Diagram över sinus och cosinus. Egenskaper för tangentoid och cotangentoid

Trigonometri är en gren av matematiken som studerar trigonometriska funktioner och deras användning i geometri. Utvecklingen av trigonometri började under antikens Greklands dagar. Under medeltiden gav forskare från Mellanöstern och Indien ett viktigt bidrag till utvecklingen av denna vetenskap.

Den här artikeln ägnas åt de grundläggande begreppen och definitionerna av trigonometri. Den diskuterar definitionerna av huvudet trigonometriska funktioner: sinus, cosinus, tangent och cotangens. Deras betydelse i geometrisammanhang förklaras och illustreras.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ursprungligen uttrycktes definitionerna av trigonometriska funktioner, vars argument är en vinkel, genom förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel.

Definitioner av trigonometriska funktioner

Sinus för en vinkel (sin α) är förhållandet mellan benet mittemot denna vinkel och hypotenusan.

Vinkelns cosinus (cos α) är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan.

Vinkelns tangent (t g α) är förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande.

Vinkelns kotangens (c t g α) är förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta.

Dessa definitioner ges för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel!

Låt oss ge en illustration.

I triangel ABC med rät vinkel C är sinus för vinkel A lika med förhållandet mellan ben BC och hypotenusa AB.

Definitionerna av sinus, cosinus, tangens och cotangens gör det möjligt att beräkna värdena för dessa funktioner från de kända längderna på sidorna i en triangel.

Viktigt att komma ihåg!

Omfånget av sinus- och cosinusvärden: från -1 till 1. Med andra ord, sinus och cosinus tar värden från -1 till 1. Området för tangent- och cotangensvärden är hela tallinjen, det vill säga dessa funktioner kan ha vilket värde som helst.

Definitionerna ovan avser spetsiga vinklar. Inom trigonometri introduceras begreppet rotationsvinkel, vars värde, till skillnad från en spetsig vinkel, inte begränsas av ramar från 0 till 90 grader. Rotationsvinkeln i grader eller radianer uttrycks med valfritt reellt tal från - ∞ till + ∞.

I detta sammanhang kan man definiera sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel av godtycklig storlek. Föreställ dig en enhetscirkel centrerad vid det kartesiska koordinatsystemets ursprung.

Startpunkten A med koordinater (1 , 0) roterar runt enhetscirkelns centrum med någon vinkel α och går till punkt A 1 . Definitionen ges genom koordinaterna för punkten A 1 (x, y).

Sinus (sin) för rotationsvinkeln

Rotationsvinkelns α sinus är ordinatan för punkten A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) för rotationsvinkeln

Cosinus för vridningsvinkeln α är abskissan för punkten A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) för rotationsvinkeln

Tangensen för rotationsvinkeln α är förhållandet mellan ordinatan för punkten A 1 (x, y) och dess abskiss. t g α = y x

Cotangens (ctg) av rotationsvinkeln

Kotangensen för rotationsvinkeln α är förhållandet mellan abskissan för punkten A 1 (x, y) och dess ordinata. c t g α = x y

Sinus och cosinus definieras för vilken rotationsvinkel som helst. Detta är logiskt, eftersom abskissan och ordinatan för punkten efter rotationen kan bestämmas i vilken vinkel som helst. Situationen är annorlunda med tangent och cotangens. Tangenten är odefinierad när punkten efter rotationen går till en punkt med noll abskiss (0 , 1) och (0 , - 1). I sådana fall är uttrycket för tangenten t g α = y x helt enkelt inte meningsfullt, eftersom det innehåller division med noll. Situationen är liknande med cotangenten. Skillnaden är att cotangensen inte definieras i de fall då ordinatan för punkten försvinner.

Viktigt att komma ihåg!

Sinus och cosinus definieras för alla vinklar α.

Tangenten definieras för alla vinklar utom α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Cotangensen definieras för alla vinklar utom α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

När man bestämmer sig praktiska exempel säg inte "sinus för rotationsvinkeln α". Orden "rotationsvinkel" utelämnas helt enkelt, vilket antyder att det redan av sammanhanget är klart vad som står på spel.

Tal

Hur är det med definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens för ett tal, och inte rotationsvinkeln?

Sinus, cosinus, tangent, cotangens av ett tal

Sinus, cosinus, tangent och cotangens för ett tal t anropas ett tal som är lika med sinus, cosinus, tangent och cotangens i t radian.

Till exempel sinus av 10 π lika med sinus rotationsvinkel på 10 π rad.

Det finns ett annat tillvägagångssätt för definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens för ett tal. Låt oss överväga det mer i detalj.

Någon riktigt nummer t en punkt på enhetscirkeln sätts i överensstämmelse med centrum vid utgångspunkten för det rektangulära kartesiska koordinatsystemet. Sinus, cosinus, tangent och cotangens definieras i termer av koordinaterna för denna punkt.

Startpunkten på cirkeln är punkt A med koordinater (1 , 0).

Positivt nummer t

Negativt tal t motsvarar den punkt som startpunkten kommer att flytta till om den rör sig moturs runt cirkeln och passerar banan t .

Nu när sambandet mellan talet och punkten på cirkeln har etablerats går vi vidare till definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Sinus (sin) av talet t

Sinus av ett nummer t- Ordinatan för punkten i enhetscirkeln som motsvarar talet t. sin t = y

Cosinus (cos) av t

Cosinus av ett nummer t- abskissan för punkten i enhetscirkeln som motsvarar talet t. cos t = x

Tangent (tg) av t

Tangent av ett nummer t- förhållandet mellan ordinatan och abskissan för punkten i enhetscirkeln som motsvarar talet t. t g t = y x = sin t cos t

De senare definitionerna överensstämmer med och motsäger inte definitionen i början av detta avsnitt. Peka på en cirkel som motsvarar ett tal t, sammanfaller med den punkt till vilken startpunkten passerar efter att ha svängt genom vinkeln t radian.

Trigonometriska funktioner för vinkel- och numeriska argument

Varje värde på vinkeln α motsvarar visst värde sinus och cosinus för denna vinkel. Precis som alla vinklar α förutom α = 90 ° + 180 ° · k , motsvarar k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) ett visst värde på tangenten. Cotangensen, som nämnts ovan, definieras för alla α, förutom α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Vi kan säga att sin α , cos α , t g α , c t g α är funktioner av vinkeln alfa, eller funktioner av vinkelargumentet.

På liknande sätt kan man tala om sinus, cosinus, tangent och cotangens som funktioner av ett numeriskt argument. Varje reellt tal t motsvarar ett specifikt värde på sinus eller cosinus för ett tal t. Alla andra tal än π 2 + π · k , k ∈ Z, motsvarar tangentens värde. Cotangensen definieras på liknande sätt för alla tal utom π · k , k ∈ Z.

Grundläggande funktioner för trigonometri

Sinus, cosinus, tangent och cotangens är de grundläggande trigonometriska funktionerna.

Det framgår vanligtvis av sammanhanget vilket argument för den trigonometriska funktionen (vinkelargument eller numeriskt argument) vi har att göra med.

Låt oss återgå till data i början av definitionerna och vinkeln alfa, som ligger i intervallet från 0 till 90 grader. De trigonometriska definitionerna av sinus, cosinus, tangent och cotangens överensstämmer fullständigt med de geometriska definitionerna som ges av förhållandena mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Låt oss visa det.

Ta en enhetscirkel centrerad på ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem. Låt oss rotera startpunkten A (1, 0) med en vinkel på upp till 90 grader och rita från den resulterande punkten A 1 (x, y) vinkelrätt mot x-axeln. I den resulterande räta triangeln är vinkeln A 1 O H lika med rotationsvinkeln α, längden på benet O H är lika med abskissan för punkten A 1 (x, y) . Längden på benet mitt emot hörnet är lika med ordinatan för punkten A 1 (x, y), och längden på hypotenusan är lika med en, eftersom det är radien för enhetscirkeln.

I enlighet med definitionen från geometrin är sinus för vinkeln α lika med förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Detta innebär att definitionen av sinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel genom bildförhållandet är ekvivalent med definitionen av sinus för vridningsvinkeln α, med alfa som ligger i området från 0 till 90 grader.

På liknande sätt kan överensstämmelsen mellan definitioner visas för cosinus, tangent och cotangens.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Där uppgifterna för att lösa en rätvinklig triangel övervägdes, lovade jag att presentera en teknik för att memorera definitionerna av sinus och cosinus. Genom att använda den kommer du alltid snabbt att komma ihåg vilket ben som hör till hypotenusan (intill eller mittemot). Jag bestämde mig för att inte skjuta upp det på obestämd tid, nödvändigt material nedan, se

Faktum är att jag upprepade gånger har observerat hur elever i årskurs 10-11 har svårt att komma ihåg dessa definitioner. De minns mycket väl att benet syftar på hypotenusan, men vilken- glömma och förvirrad. Priset för ett misstag, som du vet på provet, är ett förlorat resultat.

Informationen som jag kommer att presentera direkt för matematiken har ingenting att göra. Det är förknippat med bildligt tänkande och med metoderna för verbal-logisk koppling. Just det, mindes jag själv en gång för alladefinitionsdata. Om du fortfarande glömmer dem, är det alltid lätt att komma ihåg med hjälp av de presenterade teknikerna.

Låt mig påminna dig om definitionerna av sinus och cosinus i en rätvinklig triangel:

Cosinus spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan:

Sinus spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan:

Så, vilka associationer väcker ordet cosinus hos dig?

Förmodligen har alla sina egnaKom ihåg länken:

Således kommer du omedelbart att ha ett uttryck i ditt minne -

«… förhållandet mellan INNEHÅLLANDE ben och hypotenusa».

Problemet med definitionen av cosinus är löst.

Om du behöver komma ihåg definitionen av sinus i en rätvinklig triangel, och sedan komma ihåg definitionen av cosinus, kan du enkelt fastställa att sinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan. När allt kommer omkring finns det bara två ben, om det intilliggande benet är "ockuperat" av cosinus, så återstår bara den motsatta sidan för sinus.

Hur är det med tangent och cotangens? Samma förvirring. Eleverna vet att detta är förhållandet mellan benen, men problemet är att komma ihåg vilken som avser vilken - antingen mittemot till intilliggande eller tvärtom.

Definitioner:

Tangent en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande:

Cotangens spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta:

Hur kommer man ihåg? Det finns två sätt. Den ena använder också en verbal-logisk koppling, den andra - en matematisk.

MATEMATISK METOD

Det finns en sådan definition - tangenten för en spetsig vinkel är förhållandet mellan sinus för en vinkel och dess cosinus:

* Genom att komma ihåg formeln kan du alltid bestämma att tangenten för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande.

Likaså.Cotangensen för en spetsig vinkel är förhållandet mellan en vinkels cosinus och dess sinus:

Så! Genom att komma ihåg dessa formler kan du alltid fastställa att:

- tangenten för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande

- cotangensen för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta.

VERBAL-LOGISK METOD

Om tangent. Kom ihåg länken:

Det vill säga, om du behöver komma ihåg definitionen av tangenten, med hjälp av denna logiska koppling, kan du enkelt komma ihåg vad det är

"... förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande"

Om det kommer till cotangens, då du kommer ihåg definitionen av tangent, kan du enkelt uttrycka definitionen av cotangens -

"... förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta"

Det finns en intressant teknik för att memorera tangent och cotangens på platsen " Matematisk tandem " , se.

METOD UNIVERSELL

Du kan bara mala.Men som praktiken visar, tack vare verbala-logiska kopplingar, kommer en person ihåg information under lång tid, och inte bara matematisk.

Jag hoppas att materialet var användbart för dig.

Med vänlig hälsning, Alexander Krutitskikh

P.S: Jag skulle vara tacksam om du berättar om sidan i sociala nätverk.

Trigonometri, som en vetenskap, har sitt ursprung i det antika östern. De första trigonometriska förhållandena utvecklades av astronomer för att skapa en exakt kalender och orientera sig efter stjärnorna. Dessa beräkningar relaterade till sfärisk trigonometri, medan de i skolkursen studerar förhållandet mellan sidorna och vinkeln i en platt triangel.

Trigonometri är en gren av matematiken som handlar om egenskaperna hos trigonometriska funktioner och förhållandet mellan trianglars sidor och vinklar.

Under kulturens och vetenskapens storhetstid under det 1:a årtusendet e.Kr. spreds kunskapen från det antika östern till Grekland. Men de viktigaste upptäckterna av trigonometri är mäns förtjänst Arabiska kalifatet. I synnerhet introducerade den turkmenske forskaren al-Marazvi sådana funktioner som tangent och cotangens, sammanställde de första värdetabellerna för sinus, tangenter och cotangens. Begreppet sinus och cosinus introducerades av indiska forskare. Mycket uppmärksamhet ägnas åt trigonometri i verk av så stora antikens figurer som Euklid, Arkimedes och Eratosthenes.

Grundläggande kvantiteter av trigonometri

De grundläggande trigonometriska funktionerna i ett numeriskt argument är sinus, cosinus, tangens och cotangens. Var och en av dem har sin egen graf: sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Formlerna för att beräkna värdena för dessa kvantiteter är baserade på Pythagoras sats. Det är bättre känt för skolbarn i formuleringen: "Pythagoreiska byxor, lika i alla riktningar", eftersom beviset ges på exemplet med en likbent rätvinklig triangel.

Sinus, cosinus och andra beroenden etablerar ett samband mellan spetsiga vinklar och sidor i vilken rätvinklig triangel som helst. Vi ger formler för att beräkna dessa storheter för vinkel A och spårar förhållandet mellan trigonometriska funktioner:

Som du kan se är tg och ctg omvända funktioner. Om vi representerar ben a som produkten av sin A och hypotenusa c, och ben b som cos A * c, får vi följande formler för tangent och cotangens:

trigonometrisk cirkel

Grafiskt kan förhållandet mellan de nämnda kvantiteterna representeras enligt följande:

Cirkeln, i det här fallet, är allt möjliga värden vinkel α — från 0° till 360°. Som framgår av figuren tar varje funktion ett negativt eller positivt värde beroende på vinkeln. Till exempel kommer sin α att ha ett "+"-tecken om α hör till cirkelns I- och II-fjärdedelar, det vill säga den är i intervallet från 0 ° till 180 °. Med α från 180° till 360° (III och IV fjärdedelar) kan sin α endast vara ett negativt värde.

Låt oss försöka bygga trigonometriska tabeller för specifika vinklar och ta reda på betydelsen av kvantiteterna.

Värdena på α lika med 30°, 45°, 60°, 90°, 180° och så vidare kallas specialfall. Värdena på trigonometriska funktioner för dem beräknas och presenteras i form av speciella tabeller.

Dessa vinklar valdes inte av en slump. Beteckningen π i tabellerna är för radianer. Rad är den vinkel vid vilken längden på en cirkelbåge motsvarar dess radie. Detta värde infördes för att etablera ett universellt förhållande; vid beräkning i radianer spelar den faktiska längden av radien i cm ingen roll.

Vinklarna i tabellerna för trigonometriska funktioner motsvarar radianvärden:

Så det är inte svårt att gissa att 2π är det full cirkel eller 360°.

Egenskaper för trigonometriska funktioner: sinus och cosinus

För att överväga och jämföra de grundläggande egenskaperna hos sinus och cosinus, tangent och cotangens är det nödvändigt att rita deras funktioner. Detta kan göras i form av en kurva placerad i ett tvådimensionellt koordinatsystem.

Överväga jämförelsetabell egenskaper för sinusvåg och cosinusvåg:

sinusformad	cosinusvåg
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; ett]	ODZ [-1; ett]
sin x = 0, för x = πk, där k ϵ Z	cos x = 0, för x = π/2 + πk, där k ϵ Z
sin x = 1, för x = π/2 + 2πk, där k ϵ Z	cos x = 1, för x = 2πk, där k ϵ Z
sin x = - 1, vid x = 3π/2 + 2πk, där k ϵ Z	cos x = - 1, för x = π + 2πk, där k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, d.v.s. udda funktion	cos (-x) = cos x, dvs funktionen är jämn
	funktionen är periodisk, den minsta perioden är 2π
sin x › 0, med x tillhörande fjärdedelar I och II eller från 0° till 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, med x tillhörande fjärdedelar I och IV eller från 270° till 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, med x tillhörande fjärdedelar III och IV eller från 180° till 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, med x tillhörande fjärdedelar II och III eller från 90° till 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
ökar med intervallet [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	ökar med intervallet [-π + 2πk, 2πk]
minskar på intervallen [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	minskar i intervaller
derivata (sin x)' = cos x	derivata (cos x)’ = - sin x

Att avgöra om en funktion är jämn eller inte är mycket enkelt. Det räcker att föreställa sig en trigonometrisk cirkel med tecken på trigonometriska storheter och mentalt "vika" grafen i förhållande till OX-axeln. Om tecknen är desamma är funktionen jämn, annars är den udda.

Införandet av radianer och uppräkningen av huvudegenskaperna hos sinus- och cosinusvågen tillåter oss att ta med följande mönster:

Det är mycket lätt att verifiera formelns riktighet. Till exempel, för x = π/2 är sinus lika med 1, liksom cosinus för x = 0. Kontroll kan göras genom att titta på tabeller eller genom att spåra funktionskurvor för givna värden.

Egenskaper för tangentoid och cotangentoid

Graferna för tangent- och cotangensfunktionerna skiljer sig väsentligt från sinus- och cosinusvågen. Värdena tg och ctg är omvända till varandra.

Y = tgx.
Tangenten tenderar till värdena av y vid x = π/2 + πk, men når dem aldrig.
Tangentoidens minsta positiva period är π.
Tg (- x) \u003d - tg x, d.v.s. funktionen är udda.
Tg x = 0, för x = πk.
Funktionen ökar.
Tg x › 0, för x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, för x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivat (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Betrakta den grafiska representationen av cotangentoiden nedan i texten.

De viktigaste egenskaperna hos cotangentoiden:

Y = ctgx.
Till skillnad från sinus- och cosinusfunktionerna kan Y i tangentoiden ta på sig värdena för mängden av alla reella tal.
Cotangentoiden tenderar till värdena för y vid x = πk, men når dem aldrig.
Den minsta positiva perioden för cotangentoiden är π.
Ctg (- x) \u003d - ctg x, d.v.s. funktionen är udda.
Ctg x = 0, för x = π/2 + πk.
Funktionen minskar.
Ctg x › 0, för x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, för x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Förhållandena mellan de trigonometriska huvudfunktionerna - sinus, cosinus, tangent och cotangens - anges trigonometriska formler. Och eftersom det finns ganska många kopplingar mellan trigonometriska funktioner, förklarar detta också överflödet av trigonometriska formler. Vissa formler förbinder de trigonometriska funktionerna i samma vinkel, andra - funktionerna i en multipel vinkel, andra - låter dig sänka graden, den fjärde - för att uttrycka alla funktioner genom tangenten till en halv vinkel, etc.

I den här artikeln listar vi i ordning alla grundläggande trigonometriska formler, som räcker för att lösa de allra flesta trigonometriproblem. För att underlätta memorering och användning kommer vi att gruppera dem efter deras syfte och lägga in dem i tabeller.

Sidnavigering.

Grundläggande trigonometriska identiteter

Main trigonometriska identiteter ställ in förhållandet mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel. De följer av definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens, samt begreppet enhetscirkel. De låter dig uttrycka en trigonometrisk funktion genom vilken som helst annan.

För en detaljerad beskrivning av dessa trigonometriformler, deras härledning och tillämpningsexempel, se artikeln.

Cast formler

Cast formler följer av egenskaperna för sinus, cosinus, tangent och cotangens, det vill säga de reflekterar egenskapen periodicitet för trigonometriska funktioner, egenskapen symmetri och även egenskapen för skiftning med en given vinkel. Dessa trigonometriska formler låter dig gå från att arbeta med godtyckliga vinklar till att arbeta med vinklar som sträcker sig från noll till 90 grader.

Motivering av dessa formler, mnemonisk regel för deras memorering och exempel på deras tillämpning kan studeras i artikeln.

Tilläggsformler

Trigonometriska additionsformler visa hur de trigonometriska funktionerna av summan eller skillnaden mellan två vinklar uttrycks i termer av dessa vinklars trigonometriska funktioner. Dessa formler tjänar som grund för härledning av följande trigonometriska formler.

Formler för dubbel, trippel, etc. hörn

Formler för dubbel, trippel, etc. vinkel (de kallas även formler för multipelvinkel) visar hur de trigonometriska funktionerna för dubbel, trippel osv. vinklar () uttrycks i termer av trigonometriska funktioner för en enda vinkel. Deras härledning är baserad på additionsformler.

Mer detaljerad information samlas i artikelformlerna för dubbel, trippel osv. vinkel .

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler visa hur de trigonometriska funktionerna för en halv vinkel uttrycks i termer av cosinus för en heltalsvinkel. Dessa trigonometriska formler följer av dubbelvinkelformlerna.

Deras slutsats och exempel på tillämpning finns i artikeln.

Reduktionsformler

Trigonometriska formler för minskande graderär utformade för att underlätta övergången från naturliga krafter av trigonometriska funktioner till sinus och cosinus i första graden, men flera vinklar. Med andra ord tillåter de en att reducera styrkorna hos trigonometriska funktioner till den första.

Formler för summan och skillnaden av trigonometriska funktioner

Det huvudsakliga syftet summa- och differensformler för trigonometriska funktioner består i övergången till produkten av funktioner, vilket är mycket användbart när man förenklar trigonometriska uttryck. Dessa formler används också i stor utsträckning för att lösa trigonometriska ekvationer eftersom de tillåter faktorisering av summan och skillnaden mellan sinus och cosinus.

Formler för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus

Övergången från produkten av trigonometriska funktioner till summan eller skillnaden sker genom formlerna för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus.

Bashmakov M.I. Algebra och början av analys: Proc. för 10-11 celler. snitt skola - 3:e uppl. - M.: Upplysningen, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra och början av analysen: Proc. för 10-11 celler. Allmän utbildning institutioner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn och andra; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14:e uppl.- M.: Upplysning, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

Upphovsrätt av smarta elever

Alla rättigheter förbehållna.
Skyddad av upphovsrättslagen. Ingen del av www.webbplatsen, inklusive inre material och yttre design, får inte reproduceras i någon form eller användas utan föregående skriftligt tillstånd från upphovsrättsinnehavaren.

1. Trigonometriska funktionerär elementära funktioner vars argument är injektion. Trigonometriska funktioner beskriver sambanden mellan sidor och spetsiga vinklar i en rätvinklig triangel. Tillämpningsområdena för trigonometriska funktioner är extremt olika. Så till exempel kan alla periodiska processer representeras som summan av trigonometriska funktioner (Fourier-serien). Dessa funktioner dyker ofta upp när man löser differential- och funktionsekvationer.

2. Trigonometriska funktioner inkluderar följande 6 funktioner: sinus, cosinus, tangent,cotangens, sekant och cosecant. För var och en av dessa funktioner finns en invers trigonometrisk funktion.

3. Geometrisk definition trigonometriska funktioner introduceras bekvämt med hjälp av enhetscirkel. Bilden nedan visar en cirkel med radie r=1. Punkten M(x,y) är markerad på cirkeln. Vinkeln mellan radievektorn OM och den positiva riktningen för Ox-axeln är α.

4. sinus vinkeln α är förhållandet mellan ordinatan y för punkten M(x,y) och radien r:
sinα=y/r.
Eftersom r=1 är sinus lika med ordinatan för punkten M(x,y).

5. cosinus vinkeln α är förhållandet mellan abskissan x för punkten M(x,y) och radien r:
cosα=x/r

6. tangent vinkeln α är förhållandet mellan ordinatan y för punkten M(x,y) och dess abskiss x:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangens vinkeln α är förhållandet mellan abskissan x för punkten M(x,y) och dess ordinatan y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sekant vinkeln α är förhållandet mellan radien r och abskissan x för punkten M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecant vinkeln α är förhållandet mellan radien r och ordinatan y för punkten M(x,y):
csca=r/y=1/y,y≠0

10. I projektionens enhetscirkel x, y bildar punkterna M(x,y) och radien r en rätvinklig triangel, där x,y är benen och r är hypotenusan. Därför tillämpas ovanstående definitioner av trigonometriska funktioner på rät triangelär formulerade på detta sätt:
sinus vinkeln α är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan.
cosinus vinkeln α är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan.
tangent vinkeln α kallas det motsatta benet till det intilliggande.
Cotangens vinkeln α kallas det angränsande benet till det motsatta.
Sekant vinkeln α är förhållandet mellan hypotenusan och det intilliggande benet.
Cosecant vinkeln α är förhållandet mellan hypotenusan och det motsatta benet.

11. sinusfunktionsgraf
y=sinx, domän: x∈R, domän: −1≤sinx≤1

12. Graf över cosinusfunktionen
y=cosx, domän: x∈R, intervall: −1≤cosx≤1

13. tangentfunktionsgraf
y=tanx, domän: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domän: −∞