De enklaste geometriska formerna: punkt, rak linje, segment, stråle, bruten linje. Lektion "Direkt"

Sida 1 av 3

§ett. testfrågor
Fråga 1. Ge exempel på geometriska former.
Svar. Exempel på geometriska former: triangel, kvadrat, cirkel.

Fråga 2. Vilka är de viktigaste geometriska figurer på ytan.
Svar. De huvudsakliga geometriska figurerna på planet är punkten och linjen.

Fråga 3. Hur definieras punkter och linjer?
Svar. Poäng indikeras med versaler. med latinska bokstäver: A, B, C, D, … . Raka linjer betecknas med små latinska bokstäver: a, b, c, d, ....
En linje kan betecknas med två punkter som ligger på den. Till exempel kan linje a i figur 4 betecknas AC, och linje b kan märkas BC.

Fråga 4. Formulera de grundläggande egenskaperna för medlemskap av punkter och linjer.
Svar. Oavsett linjen finns det punkter som hör till denna linje och punkter som inte hör till den.
Genom två valfria punkter kan du dra en linje, och bara en.
Fråga 5. Förklara vad ett segment som slutar vid givna punkter är.
Svar. Ett segment är en del av en rät linje som består av alla punkter på denna räta linje som ligger mellan två givna punkter på den. Dessa punkter kallas segmentets ändar. Ett segment indikeras genom att indikera dess ändar. När de säger eller skriver: "segment AB" menar de ett segment som slutar i punkterna A och B.

Fråga 6. Formulera huvudegenskapen för punkternas placering på en rak linje.
Svar. Av de tre punkterna på en linje ligger en och bara en mellan de andra två.
Fråga 7. Formulera huvudegenskaperna för att mäta segment.
Svar. Varje segment har en viss längd som är större än noll. Längden på ett segment är lika med summan av längderna av de delar som det delas i med någon av dess punkter.
Fråga 8. Vad är avståndet mellan två givna punkter?
Svar. Längden på segment AB kallas för avståndet mellan punkterna A och B.
Fråga 9. Vilka egenskaper har det att dela ett plan i två halvplan?
Svar. Uppdelningen av ett plan i två halvplan har följande egenskap. Om ändarna på något segment tillhör samma halvplan, skär segmentet inte linjen. Om ändpunkterna för ett segment tillhör olika halvplan, så skär segmentet linjen.

Trots det faktum att geometri är en av de exakta vetenskaperna kan forskare inte entydigt definiera termen "rät linje". I själva allmän syn kan ges denna definition: "En rät linje är en linje längs vilken banan är lika med avståndet mellan två punkter."

Vad är en rät linje i matematik? Definition av en rät linje i matematik: en rät linje har inga ändar och kan fortsätta i båda riktningarna till oändlighet.

De grundläggande begreppen geometri inkluderar punkt, linje och plan, de ges utan definition, men definitioner av andra geometriska former ges genom dessa begrepp. Ett plan, som en rak linje, är ett primärt begrepp som inte har någon definition. Detta uttalande etableras av följande axiom: om två punkter på en linje ligger i ett visst plan, så ligger alla punkter på denna linje i detta plan. Och själva påståendet, som är bevisat, kallas ett teorem. Utsagan av satsen består vanligtvis av två delar.

Uppgift: var är linjen, strålen, segmentet, kurvan? Topparna på polylinjen (liknande toppen av berg) är punkten från vilken polylinjen börjar, punkterna där segmenten som bildar polylinjen är anslutna, punkten där polylinjen slutar. Uppgift: vilken polylinje är längre och vilken har fler hörn? Intilliggande sidor av en polygon är angränsande länkar av en streckad linje. Polygonens hörn är polylinjens hörn. Närliggande hörn är ändpunkterna på en sida av polygonen.

På matematiklektionerna kan du höra följande förklaring: ett matematiskt segment har en längd och slutar. Ett segment i matematik är en uppsättning av alla punkter som ligger på en rät linje mellan ändarna av ett segment.

I det följande kommer det att finnas definitioner för olika figurer förutom två - en punkt och en linje. Så ibland kan vi beteckna en rät linje med två stora latinska bokstäver, till exempel en rät linje\(AB\), eftersom ingen annan rät linje kan dras genom dessa två punkter. Vi skriver symboliskt segmentet \(AB\).

Vad är poängen med matematik?

Sats: En triangels mittlinje är parallell med en av dess sidor och lika med hälften av den sidan. C. Höjd på en rätvinklig triangel ritad från en vertex rätt vinkel, delar triangeln i två liknande rät triangel, som var och en liknar en given triangel. C. En inskriven vinkel baserad på en halvcirkel är en rät vinkel. Här samlas huvuddefinitionerna, satserna, egenskaperna hos figurer på planet.

Vektorn med punktens koordinater kallas normalvektorn, den är vinkelrät mot linjen.

I en systematisk utläggning av geometri tas vanligtvis en rät linje som ett av de initiala begreppen, som endast indirekt bestäms av geometrins axiom.

4. Två icke-sammanfallande linjer i planet skär antingen varandra i en enda punkt, eller så är de parallella. En stråle är en del av en rät linje avgränsad på ena sidan. Ett segment, som en rät linje, indikeras med antingen en bokstav eller två. I det senare fallet indikerar dessa bokstäver ändarna på segmentet.

En punkt är ett abstrakt objekt som inte har några mätegenskaper: ingen höjd, ingen längd, ingen radie. Inom ramen för uppgiften är det bara dess placering som är viktig

Punkten indikeras med en siffra eller en stor (stor) latinsk bokstav. Flera prickar - olika nummer eller olika bokstäver så att de kan särskiljas

punkt A, punkt B, punkt C

A B C

punkt 1, punkt 2, punkt 3

1 2 3

Du kan rita tre "A"-punkter på ett papper och bjuda barnet att dra en linje genom de två "A"-punkterna. Men hur förstår man genom vilken? A A A

En linje är en uppsättning punkter. Hon mäter bara längd. Den har ingen bredd eller tjocklek.

Indikeras med små (små) latinska bokstäver

linje a, linje b, linje c

a b c

Linjen kan vara

1. stängd om dess början och slut är på samma punkt,
2. öppen om dess början och slut inte är sammankopplade

stängda linjer

öppna linjer

Du lämnade lägenheten, köpte bröd i affären och gick tillbaka till lägenheten. Vilken linje fick du? Just det, stängt. Du har återvänt till startpunkten. Du lämnade lägenheten, köpte bröd i affären, gick in i entrén och pratade med din granne. Vilken linje fick du? Öppen. Du har inte återvänt till startpunkten. Du lämnade lägenheten, köpte bröd i affären. Vilken linje fick du? Öppen. Du har inte återvänt till startpunkten.

1. självkorsande
2. utan självkorsningar

självkorsande linjer

linjer utan självkorsningar

1. hetero
2. avbruten linje
3. krokig

raka linjer

brutna linjer

böjda linjer

En rät linje är en linje som inte kröker, har varken början eller slut, den kan förlängas i det oändliga i båda riktningarna

Även när den ses liten tomt rakt, det antas att det fortsätter oändligt åt båda hållen

Det betecknas med en gemen (liten) latinsk bokstav. Eller två versaler (stora) latinska bokstäver - punkter som ligger på en rak linje

rak linje a

a

rak linje AB

B A

raka linjer kan vara

1. korsar varandra om de har en gemensam poäng. Två linjer kan bara skära varandra i en punkt.
   • vinkelräta om de skär varandra i rät vinkel (90°).
2. parallella, om de inte skär varandra, har de ingen gemensam punkt.

parallella linjer

korsande linjer

vinkelräta linjer

En stråle är en del av en rät linje som har en början men inget slut, den kan förlängas i oändlighet i bara en riktning

Utgångspunkten för ljusstrålen i bilden är solen.

Sol

Punkten delar linjen i två delar - två strålar A A

Strålen indikeras med en gemen (liten) latinsk bokstav. Eller två versaler (stora) latinska bokstäver, där den första är den punkt från vilken strålen börjar och den andra är den punkt som ligger på strålen

stråle a

a

balk AB

B A

Balkarna matchar if

1. ligger på samma räta linje
2. börja vid ett tillfälle
3. riktad åt ena sidan

strålar AB och AC sammanfaller

strålarna CB och CA sammanfaller

C B A

Ett segment är en del av en rät linje som avgränsas av två punkter, det vill säga har både en början och ett slut, vilket gör att dess längd kan mätas. Längden på ett segment är avståndet mellan dess start- och slutpunkter.

Valfritt antal linjer kan dras genom en punkt, inklusive raka linjer.

Genom två punkter - obegränsat antal kurvor, men bara en rak linje

krökta linjer som går genom två punkter

B A

rak linje AB

B A

En bit "skars av" från den raka linjen och ett segment återstod. Från exemplet ovan kan du se att dess längd är det kortaste avståndet mellan två punkter. ✂ B A ✂

Ett segment betecknas med två versaler (stora) latinska bokstäver, där den första är punkten från vilken segmentet börjar och den andra är punkten från vilken segmentet slutar

segment AB

B A

Uppgift: var är linjen, strålen, segmentet, kurvan?

En streckad linje är en linje som består av successivt sammankopplade segment som inte har en vinkel på 180°

Ett långt segment "bröts" i flera korta.

Länkarna i en polylinje (liknande länkarna i en kedja) är de segment som utgör polylinjen. Intilliggande länkar är länkar där slutet av en länk är början på en annan. Intilliggande länkar bör inte ligga på samma räta linje.

Topparna på polylinjen (liknar topparna på berg) är punkten från vilken polylinjen börjar, punkterna där segmenten som bildar polylinjen är anslutna, punkten där polylinjen slutar.

En polylinje betecknas genom att lista alla dess hörn.

bruten linje ABCDE

toppunkt på polylinje A, toppunkt på polylinje B, toppunkt på polylinje C, toppunkt på polylinje D, toppunkt på polylinje E

länk av streckad linje AB, länk av streckad linje BC, länk av streckad linje CD, länk av bruten linje DE

länk AB och länk BC ligger intill varandra

länk BC och länk CD ligger intill

länk-CD och länk DE ligger intill varandra

A B C D E 64 62 127 52

Längden på en polylinje är summan av längderna av dess länkar: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Uppgift: vilken streckad linje är längre, a vilken har fler toppar? På första raden är alla länkar lika långa, nämligen 13 cm. Den andra raden har alla länkar av samma längd, nämligen 49 cm. Den tredje raden har alla länkar av samma längd, nämligen 41 cm.

En polygon är en sluten polylinje

Polygonens sidor (de hjälper dig att komma ihåg uttrycken: "gå till alla fyra sidorna", "spring mot huset", "vilken sida av bordet ska du sitta på?") är länkarna till den brutna linjen. Intilliggande sidor av en polygon är angränsande länkar av en streckad linje.

Polygonens hörn är polylinjens hörn. Närliggande hörn är ändpunkterna på en sida av polygonen.

En polygon betecknas genom att lista alla dess hörn.

sluten polylinje utan självkorsning, ABCDEF

polygon ABCDEF

polygon vertex A, polygon vertex B, polygon vertex C, polygon vertex D, polygon vertex E, polygon vertex F

vertex A och vertex B ligger intill varandra

vertex B och vertex C ligger intill varandra

vertex C och vertex D ligger intill varandra

vertex D och vertex E ligger intill varandra

vertex E och vertex F ligger intill varandra

vertex F och vertex A ligger intill varandra

polygonsida AB, polygonsida BC, polygonsida CD, polygonsida DE, polygonsida EF

sida AB och sida BC ligger intill varandra

sida BC och sido CD ligger intill

sida CD och sida DE ligger intill

sida DE och sida EF ligger intill varandra

sida EF och sida FA är angränsande

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Omkretsen av en polygon är längden på polylinjen: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

En polygon med tre hörn kallas en triangel, med fyra - en fyrhörning, med fem - en femhörning, och så vidare.

Inom geometri är de huvudsakliga geometriska figurerna punkten och linjen. För att ange punkter är det vanligt att använda stora latinska bokstäver: A, B, C, D, E, F .... För att beteckna raka linjer används små latinska bokstäver: a, b, c, d, e, f .... Bilden nedan visar en rät linje a och flera punkter A, B, C, D.

För att avbilda en rak linje i figuren använder vi en linjal, men vi avbildar inte hela linjen, utan bara en bit av den. Eftersom linjen enligt vår uppfattning sträcker sig till oändligheten i båda riktningarna, är linjen oändlig.

I figuren ovan ser vi att punkterna A och C ligger på en rät linje. a. I sådana fall säger vi att punkterna A och C tillhör linjen a. Eller så säger de att linjen går genom punkterna A och C. När man skriver indikeras en punkts tillhörighet till en linje med en speciell ikon. Och det faktum att punkten inte tillhör linjen markeras med samma ikon, bara överstruken.

I vårt fall hör inte punkterna B och D till linjen a.

Som noterats ovan, i figuren, hör punkterna A och C till linjen a. Den del av en linje som består av alla punkter på den linjen som ligger mellan två givna punkter kallas segmentet. Med andra ord är ett segment en del av en rät linje som begränsas av två punkter.

I vårt fall har vi ett segment AB. Punkterna A och B kallas segmentets ändar. För att beteckna ett segment indikeras dess ändar, i vårt fall AB. En av de viktigaste egenskaperna för medlemskap av punkter och linjer är följande fast egendom: genom två valfria punkter kan du dra en linje, och dessutom bara en.

Om två linjer har en gemensam punkt, sägs de två linjerna skära varandra. I figuren skär linjerna a och b i punkt A. Linjerna a och c skär inte varandra.

Alla två linjer har bara en gemensam punkt eller inga gemensamma punkter. Om vi ​​antar motsatsen, att två linjer har två punkter gemensamma, så skulle två linjer passera genom dem. Men detta är omöjligt, eftersom endast en linje kan dras genom två punkter.