Pythagoras sats är direkt. Olika sätt att bevisa Pythagoras sats

Potentialen för kreativitet tillskrivs vanligtvis humaniora, vilket lämnar den naturvetenskapliga analysen, det praktiska förhållningssättet och det torra språket av formler och siffror. Matematik kan inte klassas som ett humanistiskt ämne. Men utan kreativitet i "drottningen av alla vetenskaper" kommer du inte långt - folk har vetat om detta länge. Sedan Pythagoras tid till exempel.

Skolböcker brukar tyvärr inte förklara att det i matematik är viktigt att inte bara proppa satser, axiom och formler. Det är viktigt att förstå och känna dess grundläggande principer. Och försök samtidigt befria ditt sinne från klichéer och elementära sanningar - bara under sådana förhållanden föds alla stora upptäckter.

Sådana upptäckter inkluderar den som vi idag känner som Pythagoras sats. Med dess hjälp ska vi försöka visa att matematik inte bara kan, utan också ska vara roligt. Och att detta äventyr passar inte bara för nördar i tjocka glas, utan för alla som är starka i sinnet och starka i själen.

Ur frågans historia

Strängt taget, även om satsen kallas "Pythagoras sats", upptäckte inte Pythagoras själv den. Den räta triangeln och dess speciella egenskaper har studerats långt innan den. Det finns två polära synpunkter på denna fråga. Enligt en version var Pythagoras den förste som hittade ett fullständigt bevis för satsen. Enligt en annan tillhör inte beviset Pythagoras författarskap.

Idag kan man inte längre kontrollera vem som har rätt och vem som har fel. Det är bara känt att beviset för Pythagoras, om det någonsin funnits, inte har överlevt. Det finns dock förslag på att det berömda beviset från Euklids element kan tillhöra Pythagoras, och Euklid skrev bara det.

Det är också känt idag att problem med en rätvinklig triangel finns i egyptiska källor från farao Amenemhet I:s tid, på babyloniska lertavlor från kung Hammurabis regeringstid, i den antika indiska avhandlingen Sulva Sutra och det antika kinesiska verket Zhou -bi suan jin.

Som du kan se har Pythagoras sats sysselsatt matematikernas sinnen sedan antiken. Cirka 367 olika bevis som finns idag fungerar som bekräftelse. Inget annat teorem kan konkurrera med det i detta avseende. Anmärkningsvärda bevisförfattare inkluderar Leonardo da Vinci och USA:s 20:e president, James Garfield. Allt detta talar om den extrema betydelsen av denna sats för matematik: de flesta av geometrins satser är härledda från den eller på ett eller annat sätt kopplade till den.

Bevis för Pythagoras sats

Skolböcker ger mestadels algebraiska bevis. Men kärnan i satsen ligger i geometrin, så låt oss först och främst överväga de bevis för den berömda satsen som är baserade på denna vetenskap.

Bevis 1

För det enklaste beviset på Pythagoras sats för en rätvinklig triangel måste du ställa in ideala förhållanden: låt triangeln inte bara vara rätvinklig, utan också likbent. Det finns anledning att tro att det var en sådan triangel som ursprungligen ansågs av forntida matematiker.

Påstående "en kvadrat byggd på hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna byggda på dess ben" kan illustreras med följande ritning:

Titta på den likbenta räta triangeln ABC: På hypotenusan AC kan du bygga en kvadrat som består av fyra trianglar lika med den ursprungliga ABC. Och på benen AB och BC byggda på en kvadrat, som var och en innehåller två liknande trianglar.

Förresten, denna teckning utgjorde grunden för många anekdoter och tecknade serier tillägnade Pythagoras sats. Den kanske mest kända är "Pythagoreiska byxor är lika i alla riktningar":

Bevis 2

Denna metod kombinerar algebra och geometri och kan ses som en variant av matematikern Bhaskaris gamla indiska bevis.

Konstruera en rätvinklig triangel med sidor a, b och c(Figur 1). Bygg sedan två rutor med sidor lika med summan av längden på de två benen - (a+b). Gör konstruktioner i var och en av rutorna, som i figurerna 2 och 3.

I den första kvadraten bygger du fyra av samma trianglar som i figur 1. Som ett resultat erhålls två kvadrater: en med sida a, den andra med sida b.

I den andra kvadraten bildar fyra liknande trianglar konstruerade en kvadrat med en sida lika med hypotenusan c.

Summan av ytorna för de konstruerade kvadraterna i fig. 2 är lika med arean av kvadraten vi konstruerade med sidan c i fig. 3. Detta kan enkelt verifieras genom att beräkna arean av kvadraterna i fig. 2 enligt formeln. Och arean av den inskrivna kvadraten i figur 3. genom att subtrahera arean av fyra lika rätvinkliga trianglar inskrivna i kvadraten från arean av en stor kvadrat med en sida (a+b).

Lägger vi ner allt detta har vi: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Utöka parenteserna, gör alla nödvändiga algebraiska beräkningar och få det a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Samtidigt, området för det inskrivna i Fig.3. kvadrat kan också beräknas med den traditionella formeln S=c2. De där. a2+b2=c2 Du har bevisat Pythagoras sats.

Bevis 3

Samma forntida indiska bevis beskrivs på 1100-talet i avhandlingen "Kunskapens krona" ("Siddhanta Shiromani"), och som huvudargument använder författaren en vädjan riktad till elevers och elevers matematiska talanger och observationsförmåga. följare: "Titta!".

Men vi kommer att analysera detta bevis mer i detalj:

Inuti kvadraten bygger du fyra rätvinkliga trianglar som visas på ritningen. Sidan av den stora kvadraten, som också är hypotenusan, betecknas från. Låt oss kalla benen på triangeln men Och b. Enligt ritningen är sidan av den inre kvadraten (a-b).

Använd formeln för kvadratyta S=c2 för att beräkna arean av den yttre kvadraten. Och beräkna samtidigt samma värde genom att lägga till arean av den inre kvadraten och arean av fyra rätvinkliga trianglar: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Du kan använda båda alternativen för att beräkna arean av en kvadrat för att se till att de ger samma resultat. Och det ger dig rätt att skriva ner det c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Som ett resultat av lösningen får du formeln för Pythagoras sats c2=a2+b2. Teoremet har bevisats.

Bevis 4

Detta märkliga forntida kinesiska bevis kallades "Brudens stol" - på grund av den stolliknande figuren som är resultatet av alla konstruktioner:

Den använder ritningen som vi redan har sett i figur 3 i det andra beviset. Och den inre kvadraten med sidan c är konstruerad på samma sätt som i det gamla indiska beviset som ges ovan.

Om du mentalt skär av två gröna rätvinkliga trianglar från ritningen i Fig. 1, överför dem till motsatta sidor av kvadraten med sidan c och fäster hypotenuserna vid syrentrianglarnas hypotenuser, får du en figur som kallas "brudens stol” (bild 2). För tydlighetens skull kan du göra samma sak med pappersrutor och trianglar. Du kommer att se att "brudstolen" bildas av två rutor: små med en sida b och stor med en sida a.

Dessa konstruktioner gjorde det möjligt för de gamla kinesiska matematikerna och oss som följde dem att komma till slutsatsen att c2=a2+b2.

Bevis 5

Detta är ett annat sätt att hitta en lösning på Pythagoras sats baserat på geometri. Det kallas för Garfield-metoden.

Konstruera en rätvinklig triangel ABC. Det måste vi bevisa BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

För att göra detta, fortsätt benet AC och bygga ett segment CD, som är lika med benet AB. Nedre vinkelrät AD sektion ED. Segment ED Och ACär jämlika. koppla ihop prickarna E Och I, såväl som E Och FRÅN och få en ritning som bilden nedan:

För att bevisa tornet tillgriper vi återigen metoden vi redan har testat: vi hittar området för den resulterande figuren på två sätt och likställer uttrycken med varandra.

Hitta arean av en polygon EN SÄNG kan göras genom att lägga till ytorna av de tre trianglarna som bildar den. Och en av dem ERU, är inte bara rektangulär, utan också likbent. Låt oss inte heller glömma det AB=CD, AC=ED Och BC=CE- Detta gör att vi kan förenkla inspelningen och inte överbelasta den. Så, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Samtidigt är det uppenbart att EN SÄNGär en trapets. Därför beräknar vi dess area med formeln: SABED=(DE+AB)*1/2AD. För våra beräkningar är det bekvämare och tydligare att representera segmentet AD som summan av segmenten AC Och CD.

Låt oss skriva båda sätten att beräkna arean av en figur genom att sätta ett likhetstecken mellan dem: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Vi använder jämlikheten av segment som redan är kända för oss och som beskrivs ovan för att förenkla den högra sidan av notationen: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Och nu öppnar vi parentesen och förvandlar jämställdheten: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Efter att ha avslutat alla omvandlingar får vi exakt vad vi behöver: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Vi har bevisat satsen.

Naturligtvis är denna lista med bevis långt ifrån komplett. Pythagoras sats kan också bevisas med hjälp av vektorer, komplexa tal, differentialekvationer, stereometri, etc. Och även fysiker: om till exempel vätska hälls i kvadratiska och triangulära volymer liknande de som visas på ritningarna. Genom att hälla vätska är det möjligt att bevisa jämlikheten mellan områden och själva satsen som ett resultat.

Några ord om pythagoras trillingar

Denna fråga studeras lite eller inte i skolans läroplan. Samtidigt är det väldigt intressant och har stor betydelse i geometrin. Pythagoras trippel används för att lösa många matematiska problem. Idén om dem kan vara användbar för dig i vidareutbildning.

Så vad är Pythagoras trillingar? Så kallade naturliga tal, samlade i treor, vars summa av kvadraterna av två är lika med det tredje talet i kvadrat.

Pythagoras trippel kan vara:

• primitiv (alla tre talen är relativt primtal);
• icke-primitiv (om varje tal i en trippel multipliceras med samma tal får du en ny trippel som inte är primitiv).

Redan före vår tideräkning var de forntida egyptierna fascinerade av manin för antalet pytagoreiska trippel: i uppgifter ansåg de en rätvinklig triangel med sidor på 3,4 och 5 enheter. Förresten, varje triangel vars sidor är lika med talen från Pythagoras trippel är rätvinklig som standard.

Exempel på pythagoras trippel: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) osv.

Praktisk tillämpning av satsen

Pythagoras sats finner tillämpning inte bara i matematik, utan också i arkitektur och konstruktion, astronomi och till och med litteratur.

För det första om konstruktion: Pythagoras sats används i stor utsträckning i problem med olika komplexitetsnivåer. Titta till exempel på det romanska fönstret:

Låt oss beteckna fönstrets bredd som b, då kan radien för den stora halvcirkeln betecknas som R och uttrycka genom b: R=b/2. Radien för mindre halvcirklar kan också uttryckas i termer av b: r=b/4. I det här problemet är vi intresserade av radien för fönstrets inre cirkel (låt oss kalla det sid).

Pythagoras sats är bara praktisk att beräkna R. För att göra detta använder vi en rätvinklig triangel, som indikeras av en prickad linje i figuren. Hypotenusan i en triangel består av två radier: b/4+p. Ett ben är en radie b/4, annan b/2-p. Med hjälp av Pythagoras sats skriver vi: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Därefter öppnar vi fästena och hämtar b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Låt oss omvandla detta uttryck till bp/2=b2/4-bp. Och så delar vi in ​​alla termer i b, vi ger liknande att få 3/2*p=b/4. Och till slut finner vi det p=b/6- vilket är vad vi behövde.

Med hjälp av satsen kan du beräkna längden på takbjälken för ett sadeltak. Bestäm hur högt ett mobiltorn behövs för att signalen ska nå en viss lösning. Och till och med stadigt installera en julgran på stadens torg. Som du kan se lever denna teorem inte bara på sidorna i läroböcker, utan är ofta användbar i verkliga livet.

När det gäller litteraturen har Pythagoras sats inspirerat författare sedan antiken och fortsätter att göra det idag. Till exempel blev den tyske 1800-talsförfattaren Adelbert von Chamisso inspirerad av henne att skriva en sonett:

Sanningens ljus kommer inte snart att försvinna,
Men efter att ha glänst är det osannolikt att det försvinner
Och som för tusentals år sedan,
Kommer inte att orsaka tvivel och tvister.

Det klokaste när det rör ögat
Sanningens ljus, tacka gudarna;
Och hundra tjurar, knivhuggna, ljuger -
Återgåvan av den lyckliga Pythagoras.

Sedan dess har tjurarna vrålat desperat:
För alltid väckte tjurstammen
händelse som nämns här.

De tycker att det är på tiden
Och återigen kommer de att offras
Något bra teorem.

(översatt av Viktor Toporov)

Och på 1900-talet ägnade den sovjetiske författaren Yevgeny Veltistov i sin bok "The Adventures of Electronics" ett helt kapitel åt bevisen för Pythagoras sats. Och ett halvt kapitel av berättelsen om den tvådimensionella värld som skulle kunna existera om Pythagoras sats blev den grundläggande lagen och till och med religionen för en enda värld. Det skulle vara mycket lättare att leva i det, men också mycket tråkigare: till exempel förstår ingen där innebörden av orden "rund" och "fluffig".

Och i boken "The Adventures of Electronics" säger författaren genom matematikläraren Tarataras mun: "Huvudsaken i matematik är tankens rörelse, nya idéer." Det är denna kreativa tankeflykt som genererar Pythagoras sats - det är inte för inte som den har så många olika bevis. Det hjälper att gå utöver det vanliga och se på bekanta saker på ett nytt sätt.

Slutsats

Den här artikeln skapades så att du kan se bortom skolans läroplan i matematik och lära dig inte bara de bevis för Pythagoras sats som ges i läroböckerna "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) och "Geometry 7 -11 ” (AV Pogorelov), men också andra nyfikna sätt att bevisa det berömda teoremet. Och se även exempel på hur Pythagoras sats kan tillämpas i vardagen.

För det första kommer denna information att låta dig göra anspråk på högre poäng i matematikklasser - information om ämnet från ytterligare källor är alltid mycket uppskattat.

För det andra ville vi hjälpa dig att få en känsla för hur intressant matematik är. Att genom specifika exempel övertygas om att det alltid finns en plats för kreativitet i det. Vi hoppas att Pythagoras sats och den här artikeln kommer att inspirera dig att göra din egen forskning och spännande upptäckter inom matematik och andra vetenskaper.

Berätta för oss i kommentarerna om du tyckte att bevisen som presenterades i artikeln var intressanta. Tyckte du att denna information var användbar i dina studier? Låt oss veta vad du tycker om Pythagoras sats och den här artikeln - vi diskuterar gärna allt detta med dig.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Hem

Sätt att bevisa Pythagoras sats.

G. Glaser,
Akademiker vid Russian Academy of Education, Moskva

Om Pythagoras sats och hur man bevisar det

Arean av en kvadrat byggd på hypotenusan av en rätvinklig triangel är lika med summan av arean av kvadraterna byggda på dess ben...

Detta är en av antikens mest kända geometriska satser, kallad Pythagoras sats. Det är fortfarande känt för nästan alla som någonsin har studerat planimetri. Det verkar för mig att om vi vill låta utomjordiska civilisationer veta om existensen av intelligent liv på jorden, så borde vi skicka en bild av den pytagoreiska figuren ut i rymden. Jag tror att om tänkande varelser kan acceptera denna information, kommer de att förstå utan komplex signalavkodning att det finns en ganska utvecklad civilisation på jorden.

Den berömda grekiske filosofen och matematikern Pythagoras från Samos, efter vilken satsen är uppkallad, levde för cirka 2,5 tusen år sedan. Den biografiska informationen om Pythagoras som har kommit till oss är fragmentarisk och långt ifrån tillförlitlig. Många legender är förknippade med hans namn. Det är autentiskt känt att Pythagoras reste mycket i länderna i öst, besökte Egypten och Babylon. I en av de grekiska kolonierna i södra Italien grundade han den berömda "Pythagoreiska skolan", som spelade en viktig roll i det antika Greklands vetenskapliga och politiska liv. Det är Pythagoras som är krediterad för att bevisa den välkända geometriska satsen. Baserat på de legender som spridits av kända matematiker (Proclus, Plutarch, etc.), trodde man länge att denna sats inte var känd före Pythagoras, därav namnet - Pythagoras sats.

Det råder dock ingen tvekan om att denna sats var känd många år före Pythagoras. Så, 1500 år före Pythagoras, visste de forntida egyptierna att en triangel med sidorna 3, 4 och 5 är rektangulär, och använde denna egenskap (dvs. Pythagoras omvända sats) för att konstruera räta vinklar när de planerade tomter och strukturerade byggnader. Och än idag ritar lantliga byggare och snickare, som lägger grunden för kojan, gör dess detaljer, denna triangel för att få en rät vinkel. Samma sak gjordes för tusentals år sedan i byggandet av magnifika tempel i Egypten, Babylon, Kina och förmodligen i Mexiko. I det äldsta kinesiska matematiska och astronomiska arbetet som har kommit till oss, Zhou-bi, skrivet cirka 600 år före Pythagoras, bland andra förslag relaterade till en rätvinklig triangel, finns även Pythagoras sats. Även tidigare var denna sats känd för hinduerna. Pythagoras upptäckte alltså inte denna egenskap hos en rätvinklig triangel, han var förmodligen den förste som generaliserade och bevisade den och överförde den därigenom från praktikområdet till vetenskapsområdet. Vi vet inte hur han gjorde det. Vissa matematikhistoriker antar att Pythagoras bevis ändå inte var grundläggande, utan bara en bekräftelse, en verifiering av denna egenskap på ett antal speciella typer av trianglar, som börjar med en likbent rätvinklig triangel, för vilken det uppenbarligen följer av fig. ett.

FRÅN Sedan urminnes tider har matematiker hittat fler och fler bevis för Pythagoras sats, fler och fler idéer för dess bevis. Mer än ett och ett halvt hundra sådana bevis - mer eller mindre rigorösa, mer eller mindre visuella - är kända, men önskan att öka antalet har bevarats. Jag tror att den oberoende "upptäckten" av bevisen för Pythagoras sats kommer att vara användbar för moderna skolbarn.

Låt oss överväga några exempel på bevis som kan antyda riktningen för sådana sökningar.

Bevis för Pythagoras

"Kvadraten byggd på hypotenusan av en rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna byggda på dess ben." Det enklaste beviset för satsen erhålls i det enklaste fallet med en likbent rätvinklig triangel. Förmodligen började teoremet med honom. Det räcker faktiskt att bara titta på plattsättningen av likbenta rätvinkliga trianglar för att se att satsen är sann. Till exempel för DABC: en kvadrat byggd på hypotenusan AU, innehåller 4 initiala trianglar och kvadrater byggda på benen med två. Teoremet har bevisats.

Bevis baserade på användningen av begreppet lika yta av figurer.

Samtidigt kan vi överväga bevis där kvadraten byggd på hypotenusan av en given rätvinklig triangel är "sammansatt" av samma figurer som kvadraterna byggda på benen. Vi kan också överväga sådana bevis där permutationen av figurernas termer används och ett antal nya idéer beaktas.

På fig. 2 visar två lika stora kvadrater. Längden på sidorna av varje kvadrat är a + b. Var och en av kvadraterna är uppdelade i delar som består av kvadrater och räta trianglar. Det är tydligt att om vi subtraherar den fyrdubbla arean av en rätvinklig triangel med benen a, b från kvadratytan, så återstår lika arealer, dvs c 2 \u003d a 2 + b 2. Men de forntida hinduerna, som detta resonemang tillhör, skrev vanligtvis inte ner det, utan åtföljde ritningen med bara ett ord: "titta!" Det är mycket möjligt att Pythagoras gav samma bevis.

ytterligare bevis.

Dessa bevis är baserade på nedbrytningen av kvadraterna byggda på benen till figurer, från vilka det är möjligt att lägga till en kvadrat byggd på hypotenusan.

Här: ABC är en rätvinklig triangel med rät vinkel C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Bevisa på egen hand den parvisa likheten mellan trianglarna som erhålls genom att dela rutorna byggda på benen och hypotenusan.

Bevisa satsen med hjälp av denna partition.

 På basis av al-Nairiziyas bevis gjordes ytterligare en uppdelning av kvadrater till parvis lika figurer (Fig. 5, här är ABC en rätvinklig triangel med rät vinkel C).

 Ett annat bevis genom metoden att bryta ner kvadrater i lika delar, kallat "hjulet med blad", visas i fig. 6. Här: ABC är en rätvinklig triangel med rät vinkel C; O - mitten av en kvadrat byggd på ett stort ben; streckade linjer som går genom punkten O är vinkelräta eller parallella med hypotenusan.

 Denna nedbrytning av kvadrater är intressant genom att dess parvis lika fyrhörningar kan mappas på varandra genom parallell translation. Många andra bevis för Pythagoras sats kan erbjudas genom att sönderfalla kvadrater till figurer.

Bevis genom förlängningsmetod.

Kärnan i denna metod är att lika siffror fästs på kvadraterna byggda på benen och till kvadraten byggd på hypotenusan på ett sådant sätt att lika siffror erhålls.

Giltigheten av Pythagoras sats följer av den lika stora storleken på hexagonerna AEDFPB och ACBNMQ. Här delar CEP, linje EP hexagon AEDFPB i två fyrkanter med lika yta, linje CM delar hexagon ACBNMQ i två fyrkanter med lika yta; en 90° rotation av planet runt mitten A mappar fyrhörning AEPB till fyrhörning ACMQ.

På fig. 8 Den pytagoreiska figuren kompletteras till en rektangel, vars sidor är parallella med motsvarande sidor av de kvadrater som är byggda på benen. Låt oss dela upp denna rektangel i trianglar och rektanglar. Först subtraherar vi alla polygoner 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 från den resulterande rektangeln och lämnar en kvadrat byggd på hypotenusan. Sedan, från samma rektangel, subtraherar vi rektanglarna 5, 6, 7 och de skuggade rektanglarna får vi kvadrater byggda på benen.

Låt oss nu bevisa att siffrorna som subtraheras i det första fallet är lika stora som siffrorna som subtraheras i det andra fallet.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

därför c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c2 = a2 + b2.

Algebraisk bevismetod.

	Ris. 12 illustrerar beviset från den store indiske matematikern Bhaskari (den berömda författaren till Lilavati, X 2:a århundradet). Teckningen åtföljdes av endast ett ord: SE! Bland bevisen för Pythagoras sats med den algebraiska metoden upptar beviset med likhet första platsen (kanske det äldsta).
	Låt oss i en modern presentation presentera ett av sådana bevis, som tillhör Pythagoras.

H och fig. 13 ABC - rektangulär, C - rät vinkel, CMAB, b 1 - projektion av ben b på hypotenusan, a 1 - projektion av ben a på hypotenusan, h - triangelns höjd ritad till hypotenusan.

Av det faktum att ABC liknar ACM följer det

b 2 \u003d cb 1; (ett)

av det faktum att ABC liknar BCM följer det

a 2 = ca 1 . (2)

Lägger vi till likheterna (1) och (2) term för term, får vi a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Om Pythagoras verkligen erbjöd ett sådant bevis, då var han också bekant med ett antal viktiga geometriska satser som moderna matematikhistoriker brukar tillskriva Euklid.

Möllmanns bevis (bild 14). Arean av denna räta triangel, å ena sidan, är lika stor å den andra, där p är triangelns halvperimeter, r är radien för cirkeln inskriven i den Vi har:

därav följer att c 2 =a 2 + b 2 .

på sekunden

Genom att likställa dessa uttryck får vi Pythagoras sats.

Kombinerad metod

Likhet mellan trianglar

c2 = a2 + b2. (3)

Genom att jämföra relationer (3) och (4) får vi det

c 1 2 = c 2 , eller c 1 = c.

Således är trianglarna - givna och konstruerade - lika, eftersom de har tre motsvarande lika sidor. Vinkeln C 1 är rät, så vinkeln C för denna triangel är också rät.

Forntida indiska bevis.

Matematikerna i det antika Indien märkte att för att bevisa Pythagoras sats räcker det att använda insidan av den antika kinesiska ritningen. I avhandlingen "Siddhanta Shiromani" ("Kunskapens krona") skriven på palmblad av den största indiska matematikern på 1900-talet. Bha-skara placerade en ritning (fig. 4)

kännetecknande för indiska bevis l ordet "titta!". Som du kan se är rätvinkliga trianglar staplade här med hypotenusan utåt och kvadraten från 2 flyttade till "bride-lo stolen" från 2 -b 2 . Observera att specialfall av Pythagoras sats (till exempel konstruktionen av en kvadrat vars area är dubbelt så stor fig.4 område av detta torg) finns i den gamla indiska avhandlingen "Sulva"

De löste en rätvinklig triangel och kvadrater byggda på dess ben, eller, med andra ord, figurer uppbyggda av 16 identiska likbenta räta trianglar och passar därför in i en kvadrat. Det är en lilja. en liten bråkdel av rikedomarna gömda i den antika matematikens pärla - Pythagoras sats.

Forntida kinesiska bevis.

Matematiska avhandlingar från det forntida Kina har kommit till oss i upplagan av det 2: a århundradet. FÖRE KRISTUS. Faktum är att år 213 f.Kr. Den kinesiske kejsaren Shi Huang-di, som försökte eliminera de gamla traditionerna, beordrade att bränna alla gamla böcker. I P c. FÖRE KRISTUS. papper uppfanns i Kina och samtidigt började rekonstruktionen av antika böcker. Nyckeln till detta bevis är inte svår att hitta. I den antika kinesiska ritningen finns det faktiskt fyra lika rätvinkliga trianglar med katetrar a, b och hypotenusa från staplade G) så att deras yttre kontur bildar Fig. 2 en kvadrat med sidor a + b, och den inre är en kvadrat med sidan c, byggd på hypotenusan (fig. 2, b). Om en kvadrat med sidan c skärs ut och de återstående 4 skuggade trianglarna placeras i två rektanglar (Fig. 2, i), det är tydligt att det resulterande tomrummet å ena sidan är lika med FRÅN 2 , och på den andra - från 2 +b 2 , de där. c 2 \u003d  2 + b 2. Teoremet har bevisats. Observera att med ett sådant bevis används inte konstruktionerna inuti kvadraten på hypotenusan, som vi ser i den antika kinesiska ritningen (Fig. 2, a). Tydligen hade de gamla kinesiska matematikerna ett annat bevis. Just om i en kvadrat med en sida från två skuggade trianglar (Fig. 2, b) skär av och fäst hypotenuserna vid de andra två hypotenuserna (fig. 2, G), det är lätt att hitta det

Den resulterande figuren, ibland kallad "brudens stol", består av två rutor med sidor men Och b, de där. c 2 == a 2 +b 2 .

H Figur 3 återger en ritning från avhandlingen "Zhou-bi ...". Här anses Pythagoras sats för den egyptiska triangeln med ben 3, 4 och hypotenusa 5 enheter. Fyrkanten på hypotenusan innehåller 25 celler, och kvadraten som är inskriven i den på det större benet innehåller 16. Det är tydligt att den återstående delen innehåller 9 celler. Detta kommer att vara kvadraten på det mindre benet.

1

Shapovalova L.A. (station Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr 11)

1. Glazer G.I. Matematikens historia i skolan VII - VIII årskurser, en vägledning för lärare, - M: Education, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Bakom sidorna i en matematiklärobok" Handbok för elever i årskurs 5-6. – M.: Upplysningen, 1989.

3. Zenkevich I.G. "Matematiklektionens estetik". – M.: Upplysning, 1981.

4. Litzman V. Pythagoras sats. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pythagoras". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Bortom sidorna i en algebra lärobok". - M., 1990.

7. Zemljakov A.N. "Geometri i 10:e klass." - M., 1986.

8. Tidningen "Matematik" 17/1996.

9. Tidningen "Matematik" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Samling av problem i elementär matematik". - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematikhandbok". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Den pythagoreiska läran om antal och storlek". - Novosibirsk, 1997.

13. ”Reella siffror. Irrationella uttryck» Årskurs 8. Tomsk University Press. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometri" årskurs 7-9. – M.: Upplysningen, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Det här läsåret bekantade jag mig med en intressant sats, känd, som det visade sig, från antiken:

"Kvadraten byggd på hypotenusan av en rätvinklig triangel är lika med summan av kvadraterna byggda på benen."

Vanligtvis tillskrivs upptäckten av detta uttalande den antika grekiska filosofen och matematikern Pythagoras (VI-talet f.Kr.). Men studiet av gamla manuskript visade att detta uttalande var känt långt före Pythagoras födelse.

Jag undrade varför det i det här fallet är förknippat med namnet Pythagoras.

Ämnets relevans: Pythagoras sats är av stor betydelse: den används i geometri bokstavligen vid varje steg. Jag tror att Pythagoras verk fortfarande är relevanta, för var vi än tittar kan vi överallt se frukterna av hans stora idéer, förkroppsligade i olika grenar av det moderna livet.

Syftet med min forskning var: att ta reda på vem Pythagoras var, och vilken relation han har till detta teorem.

När jag studerade teoremets historia bestämde jag mig för att ta reda på:

Finns det andra bevis för denna sats?

Vilken betydelse har denna sats i människors liv?

Vilken roll spelade Pythagoras i utvecklingen av matematiken?

Från biografin om Pythagoras

Pythagoras från Samos är en stor grekisk vetenskapsman. Dess berömmelse är förknippad med namnet på Pythagoras sats. Även om vi nu redan vet att denna sats var känd i det antika Babylon 1200 år före Pythagoras, och i Egypten 2000 år före honom var en rätvinklig triangel med sidorna 3, 4, 5 känd, så kallar vi den fortfarande vid namnet på denna antika forskare.

Nästan ingenting är tillförlitligt känt om Pythagoras liv, men det är förknippat med hans namn Ett stort antal legender.

Pythagoras föddes 570 f.Kr. på ön Samos.

Pythagoras hade ett vackert utseende, bar ett långt skägg och ett gyllene diadem på huvudet. Pythagoras är inte ett namn, utan ett smeknamn som filosofen fick för att alltid tala korrekt och övertygande, som ett grekiskt orakel. (Pythagoras - "övertygande tal").

År 550 f.Kr. fattar Pythagoras ett beslut och åker till Egypten. Så, ett okänt land och en okänd kultur öppnar sig före Pythagoras. Mycket förvånad och förvånad Pythagoras i detta land, och efter några observationer av egyptiernas liv insåg Pythagoras att vägen till kunskap, skyddad av prästernes kast, ligger genom religionen.

Efter elva års studier i Egypten åker Pythagoras till sitt hemland, där han på vägen hamnar i babylonisk fångenskap. Där bekantar han sig med den babyloniska vetenskapen, som var mer utvecklad än den egyptiska. Babylonierna visste hur man löser linjära, kvadratiska och vissa typer av kubiska ekvationer. Efter att ha rymt från fångenskapen kunde han inte stanna länge i sitt hemland på grund av atmosfären av våld och tyranni som härskade där. Han bestämde sig för att flytta till Croton (en grekisk koloni i norra Italien).

Det är i Croton som den mest härliga perioden i Pythagoras liv börjar. Där etablerade han något som liknade ett religiöst-etiskt brödraskap eller en hemlig klosterordning, vars medlemmar var skyldiga att leda den så kallade pytagoreiska livsstilen.

Pythagoras och pytagoreerna

Pythagoras organiserade i en grekisk koloni på södra Apenninska halvön ett religiöst och etiskt brödraskap, såsom en klosterordning, som senare skulle kallas Pythagoras Union. Förbundets medlemmar var tvungna att hålla sig till vissa principer: för det första att sträva efter det vackra och härliga, för det andra att vara användbart och för det tredje att sträva efter hög njutning.

Systemet med moraliska och etiska regler, som Pythagoras testamenterade till sina elever, sammanställdes till ett slags moralisk kod för de pythagoras "Gyllene verser", som var mycket populära under antikens, medeltiden och renässansen.

Det pythagoriska studiesystemet bestod av tre sektioner:

Lärdomar om siffror - aritmetik,

Lärdomar om figurer - geometri,

Lärdomar om universums struktur - astronomi.

Utbildningssystemet som Pythagoras fastställde varade i många århundraden.

Pythagoras skola gjorde mycket för att ge geometrin karaktären av en vetenskap. Huvuddragen i den pythagoriska metoden var kombinationen av geometri med aritmetik.

Pythagoras sysslade mycket med proportioner och progressioner och, förmodligen, med likheten mellan figurer, eftersom han är krediterad för att ha löst problemet: "Baserat på de givna två figurerna, konstruera en tredje, lika stor som en av uppgifterna och liknande till den andra."

Pythagoras och hans elever introducerade begreppet polygonala, vänliga, perfekta tal och studerade deras egenskaper. Aritmetiken, som räkneövning, intresserade inte Pythagoras, och han förklarade stolt att han "satte aritmetiken över köpmannens intressen".

Medlemmar av Pythagoras unionen var invånare i många städer i Grekland.

Pytagoreerna accepterade också kvinnor i sitt samhälle. Unionen blomstrade i mer än tjugo år, och sedan började förföljelsen av dess medlemmar, många av studenterna dödades.

Det fanns många olika legender om själva Pythagoras död. Men Pythagoras och hans lärjungars lära fortsatte att leva.

Från historien om skapandet av Pythagoras sats

Det är för närvarande känt att denna sats inte upptäcktes av Pythagoras. Vissa tror dock att det var Pythagoras som först gav sitt fullständiga bevis, medan andra förnekar honom denna förtjänst. Vissa tillskriver Pythagoras det bevis som Euklids ger i den första boken av sina element. Å andra sidan hävdar Proclus att beviset i elementen beror på Euklid själv. Som vi kan se har matematikens historia nästan inga tillförlitliga konkreta uppgifter om Pythagoras liv och hans matematiska verksamhet.

Låt oss börja vår historiska genomgång av Pythagoras sats med det antika Kina. Här väcker den matematiska boken Chu-pei särskild uppmärksamhet. Den här uppsatsen säger så här om den pytagoreiska triangeln med sidorna 3, 4 och 5:

"Om en rät vinkel sönderdelas i dess beståndsdelar, kommer linjen som förbinder ändarna av dess sidor att vara 5 när basen är 3 och höjden är 4."

Det är mycket lätt att återskapa deras konstruktionsmetod. Ta ett rep som är 12 m långt och bind det till det längs en färgad remsa på ett avstånd av 3 m. från ena änden och 4 meter från den andra. En rät vinkel kommer att omslutas mellan sidorna 3 och 4 meter långa.

Geometrin bland hinduerna var nära förbunden med kulten. Det är mycket troligt att hypotenusa-kvadratsatsen redan var känd i Indien runt 800-talet f.Kr. Tillsammans med rent rituella föreskrifter finns verk av geometriskt teologisk karaktär. I dessa skrifter, som går tillbaka till 400- eller 500-talet f.Kr., möter vi konstruktionen av en rät vinkel med hjälp av en triangel med sidorna 15, 36, 39.

På medeltiden definierade Pythagoras sats gränsen, om inte av största möjliga, så åtminstone för god matematisk kunskap. Den karakteristiska teckningen av Pythagoras sats, som nu ibland förvandlas av skolbarn, till exempel till en hög hatt klädd i en mantel av en professor eller en man, användes ofta på den tiden som en symbol för matematik.

Avslutningsvis presenterar vi olika formuleringar av Pythagoras sats översatt från grekiska, latin och tyska.

Euklids teorem lyder (bokstavlig översättning):

"I en rätvinklig triangel är kvadraten på sidan som spänner över den räta vinkeln lika med kvadraterna på sidorna som omsluter den räta vinkeln."

Som du kan se, i olika länder och olika språk finns det olika versioner av formuleringen av det välbekanta teoremet. Skapat vid olika tidpunkter och på olika språk, de återspeglar kärnan i ett matematiskt mönster, vars bevis också har flera alternativ.

Fem sätt att bevisa Pythagoras sats

gamla kinesiska bevis

I en gammal kinesisk ritning är fyra lika rätvinkliga trianglar med benen a, b och hypotenusan c staplade så att deras yttre kontur bildar en kvadrat med sidan a + b, och den inre bildar en kvadrat med sidan c, byggd på hypotenusa

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Bevis av J. Gardfield (1882)

Låt oss ordna två lika rätvinkliga trianglar så att benet på en av dem är en fortsättning på den andra.

Arean av trapetsen i fråga återfinns som produkten av halva summan av baserna och höjden

Å andra sidan är arean av trapetsen lika med summan av ytorna för de erhållna trianglarna:

Genom att likställa dessa uttryck får vi:

Beviset är enkelt

Detta bevis erhålls i det enklaste fallet med en likbent rätvinklig triangel.

Förmodligen började teoremet med honom.

Det räcker faktiskt att bara titta på plattsättningen av likbenta rätvinkliga trianglar för att se att satsen är sann.

Till exempel för triangeln ABC: kvadraten som är byggd på hypotenusan AC innehåller 4 initiala trianglar, och kvadraterna som är byggda på benen innehåller två. Teoremet har bevisats.

Bevis på de gamla hinduerna

En kvadrat med en sida (a + b), kan delas upp i delar antingen som i fig. 12. a, eller som i fig. 12b. Det är tydligt att delarna 1, 2, 3, 4 är desamma i båda figurerna. Och om lika subtraheras från lika (areor), så kommer lika att finnas kvar, d.v.s. c2 = a2 + b2.

Euklids bevis

Under två årtusenden var det vanligaste beviset för Pythagoras sats, uppfunnet av Euklid. Det är placerat i hans berömda bok "Beginnings".

Euklids sänkte höjden BH från spetsen av den räta vinkeln till hypotenusan och bevisade att dess förlängning delar kvadraten på hypotenusan i två rektanglar, vars area är lika med arean av motsvarande kvadrater byggda på benen.

Ritningen som används i beviset för denna sats kallas skämtsamt "Pythagoreiska byxor". Under lång tid ansågs han vara en av symbolerna för matematisk vetenskap.

Tillämpning av Pythagoras sats

Betydelsen av Pythagoras sats ligger i det faktum att de flesta av geometrins satser kan härledas från den eller med dess hjälp och många problem kan lösas. Dessutom är den praktiska betydelsen av Pythagoras sats och dess inversa sats att de kan användas för att hitta längderna på segment utan att mäta själva segmenten. Detta öppnar liksom vägen från en rak linje till ett plan, från ett plan till det volymetriska rummet och bortom. Det är av denna anledning som Pythagoras sats är så viktig för mänskligheten, som försöker upptäcka fler dimensioner och skapa teknologier i dessa dimensioner.

Slutsats

Pythagoras sats är så känd att det är svårt att föreställa sig en person som inte har hört talas om det. Jag lärde mig att det finns flera sätt att bevisa Pythagoras sats. Jag studerade ett antal historiska och matematiska källor, inklusive information på Internet, och insåg att Pythagoras sats är intressant inte bara för sin historia, utan också för att den intar en viktig plats i livet och vetenskapen. Detta bevisas av de olika tolkningarna av texten i detta teorem som jag har gett i denna artikel och sätten för dess bevis.

Så, Pythagoras sats är en av de viktigaste och, kan man säga, den viktigaste satsen inom geometri. Dess betydelse ligger i det faktum att de flesta av geometrins satser kan härledas från den eller med dess hjälp. Pythagoras sats är också anmärkningsvärd genom att den i sig inte alls är självklar. Till exempel kan egenskaperna hos en likbent triangel ses direkt på ritningen. Men oavsett hur mycket du tittar på en rätvinklig triangel kommer du aldrig att se att det finns en enkel relation mellan dess sidor: c2 = a2 + b2. Därför används visualisering ofta för att bevisa det. Förtjänsten med Pythagoras var att han gav ett fullständigt vetenskapligt bevis för detta teorem. Forskarens personlighet, vars minne inte av misstag bevaras av detta teorem, är intressant. Pythagoras är en underbar talare, lärare och utbildare, arrangören av sin skola, fokuserad på harmonin mellan musik och siffror, godhet och rättvisa, kunskap och en hälsosam livsstil. Han kan mycket väl tjäna som ett exempel för oss, avlägsna ättlingar.

Bibliografisk länk

Tumanova S.V. FLERA SÄTT ATT BEVISA PYTHAGOREANS SÄTNING // Börja med naturvetenskap. - 2016. - Nr 2. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (åtkomstdatum: 21.02.2019).

De som är intresserade av historien om Pythagoras sats, som studeras i skolans läroplan, kommer också att vara nyfikna på ett sådant faktum som publiceringen 1940 av en bok med trehundrasjuttio bevis på denna till synes enkla sats. Men det fängslade många matematiker och filosofer från olika epoker. I Guinness rekordbok är det registrerat som ett teorem med maximalt antal bevis.

Pythagoras sats historia

Förknippad med namnet Pythagoras var satsen känd långt innan den store filosofens födelse. Så, i Egypten, under konstruktionen av strukturer, togs förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel med i beräkningen för fem tusen år sedan. De babyloniska texterna nämner samma förhållande mellan sidorna i en rätvinklig triangel 1200 år före Pythagoras födelse.

Frågan uppstår varför då berättelsen säger - uppkomsten av Pythagoras sats tillhör honom? Det kan bara finnas ett svar - han bevisade förhållandet mellan sidorna i triangeln. Han gjorde vad de som helt enkelt använde bildförhållandet och hypotenusan, etablerad av erfarenhet, inte gjorde för århundraden sedan.

Från Pythagoras liv

Den framtida store vetenskapsmannen, matematikern, filosofen föddes på ön Samos 570 f.Kr. Historiska dokument bevarade information om far till Pythagoras, som var en ädelstenshuggare, men det finns inga uppgifter om hans mor. De sa om den födda pojken att han var ett enastående barn som visade en passion för musik och poesi från barndomen. Historiker tillskriver Hermodamant och Pherekides från Syros till den unga Pythagoras lärare. Den första introducerade pojken i musernas värld, och den andra, som var filosof och grundare av den italienska filosofiska skolan, riktade den unge mannens blick mot logotyperna.

Vid 22 års ålder (548 f.Kr.) åkte Pythagoras till Naucratis för att studera egyptiernas språk och religion. Vidare låg hans väg i Memphis, där han, tack vare prästerna, efter att ha gått igenom deras geniala tester, förstod egyptisk geometri, vilket kanske fick den nyfikna unge mannen att bevisa Pythagoras sats. Historien kommer senare att tillskriva satsen detta namn.

Tillfångatagen av kungen av Babylon

På väg hem till Hellas blir Pythagoras tillfångatagen av kungen av Babylon. Men att vara i fångenskap gynnade nybörjarmatematikerns nyfikna sinne, han hade mycket att lära. Under dessa år var matematiken i Babylon faktiskt mer utvecklad än i Egypten. Han tillbringade tolv år med att studera matematik, geometri och magi. Och kanske var det den babyloniska geometrin som var involverad i beviset på förhållandet mellan triangelns sidor och historien om upptäckten av satsen. Pythagoras hade tillräckligt med kunskap och tid för detta. Men att detta hände i Babylon finns det ingen dokumentär bekräftelse eller vederläggning av detta.

År 530 f.Kr Pythagoras flyr från fångenskapen till sitt hemland, där han bor vid tyrannen Polykrates hov i status som halvslav. Ett sådant liv passar inte Pythagoras, och han drar sig tillbaka till Samos grottor och åker sedan till södra Italien, där den grekiska kolonin Croton låg på den tiden.

Hemlig klosterordning

På basis av denna koloni organiserade Pythagoras en hemlig klosterordning, som var en religiös förening och ett vetenskapligt sällskap på samma gång. Detta sällskap hade sin stadga, som talade om iakttagandet av ett speciellt sätt att leva.

Pythagoras hävdade att för att förstå Gud måste en person kunna sådana vetenskaper som algebra och geometri, kunna astronomi och förstå musik. Forskningsarbetet reducerades till kunskapen om den mystiska sidan av siffror och filosofi. Det bör noteras att de principer som Pythagoras predikade vid den tiden är meningsfulla i imitation för närvarande.

Många av upptäckterna som Pythagoras lärjungar gjorde tillskrevs honom. Icke desto mindre, kort sagt, historien om skapandet av Pythagoras sats av antika historiker och biografer från den tiden är direkt associerad med namnet på denna filosof, tänkare och matematiker.

Pythagoras läror

Kanske idén om kopplingen mellan teoremet och namnet Pythagoras föranleddes av historikernas uttalande från den stora greken att i den ökända triangeln med sina ben och hypotenusa är alla fenomen i vårt liv krypterade. Och denna triangel är "nyckeln" till att lösa alla problem som uppstår. Den store filosofen sa att man ska se en triangel, då kan vi anta att problemet är två tredjedelar löst.

Pythagoras berättade om sin undervisning endast för sina elever muntligen, utan att göra några anteckningar, höll det hemligt. Tyvärr har den största filosofens lära inte överlevt till denna dag. En del av det har läckt ut, men det är omöjligt att säga hur mycket som är sant och hur mycket som är falskt i det som blivit känt. Även med historien om Pythagoras sats är inte allt säkert. Historiker av matematik tvivlar på Pythagoras författarskap, enligt deras åsikt användes satsen många århundraden före hans födelse.

Pythagoras sats

Det kan tyckas konstigt, men det finns inga historiska fakta om beviset för satsen av Pythagoras själv - varken i arkiven eller i några andra källor. I den moderna versionen tror man att den tillhör ingen mindre än Euklid själv.

Det finns bevis på en av matematikens största historiker, Moritz Kantor, som upptäckte på en papyrus lagrad i Berlinmuseet, skriven av egyptierna omkring 2300 f.Kr. e. likhet, som lyder: 3² + 4² = 5².

Kort ur historien om Pythagoras sats

Formuleringen av satsen från den euklidiska "Beginings" i översättning låter samma som i den moderna tolkningen. Det finns inget nytt i dess läsning: kvadraten på sidan mitt emot den räta vinkeln är lika med summan av kvadraterna på sidorna som gränsar till den räta vinkeln. Det faktum att de antika civilisationerna i Indien och Kina använde satsen bekräftas av avhandlingen Zhou Bi Suan Jin. Den innehåller information om den egyptiska triangeln, som beskriver bildförhållandet som 3:4:5.

Inte mindre intressant är en annan kinesisk matematisk bok "Chu-pei", som också nämner den pytagoreiska triangeln med en förklaring och ritningar som sammanfaller med ritningarna av den hinduiska geometrin i Baskhara. Om själva triangeln säger boken att om en rät vinkel kan delas upp i dess beståndsdelar, så kommer linjen som förbinder sidornas ändar att vara lika med fem, om basen är tre, och höjden är fyra.

Den indiska avhandlingen "Sulva Sutra", som går tillbaka till omkring 700-500-talen f.Kr. e. berättar om konstruktionen av en rät vinkel med hjälp av den egyptiska triangeln.

Bevis för satsen

Under medeltiden ansåg eleverna att det var för svårt att bevisa ett teorem. Svaga elever lärde sig satser utantill, utan att förstå innebörden av beviset. I detta avseende fick de smeknamnet "åsnor", eftersom Pythagoras sats var ett oöverstigligt hinder för dem, som en bro för en åsna. På medeltiden kom eleverna på en lekfull vers om ämnet för denna sats.

För att bevisa Pythagoras sats på enklaste sätt bör du helt enkelt mäta dess sidor, utan att använda begreppet area i beviset. Längden på sidan mittemot den räta vinkeln är c, och a och b intill den, som ett resultat får vi ekvationen: a 2 + b 2 \u003d c 2. Detta påstående, som nämnts ovan, verifieras genom att mäta längderna på sidorna i en rätvinklig triangel.

Om vi ​​börjar beviset för satsen genom att överväga arean av rektanglarna som är byggda på sidorna av triangeln, kan vi bestämma arean av hela figuren. Det kommer att vara lika med arean av en kvadrat med en sida (a + b), och å andra sidan summan av ytorna av fyra trianglar och den inre kvadraten.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c2;

a2 + 2ab + b2;

c 2 = a 2 + b 2 , vilket skulle bevisas.

Den praktiska betydelsen av Pythagoras sats är att den kan användas för att hitta längderna på segment utan att mäta dem. Under konstruktionen av strukturer beräknas avstånd, placering av stöd och balkar, tyngdpunkter bestäms. Pythagoras sats tillämpas också i all modern teknologi. De glömde inte teoremet när de skapade filmer i 3D-6D-dimensioner, där, förutom de vanliga 3 värdena: höjd, längd, bredd, tid, lukt och smak beaktas. Hur är smaker och lukter relaterade till satsen, frågar du dig? Allt är väldigt enkelt - när du visar en film måste du beräkna var och vad som luktar och smakar att regissera i aulan.

Det är bara början. Gränslösa möjligheter att upptäcka och skapa ny teknik väntar nyfikna sinnen.

En sak kan du vara säker på till hundra procent, att på frågan om vad hypotenusans kvadrat är, kommer vilken vuxen som helst djärvt att svara: "Summan av benens kvadrater." Denna sats är fast planterad i alla utbildade personers medvetande, men det räcker med att bara be någon att bevisa det, och då kan svårigheter uppstå. Låt oss därför komma ihåg och överväga olika sätt att bevisa Pythagoras sats.

Kort översikt av biografin

Pythagoras sats är bekant för nästan alla, men av någon anledning är biografin om personen som producerade den inte så populär. Vi fixar det. Därför, innan du studerar de olika sätten att bevisa Pythagoras teorem, måste du kort bekanta dig med hans personlighet.

Pythagoras - en filosof, matematiker, tänkare från idag är det mycket svårt att skilja hans biografi från legenderna som har utvecklats till minne av denna stora man. Men som följer av hans anhängares skrifter föddes Pythagoras från Samos på ön Samos. Hans far var en vanlig stenhuggare, men hans mor kom från en adlig familj.

Enligt legenden förutspåddes Pythagoras födelse av en kvinna vid namn Pythia, till vars ära pojken utsågs. Enligt hennes förutsägelse skulle en född pojke medföra många fördelar och gott för mänskligheten. Vilket är vad han faktiskt gjorde.

Födelsen av ett teorem

I sin ungdom flyttade Pythagoras till Egypten för att träffa de berömda egyptiska visena där. Efter att ha träffat dem antogs han för att studera, där han lärde sig alla de stora framgångarna i egyptisk filosofi, matematik och medicin.

Förmodligen var det i Egypten som Pythagoras inspirerades av pyramidernas majestät och skönhet och skapade sin stora teori. Detta kan chockera läsarna, men moderna historiker tror att Pythagoras inte bevisade sin teori. Men han förmedlade bara sina kunskaper till sina anhängare, som senare genomförde alla nödvändiga matematiska beräkningar.

Hur det än må vara, idag är inte en teknik för att bevisa detta teorem känd, utan flera på en gång. Idag kan vi bara gissa hur exakt de gamla grekerna gjorde sina beräkningar, så här kommer vi att överväga olika sätt att bevisa Pythagoras sats.

Pythagoras sats

Innan du påbörjar några beräkningar måste du ta reda på vilken teori du ska bevisa. Pythagoras sats låter så här: "I en triangel där en av vinklarna är 90 o är summan av benens kvadrater lika med kvadraten på hypotenusan."

Det finns 15 olika sätt att bevisa Pythagoras sats totalt. Detta är ett ganska stort antal, så låt oss uppmärksamma de mest populära av dem.

Metod ett

Låt oss först definiera vad vi har. Dessa data kommer också att gälla för andra sätt att bevisa Pythagoras sats, så du bör omedelbart komma ihåg all tillgänglig notation.

Anta att en rätvinklig triangel är given, med benen a, b och hypotenusan lika med c. Den första bevismetoden bygger på att en kvadrat måste ritas från en rätvinklig triangel.

För att göra detta måste du rita ett segment som är lika med benet till benlängden a och vice versa. Så det ska visa sig två lika sidor av kvadraten. Det återstår bara att rita två parallella linjer, och torget är klart.

Inuti den resulterande figuren måste du rita en annan kvadrat med en sida som är lika med hypotenusan i den ursprungliga triangeln. För att göra detta, från hörnen ac och sv, måste du rita två parallella segment lika med c. Således får vi tre sidor av kvadraten, varav en är hypotenusan för den ursprungliga rätvinkliga triangeln. Det återstår bara att rita det fjärde segmentet.

Baserat på den resulterande figuren kan vi dra slutsatsen att arean av den yttre kvadraten är (a + b) 2. Om du tittar inuti figuren kan du se att den förutom den inre kvadraten har fyra rätvinkliga trianglar. Arean för varje är 0,5 av.

Därför är området: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Därför (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Och därför med 2 \u003d en 2 + i 2

Teoremet har bevisats.

Metod två: liknande trianglar

Denna formel för beviset för Pythagoras sats härleddes på grundval av ett uttalande från geometrisektionen om liknande trianglar. Det står att benet i en rätvinklig triangel är medelvärdet proportionellt mot dess hypotenusa och hypotenussegmentet som utgår från spetsen på en vinkel på 90 o.

De ursprungliga uppgifterna förblir desamma, så låt oss börja direkt med beviset. Låt oss rita ett segment CD vinkelrätt mot sidan AB. Baserat på ovanstående uttalande är benen på trianglarna lika:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

För att svara på frågan om hur man bevisar Pythagoras sats måste beviset läggas genom att kvadrera båda olikheterna.

AC 2 \u003d AB * HELL och SV 2 \u003d AB * DV

Nu måste vi lägga till de resulterande ojämlikheterna.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), där AD + DV \u003d AB

Det visar sig att:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Och därför:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Beviset för Pythagoras sats och olika sätt att lösa det kräver ett mångsidigt förhållningssätt till detta problem. Detta alternativ är dock ett av de enklaste.

En annan beräkningsmetod

Beskrivning av olika sätt att bevisa Pythagoras sats kanske inte säger något, förrän du börjar öva på egen hand. Många metoder involverar inte bara matematiska beräkningar, utan också konstruktion av nya figurer från den ursprungliga triangeln.

I det här fallet är det nödvändigt att komplettera ytterligare en rätvinklig triangel-VSD från flygplanets ben. Så nu finns det två trianglar med ett gemensamt ben BC.

Att veta att ytorna på liknande figurer har ett förhållande som kvadraterna av deras likartade linjära dimensioner, då:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (från 2 till 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

från 2 till 2 \u003d en 2

c 2 \u003d a 2 + i 2

Eftersom detta alternativ knappast är lämpligt från olika metoder för att bevisa Pythagoras sats för årskurs 8, kan du använda följande teknik.

Det enklaste sättet att bevisa Pythagoras sats. Recensioner

Historiker tror att denna metod först användes för att bevisa ett teorem i antikens Grekland. Det är det enklaste, eftersom det inte kräver absolut några beräkningar. Om du ritar en bild korrekt, kommer beviset på påståendet att a 2 + b 2 \u003d c 2 att vara tydligt synligt.

Villkoren för denna metod kommer att skilja sig något från den föregående. För att bevisa satsen, anta att den räta triangeln ABC är likbent.

Vi tar hypotenusan AC som sidan av kvadraten och ritar dess tre sidor. Dessutom är det nödvändigt att rita två diagonala linjer i den resulterande kvadraten. Så att inuti den får du fyra likbenta trianglar.

Till benen AB och CB måste du också rita en kvadrat och rita en diagonal linje i var och en av dem. Vi ritar den första linjen från vertex A, den andra - från C.

Nu måste du noggrant titta på den resulterande bilden. Eftersom det finns fyra trianglar på hypotenusan AC, lika med den ursprungliga, och två på benen, indikerar detta sanningshalten i denna sats.

Förresten, tack vare denna metod för att bevisa Pythagoras teorem föddes den berömda frasen: "Pythagoreiska byxor är lika i alla riktningar."

Bevis av J. Garfield

James Garfield är den 20:e presidenten i USA. Förutom att han som USA:s härskare satte sin prägel på historien, var han också en begåvad självlärd.

I början av sin karriär var han ordinarie lärare vid en folkskola, men blev snart föreståndare för en av de högre läroanstalterna. Önskan om självutveckling och tillät honom att erbjuda en ny teori om bevis för Pythagoras sats. Satsen och ett exempel på dess lösning är följande.

Först måste du rita två rätvinkliga trianglar på ett papper så att benet på en av dem är en fortsättning på den andra. Topparna av dessa trianglar måste vara sammankopplade för att sluta med en trapets.

Som du vet är arean av en trapets lika med produkten av halva summan av dess baser och höjden.

S=a+b/2 * (a+b)

Om vi ​​betraktar den resulterande trapetsen som en figur som består av tre trianglar, kan dess yta hittas enligt följande:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Nu måste vi utjämna de två ursprungliga uttrycken

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + i 2

Mer än en volym av en lärobok kan skrivas om Pythagoras sats och hur man bevisar den. Men är det vettigt när denna kunskap inte kan omsättas i praktiken?

Praktisk tillämpning av Pythagoras sats

Tyvärr föreskriver moderna läroplaner att denna sats endast används i geometriska problem. Studenter kommer snart att lämna skolans väggar utan att veta hur de kan tillämpa sina kunskaper och färdigheter i praktiken.

Använd faktiskt Pythagoras sats i din Vardagsliv alla kan. Och inte bara i professionell verksamhet, utan också i vanliga hushållssysslor. Låt oss överväga flera fall när Pythagoras sats och metoder för dess bevis kan vara extremt nödvändiga.

Koppling av satsen och astronomi

Det verkar hur stjärnor och trianglar kan kopplas ihop på papper. Faktum är att astronomi är ett vetenskapligt område där Pythagoras sats används flitigt.

Tänk till exempel på rörelsen av en ljusstråle i rymden. Vi vet att ljus färdas i båda riktningarna med samma hastighet. Vi kallar banan för AB längs vilken ljusstrålen rör sig l. Och halva tiden det tar för ljus att komma från punkt A till punkt B, låt oss ringa t. Och strålens hastighet - c. Det visar sig att: c*t=l

Om du tittar på just den här strålen från ett annat plan, till exempel från ett rymdskepp som rör sig med en hastighet v, kommer deras hastighet att ändras med en sådan observation av kropparna. I detta fall kommer även stationära element att röra sig med en hastighet v i motsatt riktning.

Låt oss säga att den komiska linern seglar till höger. Då kommer punkterna A och B, mellan vilka strålen rusar, att flyttas åt vänster. Dessutom, när strålen rör sig från punkt A till punkt B, har punkt A tid att röra sig och följaktligen kommer ljuset redan att anlända till en ny punkt C. För att hitta halva avståndet som punkt A har skiftat måste du multiplicera linerns hastighet med halva strålens gångtid (t ").

Och för att ta reda på hur långt en ljusstråle kan färdas under denna tid, måste du ange halva vägen för de nya bokarna och få följande uttryck:

Om vi ​​föreställer oss att ljuspunkterna C och B, liksom rymdlinern, är hörnen på en likbent triangel, så kommer segmentet från punkt A till linern att dela upp det i två räta trianglar. Därför kan du, tack vare Pythagoras sats, hitta avståndet som en ljusstråle kan färdas.

Detta exempel är naturligtvis inte det mest framgångsrika, eftersom endast ett fåtal kan ha turen att prova det i praktiken. Därför överväger vi mer vardagliga tillämpningar av detta teorem.

Räckvidd för mobil signalöverföring

Det moderna livet kan inte längre föreställas utan att det finns smartphones. Men hur mycket skulle de vara till nytta om de inte kunde koppla upp abonnenter via mobilkommunikation?!

Kvaliteten på mobilkommunikation beror direkt på höjden på vilken mobiloperatörens antenn är placerad. För att beräkna hur långt från ett mobiltorn en telefon kan ta emot en signal kan du tillämpa Pythagoras sats.

Låt oss säga att du behöver hitta den ungefärliga höjden på ett stationärt torn så att det kan sprida en signal inom en radie av 200 kilometer.

AB (tornhöjd) = x;

BC (radien för signalöverföring) = 200 km;

OS (globens radie) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Genom att tillämpa Pythagoras sats får vi reda på att tornets minsta höjd bör vara 2,3 kilometer.

Pythagoras sats i vardagen

Konstigt nog kan Pythagoras sats vara användbar även i vardagliga frågor, som att bestämma höjden på en garderob, till exempel. Vid första anblicken finns det inget behov av att använda sådana komplexa beräkningar, eftersom du helt enkelt kan ta mätningar med ett måttband. Men många är förvånade över varför vissa problem uppstår under monteringsprocessen om alla mätningar gjordes mer än exakt.

Faktum är att garderoben är monterad i horisontellt läge och först då stiger och installeras mot väggen. Därför måste skåpets sidovägg i processen att lyfta strukturen fritt passera både längs med rummets höjd och diagonalt.

Anta att det finns en garderob med ett djup på 800 mm. Avstånd från golv till tak - 2600 mm. En erfaren möbeltillverkare kommer att säga att höjden på skåpet bör vara 126 mm mindre än höjden på rummet. Men varför just 126 mm? Låt oss titta på ett exempel.

Med idealiska dimensioner på skåpet, låt oss kontrollera driften av Pythagoras sats:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - allt konvergerar.

Låt oss säga att höjden på skåpet inte är 2474 mm, utan 2505 mm. Sedan:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Därför är detta skåp inte lämpligt för installation i detta rum. Eftersom när du lyfter den till ett vertikalt läge kan skada på kroppen orsakas.

Kanske, efter att ha övervägt olika sätt att bevisa Pythagoras sats av olika forskare, kan vi dra slutsatsen att det är mer än sant. Nu kan du använda informationen som tas emot i ditt dagliga liv och vara helt säker på att alla beräkningar inte bara kommer att vara användbara utan också korrekta.