Sinussatsen är lika med två radier. Bevis på sinussatsen

Vi konstruerar en godtycklig triangel inskriven i en cirkel. Låt oss beteckna det som ABC.
För att bevisa hela satsen, eftersom dimensionerna på triangeln väljs godtyckligt, räcker det att bevisa att förhållandet mellan en godtycklig sida och vinkeln motsatt den är lika med 2R. Låt det vara 2R = a / sin α, det vill säga om vi tar 2R = BC / sin A enligt ritningen.

Rita diametern BD för den omskrivna cirkeln. Den resulterande triangeln BCD är rätvinklig eftersom dess hypotenusa ligger på diametern av den omskrivna cirkeln (en egenskap hos inskrivna vinklar i en cirkel).

Eftersom vinklarna inskrivna i en cirkel, baserat på samma båge, är lika, så är vinkeln CDB antingen lika med vinkeln CAB (om punkterna A och D ligger på samma sida av linjen BC), eller lika med π - CAB (annars) .

Låt oss titta på egenskaperna trigonometriska funktioner. Eftersom sin(π − α) = sin α, så kommer de angivna alternativen för att konstruera en triangel fortfarande att leda till samma resultat.

Beräkna värdet 2R = a / sin α, enligt ritningen 2R = BC / sin A. För att göra detta, ersätt sin A med förhållandet mellan motsvarande sidor i en rätvinklig triangel.

2R=BC/sin A
2R=BC/(BC/DB)
2R=DB

Och eftersom DB byggdes som diametern på en cirkel, då är likheten sann.
Om vi upprepar samma resonemang för de andra två sidorna av triangeln får vi:

Sinussatsen har bevisats.

Sinussats

Notera. Detta är en del av lektionen med problem i geometri (avsnitt av sinussatsen). Om du behöver lösa ett problem inom geometri, som inte finns här - skriv om det i forumet. I uppgifter, istället för "kvadratrot"-symbolen, används funktionen sqrt (), där sqrt är symbolen roten ur, och inom parentes är rotuttrycket.

Sinussats:
Sidorna i en triangel är proportionella mot sinusen i de motsatta vinklarna, eller, i en utökad formulering:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
där R är radien för den omskrivna cirkeln

Teori - för formulering och bevis för satsen, se kapitlet "Sinussats" i detalj .

En uppgift

I triangeln XYZ vinkel X=30 vinkel Z=15. Den vinkelräta YQ mot ZY delar upp XZ-sidan i delarna XQ och QZ. Hitta XY om QZ=1,5m

Lösning.
Höjden bildade två räta trianglar XYQ och ZYQ.
För att lösa problemet använder vi sinussatsen.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 grader, följaktligen QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Eftersom längden på triangelns höjd nu är känd, hittar vi XY med samma sinussats.

QY / sin(30) = XY / sin(90)

Låt oss ta hänsyn till tabellvärdena för några trigonometriska funktioner:

sinus för 30 grader är sin(30) = 1/2
sinus för 90 grader är sin(90) = 1

QY = XY sin(30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Svar: 0,8 m eller 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Sinussatsen (del 2)

Notera. Detta är en del av lektionen med problem i geometri (avsnitt av sinussatsen). Om du behöver lösa ett problem inom geometri, som inte finns här - skriv om det i forumet .

Se teorin i detalj i kapitlet "Sinussats" .

En uppgift

Sidan AB på triangeln ABC är 16 cm. Vinkel A är 30 grader. Vinkel B är 105 grader. Beräkna längden på sidan BC.

Lösning.
Enligt sinussatsen är sidorna i en triangel proportionella mot sinusen i de motsatta vinklarna:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

På det här sättet
BC / sin α = AB / sin γ

Vi hittar värdet på vinkeln C, baserat på det faktum att summan av vinklarna i en triangel är 180 grader.
C \u003d 180 - 30 -105 \u003d 45 grader.

Var:
BC / synd 30° = 16 / synd 45°

BC = 16 sin 30° / sin 45°

Med hänvisning till tabellen över trigonometriska funktioner finner vi:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 cm

Svar: 16 / √2

En uppgift.
I triangel ABC, vinkel A \u003d α, vinkel C \u003d β, BC \u003d 7cm, är BH höjden på triangeln.
Hitta AN

Första delen av satsen: sidor av en godtycklig triangel proportionell mot sinus motsatta hörn, det är:

Den andra delen av satsen: varje bråkdel är lika med diametern på cirkeln omskriven om den givna triangeln, det vill säga: .

Matematiklärarens kommentar: användningen av den andra delen av sinussatsen finns i nästan vartannat tävlingsproblem för en cirkel. Varför? Faktum är att likhet låter dig hitta radien för en cirkel som bara har två element i triangeln. Detta används mycket ofta av kompilatorer av starka problem, som specifikt väljer villkoret på ett sådant sätt att inga andra element i triangeln (och hela bilden) skulle lokaliseras alls! "Bilden" kommer att sväva. Denna omständighet komplicerar arbetet med tentamen mycket, eftersom det inte gör det möjligt att kringgå den inneboende egenskapen.

Bevis på sinussatsen:

enligt Atanasyans lärobok
Låt oss bevisa att för varje triangel med sidorna a, b, c och motsatta vinklar A, B och C, är likheten sann: .
Rita en höjd BH från vertex B. Två fall är möjliga:
1) Punkten H ligger på sidan AC (detta är möjligt när och är akut).
Enligt definition av sinus för en spetsig vinkel in rät triangel ABH skriver vi

På samma sätt har vi i triangeln CBH . Genom att likställa uttrycken för BH med varandra får vi:
2)Låt H ligga på förlängningen av sidan AC (till exempel till vänster om A). Detta kommer att hända om - dumt. På samma sätt, enligt definitionen av sinus för en spetsig vinkel A i triangel ABH, skriver vi likheten , men eftersom sinusen för intilliggande vinklar är lika, ersätter denna likhet med , får vi som i det första fallet. Därför, oavsett vinklarna A och C, är likheten sann.
Efter att ha dividerat båda dess delar med får vi . Likheten mellan det andra bråkparet bevisas på liknande sätt

Bevis på sinussatsen enligt Pogorelovs lärobok:

Tillämpa triangelareaformeln för två vinklar A och C:

Efter att ha likställt de rätta delarna och reducerat till får vi samma likhet som i bevisningen med den första metoden. Från den får vi på samma sätt bråklikheten.

Bevis för den andra delen av sinussatsen:

Låt oss beskriva en cirkel runt den givna triangeln och rita dess diameter BD genom B. Eftersom vinklarna D och C är baserade på samma båge är de lika (en konsekvens av inskrivna vinklarsatsen). Sedan . Låt oss tillämpa definitionen av sinus för vinkeln D i triangeln ABD: Detta är vad som krävdes för att bevisas.

Uppgifter för den andra delen av sinussatsen:
1) En trapets är inskriven i en cirkel med radie 15. Längden på diagonalen och trapetsens höjder är 20 respektive 6. Hitta sidan.
2) Radien för den omskrivna cirkeln runt trapetsen är 25, och cosinus för dess trubbiga vinkel är -0,28 (minus!!!). Diagonalen på en trapets bildar en vinkel med basen. Hitta höjden på trapetsen.
3) En trapets är inskriven i en cirkel med radie 10. Längden på trapetsens diagonal och mittlinje är 15 respektive 12. Hitta längden på trapetsens laterala sida.
4) OS i Finansakademin 2009 Cirkelns ackord skär varandra i punkten Q. Det är känt att cirkelns radie är 4 cm. Hitta längden på ackordet PN. Olympiaden på Financial Academy 2009
5) I triangel PST . En cirkel med en radie på 8 cm är omskriven runt skärningspunkten mellan dess bisektrar och hörnen P och T. Hitta radien för cirkeln omskriven kring triangeln PST (författarens problem).

En matematiklärare hjälper dig alltid att analysera sinussatsen i detalj och få nödvändig övning i att använda den i uppgifter. Hennes planerade skolstudie äger rum i 9:e klass geometrikurs i ämnet att lösa trianglar (för alla program). Om du behöver förbereda dig för tentamen i matematik för att klara provet med minst 70 poäng, måste du träna på att lösa starka planimetriska problem från C4-tal. I dem tillämpas sinussatsen ofta på inskrivna trianglar givet sambandet. Kom ihåg det här!

Med vänlig hälsning, Kolpakov Alexander Nikolaevich,
matematiklärare

Utexaminerade som förbereder sig för att ta provet i matematik och vill få ganska höga poäng måste definitivt behärska principen att lösa problem med hjälp av teoremet om sinus och cosinus. Långvarig praxis visar att sådana uppgifter från avsnittet "Geometri på ett plan" är en obligatorisk del av certifieringstestprogrammet. Därför, om en av dina svagheterär uppgifter om teoremet om cosinus och sinus, rekommenderar vi att du definitivt upprepar den grundläggande teorin om detta ämne.

Förbered dig för provet med utbildningsportalen "Shkolkovo"

Ikapp innan klara provet, många akademiker står inför problemet med att hitta den grundläggande teorin som är nödvändig för att lösa praktiska problem om tillämpningen av sinus- och cosinussatsen.

Läroboken finns inte alltid till hands vid rätt tidpunkt. Och att hitta de nödvändiga formlerna är ibland ganska problematiskt även på Internet.

Förbereder för certifieringsprovet med utbildningsportal Shkolkovo kommer att vara av högsta kvalitet och effektivitet. För att göra uppgifter om sinus- och cosinussatsen enkla, rekommenderar vi att du uppdaterar minnet av hela teorin om detta ämne. Våra experter förberedde detta material på grundval av rik erfarenhet och presenterade det i en begriplig form. Du hittar den i avsnittet "Teoretisk referens".

Att känna till de grundläggande satserna och definitionerna är halva framgången när man klarar certifieringstestet. Lämpliga övningar gör att du kan finslipa färdigheten att lösa exempel. För att hitta dem, gå bara till Katalogsektionen på Shkolkovo utbildningswebbplats. Det finns en stor lista med uppgifter. olika nivåer komplexitet, som ständigt kompletteras och uppdateras.

Uppgifter om sinus- och cosinussatser, liknande de som finns i Unified State Examination i matematik, kan elever utföra online, medan de är i Moskva eller någon annan rysk stad.

Om det behövs kan till exempel vilken övning som helst sparas i avsnittet "Favoriter". Detta gör att du kan återvända till det i framtiden för att återigen analysera algoritmen för att hitta rätt svar och diskutera det med en lärare i skolan eller en handledare.

Trigonometri används ofta inte bara i avsnittet av algebra - början av analys, utan också i geometri. I detta avseende är det rimligt att anta att det finns satser och deras bevis relaterade till trigonometriska funktioner. Faktum är att cosinus- och sinussatserna härleder mycket intressanta, och viktigast av allt, användbara relationer mellan trianglarnas sidor och vinklar.

Med den här formeln kan du härleda vilken som helst av triangelns sidor:

Beviset för påståendet härleds utifrån Pythagoras sats: hypotenusans kvadrat är lika med summan av benens kvadrater.

Betrakta en godtycklig triangel ABC. Från vertex C sänker vi höjden h till basen av figuren, i detta fall är dess längd absolut inte viktig. Om vi nu betraktar en godtycklig triangel ACB, så kan vi uttrycka koordinaterna för punkten C genom trigonometrisk cos funktioner och synd.

Kom ihåg definitionen av cosinus och skriv förhållandet mellan sidorna i triangeln ACD: cos α = AD/AC | multiplicera båda sidor av likheten med AC; AD = AC * cos α.

Låt oss ta längden AC som b och få uttrycket för den första koordinaten för punkten C:
x = b * cos⁡α. På samma sätt finner vi värdet på ordinatan C: y = b * sin α. Därefter tillämpar vi Pythagoras sats och uttrycker h växelvis för triangeln ACD och DCB:

Uppenbarligen är båda uttrycken (1) och (2) lika med varandra. Vi likställer högersidorna och ger liknande:

På praktik given formel låter dig hitta längden på den okända sidan av triangeln med givna vinklar. Cosinussatsen har tre konsekvenser: för en rät, spetsig och trubbig vinkel i en triangel.

Låt oss ersätta värdet av cos α med den vanliga variabeln x, då får vi för den spetsiga vinkeln på triangeln ABC:

Om vinkeln visar sig vara rätt, kommer 2bx att försvinna från uttrycket, eftersom cos 90 ° \u003d 0. Grafiskt kan den andra konsekvensen representeras enligt följande:

I fallet med en trubbig vinkel kommer "-"-tecknet framför dubbelargumentet i formeln att ändras till "+":

Som du kan se av förklaringen är det inget komplicerat i förhållandena. Cosinussatsen är inget annat än ett arrangemang av Pythagoras sats i trigonometriska storheter.

Praktisk tillämpning av satsen

Övning 1. Givet en triangel ABC med sidan BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm och cos α = ½. Hitta längden på sidan AB.

För att beräkna korrekt måste du bestämma vinkeln α. För att göra detta, se värdetabellen för trigonometriska funktioner, enligt vilken bågcosinus är 1/2 för en vinkel på 60 °. Baserat på detta använder vi formeln för den första följden av satsen:

Uppgift 2. För triangel ABC är alla sidor kända: AB =4√2,BC=5,AC=7. Det krävs att man hittar alla vinklar i figuren.

I det här fallet kan du inte göra utan en ritning av villkoren för problemet.

Eftersom värdena på vinklarna förblir okända bör man använda fullständig formel för en spetsig vinkel.

I analogi är det inte svårt att formulera och beräkna värden för andra vinklar:

Sammanfattningsvis bör triangelns tre vinklar vara 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, därför hittas lösningen.

Sinussats

Satsen säger att alla sidor i en godtycklig triangel är proportionella mot sinusen i de motsatta vinklarna. Kvoten skrivs i form av en trippellikhet:

Det klassiska beviset för påståendet utförs på exemplet med en figur inskriven i en cirkel.

För att verifiera påståendets sanningshalt med hjälp av exemplet med triangel ABC i figuren är det nödvändigt att bekräfta det faktum att 2R = BC / sin A. Bevisa sedan att de andra sidorna också motsvarar sinusen för motsatta vinklar, som 2R eller D av en cirkel.

För att göra detta ritar vi cirkelns diameter från vertex B. Från egenskaperna hos vinklar inskrivna i en cirkel är ∠GCB en rät linje, och ∠CGB är antingen lika med ∠CAB eller (π - ∠CAB). När det gäller en sinus är den senare omständigheten inte signifikant, eftersom sin (π -α) \u003d sin α. Baserat på ovanstående slutsatser kan man hävda att:

sin ∠CGB = BC/ BG eller sin A = BC/2R,

Om vi betraktar andra vinklar i figuren får vi den utökade formeln för sinussatsen: