Beräkning av en rundstång för böjning med vridning. Rumslig (komplex) böjning

Vid beräkning av en rund stång under inverkan av böjning och torsion (Fig. 34.3) är det nödvändigt att ta hänsyn till normala och skjuvspänningar, eftersom de maximala spänningsvärdena i båda fallen uppstår på ytan. Beräkningen bör utföras enligt teorin om styrka, och ersätta det komplexa spänningstillståndet med ett lika farligt enkelt.

Maximal vridspänning i sektion

Maximal böjspänning i sektion

Enligt en av hållfasthetsteorierna, beroende på balkens material, beräknas ekvivalentspänningen för den farliga sektionen och balken testas för hållfasthet med hjälp av den tillåtna böjspänningen för balkens material.

För en rund stråle är sektionsmodulmomenten som följer:

Vid beräkning enligt den tredje teorin om hållfasthet, teorin om maximala skjuvspänningar, beräknas den ekvivalenta spänningen med formeln

Teorin är applicerbar på plastmaterial.

Vid beräkning enligt teorin om att bilda energi, beräknas den ekvivalenta spänningen med formeln

Teorin är tillämpbar på sega och spröda material.

teori om maximala skjuvspänningar:

Ekvivalent spänning vid beräkning enl teorier om energi av formförändring:

var är motsvarande ögonblick.

Styrka kondition

Exempel på problemlösning

Exempel 1 För ett givet spänningstillstånd (fig. 34.4), med hjälp av hypotesen om maximala skjuvspänningar, beräkna säkerhetsfaktorn om σ T \u003d 360 N / mm 2.

1. Vad kännetecknar och hur avbildas stresstillståndet vid en punkt?

2. Vilka platser och vilka spänningar kallas de viktigaste?

3. Lista olika typer av stresstillstånd.

4. Vad kännetecknar det deformerade tillståndet vid en punkt?

5. I vilka fall uppstår gränsspänningstillstånd i sega och spröda material?

6. Vad är motsvarande spänning?

7. Förklara syftet med styrketeorier.

8. Skriv formler för beräkning av ekvivalenta spänningar i beräkningar enligt teorin om maximala skjuvspänningar och teorin om deformationsenergi. Förklara hur du använder dem.

FÖRELÄSNING 35

Ämne 2.7. Beräkning av en stång med cirkulärt tvärsnitt med en kombination av grundläggande deformationer

Känna till formlerna för ekvivalenta spänningar enligt hypoteserna om de största tangentiella spänningarna och deformationsenergin.

Att kunna beräkna en balk med cirkulärt tvärsnitt för hållfasthet med en kombination av grundläggande deformationer.

Formler för beräkning av ekvivalenta spänningar

Ekvivalent spänning enligt hypotesen om maximala skjuvspänningar

Ekvivalent spänning enligt deformationsenergihypotesen

Styrka tillstånd under den kombinerade verkan av böjning och vridning

var M EQär motsvarande ögonblick.

Ekvivalent moment enligt hypotesen om maximala skjuvspänningar

Ekvivalent moment enligt formändringsenergihypotesen

Funktion för beräkning av axlar

De flesta axlar upplever en kombination av böjning och vridningsdeformationer. Skaft är vanligtvis raka stänger med en rund eller ringformad sektion. Vid beräkning av axlar beaktas inte skjuvspänningar från inverkan av tvärkrafter på grund av deras obetydlighet.

Beräkningar görs för farliga tvärsnitt. Under rumslig belastning av axeln används hypotesen om oberoende av krafternas verkan och böjmomenten betraktas i två ömsesidigt vinkelräta plan, och det totala böjmomentet bestäms av geometrisk summering.

Exempel på problemlösning

Exempel 1 I ett farligt tvärsnitt av en rund balk uppstår interna kraftfaktorer (bild 35.1) Mx; M y; M z.

M x och M y- böjmoment i plan åh och zOx respektive; Mz- vridmoment. Kontrollera hållfastheten enligt hypotesen om de största skjuvspänningarna, om [ σ ] = 120 MPa. Initial data: M x= 0,9 kNm; M y = 0,8 kNm; Mz = 2,2 kN*m; d= 60 mm.

Beslut

Vi bygger diagram över normala spänningar från verkan av böjmoment i förhållande till axlarna Åh och OU och ett diagram över skjuvspänningar från vridning (Fig. 35.2).

Den maximala skjuvspänningen uppstår vid ytan. Maximala normala påfrestningar från ögonblicket M x inträffa vid punkten MEN, maximala normala spänningar från ögonblicket M y vid punkten I. Normala spänningar summeras eftersom böjmoment i ömsesidigt vinkelräta plan summeras geometriskt.

Totalt böjmoment:

Vi beräknar det ekvivalenta momentet enligt teorin om maximala skjuvspänningar:

Styrka tillstånd:

Sektionsmodul: W oce in oe \u003d 0,1 60 3 \u003d 21600mm 3.

Kontrollera styrka:

Hållbarhet är garanterad.

Exempel 2 Beräkna den erforderliga axeldiametern från hållfasthetsvillkoret. Två hjul är monterade på axeln. Det finns två omkretskrafter som verkar på hjulen F t 1 = 1,2 kN; F t 2= 2kN och två radiella krafter i vertikalplanet F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (fig. 35.3). Hjuldiametrar är lika d1= 0,1 m; d2= 0,06 m.

Acceptera för axelmaterial [ σ ] = 50 MPa.

Beräkningen utförs enligt hypotesen om maximala skjuvspänningar. Ignorera vikten på axeln och hjulen.

Beslut

Instruktion. Vi använder principen om oberoende av krafternas verkan, utarbetar designscheman för axeln i vertikala och horisontella plan. Vi bestämmer reaktionerna i stöden i horisontella och vertikala plan separat. Vi bygger diagram över böjmoment (Fig. 35.4). Under inverkan av omkretskrafter vrids axeln. Bestäm vridmomentet som verkar på axeln.

Låt oss göra ett beräkningsschema för axeln (Fig. 35.4).

1. Axelvridmoment:

2. Vi betraktar böjningen i två plan: horisontell (pl. H) och vertikal (pl. V).

I horisontalplanet bestämmer vi reaktionerna i stödet:

Med och PÅ:

I vertikalplanet bestämmer vi reaktionerna i stödet:

Bestäm böjmoment vid punkter C och B:

Totala böjmoment vid punkter C och B:

Vid punkten PÅ det maximala böjmomentet verkar vridmomentet även här.

Beräkningen av axeldiametern utförs enligt den mest belastade sektionen.

3. Motsvarande ögonblick vid en punkt PÅ enligt den tredje teorin om styrka

4. Bestäm diametern på axeln med ett cirkulärt tvärsnitt från styrkan

Vi avrundar det resulterande värdet: d= 36 mm.

Notera. När du väljer axeldiametrar, använd standardintervallet för diametrar (bilaga 2).

5. Vi bestämmer de erforderliga måtten på axeln med en ringformad sektion vid c \u003d 0,8, där d är axelns yttre diameter.

Diametern på en ringformad axel kan bestämmas med formeln

Acceptera d= 42 mm.

Belastningen är liten. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.

Runda till värde dBH= 33 mm.

6. Låt oss jämföra kostnaderna för metall med axelns tvärsnittsarea i båda fallen.

Tvärsnittsarea av massivt skaft

Tvärsnittsarea av ihåligt skaft

Tvärsnittsarean för en solid axel är nästan dubbelt så stor som för en ringformig axel:

Exempel 3. Bestäm måtten på axelns tvärsnitt (Fig. 2.70, a) styrenhet. Pedaldragkraft P3, krafter som överförs av mekanismen P1, R2, R4. Axelmaterial - StZ stål med sträckgräns σ t = 240 N/mm 2 , erforderlig säkerhetsfaktor [ n] = 2,5. Beräkningen utförs enligt hypotesen om formändringens energi.

Beslut

Tänk på balansen i axeln efter att ha tagit krafterna R1, R2, R3, R4 till punkter på sin axel.

Överföra krafter R 1 parallella med sig själva till punkter Till och E, är det nödvändigt att lägga till kraftpar med moment lika med kraftmomenten R 1 i förhållande till poäng Till och E, dvs.

Dessa kraftpar (moment) visas konventionellt i fig. 2,70 , b i form av bågformade linjer med pilar. Likaså vid överföring av krafter R2, R3, R4 till poäng K, E, L, H du måste lägga till två krafter med moment

Axelns lager som visas i fig. 2.70, a, bör betraktas som rumsliga gångjärnsstöd som förhindrar rörelse i axlarnas riktning X och på(det valda koordinatsystemet visas i Fig. 2.70, b).

Med hjälp av beräkningsschemat som visas i fig. 2,70 i, komponerar vi jämviktsekvationerna:

därav stödreaktionerna PÅ och H B definieras korrekt.

Momentdiagram Mz och böjmoment M y presenteras i fig. 2,70 G. Sektionen till vänster om punkt L är farlig.

Styrkevillkoret har formen:

var är det ekvivalenta momentet enligt hypotesen om energin för formförändring

Erforderlig axel ytterdiameter

Vi accepterar d \u003d 45 mm, sedan d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.

Exempel 4 Kontrollera styrkan på mellanaxeln (Fig. 2.71) på ett cylindriskt kugghjul, om axeln överför kraft N= 12,2 kW vid hastighet P= 355 rpm. Axeln är tillverkad av St5 stål med en sträckgräns σ t \u003d 280 N / mm 2. Obligatorisk säkerhetsfaktor [ n] = 4. Vid beräkning, tillämpa hypotesen om de högsta skjuvspänningarna.

Instruktion. Distriktsinsatser R 1 och R 2 ligger i ett horisontellt plan och är riktade längs tangenterna till kugghjulens cirklar. Radiella krafter T1 och T 2 ligger i vertikalplanet och uttrycks i termer av motsvarande periferikraft enligt följande: T = 0,364R.

Beslut

På fig. 2,71, a en schematisk ritning av axeln presenteras; i fig. 2.71, b visar diagrammet över axeln och de krafter som uppstår i växeln.

Bestäm momentet som överförs av axeln:

Självklart, m = m 1 = m 2(vridmoment som appliceras på axeln, med enhetlig rotation, är lika stora och motsatta i riktning).

Bestäm krafterna som verkar på kugghjulen.

Distriktsinsatser:

Radiella krafter:

Tänk på balansen i axeln AB, förebringande krafter R 1 och R 2 till punkter som ligger på axelns axel.

Överför makt R 1 parallell med sig själv till en punkt L, är det nödvändigt att lägga till ett par krafter med ett moment lika med kraftmomentet R 1 i förhållande till punkten L, dvs.

Detta kraftpar (moment) visas konventionellt i fig. 2,71, i i form av en bågformad linje med en pil. Likaså vid överföring av kraft R 2 exakt Till det är nödvändigt att fästa (lägga till) ett par krafter med ett ögonblick

Axelns lager som visas i fig. 2,71, a, bör betraktas som rumsliga gångjärnsstöd som förhindrar linjära rörelser i axlarnas riktningar X och på(det valda koordinatsystemet visas i Fig. 2.71, b).

Med hjälp av beräkningsschemat som visas i fig. 2,71, G, komponerar vi jämviktsekvationerna för axeln i vertikalplanet:

Låt oss göra en testekvation:

därför bestäms stödreaktionerna i vertikalplanet korrekt.

Tänk på balansen mellan axeln i horisontalplanet:

Låt oss göra en testekvation:

därför bestäms stödreaktionerna i horisontalplanet korrekt.

Momentdiagram Mz och böjmoment M x och M y presenteras i fig. 2,71, d.

Farligt är avsnittet Till(se fig. 2.71, G,d). Ekvivalent moment enligt hypotesen om de största skjuvspänningarna

Ekvivalent spänning enligt hypotesen om de största skjuvspänningarna för axelns farliga punkt

säkerhetsfaktor

vilket är mycket mer [ n] = 4, därför säkerställs hållfastheten hos axeln.

Vid beräkning av axeln för hållfasthet togs inte hänsyn till förändringen i spänningar över tiden, varför en så betydande säkerhetsfaktor erhölls.

Exempel 5 Bestäm dimensionerna för balkens tvärsnitt (Fig. 2.72, a). Balkmaterialet är stål 30XGS med villkorliga sträckgränser i drag och kompression σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Säkerhetsfaktor [ n] = 1,6.

Beslut

Stången fungerar på den kombinerade verkan av spänning (kompression) och vridning. Vid sådan belastning uppstår två inre kraftfaktorer i tvärsnitten: längsgående kraft och vridmoment.

Plots av längsgående krafter N och vridmoment Mz visas i fig. 2,72, före Kristus. Bestäm i så fall läget för den farliga sektionen enligt diagrammen N och Mz omöjligt, eftersom dimensionerna på tvärsnitten av balkens sektioner är olika. För att bestämma läget för den farliga sektionen bör plots av normala och maximala skjuvspänningar längs balkens längd ritas.

Enligt formeln

vi beräknar normalspänningarna i balkens tvärsnitt och bygger ett diagram o (fig. 2.72, G).

Enligt formeln

vi beräknar de maximala skjuvspänningarna i balkens tvärsnitt och plottar diagrammet t max(ris* 2,72, e).

Förmodligen farliga är konturpunkterna för sektionernas tvärsnitt AB och CD(se fig. 2.72, a).

På fig. 2,72, e tomter visas σ och τ för sektionstvärsnitt AB.

Kom ihåg att i det här fallet (en rund tvärsnittsstråle fungerar på den kombinerade verkan av spänning - kompression och torsion), är alla punkter i tvärsnittskonturen lika farliga.

På fig. 2,72, väl

På fig. 2,72, h plotten a och t visas för snittets tvärsnitt CD.

På fig. 2,72, och spänningarna på de initiala dynorna vid den farliga punkten visas.

De största påfrestningarna på den farliga punkten på platsen CD:

Enligt Mohrs hållfasthetshypotes är den ekvivalenta spänningen för den farliga punkten i det aktuella avsnittet

Konturpunkterna för tvärsnitten av sektion AB visade sig vara farliga.

Styrkevillkoret har formen:

Exempel 2.76. Bestäm det tillåtna kraftvärdet R från spöstyrka tillståndet Sol(Fig. 2.73) Stångmaterialet är gjutjärn med draghållfasthet σ vr = 150 N / mm 2 och tryckhållfasthet σ sun = 450 N / mm 2. Obligatorisk säkerhetsfaktor [ n] = 5.

Instruktion. Trasigt virke ABC ligger i ett horisontellt plan, och stången AB Vinkelrätt mot Sol. Krafter R, 2R, 8R ligga i ett vertikalt plan; styrka 0,5 R, 1,6 R- horisontellt och vinkelrätt mot stången Sol; styrka 10R, 16R sammanfalla med stavens axel Sol; ett kraftpar med ett moment m = 25Pd ligger i ett vertikalt plan vinkelrätt mot stångens axel Sol.

Beslut

Låt oss ta med oss styrka R och 0,5P till tyngdpunkten för tvärsnittet B.

När kraften P överförs parallellt med sig själv till punkt B, måste vi addera ett kraftpar med ett moment lika med kraftmomentet R i förhållande till punkten PÅ, dvs ett par med momentet m 1 = 10 Pd.

Styrka 0,5R flytta längs sin handlingslinje till punkt B.

Belastningar som verkar på stången Sol, visas i fig. 2,74 a.

Vi bygger diagram över inre kraftfaktorer för staven Sol. Under den specificerade belastningen av stången i dess tvärsnitt uppstår sex av dem: längsgående kraft N, tvärkrafter Qx och qy, vridmoment mz böjmoment Mx och Mu.

Tomter N, Mz, Mx, Mu presenteras i fig. 2,74 b(Ordinaterna för diagrammen uttrycks i termer av R och d).

Tomter Qy och Qx vi bygger inte, eftersom skjuvspänningar som motsvarar tvärkrafter är små.

I det aktuella exemplet är positionen för den farliga sektionen inte uppenbar. Förmodligen är sektionerna K farliga (slutet av sektionen jag) och S.

Huvudpåfrestningar vid punkt L:

Enligt Mohrs hållfasthetshypotes är den ekvivalenta spänningen för punkt L

Låt oss bestämma storleken och verkningsplanet för böjmomentet Mi i sektion C, visat separat i fig. 2,74 d. Samma figur visar diagrammen σ I, σ N , τ för avsnitt C.

Betonar de första platserna vid punkten H(Fig. 2.74, e)

Rektor betonar vid en punkt H:

Enligt Mohrs hållfasthetshypotes, motsvarande spänning för en punkt H

Spänningar på de ursprungliga platserna vid punkt E (Fig. 2.74, g):

Rektor betonar vid punkt E:

Enligt Mohrs styrkehypotes är den ekvivalenta spänningen för punkt E

Den farliga punkten L för vilka

Styrkevillkoret har formen:

Kontrollera frågor och uppgifter

1. Vilket spänningstillstånd uppstår i axelns tvärsnitt under den kombinerade verkan av böjning och vridning?

2. Skriv hållfasthetsvillkoret för beräkning av axeln.

3. Skriv formler för beräkning av ekvivalentmomentet vid beräkning av hypotesen för maximal skjuvspänning och deformationsenergihypotesen.

4. Hur väljs den farliga sektionen vid beräkning av axeln?

Maximal vridspänning i sektion

Maximal böjspänning i sektion

För en rund stråle är sektionsmodulmomenten som följer:

Vid beräkning enligt den tredje teorin om hållfasthet, teorin om maximala skjuvspänningar, beräknas den ekvivalenta spänningen med formeln

Teorin är applicerbar på plastmaterial.

Vid beräkning enligt teorin om att bilda energi, beräknas den ekvivalenta spänningen med formeln

Teorin är tillämpbar på sega och spröda material.

teori om maximala skjuvspänningar:

Ekvivalent spänning vid beräkning enl teorier om energi av formförändring:

var är motsvarande ögonblick.

Styrka kondition

Exempel på problemlösning

Exempel 1 För ett givet spänningstillstånd (fig. 34.4), med hjälp av hypotesen om maximala skjuvspänningar, beräkna säkerhetsfaktorn om σ T \u003d 360 N / mm 2.

Kontrollera frågor och uppgifter

1. Vad kännetecknar och hur avbildas stresstillståndet vid en punkt?

2. Vilka platser och vilka spänningar kallas de viktigaste?

3. Lista olika typer av stresstillstånd.

4. Vad kännetecknar det deformerade tillståndet vid en punkt?

5. I vilka fall uppstår gränsspänningstillstånd i sega och spröda material?

6. Vad är motsvarande spänning?

7. Förklara syftet med styrketeorier.

8. Skriv formler för beräkning av ekvivalenta spänningar i beräkningar enligt teorin om maximala skjuvspänningar och teorin om deformationsenergi. Förklara hur du använder dem.

FÖRELÄSNING 35

Ämne 2.7. Beräkning av en stång med cirkulärt tvärsnitt med en kombination av grundläggande deformationer

Känna till formlerna för ekvivalenta spänningar enligt hypoteserna om de största tangentiella spänningarna och deformationsenergin.

Att kunna beräkna en balk med cirkulärt tvärsnitt för hållfasthet med en kombination av grundläggande deformationer.

Kort information från teorin

Balken är i förhållanden med komplext motstånd, om flera inre kraftfaktorer inte är lika med noll samtidigt i tvärsnitten.

Följande fall av komplex lastning är av största praktiska intresse:

1. Sned böj.

2. Böjning med spänning eller kompression i tvärgående läge
sektion uppstår en längsgående kraft och böjmoment, som,
till exempel med excentrisk kompression av balken.

3. Böjning med vridning, kännetecknad av närvaron i påven
flodsektioner av en bockning (eller två bockning) och vridning
ögonblick.

Sned böj.

Snedböjning är ett sådant fall av balkböjning, där aktionsplanet för det totala böjmomentet i sektionen inte sammanfaller med någon av huvudtröghetsaxlarna. En sned böj anses lämpligast som en samtidig böjning av en balk i två huvudplan zoy och zox, där z-axeln är balkens axel, och x- och y-axlarna är tvärsnittets huvudaxlar.

Betrakta en fribärande balk med rektangulärt tvärsnitt, belastad med en kraft P (Fig. 1).

Genom att expandera kraften P längs tvärsnittets huvudaxlar får vi:

R y \u003d R cos φ, R x \u003d R sin φ

Böjmoment uppstår i den aktuella delen av balken

M x \u003d - P y z \u003d - P z cos φ,

M y \u003d P x z \u003d P z sin φ.

Tecknet för böjmomentet M x bestäms på samma sätt som vid direkt böjning. Momentet M y kommer att anses positivt om detta moment vid punkter med ett positivt värde på x-koordinaten orsakar dragspänningar. Förresten, ögonblickets tecken M y är lätt att fastställa analogt med definitionen av tecknet för böjningsmomentet M x, om du mentalt roterar sektionen så att x-axeln sammanfaller med den initiala riktningen för y-axeln .

Spänningen vid en godtycklig punkt av tvärsnittet av balken kan bestämmas med hjälp av formlerna för att bestämma spänningen för fallet med en platt böj. Baserat på principen om oberoende av krafternas verkan, sammanfattar vi spänningarna som orsakas av vart och ett av böjmomenten

(1)

Värdena för böjmomenten (med deras tecken) och koordinaterna för den punkt där spänningen beräknas ersätts i detta uttryck.

För att bestämma de farliga punkterna i sektionen är det nödvändigt att bestämma positionen för noll- eller neutrallinjen (platsen för punkterna i sektionen, där spänningarna σ = 0). De maximala spänningarna uppstår vid punkterna längst bort från nolllinjen.

Nolllinjeekvationen erhålls från ekvation (1) vid =0:

därav följer att nolllinjen går genom tvärsnittets tyngdpunkt.

Skjuvspänningar som uppstår i balksektionerna (vid Q x ≠ 0 och Q y ≠ 0) kan som regel negligeras. Om det finns ett behov av att bestämma dem, beräknas komponenterna i den totala skjuvspänningen τ x och τ y först enligt formeln för D.Ya. Zhuravsky, och sedan sammanfattas de senare geometriskt:

För att bedöma strålens styrka är det nödvändigt att bestämma de maximala normala spänningarna i den farliga sektionen. Eftersom spänningstillståndet är enaxligt vid de mest belastade punkterna, tar hållfasthetsvillkoret vid beräkning med metoden för tillåtna spänningar formen

För plastmaterial

För spröda material

n är säkerhetsfaktorn.

Om beräkningen utförs enligt metoden för gränstillstånd, har hållfasthetsvillkoret formen:

där R är designmotståndet,

m är koefficienten för arbetsförhållanden.

I fall där balkmaterialet motstår spänning och kompression på olika sätt, är det nödvändigt att bestämma både den maximala drag- och maximala tryckspänningen och göra en slutsats om balkens styrka från förhållandena:

där Rp och Rc är materialets konstruktionsmotstånd i spänning respektive kompression.

För att bestämma strålavböjningar är det lämpligt att först hitta sektionens förskjutningar i huvudplanen i riktningen för x- och y-axlarna.

Beräkningen av dessa förskjutningar ƒ x och ƒ y kan göras genom att sammanställa en universell ekvation för balkens böjda axel eller genom energimetoder.

Den totala avböjningen kan hittas som en geometrisk summa:

balkens styvhetstillstånd har formen:

där - är den tillåtna avböjningen av strålen.

Excentrisk kompression

I detta fall riktas kraften P som komprimerar stången parallellt med stångens axel och appliceras på en punkt som inte sammanfaller med sektionens tyngdpunkt. Låt X p och Y p vara koordinaterna för anbringningspunkten för kraften P, mätt i förhållande till de centrala huvudaxlarna (fig. 2).

Den verkande lasten gör att följande inre kraftfaktorer uppträder i tvärsnitten: N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Tecknen på böjmoment är negativa, eftersom de senare orsakar kompression vid punkter som hör till första kvartalet. Spänningen vid en godtycklig punkt i sektionen bestäms av uttrycket

(9)

Genom att ersätta värdena för N, Mx och My får vi

(10)

Eftersom Yx= F, Yy= F (där i x och i y är de huvudsakliga tröghetsradierna), kan det sista uttrycket reduceras till formen

(11)

Nolllinjeekvationen erhålls genom att sätta =0

1+ (12)

Avskuren av nolllinjen på segmentets koordinataxlar och uttrycks enligt följande:

Med hjälp av beroenden (13) kan man lätt hitta nolllinjens position i snittet (fig. 3), varefter de punkter som är längst bort från denna linje bestäms, vilka är farliga, eftersom maximala spänningar uppstår i dem.

Spänningstillståndet vid sektionens punkter är enaxligt, därför liknar balkens hållfasthetstillstånd det tidigare övervägda fallet med sned böjning av balken - formlerna (5), (6).

Med excentrisk kompression av stängerna, vars material svagt motstår sträckning, är det önskvärt att förhindra uppkomsten av dragspänningar i sektionen. I sektionen kommer spänningar av samma tecken att uppstå om nolllinjen passerar utanför sektionen eller, i extrema fall, berör den.

Detta villkor är uppfyllt när tryckkraften appliceras inuti det område som kallas sektionens kärna. Sektionens kärna är ett område som täcker sektionens tyngdpunkt och kännetecknas av det faktum att varje längsgående kraft som appliceras inuti denna zon orsakar spänningar av samma tecken på alla punkter på stången.

För att konstruera sektionens kärna är det nödvändigt att ställa in nolllinjens position så att den vidrör sektionen utan att skära den någonstans, och hitta motsvarande appliceringspunkt för kraften P. Efter att ha ritat en familj av tangenter till sektion, får vi en uppsättning poler som motsvarar dem, vars plats kommer att ge konturen (konturen) av kärnsektionerna.

Låt till exempel sektionen som visas i fig. 4 med huvudaxlarna x och y.

För att konstruera sektionens kärna ger vi fem tangenter, varav fyra sammanfaller med sidorna AB, DE, EF och FA, och den femte förbinder punkterna B och D. Genom att mäta eller beräkna från snittet, avskuren med det angivna tangenterna I-I, . . . ., 5-5 på axlarna x, y och ersätter dessa värden i beroende (13), bestämmer vi koordinaterna x p, y p för de fem polerna 1, 2 .... 5, motsvarande de fem positionerna för noll linje. Tangent I-I kan flyttas till position 2-2 genom rotation runt punkt A, medan pol I måste röra sig i en rät linje och, som ett resultat av rotation av tangenten, gå till punkt 2. Därför måste alla poler som motsvarar mellanpositioner av tangenten mellan I-I och 2-2 kommer att ligga på direkt 1-2. På samma sätt kan man bevisa att de återstående sidorna av sektionens kärna också kommer att vara rektangulära, d.v.s. kärnan i sektionen är en polygon, för vars konstruktion det räcker att ansluta polerna 1, 2, ... 5 med raka linjer.

Böjning med vridning av en rundstång.

Vid böjning med vridning i tvärsnittet av balken, i det allmänna fallet, är fem inre kraftfaktorer inte lika med noll: M x, M y, M k, Q x och Q y. Men i de flesta fall kan påverkan av skjuvkrafterna Q x och Q y försummas om sektionen inte är tunnväggig.

Normala spänningar i ett tvärsnitt kan bestämmas från storleken på det resulterande böjmomentet

därför att den neutrala axeln är vinkelrät mot verkningshålan för momentet M u .

På fig. 5 visar böjmomenten M x och M y som vektorer (riktningarna M x och M y är valda positiva, d.v.s. sådana att spänningarna är draghållfasta vid punkterna i den första kvadranten av sektionen).

Riktningen för vektorerna M x och M y är vald så att observatören, tittar från slutet av vektorn, ser dem riktade moturs. I detta fall sammanfaller den neutrala linjen med riktningen för vektorn för det resulterande momentet Mu, och de mest belastade punkterna i sektionen A och B ligger i detta moments verkningsplan.

Böjning förstås som en typ av belastning där böjmoment uppstår i balkens tvärsnitt. Om böjmomentet i sektionen är den enda kraftfaktorn, så kallas böjningen ren. Om det tillsammans med böjmomentet även uppstår tvärkrafter i balkens tvärsnitt, så kallas böjningen tvärgående.

Det antas att böjmomentet och tvärkraften ligger i ett av balkens huvudplan (vi antar att detta plan är ZOY). En sådan böj kallas platt.

I alla fall som behandlas nedan sker en platt tvärböjning av balkarna.

För att beräkna styrkan eller styvheten hos en balk är det nödvändigt att känna till de interna kraftfaktorerna som uppstår i dess sektioner. För detta ändamål byggs diagram över tvärkrafter (ren Q) och böjmoment (M).

Vid böjning böjs strålens rätlinjiga axel, den neutrala axeln passerar genom sektionens tyngdpunkt. För visshetens skull, när vi konstruerar diagram över tvärkrafter för böjmoment, upprättar vi teckenregler för dem. Låt oss anta att böjmomentet kommer att anses positivt om balkelementet böjs med en konvexitet nedåt, d.v.s. på ett sådant sätt att dess komprimerade fibrer är i toppen.

Om ögonblicket böjer strålen med en utbuktning uppåt, kommer detta ögonblick att betraktas som negativt.

Positiva värden för böjmoment under plottning plottas, som vanligt, i riktning mot Y-axeln, vilket motsvarar plottning på en komprimerad fiber.

Därför kan teckenregeln för diagrammet över böjmoment formuleras enligt följande: ordinaterna för momenten plottas från sidan av balkskikten.

Böjmomentet i en sektion är lika med summan av momenten i förhållande till denna sektion av alla krafter som finns på ena sidan (vilken som helst) av sektionen.

För att bestämma tvärkrafterna (Q) fastställer vi teckenregeln: tvärkraften anses vara positiv om den yttre kraften tenderar att rotera den avskurna delen av balken medurs. pilen i förhållande till den axelpunkt som motsvarar den ritade sektionen.

Tvärkraften (Q) i ett godtyckligt tvärsnitt av balken är numeriskt lika med summan av projektionerna på y-axeln för de yttre krafterna som appliceras på dess stympade del.

Betrakta flera exempel på att plotta tvärkrafter av böjmoment. Alla krafter är vinkelräta mot balkarnas axel, så den horisontella komponenten av reaktionen är noll. Balkens deformerade axel och krafterna ligger i huvudplanet ZOY.

Balklängden kläms av den vänstra änden och belastas med en koncentrerad kraft F och ett moment m=2F.

Vi konstruerar diagram över tvärkrafterna Q och böjmomenten M från.

I vårt fall finns det inga begränsningar på strålen på höger sida. Därför, för att inte bestämma stödreaktionerna, är det tillrådligt att överväga jämvikten för den högra avskärningsdelen av strålen. Den givna balken har två lastområden. Gränserna för sektioner-sektioner där yttre krafter appliceras. 1 sektion - NE, 2 - VA.

Vi utför ett godtyckligt avsnitt i avsnitt 1 och överväger jämvikten för den högra avskärningsdelen av längden Z 1.

Av jämviktstillståndet följer:

Q=F; M ut = -fz 1 ()

Skjuvkraften är positiv, eftersom yttre kraft F tenderar att rotera den avskärningsdelen medurs. Böjmomentet anses vara negativt, eftersom den böjer den betraktade delen av balken med en konvexitet uppåt.

När vi sammanställer jämviktsekvationerna fixar vi mentalt platsen för sektionen; av ekvationerna () följer att tvärkraften i sektion I inte beror på Z 1 och är ett konstant värde. Den positiva kraften Q=F skalas upp från strålens mittlinje, vinkelrätt mot den.

Böjmomentet beror på Z 1 .

När Z 1 \u003d O M från \u003d O vid Z 1 \u003d M från \u003d

Det resulterande värdet () sätts åt sidan, dvs. diagrammet M från bygger på den komprimerade fibern.

Låt oss gå vidare till den andra delen

Vi skär sektion II på ett godtyckligt avstånd Z 2 från den fria högra änden av strålen och överväger jämvikten för den avskurna delen av längden Z 2. Förändringen i skjuvkraft och böjmoment baserat på jämviktsförhållanden kan uttryckas med följande ekvationer:

Q=FM från = - FZ2 +2F

Storleken och tecknet på den tvärgående kraften ändrades inte.

Storleken på böjmomentet beror på Z 2 .

Vid Z2 = M från =, vid Z2 =

Böjmomentet visade sig vara positivt, både i början av avsnitt II och i slutet. I avsnitt II böjs balken med en utbuktning nedåt.

Lägg åt sidan på en skala storleken på momenten uppför strålens mittlinje (dvs diagrammet är byggt på en komprimerad fiber). Det största böjmomentet uppstår i den sektion där det yttre momentet m appliceras och är lika i absolut värde

Observera att över balkens längd, där Q förblir konstant, ändras böjmomentet M linjärt och representeras på diagrammet av sneda räta linjer. Av diagrammen Q och M från kan man se att i avsnittet där en yttre tvärkraft appliceras har diagrammet Q ett hopp med värdet av denna kraft, och diagrammet M från har en kink. I en sektion där ett externt böjmoment appliceras, har Miz-diagrammet ett hopp med värdet av detta moment. Detta återspeglas inte i Q-plotten. Från diagrammet M från ser vi det

max M ut =

därför är den farliga delen extremt nära på vänster sida till den sk.

För balken som visas i fig. 13, a, konstruera diagram över tvärkrafter och böjmoment. Balkens längd belastas med en jämnt fördelad last med intensitet q(KN/cm).

På stöd A (fast gångjärn) kommer det att ske en vertikal reaktion Ra (horisontell reaktion är noll), och på stöd B (rörligt gångjärn) sker en vertikal reaktion Rv.

Låt oss bestämma de vertikala reaktionerna för stöden genom att komponera ekvationen av moment i förhållande till stöden A och B.

Låt oss kontrollera riktigheten av definitionen av reaktionen:

de där. stödreaktioner är korrekt definierade.

Den givna balken har två belastningssektioner: Sektion I - AC.

Sektion II - NE.

På den första sektionen a, i den aktuella sektionen Z 1, från jämviktstillståndet för avskärningsdelen, har vi

Ekvationen för böjmoment på 1 sektion av balken:

Momentet från reaktionen Ra böjer balken i sektion 1, konvex nedåt, så böjmomentet från reaktionen Ra införs i ekvationen med ett plustecken. Belastningen qZ 1 böjer balken med en konvexitet uppåt, så momentet från den introduceras i ekvationen med ett minustecken. Böjmomentet ändras enligt lagen för en kvadratisk parabel.

Därför är det nödvändigt att ta reda på om det finns ett extremum. Det finns ett differentiellt beroende mellan tvärkraften Q och böjmomentet, vilket vi kommer att analysera vidare

Funktionen har som bekant ett extremum där derivatan är lika med noll. Därför, för att bestämma vid vilket värde av Z 1, böjmomentet kommer att vara extremt, är det nödvändigt att likställa ekvationen för tvärkraften till noll.

Eftersom tvärkraften ändrar tecken från plus till minus i detta avsnitt blir böjmomentet i detta avsnitt maximalt. Om Q ändrar tecken från minus till plus kommer böjmomentet i detta avsnitt att vara minimalt.

Så böjmomentet kl

är max.

Därför bygger vi en parabel på tre punkter

När Z 1 \u003d 0 M från \u003d 0

Vi skär den andra sektionen på ett avstånd Z 2 från stödet B. Från jämviktstillståndet för den högra avskärningsdelen av balken har vi:

När Q=konst,

böjmomentet blir:

vid, vid, dvs. M FRÅN

ändras linjärt.

En balk på två stöd, med en spännvidd lika med 2 och en vänster konsol med en längd, belastas som visas i fig. 14, a., där q (Kn / cm) är den linjära belastningen. Stöd A är vridbart fixerad, stöd B är en rörlig rulle. Bygg tomter Q och M från.

Lösningen av problemet bör börja med bestämningen av stödens reaktioner. Av villkoret att summan av projektionerna av alla krafter på Z-axeln är lika med noll, följer att den horisontella komponenten av reaktionen på stöd A är 0.

För att kontrollera använder vi ekvationen

Jämviktsekvationen är uppfylld, därför beräknas reaktionerna korrekt. Vi övergår till definitionen av interna kraftfaktorer. En given balk har tre lastområden:

1 sektion - SA,
2:a avsnittet - AD,
3 avsnitt - DV.

Vi skär 1 sektion på ett avstånd Z 1 från den vänstra änden av balken.

vid Z 1 \u003d 0 Q \u003d 0 M FRÅN \u003d 0

vid Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d

På diagrammet av tvärkrafter erhålls således en lutande rät linje, och på diagrammet över böjningsmoment erhålls en parabel, vars spets är belägen vid den vänstra änden av balken.

I avsnitt II (a Z 2 2a), för att bestämma de interna kraftfaktorerna, beakta balansen mellan den vänstra avskärningsdelen av balken med en längd Z 2 . Från jämviktstillståndet har vi:

Tvärkraften i detta område är konstant.

På avsnitt III()

Från diagrammet ser vi att det största böjmomentet uppstår i snittet under kraften F och är lika med. Det här avsnittet kommer att vara det farligaste.

På diagrammet M därifrån finns ett hopp på stödet B, lika med det yttre momentet som tillämpas i detta avsnitt.

Med tanke på diagrammen som konstruerats ovan är det inte svårt att märka en viss regelbunden koppling mellan diagrammen över böjmoment och diagram över tvärkrafter. Låt oss bevisa det.

Derivatan av tvärkraften längs balkens längd är lika med belastningsintensitetsmodulen.

Om vi kasserar värdet av den högre ordningen av litenhet får vi:

de där. tvärkraften är derivatan av böjmomentet längs balkens längd.

Med hänsyn till de erhållna differentiella beroenden kan allmänna slutsatser dras. Om strålen belastas med en likformigt fördelad belastning av intensiteten q=const, kommer uppenbarligen funktionen Q att vara linjär och M från - kvadratisk.

Om strålen är belastad med koncentrerade krafter eller moment, är intensiteten q=0 i intervallen mellan punkterna för deras applicering. Därför är Q=const, och M från en linjär funktion av Z. Vid appliceringspunkterna för koncentrerade krafter genomgår diagrammet Q ett hopp med värdet av den yttre kraften, och i diagrammet M från sker ett motsvarande brott. (ett gap i derivatan).

På platsen för appliceringen av det yttre böjmomentet finns det ett gap i momentdiagrammet, lika stor som det applicerade momentet.

Om Q>0, så växer M från, och om Q<0, то М из убывает.

Differentialberoenden används för att kontrollera ekvationerna som sammanställts för att plotta Q och M från, samt för att förtydliga formen på dessa diagram.

Böjmomentet förändras enligt lagen om en parabel, vars konvexitet alltid är riktad mot den yttre belastningen.

Introduktion.

Böjning är en typ av deformation som kännetecknas av en krökning (förändring i krökning) av axeln eller mittytan av ett deformerbart föremål (stång, balk, platta, skal, etc.) under påverkan av yttre krafter eller temperatur. Böjning är förknippad med förekomsten av böjmoment i balkens tvärsnitt. Om endast en av de sex interna kraftfaktorerna i balksektionen är icke-noll, kallas böjningen ren:

Om det förutom böjmomentet även verkar en tvärkraft i balkens tvärsnitt kallas böjningen tvärgående:

I ingenjörspraktik övervägs också ett speciellt fall av böjning - longitudinell I. ( ris. ett, c), kännetecknad av buckling av stången under inverkan av längsgående tryckkrafter. Den samtidiga verkan av krafter riktade längs stångens axel och vinkelrätt mot den orsakar en längsgående tvärgående böjning ( ris. ett, G).

Ris. 1. Böjning av balken: a - ren: b - tvärgående; i - längsgående; g - längsgående-tvärgående.

En stång som böjs kallas en balk. En böj kallas platt om balkens axel förblir en plan linje efter deformation. Planet för balkens krökta axel kallas böjningsplanet. Lastkrafternas verkningsplan kallas kraftplanet. Om kraftplanet sammanfaller med ett av tvärsnittets huvudtröghetsplan kallas böjningen rak. (Annars är det en sned böj). Tvärsnittets huvudtröghetsplan är ett plan som bildas av en av tvärsnittets huvudaxlar med balkens längdaxel. Vid platt rak böjning sammanfaller böjningsplanet och kraftplanet.

Problemet med vridning och böjning av en balk (Saint-Venant-problemet) är av stort praktiskt intresse. Tillämpningen av teorin om böjning som fastställts av Navier utgör en omfattande gren av konstruktionsmekanik och är av stor praktisk betydelse, eftersom den fungerar som grund för att beräkna dimensionerna och kontrollera hållfastheten hos olika delar av strukturer: balkar, broar, maskinelement , etc.

GRUNDLÄGGANDE EKVATIONER OCH PROBLEM FÖR ELASTICITETSTEORIN

§ 1. grundläggande ekvationer

Först ger vi en allmän sammanfattning av de grundläggande ekvationerna för jämviktsproblemen hos en elastisk kropp, som utgör innehållet i den del av elasticitetsteorin, vanligtvis kallad en elastisk kropps statik.

Det deformerade tillståndet hos kroppen bestäms helt av töjningsfältstensorn eller förskjutningsfältet Komponenter i töjningstensorn är relaterade till förskjutningar av differentiella Cauchy-beroenden:

(1)

Komponenterna i töjningstensorn måste uppfylla Saint-Venants differentiella beroenden:

som är nödvändiga och tillräckliga villkor för integrerbarheten av ekvationer (1).

Kroppens stresstillstånd bestäms av stressfältstensorn Sex oberoende komponenter i en symmetrisk tensor () måste uppfylla tre differentialekvationer:

Spänningstensorkomponenter och förflyttning är relaterade av de sex ekvationerna i Hookes lag:

I vissa fall måste ekvationerna av Hookes lag användas i form av en formel

, (5)

Ekvationerna (1)-(5) är de grundläggande ekvationerna för statiska problem i elasticitetsteorin. Ibland kallas ekvationerna (1) och (2) för geometriska ekvationer, ekvationer ( 3) - statiska ekvationer, och ekvationer (4) eller (5) - fysiska ekvationer. Till de grundläggande ekvationerna som bestämmer tillståndet för en linjärt elastisk kropp vid dess inre punkter av volymen är det nödvändigt att lägga till villkor på dess yta. Dessa förhållanden kallas randvillkor. De bestäms antingen av givna yttre ytkrafter eller givna rörelser punkter på kroppsytan. I det första fallet uttrycks randvillkoren av likheten:

var är komponenterna i vektorn t ytstyrka, är komponenterna i enhetsvektorn P, riktad längs den yttre normalen till ytan vid den aktuella punkten.

I det andra fallet uttrycks randvillkoren av jämlikheten

var är funktioner definierade på ytan.

Gränsförhållanden kan också blandas, när de är på en del yttre ytkrafter ges på kroppens yta och på andra sidan förskjutningar av kroppsytan anges:

Andra typer av randvillkor är också möjliga. Till exempel, på en viss del av kroppsytan specificeras endast vissa komponenter i förskjutningsvektorn och dessutom är inte alla komponenter i ytkraftsvektorn specificerade heller.

§ 2. Huvudproblem med statiken hos en elastisk kropp

Beroende på typen av randvillkor urskiljs tre typer av grundläggande statiska problem i elasticitetsteorin.

Huvudproblemet med den första typen är att bestämma komponenterna i spänningsfältstensorn inne i regionen , upptas av kroppen, och komponenten av förskjutningsvektorn av punkter inuti området och ytpunkter kroppar enligt givna masskrafter och ytkrafter

De önskade nio funktionerna måste uppfylla de grundläggande ekvationerna (3) och (4), samt randvillkoren (6).

Huvuduppgiften för den andra typen är att bestämma förskjutningarna punkter inne i området och spänningsfältstensorkomponenten enligt givna massstyrkor och enligt givna förskjutningar på kroppens yta.

Letar efter funktioner och måste uppfylla de grundläggande ekvationerna (3) och (4) och randvillkoren (7).

Observera att randvillkoren (7) återspeglar kravet på kontinuitet för de definierade funktionerna på gränsen kropp, d.v.s. när den inre punkten tenderar till någon punkt på ytan, funktionen bör tendera till ett givet värde vid en given punkt på ytan.

Det största problemet med den tredje typen eller ett blandat problem är att, givet ytkrafterna på en del av kroppsytan och enligt givna förskjutningar på en annan del av kroppsytan och även generellt sett enligt givna kroppskrafter det krävs för att bestämma komponenterna i spännings- och förskjutningstensorn , som uppfyller de grundläggande ekvationerna (3) och (4) under blandade randvillkor (8).

Efter att ha fått lösningen på detta problem är det möjligt att bestämma, i synnerhet, krafterna av bindningar på , som måste appliceras vid ytans punkter för att realisera de givna förskjutningarna på denna yta, och det är också möjligt att beräkna förskjutningarna av ytpunkterna . Kurser >> Industri, produktion

Efter längd timmer, då timmer deformerad. Deformation timmeråtföljs samtidigt av ... trä, polymer, etc. När böja timmer vilar på två stöd... böja kommer att kännetecknas av en avböjningspil. I detta fall kommer tryckspänningarna i den konkava delen timmer ...

Fördelar med limmad timmer i låghusbyggande

Sammanfattning >> Konstruktion

Lösas vid användning av limmad profil timmer. Limträ i bärande... , krullar inte eller böjer sig. Detta beror på bristen på... transport av bränsle. 5. Ytlimmad timmer tillverkad i enlighet med alla tekniska...

Vi rekommenderar också

Läser in...

Hem > ISO klassificerare

Beräkning av en rundstång för böjning med vridning. Rumslig (komplex) böjning

Fördelar med limmad timmer i låghusbyggande

Vi rekommenderar också