"The Pleasure of X. En fascinerande resa in i matematikens värld från en av de bästa lärarna i världen" Steven Strogatz

Matematik är det mest exakta och universella vetenskapens språk, men är det möjligt att förklara mänskliga känslor med hjälp av siffror? Love Formulas, Seeds of Chaos and Romantic Differential Equations - T&P publicerar ett kapitel ur boken "The Pleasure of X" av en av världens bästa mattelärare, Steven Strogatz, utgiven av Mann, Ivanov och Ferber.

På våren skrev Tennyson, fantasi ung man förvandlas lätt till tankar om kärlek. Tyvärr, en potentiell partner till en ung man kan ha sina egna idéer om kärlek, och då kommer deras förhållande att vara fullt av turbulenta upp- och nedgångar som gör kärleken så spännande och så smärtsam. Vissa lider av det obesvarade letar efter en förklaring till dessa kärlekssvängningar i vin, andra - i poesi. Och vi kommer att rådgöra med beräkningarna.

Analysen nedan kommer att vara hånfullt ironisk, men den berör allvarliga teman. Dessutom, om förståelsen av kärlekens lagar kan undgå oss, då är den livlösa världens lagar nu väl studerade. De har formen av differentialekvationer som beskriver hur relaterade variabler förändras från ögonblick till ögonblick beroende på deras nuvarande värden. Sådana ekvationer kanske inte har så mycket med romantik att göra, men de kan åtminstone belysa varför, med en annan poets ord, "den sanna kärlekens väg aldrig har varit jämn". För att illustrera metoden för differentialekvationer, anta att Romeo älskar Julia, men i vår version av historien är Julia en blåsig älskling. Ju mer Romeo älskar henne, desto mer vill hon gömma sig för honom. Men när Romeo svalkar sig mot henne börjar han verka ovanligt attraktiv för henne. Den unga älskaren tenderar dock att spegla hennes känslor: han lyser när hon älskar honom och svalkar när hon hatar honom.

Vad händer med våra olyckliga älskare? Hur absorberar kärlek dem och lämnar dem med tiden? Det är här differentialkalkyl kommer till undsättning. Genom att göra ekvationer som sammanfattar hur Romeo och Julias känslor växer och avtar, och sedan löser dem, kan vi förutsäga förloppet av parets relation. Den slutliga prognosen för henne kommer att bli en tragiskt oändlig cykel av kärlek och hat. Åtminstone en fjärdedel av denna tid kommer de att ha ömsesidig kärlek.

För att komma till denna slutsats antog jag att Romeos beteende kunde modelleras med en differentialekvation,

som beskriver hur hans kärlek ® förändras i nästa ögonblick (dt). Enligt denna ekvation är antalet förändringar (dR) direkt proportionellt (med en proportionalitetsfaktor a) mot Julias kärlek (J). Detta förhållande återspeglar vad vi redan vet: Romeos kärlek ökar när Juliet älskar honom, men det antyder också att Romeos kärlek växer i direkt proportion till hur mycket Juliet älskar honom. Detta antagande om ett linjärt samband är emotionellt osannolikt, men det gör det möjligt att avsevärt förenkla lösningen av ekvationen.

Däremot kan Juliets beteende modelleras med hjälp av ekvationen

Det negativa tecknet före det konstanta b reflekterar att hennes kärlek svalnar när Romeos kärlek intensifieras.

Det enda som återstår att bestämma är deras initiala känslor (det vill säga värdena för R och J vid tidpunkten t = 0). Efter det kommer alla nödvändiga parametrar att ställas in. Vi kan använda en dator för att gå framåt långsamt, steg för steg, och ändra värdena på R och J enligt differentialekvationerna som beskrivs ovan. Faktum är att med hjälp av grundsatsen för integralkalkyl kan vi hitta lösningen analytiskt. Eftersom modellen är enkel, producerar integralkalkyl ett par uttömmande formler som talar om för oss hur mycket Romeo och Julia kommer att älska (eller hata) varandra vid en given tidpunkt i framtiden.

De differentialekvationer som presenteras ovan borde vara bekanta för fysikstudenter: Romeo och Julia beter sig som enkla harmoniska oscillatorer. Således förutspår modellen att funktionerna R (t) och J (t), som beskriver förändringen i deras förhållande över tiden, kommer att vara sinusformade, var och en av dem ökar och minskar, men deras maximala värden sammanfaller inte.

"Dum idé att beskriva kärleksförhållande med hjälp av differentialekvationer kom till mig när jag var kär för första gången och försökte förstå det obegripliga beteendet hos min flickvän "

Modellen kan göras mer realistisk på många sätt. Till exempel kan Romeo reagera inte bara på Julias känslor, utan också på sina egna. Tänk om han är en av de killarna som är så rädda för att bli övergivna att han kommer att kyla sina känslor. Eller syftar på en annan typ av killar som älskar att lida – det är därför han älskar henne.

Lägg till dessa scenarier ytterligare två beteenden hos Romeo - han svarar på Julias tillgivenhet antingen genom att stärka eller försvaga sin egen tillgivenhet - och du kommer att se att i en kärleksrelation finns det fyra annan stil beteende. Mina elever och eleverna i Peter Christophers grupp vid Worcester Polytechnic Institute föreslog att de skulle namnge dessa typer enligt följande: Eremiten eller den onda misantropen för Romeo som svalkar sina känslor och drar sig tillbaka från Julia, och den narcissistiska dåren och flirtigfinken för den som värmer upp hans iver, men avvisad av Juliet. (Du kan komma på riktiga namn för alla dessa typer).

Även om exemplen som ges är fantastiska, är de typer av ekvationer som beskriver dem mycket informativa. De är de mest kraftfulla verktyg som någonsin skapats av mänskligheten för förståelse materiell värld. Sir Isaac Newton använde differentialekvationer för att upptäcka hemligheterna bakom planetrörelser. Med hjälp av dessa ekvationer kombinerade han de jordiska och himmelska sfärer, vilket visar att samma rörelselagar gäller för båda.

Nästan 350 år efter Newton kom mänskligheten att förstå att fysikens lagar alltid uttrycks i differentialekvationers språk. Detta gäller för ekvationerna som beskriver flöden av värme, luft och vatten, för lagarna för elektricitet och magnetism, även för atomen, där kvantmekaniken råder.

I alla fall måste teoretisk fysik hitta de korrekta differentialekvationerna och lösa dem. När Newton upptäckte denna nyckel till universums mysterier och insåg dess stora betydelse publicerade han den som ett latinskt anagram. I en fri översättning låter det så här: "Det är användbart att lösa differentialekvationer."

Den dumma idén att beskriva kärleksrelationer med hjälp av differentialekvationer kom till mig när jag var kär för första gången och försökte förstå det obegripliga beteendet hos min flickvän. Det var en sommarromantik i slutet av mitt andra år på college. Då påminde jag mycket om den första Romeo, och hon var den första Julia. Cykliteten i vårt förhållande gjorde mig galen tills jag insåg att vi båda agerade av tröghet, i enlighet med enkel regel"tryck dra". Men i slutet av sommaren började min ekvation falla isär, och jag blev ännu mer förbryllad. Det visade sig att det hände en viktig händelse, som jag inte tog hänsyn till: henne före detta älskare ville lämna tillbaka den.

I matematiken kallar vi ett sådant problem för trekroppsproblemet. Det är uppenbarligen olösligt, särskilt i samband med astronomi, där det först uppstod. Efter att Newton löst differentialekvationerna för tvåkroppsproblemet (vilket förklarar varför planeterna rör sig i elliptiska banor runt solen), riktade han sin uppmärksamhet mot trekroppsproblemet för solen, jorden och månen. Varken han eller andra forskare har kunnat lösa det. Senare visade det sig att problemet med tre kroppar innehåller frön av kaos, det vill säga i det långa loppet är deras beteende oförutsägbart.

Newton visste ingenting om kaosets dynamik, men enligt hans vän Edmund Halley klagade han över att trekroppsproblemet orsakade huvudvärk och håller honom vaken så ofta att han inte tänker på det längre.

Här är jag med dig, Sir Isaac.

Den här boken kan radikalt förändra din inställning till matematik. Den består av korta kapitel, i vart och ett av dem kommer du att upptäcka något nytt. Du kommer att lära dig hur användbara siffror är för att studera omvärlden, förstå skönheten i geometri, bekanta dig med integralkalkylens elegans, se vikten av statistik och komma i kontakt med oändligheten. Författaren förklarar grundläggande matematiska idéer enkelt och elegant och ger lysande exempel som alla kan förstå.

• namn: Nöjet med X. En spännande resa in i matematikens värld från en av de bästa lärarna i världen
• författare:
• År:
• Genre:

• Ladda ner
• utdrag

Nöjet med X. En spännande resa in i matematikens värld från en av de bästa lärarna i världen
Stephen Strogatz

Den här boken kan radikalt förändra din inställning till matematik. Den består av korta kapitel, i vart och ett av dem kommer du att upptäcka något nytt. Du kommer att lära dig hur användbara siffror är för att studera omvärlden, förstå skönheten i geometri, bekanta dig med integralkalkylens elegans, se vikten av statistik och komma i kontakt med oändligheten. Författaren förklarar grundläggande matematiska idéer enkelt och elegant och ger lysande exempel som alla kan förstå.

Publicerad på ryska för första gången.

Stephen Strogatz

Nöjet med X. En spännande resa in i matematikens värld från en av de bästa lärarna i världen

Steven Strogatz

En guidad tur i matematik, från ett till oändligt

Publicerad med tillstånd från Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Med ensamrätt

© Översättning till ryska, utgåva på ryska, design. LLC "Mann, Ivanov och Ferber", 2014

Alla rättigheter förbehållna. Ingen del av den elektroniska versionen av denna bok får reproduceras i någon form eller på något sätt, inklusive publicering på Internet eller i ett företags...

2010 skrev Stephen Strogatz en serie artiklar om matematikens grunder för The New York Times. Artiklarna väckte uppståndelse. Varje kolumn blev den mest populära artikeln i tidningen och samlade hundratals kommentarer. Läsarna bad om mer, och Stephen gjorde ingen besviken - den här boken dök upp, som innehöll både redan publicerade delar och helt nya kapitel.

Matematik genomsyrar allt i den här världen, inklusive oss själva, men tyvärr är det få människor som förstår detta universella språk tillräckligt bra för att uppskatta dess visdom och skönhet. Steven Strogatz är matteläraren du drömde om på gymnasiet. En lärare som kan tända en gnista av intresse och ingjuta en livslång kärlek till sitt ämne. I denna otroligt lätta och underhållande bok ger han oss alla en andra chans att bekanta oss med matematik. I varje kort kapitel upptäcker du något nytt för dig själv: från varför siffror överhuvudtaget behövs och vidare till ämnen som geometri, integralkalkyl, statistik och oändlighet. Författaren förklarar fantastiska matematiska idéer enkelt och elegant och ger lysande exempel som alla kan förstå. Den här boken är för alla. De som inte är bekanta med matematik kommer att lära känna den på nära håll, och de som älskar matematik kommer att läsa om "vetenskapernas drottning" med nöje.

Förord

Jag har en vän som trots sitt yrke (han är konstnär) brinner för vetenskap. När vi träffas pratar han entusiastiskt om senaste prestationer i psykologi eller kvantmekanik. Men så fort vi pratar om matematik känner han en darrning i knäna, vilket gör honom mycket upprörd. Han klagar över att dessa konstiga matematiska symboler inte bara trotsar honom, utan ibland vet han inte ens hur man uttalar dem.

Faktum är att orsaken till hans ogillar av matematik är mycket djupare. Han kommer aldrig att förstå vad matematiker i allmänhet gör och vad de menar när de säger att detta bevis är elegant. Ibland skämtar vi om att jag bara ska sätta mig ner och börja lära honom från grunderna, bokstavligen från 1 + 1 = 2, och gå in i matematik så mycket han kan.

Och även om den här idén verkar galen, är det vad jag kommer att försöka implementera i den här boken. Jag kommer att guida dig genom alla de stora grenarna av vetenskapen, från aritmetik till högre matematik så att de som ville ha en andra chans äntligen kunde ta vara på den. Och den här gången behöver du inte sitta vid ditt skrivbord. Den här boken kommer inte att göra dig till en expert på matematik. Men det kommer att hjälpa att förstå vad den här disciplinen studerar och varför den är så spännande för dem som förstår den.

Vi kommer att lära oss hur Michael Jordans slam dunks kan hjälpa till att förklara grunderna i kalkyl. Jag kommer att visa dig ett enkelt och fantastiskt sätt att förstå grundsatsen för euklidisk geometri - Pythagoras sats. Vi ska försöka gå till botten med några av livets mysterier, stora som små: Mördade Jay Simpson sin fru; hur man flyttar madrassen så att den håller så länge som möjligt; hur många partner behöver bytas innan ett bröllop spelas – och vi får se varför vissa oändligheter är större än andra.

Matematik finns överallt, du behöver bara lära dig att känna igen den. Du kan se sinusformen på baksidan av en zebra, du kan höra ekon av Euklids satser i självständighetsförklaringen; vad kan jag säga, även i de torra rapporterna som föregick första världskriget finns det negativa siffror. Du kan också se hur nya områden inom matematiken påverkar våra liv idag, till exempel när vi letar efter restauranger med hjälp av en dator eller försöker åtminstone förstå, eller ännu bättre, överleva de skrämmande svängningarna på aktiemarknaden.

— Läs online boken The Pleasure of X av Stephen Strogatz —

En serie på 15 artiklar under vanligt namn Fundamentals of Mathematics dök upp online i slutet av januari 2010. Som svar på deras publicering strömmade det in brev och kommentarer från läsare i alla åldrar, bland vilka många elever och lärare. Det fanns också helt enkelt nyfikna människor som av en eller annan anledning "tappade bort" i förståelsen av matematisk vetenskap; nu känner de att de missat något värdefullt och skulle vilja försöka igen. Jag var särskilt glad över tacksamheten från mina föräldrar för att de med min hjälp kunde förklara matematik för sina barn, och de började själva förstå det bättre. Det verkade som om till och med mina kollegor och kamrater, ivriga beundrare av denna vetenskap, njöt av att läsa artiklarna, förutom de stunder då de tävlade med varandra för att ge alla möjliga rekommendationer för att förbättra min avkomma.

Trots folklig uppfattning finns det ett tydligt intresse för matematik i samhället, även om det ägnas lite uppmärksamhet åt detta fenomen. Vi hör bara om rädslan för matematik, och ändå skulle många gärna försöka förstå den bättre. Och när detta väl händer blir det svårt att slita av dem.

Den här boken kommer att introducera dig till de mest komplexa och avancerade idéerna från matematikens värld. Kapitlen är korta, lättlästa och är inte riktigt beroende av varandra. Bland dem finns de som ingår i den första artikelserien i New York Times. Så så fort du känner en liten matematisk hunger, tveka inte att ta dig an nästa kapitel. Om du vill förstå frågan som intresserar dig mer i detalj, så finns det i slutet av boken anteckningar med ytterligare information och förslag på vad mer att läsa om det.

The Pleasure of X - Steven Strogatz (nedladdning)

(introduktionsversion)

Och slutligen erbjuder vi dig att titta på en intressant video

Den här boken kompletteras väl av:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

pengarboll

Michael Lewis

Flexibelt sinne

Carol Dweck

Börsens fysik

James Weatherall

Glädjen av X

En guidad tur i matematik, från ett till oändligt

Stephen Strogatz

glädje av X

En spännande resa in i matematikens värld från en av de bästa lärarna i världen

Information från förlaget

Publicerad på ryska för första gången

Publicerad med tillstånd från Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogats, P.

glädje av X. En spännande resa in i matematikens värld från en av de bästa lärarna i världen / Stephen Strogatz; per. från engelska. - M. : Mann, Ivanov och Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Den här boken kan radikalt förändra din inställning till matematik. Den består av korta kapitel, i vart och ett av dem kommer du att upptäcka något nytt. Du kommer att lära dig hur användbara siffror är för att studera omvärlden, förstå skönheten i geometri, bekanta dig med integralkalkylens elegans, se vikten av statistik och komma i kontakt med oändligheten. Författaren förklarar grundläggande matematiska idéer enkelt och elegant och ger lysande exempel som alla kan förstå.

Alla rättigheter förbehållna.

Ingen del av denna bok får reproduceras i någon form utan skriftligt tillstånd från upphovsrättsinnehavarna.

Juridiskt stöd för förlaget tillhandahålls av advokatbyrå"Vegas Lex"

© Steven Strogatz, 2012 Med ensamrätt

© Översättning till ryska, utgåva på ryska, design. LLC "Mann, Ivanov och Ferber", 2014

Förord

Jag har en vän som trots sitt yrke (han är konstnär) brinner för vetenskap. När vi träffas berättar han entusiastiskt om den senaste utvecklingen inom psykologi eller kvantmekanik. Men så fort vi pratar om matematik känner han en darrning i knäna, vilket gör honom mycket upprörd. Han klagar över att dessa konstiga matematiska symboler inte bara trotsar honom, utan ibland vet han inte ens hur man uttalar dem.

Faktum är att orsaken till hans ogillar av matematik är mycket djupare. Han kommer aldrig att förstå vad matematiker i allmänhet gör och vad de menar när de säger att detta bevis är elegant. Ibland skämtar vi om att jag bara ska sätta mig ner och börja lära honom från grunderna, bokstavligen från 1 + 1 = 2, och gå in i matematik så mycket han kan.

Och även om den här idén verkar galen, är det vad jag kommer att försöka implementera i den här boken. Jag kommer att guida dig genom alla vetenskapens stora grenar, från aritmetik till avancerad matematik, så att de som ville ha en andra chans äntligen kan ta den. Och den här gången behöver du inte sitta vid ditt skrivbord. Den här boken kommer inte att göra dig till en expert på matematik. Men det kommer att hjälpa att förstå vad den här disciplinen studerar och varför den är så spännande för dem som förstår den.

Vi kommer att lära oss hur Michael Jordans slam dunks kan hjälpa till att förklara grunderna i kalkyl. Jag kommer att visa dig ett enkelt och fantastiskt sätt att förstå grundsatsen för euklidisk geometri - Pythagoras sats. Vi ska försöka gå till botten med några av livets mysterier, stora som små: Mördade Jay Simpson sin fru; hur man flyttar madrassen så att den håller så länge som möjligt; hur många partner behöver bytas innan ett bröllop spelas – och vi får se varför vissa oändligheter är större än andra.

Matematik finns överallt, du behöver bara lära dig att känna igen den. Du kan se sinusformen på baksidan av en zebra, du kan höra ekon av Euklids satser i självständighetsförklaringen; vad kan jag säga, även i de torra rapporterna som föregick första världskriget finns det negativa siffror. Du kan också se hur nya områden inom matematiken påverkar våra liv idag, till exempel när vi letar efter restauranger med hjälp av en dator eller försöker åtminstone förstå, eller ännu bättre, överleva de skrämmande svängningarna på aktiemarknaden.

En serie på 15 artiklar under den allmänna titeln "Fundamentals of Mathematics" dök upp online i slutet av januari 2010. Som svar på deras publicering strömmade det in brev och kommentarer från läsare i alla åldrar, bland vilka många elever och lärare. Det fanns också helt enkelt nyfikna människor som av en eller annan anledning "tappade bort" i förståelsen av matematisk vetenskap; nu känner de att de missat något. handla om och vill gärna försöka igen. Jag var särskilt glad över tacksamheten från mina föräldrar för att de med min hjälp kunde förklara matematik för sina barn, och de började själva förstå det bättre. Det verkade som om till och med mina kollegor och kamrater, ivriga beundrare av denna vetenskap, njöt av att läsa artiklarna, förutom de stunder då de tävlade med varandra för att ge alla möjliga rekommendationer för att förbättra min avkomma.

Trots folklig uppfattning finns det ett tydligt intresse för matematik i samhället, även om det ägnas lite uppmärksamhet åt detta fenomen. Vi hör bara om rädslan för matematik, och ändå skulle många gärna försöka förstå den bättre. Och när detta väl händer blir det svårt att slita av dem.

Den här boken kommer att introducera dig till de mest komplexa och avancerade idéerna från matematikens värld. Kapitlen är korta, lättlästa och är inte riktigt beroende av varandra. Bland dem finns de som ingår i den första artikelserien i New York Times. Så så fort du känner en liten matematisk hunger, tveka inte att ta dig an nästa kapitel. Om du vill förstå frågan som intresserar dig mer i detalj, så finns det i slutet av boken anteckningar med ytterligare information och rekommendationer om vad du mer kan läsa om det.

För att underlätta för läsare som föredrar en steg-för-steg-strategi, har jag delat upp materialet i sex delar i enlighet med den traditionella ordningen av ämnen.

Del I "Siffror" börjar vår resa med aritmetik in dagis och grundskola. Den visar hur användbara siffror kan vara och hur de är magiskt effektiva för att beskriva världen omkring oss.

Del II "Ratios" flyttar uppmärksamheten från själva siffrorna till relationerna mellan dem. Dessa idéer är kärnan i algebra och är de första verktygen för att beskriva hur den ena påverkar den andra, visa orsakssambandet mellan en mängd olika saker: utbud och efterfrågan, stimulans och reaktion - kort sagt, alla typer av samband som gör världen så mångsidigt och rikt..

Del III "Figurer" handlar inte om siffror och symboler, utan om figurer och rymd - geometrins och trigonometrins domän. Dessa ämnen, tillsammans med beskrivningen av alla observerbara objekt genom formulär, med hjälp av logiska resonemang och bevis, lyfter matematiken till ny nivå noggrannhet.

I del IV "Time of Change" kommer vi att titta på kalkyl - det mest imponerande och mångfacetterade området inom matematiken. Kalkyl gör det möjligt att förutsäga planeternas bana, tidvattnets cykler och gör det möjligt att förstå och beskriva alla periodiskt föränderliga processer och fenomen i universum och inom oss. En viktig plats i denna del ägnas åt studiet av oändligheten, vars pacifiering var ett genombrott som gjorde det möjligt för beräkningar att fungera. Datorn hjälpte till att lösa många problem som uppstod i den antika världen, och detta ledde till slut till en revolution inom vetenskapen och den moderna världen.

Del V "Många ansikten av data" handlar om sannolikhet, statistik, nätverk och databehandling - dessa är fortfarande relativt unga fält, genererade av de inte alltid ordnade aspekterna av vårt liv, såsom möjligheter och tur, osäkerhet, risk, volatilitet, slumpmässighet , ömsesidigt beroende. Med hjälp av rätt matematiska verktyg och rätt datatyper lär vi oss att upptäcka mönster i en ström av slumpmässighet.

I slutet av vår resa, i del VI "Det möjligas gränser", kommer vi att närma oss gränserna för matematisk kunskap, gränsområdet mellan det som redan är känt och det som fortfarande är svårfångat och inte känt. Vi kommer återigen att gå igenom ämnena i den ordning vi redan känner till: siffror, förhållanden, former, förändringar och oändlighet - men samtidigt kommer vi att överväga var och en av dem mer på djupet, i sin moderna inkarnation.