryck vektorerna CK, RK genom vektorerna a och b. BE:EC = 3:1 K är mitten av DC. VK: KС = 3: 4. Uttryck vektorerna AK, DK genom vektorerna a och b. Tillämpning av vektorer för problemlösning (del 1).

"Problem på vektorer" - Teorem. Hitta koordinaterna. Tre poäng ges. Triangelns hörn. Hitta vektorernas koordinater. Hitta koordinaterna för punkten. Hitta vektorns koordinater och längd. Uttryck längden på vektorn. Vektorkoordinater. Vektorkoordinater. Hitta vektorns koordinater. Vektorer ges. Namnge koordinaterna för vektorerna. Vektorn har koordinater.

"Metod för koordinater på ett plan" - En cirkel ritas. Perpendicularer. Koordinataxel. Värdet på sinus. Rektangulärt koordinatsystem på planet. Hitta vertexkoordinaterna. Tänk på ett exempel. Lösningen på detta problem. Poäng ges på planet. Vertices i ett parallellogram. Expandera vektorerna. Beräkna. Många poäng. Lös ekvationssystemet grafiskt.

"Addition och subtraktion av vektorer" - 1. Lektionens mål. 2. Huvuddelen. Din allra, mest bästa vän Sömngångare! Lär dig att subtrahera vektorer. 2. Ange vektorn för summan av vektorerna a och b. Min vän!! Låt oss se vad vi har här. Våra mål: Slutsats. 3. Genomgång av huvudet. 4. Lista över referenser. Reser med Lunatic. Från punkt A skjuter vi upp båda vektorerna.

Totalt finns det 29 presentationer i ämnet

När man studerar geometri uppstår många frågor om ämnet vektorer. Eleven upplever särskilda svårigheter när det är nödvändigt att hitta vinklarna mellan vektorerna.

Grundläggande villkor

Innan du överväger vinklarna mellan vektorer är det nödvändigt att bekanta dig med definitionen av en vektor och begreppet vinkel mellan vektorer.

En vektor är ett segment som har en riktning, det vill säga ett segment för vilket dess början och slut definieras.

Vinkeln mellan två vektorer på ett plan som har ett gemensamt ursprung är den minsta av vinklarna, med vilken det krävs för att flytta en av vektorerna runt en gemensam punkt, till en position där deras riktningar sammanfaller.

Lösningsformel

När du förstår vad en vektor är och hur dess vinkel bestäms, kan du beräkna vinkeln mellan vektorer. Lösningsformeln för detta är ganska enkel, och resultatet av dess tillämpning kommer att vara värdet på vinkelns cosinus. Per definition är den lika med kvoten punkt produkt vektorer och produkten av deras längder.

Den skalära produkten av vektorer betraktas som summan av motsvarande koordinater för multiplikatorvektorer multiplicerade med varandra. Längden på en vektor, eller dess modul, beräknas som kvadratroten av summan av kvadraterna på dess koordinater.

Efter att ha fått värdet på vinkelns cosinus kan du beräkna värdet på själva vinkeln med hjälp av en miniräknare eller med hjälp av en trigonometrisk tabell.

Exempel

När du har räknat ut hur man beräknar vinkeln mellan vektorer blir lösningen på motsvarande problem enkel och okomplicerad. Som ett exempel, överväg det enkla problemet att hitta storleken på en vinkel.

Först och främst kommer det att vara bekvämare att beräkna värdena för längderna på vektorerna och deras skalära produkt som är nödvändig för att lösa. Med hjälp av beskrivningen ovan får vi:

Genom att ersätta de erhållna värdena i formeln beräknar vi värdet på cosinus för den önskade vinkeln:

Detta nummer är inte ett av de fem vanliga cosinusvärdena, så för att få värdet på vinkeln måste du använda en miniräknare eller Bradis trigonometriska tabell. Men innan man får vinkeln mellan vektorerna kan formeln förenklas för att bli av med det extra negativa tecknet:

Det slutliga svaret kan lämnas i detta formulär för att bibehålla noggrannheten, eller så kan du beräkna värdet på vinkeln i grader. Enligt Bradis-tabellen kommer dess värde att vara cirka 116 grader och 70 minuter, och räknaren kommer att visa ett värde på 116,57 grader.

Vinkelberäkning i n-dimensionellt utrymme

När man betraktar två vektorer i det tredimensionella rummet är det mycket svårare att förstå vilken vinkel vi pratar om om de inte ligger i samma plan. För att förenkla uppfattningen kan du rita två korsande segment som bildar den minsta vinkeln mellan dem, och det blir den önskade. Trots närvaron av en tredje koordinat i vektorn kommer processen för hur vinklarna mellan vektorer beräknas inte att förändras. Beräkna skalärprodukten och moduler av vektorer, arccosinus för deras kvot och kommer att vara svaret på detta problem.

Inom geometrin uppstår ofta problem med utrymmen som har mer än tre dimensioner. Men för dem ser algoritmen för att hitta svaret liknande ut.

Skillnad mellan 0 och 180 grader

Ett av de vanligaste misstagen när man skriver ett svar på ett problem utformat för att beräkna vinkeln mellan vektorer är beslutet att skriva att vektorerna är parallella, det vill säga den önskade vinkeln visade sig vara 0 eller 180 grader. Det här svaret är felaktigt.

Efter att ha fått ett vinkelvärde på 0 grader som ett resultat av lösningen, skulle det korrekta svaret vara att beteckna vektorerna som medriktade, det vill säga att vektorerna kommer att ha samma riktning. I fallet med erhållande av 180 grader kommer vektorerna att ha motsatta riktningar.

Specifika vektorer

Genom att hitta vinklarna mellan vektorerna kan en av specialtyperna hittas, förutom de samriktade och motsatt riktade som beskrivits ovan.

• Flera vektorer parallella med ett plan kallas koplanära.
• Vektorer som är lika i längd och riktning kallas lika.
• Vektorer som ligger på samma räta linje, oavsett riktning, kallas kolinjära.
• Om vektorns längd är noll, det vill säga dess början och slut sammanfaller, kallas den noll, och om den är en, kallas den en.

Instruktion

Låt två vektorer som inte är noll ges på planet, plottade från en punkt: vektor A med koordinater (x1, y1) B med koordinater (x2, y2). Injektion mellan dem betecknas som θ. För att hitta gradmåttet för vinkeln θ måste du använda definitionen av skalärprodukten.

Skalärprodukten av två vektorer som inte är noll är ett tal lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem, det vill säga (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Nu måste du uttrycka cosinus för vinkeln från detta: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Den skalära produkten kan också hittas med formeln (A,B)=x1*x2+y1*y2, eftersom produkten av två icke-nollvektorer är lika med summan av produkterna av motsvarande vektorer. Om skalärprodukten av vektorer som inte är noll är lika med noll, är vektorerna vinkelräta (vinkeln mellan dem är 90 grader) och ytterligare beräkningar kan utelämnas. Om skalärprodukten av två vektorer är positiv, så är vinkeln mellan dessa vektorer spets, och om den är negativ, är vinkeln trubbig.

Beräkna nu längderna av vektorerna A och B med formlerna: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektorlängden beräknas som Roten ur från summan av kvadraterna av dess koordinater.

Ersätt de hittade värdena för den skalära produkten och längderna på vektorerna i formeln för vinkeln som erhålls i steg 2, det vill säga cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Nu, genom att känna till värdet på , för att hitta gradmåttet för vinkeln mellan vektorer du måste använda Bradis-tabellen eller ta från denna: θ=arccos(cos(θ)).

Om vektorerna A och B är givna i tredimensionellt rum och har koordinater (x1, y1, z1) respektive (x2, y2, z2), så läggs ytterligare en koordinat till när man ska hitta vinkelns cosinus. I detta fall cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Användbara råd

Om två vektorer inte plottas från en punkt, måste du kombinera början av dessa vektorer för att hitta vinkeln mellan dem genom parallell translation.
Vinkeln mellan två vektorer får inte vara större än 180 grader.

Källor:

• hur man beräknar vinkel mellan vektorer
• Vinkel mellan linje och plan

För att lösa många problem, både tillämpade och teoretiska, inom fysik och linjär algebra, är det nödvändigt att beräkna vinkeln mellan vektorer. Denna till synes enkla uppgift kan orsaka många svårigheter om du inte tydligt förstår essensen av den skalära produkten och vilket värde som uppstår som ett resultat av denna produkt.

Instruktion

Vinkeln mellan vektorer i ett linjärt vektorrum är den minsta vinkeln vid , vid vilken vektorernas samriktning uppnås. En av vektorerna bärs runt sin startpunkt. Av definitionen blir det uppenbart att vinkelns värde inte kan överstiga 180 grader (se steget).

I det här fallet antas det helt riktigt att i ett linjärt utrymme, när vektorerna överförs parallellt, ändras inte vinkeln mellan dem. Därför, för den analytiska beräkningen av vinkeln, spelar den rumsliga orienteringen av vektorerna ingen roll.

Resultatet av prickprodukten är ett tal, annars en skalär. Kom ihåg (detta är viktigt att veta) för att förhindra fel i ytterligare beräkningar. Formeln för den skalära produkten, placerad på ett plan eller i utrymmet av vektorer, har formen (se figuren för steget).

Om vektorerna är placerade i rymden, utför sedan beräkningen på liknande sätt. Det enda blir termens utseende i utdelningen - detta är termen för ansökan, d.v.s. den tredje komponenten i vektorn. Följaktligen, vid beräkning av modulen för vektorer, måste z-komponenten också tas med i beräkningen, sedan för vektorer lokaliserade i rymden transformeras det sista uttrycket enligt följande (se figur 6 till steget).

En vektor är ett linjesegment med en given riktning. Vinkeln mellan vektorerna har fysisk mening, till exempel när man hittar längden på projektionen av en vektor på en axel.

Instruktion

Vinkel mellan två vektorer som inte är noll med hjälp av punktproduktberäkning. Per definition är produkten lika med produkten av längderna och vinkeln mellan dem. Å andra sidan beräknas den inre produkten för två vektorer a med koordinater (x1; y1) och b med koordinater (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Av dessa två sätt är punktprodukten lätt att vinkla mellan vektorer.

Hitta vektorernas längder eller moduler. För våra vektorer a och b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Hitta den inre produkten av vektorer genom att multiplicera deras koordinater i par: ab = x1x2 + y1y2. Från definitionen av prickprodukten ab = |a|*|b|*cos α, där α är vinkeln mellan vektorerna. Då får vi att x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Sedan cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Hitta vinkeln α med hjälp av Bradys-tabellerna.

Relaterade videoklipp

notera

Den skalära produkten är en skalär egenskap av vektorernas längder och vinkeln mellan dem.

Planet är ett av de grundläggande begreppen inom geometri. Ett plan är en yta för vilken påståendet är sant - varje rät linje som förbinder två av dess punkter tillhör helt och hållet denna yta. Planen är utsedda grekiska bokstäverα, β, γ, etc. Två plan skär alltid varandra i en rät linje som hör till båda planen.

Instruktion

Betrakta halvplanen α och β som bildas i skärningspunkten mellan . Vinkel som bildas av en rät linje a och två halvplan α och β av en dihedrisk vinkel. I det här fallet, de halvplan som bildar en dihedrisk vinkel av ytor, linjen a längs vilken planen skär kallas en kant dihedral vinkel.

Dihedral vinkel, som en platt vinkel, i grader. För att göra en dihedrisk vinkel är det nödvändigt att välja en godtycklig punkt O på dess yta. I båda dras två strålar a genom punkten O. Den resulterande vinkeln AOB kallas den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln a.

Så låt vektorn V = (a, b, c) och planet A x + B y + C z = 0 ges, där A, B och C är koordinaterna för det normala N. Sedan cosinus för vinkeln α mellan vektorerna V och N är: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

För att beräkna värdet på vinkeln i grader eller radianer måste du beräkna funktionen invers till cosinus från det resulterande uttrycket, dvs. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Exempel: hitta injektion mellan vektor(5, -3, 8) och plan, ges av den allmänna ekvationen 2 x - 5 y + 3 z = 0. Lösning: skriv ner koordinaterna för normalvektorn för planet N = (2, -5, 3). Ersätt allt kända värden i formeln ovan: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Relaterade videoklipp

Skriv en ekvation och isolera cosinus från den. Enligt en formel är skalärprodukten av vektorer lika med deras längder multiplicerat med varandra och med cosinus hörn, och å andra sidan - summan av produkterna av koordinater längs var och en av axlarna. Genom att likställa båda formlerna kan vi dra slutsatsen att cosinus hörn måste vara lika med förhållandet mellan summan av koordinaternas produkter och produkten av vektorernas längder.

Skriv ner den resulterande ekvationen. För att göra detta måste vi utse båda vektorerna. Låt oss säga att de ges i ett 3D kartesiskt system och deras startpunkter är i ett rutnät. Riktningen och storleken på den första vektorn kommer att ges av punkten (X1,Y1,Z1), den andra - (X2,Y2,Z2), och vinkeln kommer att betecknas med bokstaven y. Då kan längderna på var och en av vektorerna till exempel vara enligt Pythagoras sats för bildad av deras projektioner på var och en av koordinataxlarna: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) och √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Ersätt dessa uttryck i formeln som formulerades i föregående steg och du får likheten: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y22 + Z22)).

Använd det faktum att summan av kvadraten sinus och co sinus från hörn ett värde ger alltid ett. Därför, genom att höja vad som erhölls i föregående steg för co sinus kvadrat och subtraherad från enhet, och sedan

Punktprodukt av vektorer

Vi fortsätter att hantera vektorer. Vid första lektionen Vektorer för dummies vi har övervägt begreppet vektor, handlingar med vektorer, vektorkoordinater och de enklaste problemen med vektorer. Om du kom till den här sidan för första gången från en sökmotor rekommenderar jag starkt att du läser ovanstående inledande artikel, eftersom det för att tillgodogöra sig materialet är nödvändigt att navigera i de termer och notationer jag använder, för att ha grundläggande kunskap om vektorer och kunna lösa elementära problem. Den här lektionen är en logisk fortsättning på ämnet, och i den kommer jag att analysera i detalj typiska uppgifter som använder den skalära produkten av vektorer. Detta är väldigt VIKTIG aktivitet . Försök att inte hoppa över exemplen, de åtföljs av en användbar bonus - övning hjälper dig att konsolidera det täckta materialet och "få din hand" på att lösa vanliga problem med analytisk geometri.

Addera vektorer, multiplicera en vektor med ett tal... Det vore naivt att tro att matematiker inte har kommit på något annat. Utöver de åtgärder som redan har övervägts finns det ett antal andra operationer med vektorer, nämligen: prickprodukt av vektorer, korsprodukt av vektorer och blandad produkt av vektorer. Den skalära produkten av vektorer är bekant för oss från skolan, de andra två produkterna är traditionellt relaterade till kursen högre matematik. Ämnena är enkla, algoritmen för att lösa många problem är stereotyp och förståelig. Den enda saken. Det finns en anständig mängd information, så det är inte önskvärt att försöka bemästra och lösa ALLT OCH PÅ EN GÅNG. Detta gäller särskilt för dummies, tro mig, författaren vill absolut inte känna sig som Chikatilo från matematiken. Tja, inte från matematiken, förstås, heller =) Mer förberedda elever kan använda materialen selektivt, i en viss mening, för att "förvärva" den saknade kunskapen, för dig kommer jag att vara en ofarlig greve Dracula =)

Till sist, låt oss öppna dörren lite och ta en titt på vad som händer när två vektorer möter varandra...

Definition av skalärprodukten av vektorer.
Egenskaper hos den skalära produkten. Typiska arbetsuppgifter

Begreppet prickprodukt

Först om vinkel mellan vektorer. Jag tror att alla intuitivt förstår vad vinkeln mellan vektorer är, men för säkerhets skull, lite mer. Överväg fria vektorer som inte är noll och . Om vi ​​skjuter upp dessa vektorer från en godtycklig punkt, får vi en bild som många redan har presenterat mentalt:

Jag erkänner, här beskrev jag situationen endast på nivån av förståelse. Om du behöver en strikt definition av vinkeln mellan vektorer, se läroboken, men för praktiska uppgifter behöver vi i princip inte det. Även HÄR OCH VIDARE kommer jag ibland att ignorera nollvektorer på grund av deras låga praktiska betydelse. Jag gjorde en reservation specifikt för avancerade besökare på webbplatsen, som kan förebrå mig för den teoretiska ofullständigheten i några av följande påståenden.

kan ta värden från 0 till 180 grader (från 0 till radianer) inklusive. Analytiskt givet faktum skrivs som en dubbel ojämlikhet: eller (i radianer).

I litteraturen är vinkelikonen ofta utelämnad och enkelt skriven.

Definition: Den skalära produkten av två vektorer är ett TAL lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem:

Nu är det en ganska strikt definition.

Vi fokuserar på viktig information:

Beteckning: den skalära produkten betecknas med eller helt enkelt .

Resultatet av operationen är ett NUMMER: Multiplicera en vektor med en vektor för att få ett tal. Faktum är att om längderna på vektorer är tal, är cosinus för vinkeln ett tal, då deras produkt kommer också att vara ett nummer.

Bara ett par uppvärmningsexempel:

Exempel 1

Beslut: Vi använder formeln . I detta fall:

Svar:

Cosinusvärden finns i trigonometrisk tabell. Jag rekommenderar att du skriver ut det - det kommer att krävas i nästan alla delar av tornet och kommer att krävas många gånger.

Rent matematiskt sett är den skalära produkten dimensionslös, det vill säga resultatet, i det här fallet, är bara en siffra och det är allt. Med tanke på fysikens problem har den skalära produkten alltid en viss fysisk mening, det vill säga efter resultatet måste en eller annan fysisk enhet anges. Det kanoniska exemplet på att beräkna en krafts arbete kan hittas i vilken lärobok som helst (formeln är exakt en prickprodukt). En krafts arbete mäts i Joule, därför kommer svaret att skrivas ganska specifikt, till exempel.

Exempel 2

Hitta om , och vinkeln mellan vektorerna är .

Detta är ett exempel för självbeslut, svaret finns i slutet av lektionen.

Vinkel mellan vektorer och punktproduktvärde

I exempel 1 visade sig den skalära produkten vara positiv och i exempel 2 visade den sig vara negativ. Låt oss ta reda på vad tecknet på den skalära produkten beror på. Låt oss titta på vår formel: . Längden på vektorer som inte är noll är alltid positiva: , så tecknet kan bara bero på värdet av cosinus.

Notera: För en bättre förståelse av informationen nedan är det bättre att studera cosinusgrafen i manualen Grafer och funktionsegenskaper. Se hur cosinusen beter sig på segmentet.

Som redan noterats kan vinkeln mellan vektorerna variera inom , och följande fall är möjliga:

1) Om injektion mellan vektorer kryddad: (från 0 till 90 grader), sedan , och prickprodukten kommer att vara positiv samregisserad, då anses vinkeln mellan dem vara noll, och den skalära produkten kommer också att vara positiv. Sedan är formeln förenklad: .

2) Om injektion mellan vektorer trubbig: (från 90 till 180 grader), då , och på motsvarande sätt, prickprodukten är negativ: . Specialfall: om vektorerna riktat motsatt, då beaktas vinkeln mellan dem utplacerade: (180 grader). Den skalära produkten är också negativ, eftersom

De omvända påståendena är också sanna:

1) Om , då är vinkeln mellan dessa vektorer spetsig. Alternativt är vektorerna samriktade.

2) Om , då är vinkeln mellan dessa vektorer trubbig. Alternativt är vektorerna riktade motsatta.

Men det tredje fallet är av särskilt intresse:

3) Om injektion mellan vektorer hetero: (90 grader) sedan och punktprodukten är noll: . Det omvända är också sant: om , då . Det kompakta uttalandet är formulerat enligt följande: Den skalära produkten av två vektorer är noll om och endast om de givna vektorerna är ortogonala. kort matematisk notation:

! Notera : upprepa grunderna för matematisk logik: dubbelsidig logisk konsekvensikon läses vanligtvis "om och endast då", "om och endast om". Som du kan se är pilarna riktade åt båda håll - "av detta följer detta, och vice versa - från detta följer detta." Vad är förresten skillnaden från envägsföljningsikonen? Ikon hävdar bara det att "av detta följer detta", och inte det faktum att det omvända är sant. Till exempel: , men inte alla djur är en panter, så ikonen kan inte användas i det här fallet. Samtidigt, istället för ikonen burk använd ensidig ikon. Till exempel, när vi löste problemet, fick vi reda på att vi drog slutsatsen att vektorerna är ortogonala: - en sådan post kommer att vara korrekt och till och med lämpligare än .

Det tredje fallet är av stor praktisk betydelse., eftersom det låter dig kontrollera om vektorerna är ortogonala eller inte. Vi kommer att lösa detta problem i den andra delen av lektionen.

Prick produktens egenskaper

Låt oss återgå till situationen när två vektorer samregisserad. I det här fallet, vinkeln mellan dem noll-, , och den skalära produktformeln har formen: .

Vad händer om en vektor multipliceras med sig själv? Det är tydligt att vektorn är samriktad med sig själv, så vi använder ovanstående förenklade formel:

Numret är uppringt skalär kvadrat vektor och betecknas som .

Således, den skalära kvadraten av en vektor är lika med kvadraten på längden på den givna vektorn:

Från denna likhet kan du få en formel för att beräkna längden på en vektor:

Även om det verkar dunkelt, men lektionens uppgifter kommer att sätta allt på sin plats. För att lösa problem behöver vi också punkt produktegenskaper.

För godtyckliga vektorer och valfritt tal är följande egenskaper sanna:

1) - förskjutbar eller kommutativ skalär produktlag.

2) - distribution eller distributiv skalär produktlag. Enkelt uttryckt kan du öppna parenteser.

3) - kombination eller associativ skalär produktlag. Konstanten kan tas ut ur den skalära produkten.

Ofta uppfattas alla typer av egenskaper (som också måste bevisas!) av elever som skräp, som bara behöver memoreras och säkert glömmas bort direkt efter tentamen. Det verkar som att det som är viktigt här, alla vet redan från första klass att produkten inte förändras från en permutation av faktorer:. Jag måste varna dig, i högre matematik med ett sådant tillvägagångssätt är det lätt att förstöra saker. Så till exempel är den kommutativa egenskapen inte giltig för algebraiska matriser. Det är inte sant för korsprodukt av vektorer. Därför är det åtminstone bättre att fördjupa sig i alla egenskaper som du kommer att möta under högre matematik för att förstå vad som kan och inte kan göras.

Exempel 3

.

Beslut: Låt oss först klargöra situationen med vektorn. Vad handlar det om? Summan av vektorerna och är en väldefinierad vektor, som betecknas med . Geometrisk tolkning av åtgärder med vektorer finns i artikeln Vektorer för dummies. Samma persilja med en vektor är summan av vektorerna och .

Så, enligt tillståndet, krävs det att hitta den skalära produkten. I teorin måste du tillämpa arbetsformeln , men problemet är att vi inte vet längden på vektorerna och vinkeln mellan dem. Men i tillståndet ges liknande parametrar för vektorer, så vi kommer att gå åt andra hållet:

(1) Vi ersätter uttryck av vektorer.

(2) Vi öppnar parentesen enligt regeln för multiplikation av polynom, en vulgär tungvridare kan hittas i artikeln Komplexa tal eller Integration av en bråk-rationell funktion. Jag kommer inte att upprepa mig själv =) Förresten, den distribuerande egenskapen hos den skalära produkten tillåter oss att öppna parenteserna. Vi har rätten.

(3) I de första och sista termerna skriver vi kompakt de skalära kvadraterna av vektorerna: . I den andra termen använder vi den skalära produktens commuterbarhet: .

(4) Här är liknande termer: .

(5) I den första termen använder vi den skalära kvadratformeln, som nämndes för inte så länge sedan. Under den sista terminen fungerar samma sak: . Den andra termen utökas enligt standardformeln .

(6) Ersätt dessa villkor , och utför noggrant de slutliga beräkningarna.

Svar:

Negativ betydelse punktprodukt anger det faktum att vinkeln mellan vektorerna är trubbig.

Uppgiften är typisk, här är ett exempel på en oberoende lösning:

Exempel 4

Hitta skalärprodukten av vektorerna och , om det är känt att .

Nu en annan vanlig uppgift, bara för den nya vektorlängdformeln. Beteckningarna här kommer att överlappa lite, så för tydlighetens skull kommer jag att skriva om den med en annan bokstav:

Exempel 5

Hitta längden på vektorn if .

Beslut blir som följer:

(1) Vi tillhandahåller vektoruttrycket.

(2) Vi använder längdformeln: , medan vi har ett heltalsuttryck som vektorn "ve".

(3) Vi använder skolans formel för kvadraten på summan. Var uppmärksam på hur det konstigt nog fungerar här: - i själva verket är det här kvadraten på skillnaden, och i själva verket är det så. De som vill kan ordna om vektorerna på ställen: - det blev samma sak upp till en omarrangering av termerna.

(4) Det som följer är redan bekant från de två tidigare problemen.

Svar:

Eftersom vi pratar om längd, glöm inte att ange dimensionen - "enheter".

Exempel 6

Hitta längden på vektorn if .

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Komplett lösning och svaret i slutet av lektionen.

Vi fortsätter att pressa ut användbara saker ur den skalära produkten. Låt oss titta på vår formel igen . Med proportionsregeln återställer vi vektorernas längder till nämnaren på vänster sida:

Låt oss byta delarna:

Vad är meningen med denna formel? Om längden på två vektorer och deras skalära produkt är kända, är det möjligt att beräkna cosinus för vinkeln mellan dessa vektorer, och följaktligen själva vinkeln.

Är den skalära produkten ett nummer? Siffra. Är vektorlängder tal? Tal. Så ett bråk är också ett tal. Och om cosinus för vinkeln är känd: , använd sedan invers funktion det är lätt att hitta själva hörnet: .

Exempel 7

Hitta vinkeln mellan vektorerna och , om det är känt att .

Beslut: Vi använder formeln:

På sista steget beräkningar användes en teknik - eliminering av irrationalitet i nämnaren. För att eliminera irrationalitet multiplicerade jag täljaren och nämnaren med .

Så om , sedan:

Omvända värden trigonometriska funktioner kan hittas av trigonometrisk tabell. Även om detta sällan händer. I problem med analytisk geometri uppträder vissa klumpiga björnliknande mycket oftare, och värdet på vinkeln måste hittas ungefär med hjälp av en miniräknare. Faktum är att vi kommer att se den här bilden om och om igen.

Svar:

Återigen, glöm inte att ange dimensionen - radianer och grader. Personligen, för att medvetet "ta bort alla frågor", föredrar jag att ange båda (såvida det inte, naturligtvis, av villkoret krävs att svaret endast presenteras i radianer eller endast i grader).

Nu kan du ta itu med mer svår uppgift:

Exempel 7*

Angivna är längderna på vektorerna och vinkeln mellan dem. Hitta vinkeln mellan vektorerna , .

Uppgiften är inte så mycket svår som flervägs.
Låt oss analysera lösningsalgoritmen:

1) Enligt villkoret krävs det att hitta vinkeln mellan vektorerna och , så du måste använda formeln .

2) Vi hittar den skalära produkten (se exempel nr 3, 4).

3) Hitta längden på vektorn och längden på vektorn (se exempel nr 5, 6).

4) Slutet på lösningen sammanfaller med exempel nr 7 - vi känner till talet , vilket betyder att det är lätt att hitta själva vinkeln:

Snabb lösning och svaret i slutet av lektionen.

Den andra delen av lektionen ägnas åt samma punktprodukt. Koordinater. Det blir ännu lättare än i första delen.

Punktprodukt av vektorer,
ges av koordinater på ortonormal basis

Svar:

Det behöver inte sägas att det är mycket trevligare att hantera koordinater.

Exempel 14

Hitta skalärprodukten av vektorer och om

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Här kan du använda operationens associativitet, det vill säga inte räkna, utan omedelbart ta trippeln ur skalärprodukten och multiplicera med den sist. Lösning och svar i slutet av lektionen.

I slutet av stycket, ett provokativt exempel på att beräkna längden på en vektor:

Exempel 15

Hitta längder på vektorer , om

Beslut: frågar återigen om ett sätt föregående avsnitt: , men det finns ett annat sätt:

Låt oss hitta vektorn:

Och dess längd enligt den triviala formeln :

Den skalära produkten är inte aktuell här alls!

Hur out of business är det när man beräknar längden på en vektor:
Sluta. Varför inte dra fördel av den uppenbara längdegenskapen hos en vektor? Vad kan man säga om längden på en vektor? Denna vektor är 5 gånger längre än vektorn. Riktningen är motsatt, men det spelar ingen roll, för vi pratar om längd. Uppenbarligen är vektorns längd lika med produkten modul antal per vektorlängd:
- tecknet för modulen "äter" det möjliga minus av numret.

Således:

Svar:

Formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer som ges av koordinater

Nu har vi fullständig information så att den tidigare härledda formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer uttryck i termer av vektorkoordinater:

Cosinus för vinkeln mellan planvektorer och , givet i den ortonormala grunden , uttrycks med formeln:
.

Cosinus för vinkeln mellan rymdvektorer, givet i ortonormal grund , uttrycks med formeln:

Exempel 16

Tre hörn i en triangel ges. Hitta (vertexvinkel ).

Beslut: Enligt villkor krävs inte ritningen, men ändå:

Den önskade vinkeln är markerad med en grön båge. Kom omedelbart ihåg skolbeteckningen för vinkeln: - Särskild uppmärksamhet på mitten bokstav - det här är spetsen på vinkeln vi behöver. För korthetens skull kan det också skrivas enkelt.

Från ritningen är det ganska uppenbart att triangelns vinkel sammanfaller med vinkeln mellan vektorerna och , med andra ord: .

Det är önskvärt att lära sig hur man utför analysen utförd mentalt.

Låt oss hitta vektorerna:

Låt oss beräkna den skalära produkten:

Och längden på vektorerna:

Cosinus för en vinkel:

Det är denna ordning av uppgiften som jag rekommenderar till dummies. Mer avancerade läsare kan skriva beräkningarna "på en rad":

Här är ett exempel på ett "dåligt" cosinusvärde. Det resulterande värdet är inte slutgiltigt, så nej speciell betydelse bli av med irrationalitet i nämnaren.

Låt oss hitta vinkeln:

Om du tittar på ritningen är resultatet ganska troligt. För att kontrollera vinkeln kan även mätas med en gradskiva. Skada inte bildskärmens beläggning =)

Svar:

I svaret, glöm inte det frågade om triangelns vinkel(och inte om vinkeln mellan vektorerna), glöm inte att ange det exakta svaret: och det ungefärliga värdet på vinkeln: hittas med en miniräknare.

De som har njutit av processen kan beräkna vinklarna och se till att den kanoniska jämlikheten är sann

Exempel 17

En triangel ges i rymden av koordinaterna för dess hörn. Hitta vinkeln mellan sidorna och

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen

Ett litet sista avsnitt kommer att ägnas åt projektioner, där den skalära produkten också är "involverad":

Projektion av en vektor på en vektor. Vektorprojektion på koordinataxlar.
Vector riktning cosinus

Tänk på vektorer och:

Vi projicerar vektorn på vektorn, för detta utelämnar vi från början och slutet av vektorn vinkelräta per vektor (gröna prickade linjer). Föreställ dig att ljusstrålar faller vinkelrätt mot en vektor. Då kommer segmentet (röd linje) att vara vektorns "skugga". I detta fall är projektionen av en vektor på en vektor segmentets LÄNGD. Det vill säga, PROJEKTION ÄR ETT TAL.

Detta NUMMER betecknas enligt följande: , "stor vektor" betecknar en vektor SOM projekt, "liten nedsänkt vektor" betecknar vektorn PÅ som projiceras.

Själva posten lyder så här: "projektionen av vektorn "a" på vektorn "be"".

Vad händer om vektorn "be" är "för kort"? Vi ritar en rak linje som innehåller vektorn "be". Och vektorn "a" kommer redan att projiceras till vektorns riktning "vara", helt enkelt - på en rak linje som innehåller vektorn "be". Samma sak kommer att hända om vektorn "a" sätts åt sidan i det trettionde riket - den kommer fortfarande att projiceras lätt på linjen som innehåller vektorn "be".

Om vinkeln mellan vektorer kryddad(som på bilden), alltså

Om vektorerna ortogonal, alltså (projektionen är en punkt vars dimensioner antas vara noll).

Om vinkeln mellan vektorer trubbig(i figuren, ordna om vektorns pil mentalt), sedan (samma längd, men taget med ett minustecken).

Lägg åt sidan dessa vektorer från en punkt:

Uppenbarligen ändras inte dess projektion när en vektor flyttas

Vinkel mellan två vektorer , :

Om vinkeln mellan två vektorer är spetsig, är deras punktprodukt positiv; om vinkeln mellan vektorerna är trubbig, är skalärprodukten av dessa vektorer negativ. Den skalära produkten av två vektorer som inte är noll är noll om och endast om dessa vektorer är ortogonala.

Träning. Hitta vinkeln mellan vektorer och

Beslut. Cosinus för önskad vinkel

16. Beräkna vinkeln mellan räta linjer, en rät linje och ett plan

Vinkel mellan linje och plan som skär denna linje och inte vinkelrät mot den är vinkeln mellan linjen och dess projektion på detta plan.

Att bestämma vinkeln mellan en linje och ett plan låter oss dra slutsatsen att vinkeln mellan en linje och ett plan är vinkeln mellan två skärande linjer: själva linjen och dess projektion på planet. Därför är vinkeln mellan en linje och ett plan en spetsig vinkel.

Vinkeln mellan en vinkelrät linje och ett plan anses vara lika, och vinkeln mellan en parallell linje och ett plan är antingen inte bestämd alls, eller anses lika med .

§ 69. Beräkning av vinkeln mellan räta linjer.

Problemet med att beräkna vinkeln mellan två räta linjer i rymden löses på samma sätt som i planet (§ 32). Beteckna med φ vinkeln mellan linjerna l 1 och l 2 och genom ψ - vinkeln mellan riktningsvektorerna a och b dessa raka linjer.

Sedan om

ψ 90° (Fig. 206.6), då φ = 180° - ψ. Det är uppenbart att i båda fallen är likheten cos φ = |cos ψ| sann. Genom formel (1) § 20 har vi

därav,

Låt linjerna ges av deras kanoniska ekvationer

Sedan bestäms vinkeln φ mellan linjerna med hjälp av formeln

Om en av linjerna (eller båda) ges av icke-kanoniska ekvationer, måste du för att beräkna vinkeln hitta koordinaterna för riktningsvektorerna för dessa linjer och sedan använda formeln (1).

17. Parallella linjer, satser om parallella linjer

Definition. Två linjer i ett plan kallas parallell om de inte har gemensamma punkter.

Två linjer i tre dimensioner kallas parallell om de ligger i samma plan och inte har några gemensamma punkter.

Vinkel mellan två vektorer.

Från definitionen av prickprodukten:

.

Villkor för ortogonalitet för två vektorer:

Kolinearitetsvillkor för två vektorer:

.

Följer av definition 5 - . I själva verket, från definitionen av produkten av en vektor med ett tal, följer det. Därför, baserat på vektorlikhetsregeln, skriver vi , , , vilket innebär . Men vektorn som blir resultatet av multiplikationen av en vektor med ett tal är kolinjär med vektorn.

Vektor-till-vektor-projektion:

.

Exempel 4. Givet poäng , , , .

Hitta den skalära produkten.

Beslut. finner vi genom formeln för skalärprodukten av vektorer som ges av deras koordinater. I den mån som

, ,

Exempel 5 Givet poäng , , , .

Hitta projektion.

Beslut. I den mån som

, ,

Baserat på projektionsformeln har vi

.

Exempel 6 Givet poäng , , , .

Hitta vinkeln mellan vektorerna och .

Beslut. Observera att vektorerna

, ,

är inte kolinjära, eftersom deras koordinater inte är proportionella:

.

Dessa vektorer är inte heller vinkelräta, eftersom deras prickprodukt är .

Låt oss hitta,

Injektion hitta från formeln:

.

Exempel 7 Bestäm för vilka vektorer och kolinjär.

Beslut. I fallet med kollinearitet, motsvarande koordinater för vektorerna och måste vara proportionell, det vill säga:

.

Härifrån och .

Exempel 8. Bestäm vid vilket värde på vektorn och är vinkelräta.

Beslut. Vektor och är vinkelräta om deras prickprodukt är noll. Från detta tillstånd får vi: . Det är, .

Exempel 9. Att hitta , om , , .

Beslut. På grund av egenskaperna hos den skalära produkten har vi:

Exempel 10. Hitta vinkeln mellan vektorerna och , var och - enhetsvektorer och vinkeln mellan vektorerna och är lika med 120o.

Beslut. Vi har: , ,

Äntligen har vi: .

5 B. vektor produkt.

Definition 21.vektor konst vektor till vektor kallas vektor , eller definieras av följande tre villkor:

1) Vektorns modul är , där är vinkeln mellan vektorerna och , d.v.s. .

Det följer att modulen för vektorprodukten är numeriskt lika med arean parallellogram byggt på vektorer och som på sidor.

2) Vektorn är vinkelrät mot var och en av vektorerna och ( ; ), dvs. vinkelrätt mot planet för parallellogrammet byggt på vektorerna och .

3) Vektorn är riktad på ett sådant sätt att om den ses från dess ände, så skulle den kortaste svängen från vektor till vektor vara moturs (vektorer , , bildar en högertrippel).

Hur beräknar man vinklar mellan vektorer?

När man studerar geometri uppstår många frågor om ämnet vektorer. Eleven upplever särskilda svårigheter när det är nödvändigt att hitta vinklarna mellan vektorerna.

Grundläggande villkor

Innan du överväger vinklarna mellan vektorer är det nödvändigt att bekanta dig med definitionen av en vektor och begreppet vinkel mellan vektorer.

En vektor är ett segment som har en riktning, det vill säga ett segment för vilket dess början och slut definieras.

Vinkeln mellan två vektorer på ett plan som har ett gemensamt ursprung är den minsta av vinklarna, med vilken det krävs för att flytta en av vektorerna runt en gemensam punkt, till en position där deras riktningar sammanfaller.

Lösningsformel

När du förstår vad en vektor är och hur dess vinkel bestäms, kan du beräkna vinkeln mellan vektorer. Lösningsformeln för detta är ganska enkel, och resultatet av dess tillämpning kommer att vara värdet på vinkelns cosinus. Per definition är det lika med kvoten av skalärprodukten av vektorer och produkten av deras längder.

Den skalära produkten av vektorer betraktas som summan av motsvarande koordinater för multiplikatorvektorer multiplicerade med varandra. Längden på en vektor, eller dess modul, beräknas som kvadratroten av summan av kvadraterna på dess koordinater.

Efter att ha fått värdet på vinkelns cosinus kan du beräkna värdet på själva vinkeln med hjälp av en miniräknare eller med hjälp av en trigonometrisk tabell.

Exempel

När du har räknat ut hur man beräknar vinkeln mellan vektorer blir lösningen på motsvarande problem enkel och okomplicerad. Som ett exempel, överväg det enkla problemet att hitta storleken på en vinkel.

Först och främst kommer det att vara bekvämare att beräkna värdena för längderna på vektorerna och deras skalära produkt som är nödvändig för att lösa. Med hjälp av beskrivningen ovan får vi:

Genom att ersätta de erhållna värdena i formeln beräknar vi värdet på cosinus för den önskade vinkeln:

Detta nummer är inte ett av de fem vanliga cosinusvärdena, så för att få värdet på vinkeln måste du använda en miniräknare eller Bradis trigonometriska tabell. Men innan man får vinkeln mellan vektorerna kan formeln förenklas för att bli av med det extra negativa tecknet:

Det slutliga svaret kan lämnas i detta formulär för att bibehålla noggrannheten, eller så kan du beräkna värdet på vinkeln i grader. Enligt Bradis-tabellen kommer dess värde att vara cirka 116 grader och 70 minuter, och räknaren kommer att visa ett värde på 116,57 grader.

Vinkelberäkning i n-dimensionellt utrymme

När man betraktar två vektorer i det tredimensionella rummet är det mycket svårare att förstå vilken vinkel vi pratar om om de inte ligger i samma plan. För att förenkla uppfattningen kan du rita två korsande segment som bildar den minsta vinkeln mellan dem, och det blir den önskade. Trots närvaron av en tredje koordinat i vektorn kommer processen för hur vinklarna mellan vektorer beräknas inte att förändras. Beräkna skalärprodukten och moduler av vektorer, arccosinus för deras kvot och kommer att vara svaret på detta problem.

Inom geometrin uppstår ofta problem med utrymmen som har mer än tre dimensioner. Men för dem ser algoritmen för att hitta svaret liknande ut.

Skillnad mellan 0 och 180 grader

Ett av de vanligaste misstagen när man skriver ett svar på ett problem utformat för att beräkna vinkeln mellan vektorer är beslutet att skriva att vektorerna är parallella, det vill säga den önskade vinkeln visade sig vara 0 eller 180 grader. Det här svaret är felaktigt.

Efter att ha fått ett vinkelvärde på 0 grader som ett resultat av lösningen, skulle det korrekta svaret vara att beteckna vektorerna som medriktade, det vill säga att vektorerna kommer att ha samma riktning. I fallet med erhållande av 180 grader kommer vektorerna att ha motsatta riktningar.

Specifika vektorer

Genom att hitta vinklarna mellan vektorerna kan en av specialtyperna hittas, förutom de samriktade och motsatt riktade som beskrivits ovan.

• Flera vektorer parallella med ett plan kallas koplanära.
• Vektorer som är lika i längd och riktning kallas lika.
• Vektorer som ligger på samma räta linje, oavsett riktning, kallas kolinjära.
• Om vektorns längd är noll, det vill säga dess början och slut sammanfaller, kallas den noll, och om den är en, kallas den en.

Hur hittar man vinkeln mellan vektorer?

snälla hjälp mig! Jag kan formeln men jag kan inte komma på den
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Vinkeln mellan vektorerna som ges av deras koordinater hittas enligt standardalgoritmen. Först måste du hitta skalärprodukten av vektorerna a och b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Vi ersätter här koordinaterna för dessa vektorer och överväger:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Därefter bestämmer vi längden på var och en av vektorerna. Längden eller modulen för en vektor är kvadratroten av summan av kvadraterna av dess koordinater:
|a| = roten av (x1^2 + y1^2 + z1^2) = roten av (8^2 + 10^2 + 4^2) = roten av (64 + 100 + 16) = roten av 180 = 6 rötter av 5
|b| = kvadratroten ur (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadratroten ur (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadratroten ur (25 + 400 + 100 ) = kvadratrot av 525 = 5 rötter av 21.
Vi multiplicerar dessa längder. Vi får 30 rötter av 105.
Och slutligen delar vi skalärprodukten av vektorer med produkten av längderna av dessa vektorer. Vi får -200 / (30 rötter av 105) eller
- (4 rötter av 105) / 63. Detta är cosinus för vinkeln mellan vektorerna. Och vinkeln i sig är lika med bågcosinus för detta tal
f \u003d arccos (-4 rötter av 105) / 63.
Om jag räknat rätt.

Hur man beräknar sinus för en vinkel mellan vektorer från vektorernas koordinater

Mikhail Tkachev

Vi multiplicerar dessa vektorer. Deras punktprodukt är lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem.
Vinkeln är okänd för oss, men koordinaterna är kända.
Låt oss skriva det matematiskt så här.
Låt, givna vektorerna a(x1;y1) och b(x2;y2)
Sedan

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Vi argumenterar.
a*b-skalär produkt av vektorer är lika med summan av produkterna av motsvarande koordinater av koordinaterna för dessa vektorer, dvs lika med x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produkten av vektorlängder är lika med √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Så cosinus för vinkeln mellan vektorerna är:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Genom att känna till cosinus för en vinkel kan vi beräkna dess sinus. Låt oss diskutera hur man gör det:

Om cosinus för en vinkel är positiv, så ligger denna vinkel i 1 eller 4 fjärdedelar, så dess sinus är antingen positiv eller negativ. Men eftersom vinkeln mellan vektorerna är mindre än eller lika med 180 grader, är dess sinus positiv. Vi argumenterar på liknande sätt om cosinus är negativ.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Det var allt)))) lycka till med att ta reda på det)))

Dmitrij Levishchev

Det faktum att det är omöjligt att direkt sinus är inte sant.
Förutom formeln:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Det finns även denna:
||=|a|*|b|*sin A
Det vill säga, istället för den skalära produkten kan du ta modulen för vektorprodukten.