Kanter av ett rektangulärt prisma. Allt du behöver veta om prismat (2019)

Allmän information om ett rakt prisma

Prismats laterala yta (mer exakt, lateral yta) kallas belopp ytor på sidan. Prismats totala yta är lika med summan av sidoytan och basernas area.

Sats 19.1. Sidoytan på ett rakt prisma är lika med produkten av basens omkrets och prismats höjd, d.v.s. längden på sidokanten.

Bevis. Sidoytorna på ett rakt prisma är rektanglar. Baserna för dessa rektanglar är polygonens sidor som ligger vid prismats bas, och höjderna är lika med sidokanternas längd. Det följer att prismats laterala yta är lika med

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

där a 1 och n är längden på basens ribbor, p är omkretsen av prismats bas, och I är längden på sidoribborna. Teoremet har bevisats.

Praktisk uppgift

Uppgift (22) . I ett lutande prisma sektion, vinkelrät mot sidokanterna och skär alla sidokanter. Hitta sidoyta prisma, om sektionens omkrets är lika med p, och sidokanterna är lika med l.

Lösning. Planet för den ritade sektionen delar prismat i två delar (bild 411). Låt oss utsätta en av dem för en parallell översättning som kombinerar prismats baser. I det här fallet får vi ett rakt prisma, där sektionen av det ursprungliga prismat fungerar som bas och sidokanterna är lika med l. Detta prisma har samma sidoyta som originalet. Således är sidoytan på det ursprungliga prismat lika med pl.

Generalisering av ämnet

Och låt oss nu försöka sammanfatta ämnet för prismat och komma ihåg vilka egenskaper ett prisma har.

Prisma egenskaper

För det första, för ett prisma, är alla dess baser lika polygoner;
För det andra, för ett prisma är alla dess sidoytor parallellogram;
För det tredje, i en så mångfacetterad figur som ett prisma, är alla sidokanter lika;

Man bör också komma ihåg att polyedrar som prismor kan vara raka och lutande.

Vad är ett rakt prisma?

Om sidokanten på ett prisma är placerad vinkelrätt mot dess basplan, kallas ett sådant prisma en rät linje.

Det kommer inte att vara överflödigt att komma ihåg att sidoytorna på ett rakt prisma är rektanglar.

Vad är ett snett prisma?

Men om prismats sidokant inte är placerad vinkelrätt mot dess basplan, kan vi säkert säga att detta är ett lutande prisma.

Vad är rätt prisma?

Om en regelbunden polygon ligger vid basen av ett rakt prisma, så är ett sådant prisma regelbundet.

Låt oss nu komma ihåg egenskaperna som ett vanligt prisma har.

Egenskaper hos ett vanligt prisma

Först, alltid skäl höger prismaär regelbundna polygoner;
För det andra, om vi betraktar sidoytorna på ett vanligt prisma, så är de alltid lika rektanglar;
För det tredje, om vi jämför storlekarna på sidoribborna, är de alltid lika i rätt prisma.
För det fjärde är ett vanligt prisma alltid rakt;
För det femte, om sidoytorna i ett vanligt prisma är i form av kvadrater, kallas en sådan figur vanligtvis en halvregelbunden polygon.

Prisma sektion

Låt oss nu titta på tvärsnittet av ett prisma:

Läxa

Och låt oss nu försöka konsolidera det studerade ämnet genom att lösa problem.

Låt oss rita ett lutande triangulärt prisma, där avståndet mellan dess kanter kommer att vara: 3 cm, 4 cm och 5 cm, och sidoytan på detta prisma kommer att vara lika med 60 cm2. Med dessa parametrar, hitta den laterala kanten av det givna prismat.

Och du vet det geometriska figurer ständigt omge oss inte bara i geometrilektioner, utan också i Vardagsliv det finns föremål som liknar en eller annan geometrisk figur.

Varje hem, skola eller arbete har en dator, vars systemenhet är i form av ett rakt prisma.

Om du tar upp en enkel penna kommer du att se att huvuddelen av pennan är ett prisma.

När vi går längs huvudgatan i staden ser vi att under våra fötter ligger en platta som har formen av ett sexkantigt prisma.

A. V. Pogorelov, Geometri för årskurserna 7-11, Lärobok för utbildningsinstitutioner

Olika prismor skiljer sig från varandra. Samtidigt har de mycket gemensamt. För att hitta området för basen av ett prisma måste du ta reda på vilken typ det ser ut.

Allmän teori

Ett prisma är varje polyeder vars sidor har formen av ett parallellogram. Dessutom kan vilken polyeder som helst vara vid sin bas - från en triangel till en n-gon. Dessutom är prismats baser alltid lika med varandra. Vad som inte gäller sidoytorna - de kan variera kraftigt i storlek.

När man löser problem är det inte bara området för prismats bas som man stöter på. Det kan vara nödvändigt att känna till sidoytan, det vill säga alla ytor som inte är baser. Hela ytan kommer redan att vara föreningen av alla ansikten som utgör prismat.

Ibland dyker det upp höjder i uppgifter. Den är vinkelrät mot baserna. Diagonalen på en polyeder är ett segment som parvis förbinder två hörn som inte hör till samma yta.

Det bör noteras att arean av basen av ett rakt eller lutande prisma inte beror på vinkeln mellan dem och sidoytorna. Om de har samma siffror i de övre och nedre ytorna, kommer deras ytor att vara lika.

trekantsprisma

Den har vid basen en figur med tre hörn, det vill säga en triangel. Det är känt att det är annorlunda. Om det då räcker att komma ihåg att dess område bestäms av hälften av benens produkt.

Matematisk notation ser ut så här: S = ½ av.

För att hitta området för basen i allmän syn, formlerna är användbara: Heron och den där hälften av sidan tas till den höjd som dras till den.

Den första formeln ska skrivas så här: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Denna post innehåller en halvomkrets (p), det vill säga summan av tre sidor dividerat med två.

För det andra: S = ½ n a * a.

Om du vill veta arean av basen av ett triangulärt prisma, som är regelbundet, så är triangeln liksidig. Den har sin egen formel: S = ¼ a 2 * √3.

fyrkantigt prisma

Dess bas är någon av de kända fyrhörningarna. Det kan vara en rektangel eller en kvadrat, en parallellepiped eller en romb. I varje fall, för att beräkna arean av prismats bas, behöver du din egen formel.

Om basen är en rektangel, så bestäms dess area enligt följande: S = av, där a, b är rektangelns sidor.

När vi pratar om ett fyrkantigt prisma, beräknas arean av basen av ett vanligt prisma med hjälp av formeln för en kvadrat. För det är han som ligger vid basen. S \u003d en 2.

I fallet när basen är en parallellepiped kommer följande likhet att behövas: S \u003d a * n a. Det händer att en sida av en parallellepiped och en av vinklarna ges. Sedan, för att beräkna höjden, måste du använda en ytterligare formel: na \u003d b * sin A. Dessutom ligger vinkeln A intill sidan "b", och höjden är na motsatt denna vinkel.

Om en romb ligger vid basen av prismat, kommer samma formel att behövas för att bestämma dess area som för ett parallellogram (eftersom det är ett specialfall av det). Men du kan också använda den här: S = ½ d 1 d 2. Här är d 1 och d 2 två diagonaler av romben.

Vanligt femkantigt prisma

Detta fall innebär att polygonen delas upp i trianglar, vars områden är lättare att ta reda på. Även om det händer att figurerna kan vara med ett annat antal hörn.

Eftersom prismats bas är en vanlig femhörning kan den delas in i fem liksidiga trianglar. Då är arean av prismats bas lika med arean av en sådan triangel (formeln kan ses ovan), multiplicerad med fem.

Vanligt sexkantigt prisma

Enligt principen som beskrivs för ett femkantigt prisma är det möjligt att dela in bashexagonen i 6 liksidiga trianglar. Formeln för arean av basen av ett sådant prisma liknar den föregående. Endast i den ska multipliceras med sex.

Formeln kommer att se ut så här: S = 3/2 och 2 * √3.

Uppgifter

Nr 1. En vanlig linje ges. Dess diagonal är 22 cm, höjden på polyedern är 14 cm. Beräkna arean av prismats bas och hela ytan.

Lösning. Basen av ett prisma är en kvadrat, men dess sida är inte känd. Du kan hitta dess värde från diagonalen på kvadraten (x), som är relaterad till prismats diagonal (d) och dess höjd (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Å andra sidan är detta segment "x" hypotenusan i en triangel vars ben är lika med sidan av kvadraten. Det vill säga x 2 \u003d a 2 + a 2. Således visar det sig att en 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Byt ut talet 22 istället för d och ersätt "n" med dess värde - 14, det visar sig att sidan av kvadraten är 12 cm. Nu är det lätt att ta reda på basarean: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

För att ta reda på arean av hela ytan måste du lägga till två gånger värdet på basytan och fyrdubbla sidan. Det senare är lätt att hitta med formeln för en rektangel: multiplicera höjden på polyedern och sidan av basen. Det vill säga 14 och 12, detta nummer kommer att vara lika med 168 cm 2. totalarea ytan på prismat är 960 cm 2 .

Svar. Prismats basarea är 144 cm2. Hela ytan - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana Vid basen ligger en triangel med en sida på 6 cm. I detta fall är diagonalen på sidoytan 10 cm. Beräkna ytorna: basen och sidoytan.

Lösning. Eftersom prismat är regelbundet är dess bas en liksidig triangel. Därför visar sig dess area vara lika med 6 i kvadrat gånger ¼ och kvadratroten av 3. En enkel beräkning leder till resultatet: 9√3 cm 2. Detta är arean av en bas av prismat.

Alla sidoytor är likadana och är rektanglar med sidorna 6 och 10 cm. För att beräkna deras ytor räcker det att multiplicera dessa tal. Multiplicera dem sedan med tre, eftersom prismat har exakt så många sidoytor. Därefter lindas området på sidoytan 180 cm 2 .

Svar. Ytor: bas - 9√3 cm 2, sidoyta på prismat - 180 cm 2.

Prisma. Parallellepiped

prisma kallas en polyeder vars två ytor är lika n-goner (grunder) , som ligger i parallella plan, och de återstående n ytorna är parallellogram (sidoytor) . Sido revben prisma är den sida av sidoytan som inte hör till basen.

Ett prisma vars sidokanter är vinkelräta mot basernas plan kallas hetero prisma (fig. 1). Om sidokanterna inte är vinkelräta mot basernas plan, kallas prismat sned . korrekt Ett prisma är ett rakt prisma vars baser är regelbundna polygoner.

Höjd prisma kallas avståndet mellan basernas plan. Diagonal Ett prisma är ett segment som förbinder två hörn som inte hör till samma yta. diagonal sektion En sektion av ett prisma av ett plan som går genom två sidokanter som inte hör till samma yta kallas. Vinkelrät sektion kallas prismats sektion med ett plan vinkelrätt mot prismats sidokant.

Sidoyta prisma är summan av areorna på alla sidoytor. område full yta summan av ytorna av alla ytorna på prismat kallas (dvs summan av ytorna på sidoytorna och ytorna på baserna).

För ett godtyckligt prisma är formlerna sanna:

var lär längden på sidoribban;

H- höjd;

S sida

S full

S huvudär området för baserna;

Vär prismats volym.

För ett rakt prisma är följande formler sanna:

var sid- basens omkrets;

lär längden på sidoribban;

H- höjd.

Parallellepiped Ett prisma vars bas är ett parallellogram kallas. En parallellepiped vars laterala kanter är vinkelräta mot baserna kallas direkt (Fig. 2). Om sidokanterna inte är vinkelräta mot baserna, kallas parallellepipeden sned . En rätt parallellepiped vars bas är en rektangel kallas rektangulär. En rektangulär parallellepiped där alla kanter är lika kallas kub.

Ytorna på en parallellepiped som inte har gemensamma hörn kallas motsatt . Längden av kanter som utgår från en vertex kallas mätningar parallellepiped. Eftersom lådan är ett prisma definieras dess huvudelement på samma sätt som de definieras för prismor.

Satser.

1. Parallellepipedens diagonaler skär varandra i en punkt och halverar den.

2. I en rektangulär parallellepiped är kvadraten på diagonalens längd lika med summan av kvadraterna av dess tre dimensioner:

3. Alla fyra diagonalerna i en rektangulär parallellepiped är lika med varandra.

För en godtycklig parallellepiped är följande formler sanna:

var lär längden på sidoribban;

H- höjd;

Pär omkretsen av den vinkelräta sektionen;

F– Area med vinkelrät sektion;

S sidaär den laterala ytarean;

S fullär den totala ytan;

S huvudär området för baserna;

Vär prismats volym.

För en höger parallellepiped är följande formler sanna:

var sid- basens omkrets;

lär längden på sidoribban;

Här höjden på den högra parallellepipeden.

För en rektangulär parallellepiped är följande formler sanna:

(3)

var sid- basens omkrets;

H- höjd;

d- diagonal;

a,b,c– mätningar av en parallellepiped.

De korrekta formlerna för en kub är:

var aär längden på revbenet;

där kubens diagonal.

Exempel 1 Diagonalen för en rektangulär kuboid är 33 dm, och dess mått är relaterade till 2:6: 9. Hitta måtten på kuben.

Lösning. För att hitta dimensionerna på parallellepipeden använder vi formel (3), d.v.s. det faktum att kvadraten på hypotenusan av en kuboid är lika med summan av kvadraterna av dess dimensioner. Beteckna med k proportionalitetskoefficient. Då kommer parallellepipedens dimensioner att vara lika med 2 k, 6k och 9 k. Vi skriver formel (3) för problemdata:

Löser denna ekvation för k, vi får:

Därför är dimensionerna på parallellepipeden 6 dm, 18 dm och 27 dm.

Svar: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Exempel 2 Hitta volymen av ett lutande triangulärt prisma vars bas är en liksidig triangel med en sida på 8 cm, om sidokanten är lika med sidan av basen och lutar i en vinkel på 60º mot basen.

Lösning . Låt oss göra en ritning (Fig. 3).

För att hitta volymen av ett lutande prisma måste du känna till området för bitars bas och höjd. Arean av basen av detta prisma är arean av en liksidig triangel med en sida på 8 cm. Låt oss beräkna det:

Höjden på ett prisma är avståndet mellan dess baser. Från toppen MEN 1 av den övre basen sänker vi vinkelrät mot den nedre basens plan MEN 1 D. Dess längd kommer att vara prismats höjd. Tänk på D MEN 1 AD: eftersom detta är lutningsvinkeln för sidoribban MEN 1 MEN till basplanet MEN 1 MEN= 8 cm. Från denna triangel finner vi MEN 1 D:

Nu beräknar vi volymen med formeln (1):

Svar: 192 cm3.

Exempel 3 Den laterala kanten på ett vanligt sexkantigt prisma är 14 cm. Arean av den största diagonala sektionen är 168 cm 2. Hitta prismats totala yta.

Lösning. Låt oss göra en ritning (bild 4)

Den största diagonala sektionen är en rektangel AA 1 DD 1 , eftersom diagonalen AD vanlig hexagon ABCDEFÄr den största. För att beräkna den laterala ytarean av ett prisma är det nödvändigt att känna till sidan av basen och längden på det laterala revbenet.

När vi känner till området för diagonalsektionen (rektangeln), hittar vi basens diagonal.

För då

Sedan dess AB= 6 cm.

Då är basens omkrets:

Hitta arean av prismats laterala yta:

Arean av en vanlig hexagon med en sida på 6 cm är:

Hitta prismats totala yta:

Svar:

Exempel 4 Basen på en höger parallellepiped är en romb. Ytorna för diagonala sektioner är 300 cm 2 och 875 cm 2. Hitta arean på parallellepipedens sidoyta.

Lösning. Låt oss göra en ritning (Fig. 5).

Beteckna sidan av romben med a, rombens diagonaler d 1 och d 2 , höjden på lådan h. För att hitta den laterala ytan av en rak parallellepiped är det nödvändigt att multiplicera omkretsen av basen med höjden: (formel (2)). Basomkrets p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, därför att ABCD- romb. H = AA 1 = h. Den där. Måste hitta a och h.

Tänk på diagonala sektioner. AA 1 SS 1 - en rektangel, vars ena sida är diagonalen på en romb AC = d 1 , andra sidokant AA 1 = h, då

Likadant för avsnittet BB 1 DD 1 får vi:

Genom att använda egenskapen hos ett parallellogram så att summan av kvadraterna på diagonalerna är lika med summan av kvadraterna på alla dess sidor, får vi likheten. Vi får följande.

Polyedra

Huvudobjektet för studien av stereometri är tredimensionella kroppar. Kroppär en del av rymden som begränsas av någon yta.

polyeder En kropp vars yta består av ett ändligt antal plana polygoner kallas. En polyeder kallas konvex om den ligger på ena sidan av planet för varje platt polygon på dess yta. Den gemensamma delen av ett sådant plan och ytan av en polyeder kallas kant. Ytorna på en konvex polyeder är platta konvexa polygoner. Sidorna på ansiktena kallas kanterna på polyedern, och hörnen hörn av polyedern.

Till exempel består en kub av sex rutor som är dess ytor. Den innehåller 12 kanter (sidorna på rutor) och 8 hörn (högpunkter på rutor).

De enklaste polyedrarna är prismor och pyramider, som vi kommer att studera vidare.

Prisma

Definition och egenskaper hos ett prisma

prisma kallas en polyeder som består av två platta polygoner som ligger i parallella plan kombinerade av parallell translation, och alla segment som förbinder motsvarande punkter i dessa polygoner. Polygonerna kallas prismabaser, och segmenten som förbinder polygonernas motsvarande hörn är sidokanterna av prismat.

Prisma höjd kallas avståndet mellan planen på dess baser (). Ett segment som förbinder två hörn av ett prisma som inte hör till samma yta kallas prisma diagonal(). Prismat kallas n-kol om dess bas är en n-gon.

Varje prisma har följande egenskaper, som följer av det faktum att prismats baser kombineras genom parallell translation:

1. Prismats baser är lika.

2. Prismats sidokanter är parallella och lika.

Ytan på ett prisma består av baser och sidoyta. Prismats sidoyta består av parallellogram (detta följer av prismats egenskaper). Arean av sidoytan av ett prisma är summan av ytorna på sidoytorna.

rakt prisma

Prismat kallas hetero om dess sidokanter är vinkelräta mot baserna. Annars kallas prismat sned.

Ytorna på ett rakt prisma är rektanglar. Höjden på ett rakt prisma är lika med dess sidoytor.

full prismaytaär summan av den laterala ytarean och areorna av baserna.

Rätt prisma kallas ett rätt prisma med en regelbunden polygon vid basen.

Sats 13.1. Arean av sidoytan på ett rakt prisma är lika med produkten av omkretsen och prismats höjd (eller, på motsvarande sätt, till sidokanten).

Bevis. Sidoytorna på ett rakt prisma är rektanglar vars baser är sidorna av polygonerna vid prismats baser, och höjderna är prismats sidokanter. Då, per definition, är den laterala ytan:

var är omkretsen av basen av ett rakt prisma.

Parallellepiped

Om parallellogram ligger vid basen av ett prisma, så kallas det parallellepiped. Alla ytor på en parallellepiped är parallellogram. I detta fall är parallellepipedens motsatta ytor parallella och lika.

Sats 13.2. Parallellepipedens diagonaler skär varandra i en punkt och skärningspunkten är delad på mitten.

Bevis. Tänk på två godtyckliga diagonaler, till exempel, och . Därför att parallellepipedens ytor är parallellogram, då och , vilket betyder att enligt T ungefär två räta linjer parallella med den tredje . Dessutom innebär detta att linjerna och ligger i samma plan (planet). Detta plan skär parallella plan och längs parallella linjer och . Således är en fyrhörning ett parallellogram, och genom egenskapen hos ett parallellogram, dess diagonaler och skär och skärningspunkten delas i hälften, vilket krävdes för att bevisas.

En rätt parallellepiped vars bas är en rektangel kallas kubisk. Alla ytor av en kuboid är rektanglar. Längden av icke-parallella kanter på en kuboid kallas dess linjära dimensioner(mått). Det finns tre storlekar (bredd, höjd, längd).

Sats 13.3. I en kuboid är kvadraten på en diagonal lika med summan av kvadraterna av dess tre dimensioner (bevisades genom att applicera Pythagoras T två gånger).

En rektangulär parallellepiped där alla kanter är lika kallas kub.

Uppgifter

13.1 Hur många diagonaler gör n- kolprisma

13.2 I ett lutande triangulärt prisma är avstånden mellan sidokanterna 37, 13 och 40. Hitta avståndet mellan den större sidoytan och den motsatta sidokanten.

13.3 Genom sidan av den nedre basen av ett regelbundet triangulärt prisma ritas ett plan som skär sidoytorna längs segment, vars vinkel är . Hitta lutningsvinkeln för detta plan mot prismats bas.

Definition. Prisma- detta är en polyeder, vars alla hörn är belägna i två parallella plan, och i samma två plan finns det två ytor av prismat, som är lika polygoner med respektive parallella sidor, och alla kanter som inte ligger i dessa planen är parallella.

Två lika ansikten kallas prismabaser(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alla andra ytor av prismat kallas sidoytor(AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D, DD1E1E, EE1A1A).

Alla sidoytor bildas sidoytan på prismat .

Alla sidoytor på ett prisma är parallellogram .

Kanter som inte ligger vid baserna kallas prismats laterala kanter ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonal ett segment kallas, vars ändar är två hörn av prismat som inte ligger på en av dess ytor (AD 1).

Längden på segmentet som förbinder prismats baser och vinkelrätt mot båda baserna samtidigt kallas prisma höjd .

Beteckning:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Först, i förbikopplingsordningen, indikeras hörn på en bas, och sedan, i samma ordning, hörn på den andra; ändarna på varje sidokant betecknas med samma bokstäver, bara hörnen ligger i en bas indikeras med bokstäver utan index, och i den andra - med index)

Prismats namn är associerat med antalet vinklar i figuren som ligger vid dess bas, till exempel i figur 1 är basen en femhörning, så prismat kallas femkantigt prisma. Men eftersom ett sådant prisma har 7 ytor, då det heptaeder(2 ytor är basen av prismat, 5 ytor är parallellogram, är dess sidoytor)

Bland de raka prismorna sticker ut privat utsikt: vanliga prismor.

Ett rakt prisma kallas korrekt, om dess baser är regelbundna polygoner.

Ett vanligt prisma har alla sidoytor lika rektanglar. Ett specialfall av ett prisma är en parallellepiped.

Parallellepiped

Parallellepiped- detta är fyrkantigt prisma, som bygger på ett parallellogram (sned parallellepiped). Höger parallellepiped- en parallellepiped vars sidokanter är vinkelräta mot basens plan.

kubisk- en rät parallellepiped vars bas är en rektangel.

Egenskaper och satser:

Vissa egenskaper hos en parallellepiped liknar varandra kända egenskaper parallellogram En rektangulär parallellepiped med lika mått, kallas kub .En kub har alla ytor lika kvadrater.Kvadraten på en diagonal är lika med summan av kvadraterna av dess tre dimensioner

där d är kvadratens diagonal;
a - sidan av torget.

Idén med ett prisma ges av:

olika arkitektoniska strukturer;
Leksaker för barn;
förpackningslådor;
designartiklar etc.

Prismats totala och laterala yta

Prismats totala ytaär summan av ytorna av alla dess ytor Sidoyta kallas summan av areorna av dess sidoytor. prismats baser är lika polygoner, då är deras area lika. Det är därför

S full \u003d S-sida + 2S huvud,

var S full- total yta, S sida- sidoyta, S huvud- basarea

Arean av sidoytan av ett rakt prisma är lika med produkten av basens omkrets och prismats höjd.

S sida\u003d P main * h,

var S sidaär arean av sidoytan av ett rakt prisma,

P main - omkretsen av basen av ett rakt prisma,

h är höjden på det raka prismat, lika med sidokanten.