Formel för att beräkna radien för den omskrivna cirkeln. Cirkel som omger en triangel

Första nivån

omskriven cirkel. Visuell guide (2019)

Den första frågan som kan uppstå är: beskriven – kring vad?

Tja, faktiskt, ibland händer det runt vad som helst, och vi kommer att prata om en cirkel som är omskriven runt (ibland säger de "om") en triangel. Vad är det?

Och tänk dig nu, ett fantastiskt faktum äger rum:

Varför är detta faktum fantastiskt?

Men trianglar är olika!

Och för alla finns det en cirkel som kommer att passera genom alla tre topparna, det vill säga den omskrivna cirkeln.

Beviset för detta fantastiska faktum kan hittas i följande teorinivåer, men här noterar vi bara att om vi till exempel tar en fyrhörning, så finns det inte alls för alla en cirkel som går genom fyra hörn. Här, låt oss säga, är ett parallellogram en utmärkt fyrhörning, men en cirkel som går genom alla dess fyra hörn är det inte!

Och det finns bara för en rektangel:

Väl, och varje triangel har alltid sin egen omskrivna cirkel! Och det är till och med alltid ganska lätt att hitta mitten av denna cirkel.

Vet du vad som är mittvinkelrät?

Låt oss nu se vad som händer om vi betraktar så många som tre vinkelräta bisektrar till triangelns sidor.

Det visar sig (och det är precis vad som måste bevisas, även om vi inte kommer att göra det) det Alla tre perpendicularerna skär varandra vid en punkt. Titta på bilden - alla tre medianperpendicularerna skär varandra vid en punkt.

Tror du att mitten av den omskrivna cirkeln alltid ligger innanför triangeln? Tänk dig - inte alltid!

Men om spetsig vinklad, sedan - inuti:

Vad ska man göra med en rätvinklig triangel?

Och med en extra bonus:

Eftersom vi talar om radien för den omskrivna cirkeln: vad är den lika med för en godtycklig triangel? Och det finns ett svar på denna fråga: den så kallade.

Nämligen:

Och naturligtvis,

1. Existens och centrum för den omskrivna cirkeln

Här uppstår frågan: existerar en sådan cirkel för någon triangel? Det visar sig att ja, för alla. Och dessutom ska vi nu formulera en sats som också svarar på frågan, var är centrum för den omskrivna cirkeln.

Se ut så här:

Låt oss ta mod till oss och bevisa detta teorem. Om du redan har läst ämnet "", räknat ut varför de tre halvledarna skär varandra vid ett tillfälle, kommer det att vara lättare för dig, men om du inte har läst det, oroa dig inte: nu kommer vi att ta reda på allt ut.

Vi kommer att utföra bevisningen med hjälp av konceptet för punktlokus (LPT).

Tja, till exempel, är uppsättningen bollar en "geometrisk plats" av runda föremål? Nej, naturligtvis, för det finns runda ... vattenmeloner. Men kan en uppsättning människor, en "geometrisk plats", tala? Inte heller, för det finns bebisar som inte kan prata. I livet är det i allmänhet svårt att hitta ett exempel på en riktig "geometrisk plats för punkter". Geometri är lättare. Här är till exempel precis vad vi behöver:

Här är uppsättningen den mellersta vinkelrät, och egenskapen "" är "att vara på samma avstånd (punkt) från segmentets ändar."

Låt oss kolla? Så du måste se till två saker:

Varje punkt som är lika långt från ändarna av ett segment är på den vinkelräta bisektrisen till den.

Anslut med och med. Då är linjen median och höjd in. Så, - likbent, - såg vi till att varje punkt som ligger på den vinkelräta bisektrisen är lika långt från punkterna och.

Ta - mitten och anslut och. Fick medianen. Men - likbent efter tillstånd, inte bara medianen, utan också höjden, det vill säga medianen vinkelrät. Detta betyder att punkten exakt ligger på den vinkelräta bisektrisen.

Allt! Det har vi till fullo verifierat den vinkelräta bisektaren till ett segment är platsen för punkter på samma avstånd från segmentets ändar.

Det är väl och bra, men har vi glömt bort den omskrivna cirkeln? Inte alls, vi förberedde oss bara ett "brohuvud för attacken".

Tänk på en triangel. Låt oss rita två medianperpendicularer och, säg, till segmenten och. De kommer att skära varandra någon gång, vilket vi kommer att namnge.

Och nu, uppmärksamhet!

Punkten ligger på den vinkelräta bisektaren;
punkten ligger på den vinkelräta bisektrisen.
Och det betyder och.

Flera saker följer av detta:

Först måste punkten ligga på den tredje vinkelräta halveringslinjen, mot segmentet.

Det vill säga, den vinkelräta bisektrisen måste också passera genom punkten, och alla tre vinkelräta halveringslinjerna skär varandra i en punkt.

För det andra: om vi ritar en cirkel med ett centrum i en punkt och en radie, så kommer denna cirkel också att passera genom punkten och genom punkten, det vill säga det blir den beskrivna cirkeln. Det betyder att det redan existerar att skärningspunkten mellan de tre vinkelräta halveringslinjerna är centrum för den omskrivna cirkeln för vilken triangel som helst.

Och det sista: om unikhet. Det är tydligt (nästan) att poängen kan erhållas på ett unikt sätt, och därför är cirkeln unik. Nåväl, "nästan" - vi överlåter det till dig. Här har vi bevisat satsen. Du kan ropa "Hurra!".

Och om problemet är frågan "hitta radien för den omskrivna cirkeln"? Eller vice versa, radien är given, men du vill hitta något annat? Finns det en formel som relaterar radien för den omskrivna cirkeln till de andra elementen i en triangel?

Observera att sinussatsen säger det för att hitta radien för den omskrivna cirkeln behöver du en sida (vilken som helst!) och vinkeln motsatt den. Och det är allt!

3. Cirkelns mittpunkt - inuti eller utanför

Och nu är frågan: kan centrum av den omskrivna cirkeln ligga utanför triangeln.
Svar: så mycket som möjligt. Dessutom är detta alltid fallet i en trubbig triangel.

Och generellt sett:

CIRKELN. KORT OM HUVUDSAKTEN

1. Cirkel omskriven om en triangel

Detta är en cirkel som passerar genom alla tre hörn i denna triangel.

2. Existens och centrum av den omskrivna cirkeln

Nåväl, ämnet är över. Om du läser de här raderna är du väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du har läst till slutet, då är du i 5%!

Nu det viktigaste.

Du har listat ut teorin om detta ämne. Och, jag upprepar, det är ... det är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För framgångsrikt godkänt av provet, för antagning till institutet på budgeten och, VIKTIGAST, för livet.

Jag kommer inte att övertyga dig om någonting, jag ska bara säga en sak ...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att mycket fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på provet och i slutändan ... lyckligare?

FYLL DIN HAND, LÖS PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

På tentamen blir du inte tillfrågad teori.

Du kommer behöva lösa problem i tid.

Och om du inte har löst dem (MÅS!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte göra det i tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa många gånger för att säkert vinna.

Hitta en samling var du vill nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (inte nödvändigtvis) och vi rekommenderar dem verkligen.

För att få en hand med hjälp av våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på YouClever-läroboken som du just nu läser.

På vilket sätt? Det finns två alternativ:

Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i den här artikeln - 299 rub.
Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i handledningen - 499 rub.

Ja, vi har 99 sådana artiklar i läroboken och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under sajtens hela livslängd.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Sluta bara inte med teori.

"Förstå" och "Jag vet hur man löser" är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös!

Det kan ses att varje sida triangel, vinkelrät draget från dess mitt och segmenten som förbinder vinkelrätarnas skärningspunkt med hörnen bildar två lika rektangulära triangel. Segment MA, MB, MS är lika.

Du får en triangel. Hitta mitten på varje sida - ta en linjal och mät dess sidor. Dela de resulterande dimensionerna på mitten. Lägg åt sidan från topparna på varje halva av sin storlek. Markera resultaten med prickar.

Från varje punkt, lägg en vinkelrät mot sidan. Skärningspunkten för dessa perpendicularer kommer att vara centrum för den omskrivna cirkeln. Två vinkelräta räcker för att hitta cirkelns mittpunkt. Den tredje är byggd för självtestning.

Var uppmärksam - i en triangel där alla vinklar är spetsiga, skärningar inuti triangel. I en rätvinklig triangel, ligger på hypotenusan. B är utanför den. Dessutom är vinkelrät mot sidan motsatt den trubbiga vinkeln inte mot mitten triangel, men utanför.

notera

Det finns en sinussats som fastställer förhållandet mellan sidorna i en triangel, dess vinklar och radierna i den omskrivna cirkeln. Detta beroende uttrycks med formeln: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, där a, b, c är triangelns sidor; sina, sinb, sinc är sinusen för vinklarna mitt emot dessa sidor; R är radien på cirkeln som kan omskrivas runt triangeln.

Källor:

hur man beskriver omkretsen av en fyrhörning

Enligt definitionen, beskrivs cirkel måste passera genom alla hörn av den givna polygonen. Det spelar ingen roll vilken typ av polygon det är - en triangel, en kvadrat, en rektangel, en trapets eller något annat. Det spelar heller ingen roll om det är en regelbunden eller oregelbunden polygon. Det är bara nödvändigt att ta hänsyn till att det finns polygoner runt vilka cirkel går inte att beskriva. kan alltid beskrivas cirkel runt triangeln. När det gäller fyrhörningar, cirkel kan beskrivas om en kvadrat eller rektangel eller en likbent trapets.

Du kommer behöva

Given polygon
Linjal
fyrkant
Penna
Kompass
Gradskiva
Tabeller över sinus och cosinus
Matematiska begrepp och formler
Pythagoras sats
Sinussats
Cosinussatsen
Tecken på likhet mellan trianglar

Instruktion

Konstruera en polygon med de givna parametrarna och om det är möjligt att avgränsa runt den cirkel. Om du får en fyrhörning, beräkna summan av dess motsatta vinklar. Var och en av dem ska vara lika med 180 °.

Att beskriva cirkel, måste du beräkna dess radie. Kom ihåg var mitten av cirkeln ligger i olika polygoner. I en triangel är den i skärningspunkten för alla höjderna i den givna triangeln. I en kvadrat och rektanglar - vid skärningspunkten för diagonalerna, för en trapets - vid skärningspunkten för symmetriaxeln till linjen som förbinder sidornas mittpunkter, och för alla andra konvexa polygoner - vid skärningspunkten för vinkelräta bisektorer till sidorna.

Beräkna diametern på en cirkel som är omskriven runt en kvadrat och en rektangel med hjälp av Pythagoras sats. Det blir lika med kvadratroten av summan av kvadraterna på rektangelns sidor. För en kvadrat med alla sidor lika är diagonalen lika med kvadratroten av två gånger sidans kvadrat. Dela diametern med 2 för att få radien.

Beräkna radien för den omskrivna cirkeln för triangeln. Eftersom triangelparametrarna anges i villkoren, beräkna radien med formeln R = a/(2 sinA), där a är en av triangelns sidor, ? är den motsatta vinkeln. Istället för denna sida kan du ta sidan och vinkeln motsatt den.

Beräkna radien för en cirkel som är omskriven runt en trapets. R = a*d*c/4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) 2*(a+d+c). Beräkna de saknade värdena. Höjden kan beräknas med hjälp av sinus- eller cosinussatsen, längderna på trapetsens sidor och vinklarna anges i förhållandena. Genom att känna till höjden och ta hänsyn till likheterna mellan trianglarna, beräkna diagonalen. Efter det återstår det att beräkna radien med ovanstående formel.

Relaterade videoklipp

Användbara råd

För att beräkna radien för en cirkel som är omskriven runt en annan polygon, utför en serie ytterligare konstruktioner. Få enklare figurer vars parametrar du känner till.

Tips 3: Hur man ritar en rätvinklig triangel från en spetsig vinkel och en hypotenusa

En rätvinklig triangel är en triangel vars vinkel vid en av sina hörn är 90°. Sidan mitt emot denna vinkel kallas hypotenusan, och sidorna mitt emot triangelns två spetsiga vinklar kallas ben. Om längden på hypotenusan och värdet på en av de spetsiga vinklarna är kända, är dessa data tillräckliga för att konstruera en triangel på minst två sätt.

Ämnet "Inskrivna och omskrivna cirklar i trianglar" är ett av de svåraste på geometrikursen. Hon tillbringar väldigt lite tid i klassen.

De geometriska problemen i detta ämne ingår i den andra delen av USE tentamen för gymnasiekursen. Att lyckas med dessa uppgifter kräver gedigna kunskaper om grundläggande geometriska fakta och viss erfarenhet av att lösa geometriska problem.
Det finns bara en omskriven cirkel för varje triangel. Detta är en cirkel på vilken alla tre hörnen i en triangel med givna parametrar ligger. Att hitta dess radie kan behövas inte bara i en geometrilektion. Designers, skärare, låssmeder och representanter för många andra yrken måste ständigt ta itu med detta. För att hitta dess radie måste du känna till triangelns parametrar och dess egenskaper. Centrum för den omskrivna cirkeln är i skärningspunkten för triangelns vinkelräta bisektrar.
Jag uppmärksammar dig på alla formlerna för att hitta radien för den omskrivna cirkeln och inte bara triangeln. Formler för den inskrivna cirkeln kan ses.

a, b. med - sidorna av en triangel

α - vinkel motsatt sidaen,
S-arean av en triangel,

p- semiperimeter.

För att sedan hitta radien ( R) i den omskrivna cirkeln använd formlerna:

I sin tur kan arean av en triangel beräknas med en av följande formler:

Och här är några fler formler.

1. Radien på den omslutna cirkeln runt en regelbunden triangel. Om en a sidan av triangeln, alltså

2. Radien för den omskrivna cirkeln kring en likbent triangel. Låt vara a, bär alltså triangelns sidor

Bevis för satser om egenskaperna hos en cirkel omskriven om en triangel

Mittvinkelrätt mot segmentet

Definition 1 . Mittvinkelrätt mot segmentet kallas, en rät linje vinkelrät mot detta segment och som går genom dess mitt (fig. 1).

Sats 1. Varje punkt i den vinkelräta bisektrisen till segmentet är på samma avstånd från ändarna detta segment.

Bevis . Betrakta en godtycklig punkt D som ligger på den vinkelräta bisektrisen till segmentet AB (Fig. 2), och bevisa att trianglarna ADC och BDC är lika.

Dessa trianglar är faktiskt rätvinkliga trianglar vars ben AC och BC är lika, medan benen DC är vanliga. Från likheten mellan trianglarna ADC och BDC följer likheten mellan segmenten AD och DB. Sats 1 är bevisat.

Sats 2 (omvänd till sats 1). Om en punkt är på samma avstånd från ändarna av ett segment, så ligger den på den vinkelräta bisektrisen till detta segment.

Bevis . Låt oss bevisa sats 2 med metoden "genom motsägelse". Antag för detta ändamål att någon punkt E är på samma avstånd från segmentets ändar, men inte ligger på den vinkelräta bisektrisen till detta segment. Låt oss föra detta antagande till en motsägelse. Låt oss först betrakta fallet när punkterna E och A ligger på motsatta sidor av den vinkelräta bisekturen (fig. 3). I det här fallet skär segmentet EA den vinkelräta bisektrisen vid någon punkt, vilket vi kommer att beteckna med bokstaven D.

Låt oss bevisa att segmentet AE är längre än segmentet EB . Verkligen,

Således, i det fall då punkterna E och A ligger på motsatta sidor av den vinkelräta bisekturen, har vi fått en motsägelse.

Betrakta nu fallet när punkterna E och A ligger på samma sida av den vinkelräta bisektrisen (fig. 4). Låt oss bevisa att segmentet EB är längre än segmentet AE. Verkligen,

Den resulterande motsägelsen fullbordar beviset för sats 2

Cirkel som omger en triangel

Definition 2 . En cirkel som omger en triangel, ring cirkeln som går genom alla tre hörn i triangeln (Fig. 5). I det här fallet kallas triangeln en triangel inskriven i en cirkel eller inskriven triangel.

Egenskaper för en cirkel omskriven om en triangel. Sinussats

Figur	Bild	Fast egendom
Midperpendiculars till sidorna av triangeln		skära varandra vid en punkt .

Centrum omskriven om en spetsig triangel i en cirkel		Centrum beskrivs om spetsig vinklad inuti triangel.
Centrum cirkel omskriven om en rätvinklig triangel		Mitten av den beskrivna om rektangulär hypotenusans mittpunkt .
Centrum omskriven om en trubbig triangel i en cirkel		Centrum beskrivs om trubbig cirkel triangel ligger utanför triangel.
		,
Fyrkant triangel		S= 2R 2 synd A synd B synd C ,
Radie av den omskrivna cirkeln		För varje triangel är likheten sann:

Midperpendiculars till sidorna av en triangel

Alla vinkelräta bisektrar dras till sidorna av en godtycklig triangel, skära varandra vid en punkt .

Cirkel som omger en triangel

Vilken triangel som helst kan omges av en cirkel. . Mitten av cirkeln omskriven kring triangeln är den punkt där alla vinkelräta bisektrar dragna till triangelns sidor skär varandra.

Mitten av en cirkel omskriven om en spetsig triangel

Centrum beskrivs om spetsig vinklad cirkel triangel ligger inuti triangel.

Mitten av en cirkel omskriven om en rätvinklig triangel

Mitten av den beskrivna om rektangulär cirkel triangel är hypotenusans mittpunkt .

Mitten av en cirkel omskriven kring en trubbig triangel

Centrum beskrivs om trubbig cirkel triangel ligger utanför triangel.

För alla triangel är likheter giltiga (sinussatsen):

där a, b, c är triangelns sidor, A, B, C är triangelns vinklar, R är radien för den omskrivna cirkeln.

Arean av en triangel

För varje triangel är likheten sann:

S= 2R 2 synd A synd B synd C ,

där A, B, C är triangelns vinklar, S är triangelns area, R är radien för den omskrivna cirkeln.

Radie av den omskrivna cirkeln

För varje triangel är likheten sann:

där a, b, c är triangelns sidor, S är triangelns area, R är radien på den omskrivna cirkeln.

Bevis för satser om egenskaperna hos en cirkel omskriven om en triangel

Sats 3. Alla mittperpendicularer ritade till sidorna av en godtycklig triangel skär varandra vid en punkt.

Bevis . Betrakta två vinkelräta bisektrar dragna till sidorna AC och AB i triangeln ABC , och beteckna punkten för deras skärningspunkt med bokstaven O (Fig. 6).

Eftersom punkten O ligger på den vinkelräta bisektaren till segmentet AC , så gäller, i kraft av sats 1, följande likhet:

Eftersom punkten O ligger på den vinkelräta bisektaren till segmentet AB, gäller, i kraft av sats 1, följande likhet:

Därför är jämställdheten sann:

varav vi, med hjälp av sats 2, drar slutsatsen att punkten O ligger på den vinkelräta bisektrisen mot segmentet BC. Således passerar alla tre vinkelräta bisektrar genom samma punkt, vilket skulle bevisas.

Följd. Vilken triangel som helst kan omges av en cirkel. . Mitten av cirkeln omskriven kring triangeln är den punkt där alla vinkelräta bisektrar dragna till triangelns sidor skär varandra.

Bevis . Låt oss betrakta punkten O, där alla vinkelräta bisektrar dragna till sidorna av triangeln ABC skär varandra (Fig. 6).

När man bevisade sats 3 erhölls följande likhet:

av vilket det följer att cirkeln centrerad vid punkten O och radierna OA , OB , OC passerar genom alla tre hörn av triangeln ABC , vilket skulle bevisas.

Första nivån

omskriven cirkel. Visuell guide (2019)

Den första frågan som kan uppstå är: beskriven – kring vad?

Tja, faktiskt, ibland händer det runt vad som helst, och vi kommer att prata om en cirkel som är omskriven runt (ibland säger de "om") en triangel. Vad är det?

Och tänk dig nu, ett fantastiskt faktum äger rum:

Varför är detta faktum fantastiskt?

Men trianglar är olika!

Och för alla finns det en cirkel som kommer att passera genom alla tre topparna, det vill säga den omskrivna cirkeln.

Och det finns bara för en rektangel:

Väl, och varje triangel har alltid sin egen omskrivna cirkel! Och det är till och med alltid ganska lätt att hitta mitten av denna cirkel.

Vet du vad som är mittvinkelrät?

Låt oss nu se vad som händer om vi betraktar så många som tre vinkelräta bisektrar till triangelns sidor.

Tror du att mitten av den omskrivna cirkeln alltid ligger innanför triangeln? Tänk dig - inte alltid!

Men om spetsig vinklad, sedan - inuti:

Vad ska man göra med en rätvinklig triangel?

Och med en extra bonus:

Eftersom vi talar om radien för den omskrivna cirkeln: vad är den lika med för en godtycklig triangel? Och det finns ett svar på denna fråga: den så kallade.

Nämligen:

Och naturligtvis,

1. Existens och centrum för den omskrivna cirkeln

Se ut så här:

Vi kommer att utföra bevisningen med hjälp av konceptet för punktlokus (LPT).

Här är uppsättningen den mellersta vinkelrät, och egenskapen "" är "att vara på samma avstånd (punkt) från segmentets ändar."

Låt oss kolla? Så du måste se till två saker:

Varje punkt som är lika långt från ändarna av ett segment är på den vinkelräta bisektrisen till den.

Anslut med och med. Då är linjen median och höjd in. Så, - likbent, - såg vi till att varje punkt som ligger på den vinkelräta bisektrisen är lika långt från punkterna och.

Allt! Det har vi till fullo verifierat den vinkelräta bisektaren till ett segment är platsen för punkter på samma avstånd från segmentets ändar.

Det är väl och bra, men har vi glömt bort den omskrivna cirkeln? Inte alls, vi förberedde oss bara ett "brohuvud för attacken".

Tänk på en triangel. Låt oss rita två medianperpendicularer och, säg, till segmenten och. De kommer att skära varandra någon gång, vilket vi kommer att namnge.

Och nu, uppmärksamhet!

Punkten ligger på den vinkelräta bisektaren;
punkten ligger på den vinkelräta bisektrisen.
Och det betyder och.

Flera saker följer av detta:

Först måste punkten ligga på den tredje vinkelräta halveringslinjen, mot segmentet.

Det vill säga, den vinkelräta bisektrisen måste också passera genom punkten, och alla tre vinkelräta halveringslinjerna skär varandra i en punkt.

Observera att sinussatsen säger det för att hitta radien för den omskrivna cirkeln behöver du en sida (vilken som helst!) och vinkeln motsatt den. Och det är allt!

3. Cirkelns mittpunkt - inuti eller utanför

Och nu är frågan: kan centrum av den omskrivna cirkeln ligga utanför triangeln.
Svar: så mycket som möjligt. Dessutom är detta alltid fallet i en trubbig triangel.

Och generellt sett:

CIRKELN. KORT OM HUVUDSAKTEN

1. Cirkel omskriven om en triangel

Detta är en cirkel som passerar genom alla tre hörn i denna triangel.

2. Existens och centrum av den omskrivna cirkeln

Nåväl, ämnet är över. Om du läser de här raderna är du väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du har läst till slutet, då är du i 5%!

Nu det viktigaste.

Du har listat ut teorin om detta ämne. Och, jag upprepar, det är ... det är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För framgångsrikt godkänt av provet, för antagning till institutet på budgeten och, VIKTIGAST, för livet.

Jag kommer inte att övertyga dig om någonting, jag ska bara säga en sak ...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att mycket fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på provet och i slutändan ... lyckligare?

FYLL DIN HAND, LÖS PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

På tentamen blir du inte tillfrågad teori.

Du kommer behöva lösa problem i tid.

Och om du inte har löst dem (MÅS!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte göra det i tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa många gånger för att säkert vinna.

Hitta en samling var du vill nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (inte nödvändigtvis) och vi rekommenderar dem verkligen.

För att få en hand med hjälp av våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på YouClever-läroboken som du just nu läser.

På vilket sätt? Det finns två alternativ:

Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i den här artikeln - 299 rub.
Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i handledningen - 499 rub.

Ja, vi har 99 sådana artiklar i läroboken och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under sajtens hela livslängd.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Sluta bara inte med teori.

"Förstå" och "Jag vet hur man löser" är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös!