Vad betyder identisk lika. Identiska lika uttryck: definition, exempel

När vi studerade algebra stötte vi på begreppen polynom (till exempel ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ och så vidare) och algebraisk bråkdel (till exempel $\frac(x+5)(x) )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ etc.) Likheten mellan dessa begrepp är att både i polynom och i algebraiska bråk finns det variabler och numeriska värden, aritmetiska operationer: addition, subtraktion, multiplikation, exponentiering. Skillnaden mellan dessa begrepp är att division med en variabel inte utförs i polynom, medan division med en variabel kan utföras i algebraiska bråk.

Både polynom och algebraiska bråk kallas rationella algebraiska uttryck i matematik. Men polynom är heltalsrationella uttryck, och algebraiska bråk är det bråkdel rationell uttryck.

Du kan få ett heltal från ett bråkrationellt uttryck algebraiska uttryck genom att använda den identiska transformationen, som i detta fall kommer att vara huvudegenskapen för en fraktion - reduktion av fraktioner. Låt oss kolla upp det i praktiken:

Exempel 1

Transformera:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Beslut: Konvertera givet rationell bråkekvation möjligt genom att använda huvudegendomen bråk - förkortningar, dvs. dividera täljaren och nämnaren med samma tal eller uttryck annat än $0$.

Denna bråkdel kan inte reduceras omedelbart, det är nödvändigt att konvertera täljaren.

Vi transformerar uttrycket i täljaren för bråket, för detta använder vi formeln för kvadraten av skillnaden: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Bråket har formen

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\vänster(x-2\höger)(x-2))(x-2)\]

Nu ser vi att det finns en gemensam faktor i täljaren och nämnaren - detta är uttrycket $x-2$, på vilket vi kommer att reducera bråket

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\vänster(x-2\höger)(x-2))(x-2)=x-2\]

Efter reducering får vi det originalet fraktionerat rationellt uttryck$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ har blivit ett polynom $x-2$, dvs. helt rationell.

Låt oss nu uppmärksamma det faktum att uttrycken $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ och $x-2\ $ kan anses vara identiska inte för alla värden av variabeln, eftersom för att ett bråkrationellt uttryck ska existera och för att reduktionen med polynomet $x-2$ ska vara möjlig, får bråkets nämnare inte vara lika med $0$ (liksom den faktor som vi reducerar med. I detta exempel nämnaren och multiplikatorn är samma, men så är inte alltid fallet).

Variabelvärden för vilka den algebraiska bråkdelen kommer att existera kallas giltiga variabelvärden.

Vi sätter ett villkor på bråkets nämnare: $x-2≠0$, sedan $x≠2$.

Så uttrycken $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ och $x-2$ är identiska för alla värden av variabeln utom $2$.

Definition 1

identiskt lika uttryck är de som är lika för alla möjliga värden av variabeln.

En identisk transformation är varje ersättning av det ursprungliga uttrycket med ett identiskt likadant. Sådana transformationer inkluderar följande åtgärder: addition, subtraktion, multiplikation, parentes algebraiska bråk till en gemensam nämnare, reduktion av algebraiska bråk, reduktion av liknande termer osv. Det måste beaktas att ett antal transformationer, såsom reduktion, minskning av liknande termer, kan ändra de tillåtna värdena för variabeln.

Tekniker som används för att bevisa identiteter

Konvertera den vänstra sidan av identiteten till den högra sidan eller vice versa med hjälp av identitetstransformationer

Reducera båda delarna till samma uttryck med identiska transformationer

Överför uttrycken i en del av uttrycket till en annan och bevisa att den resulterande skillnaden är lika med $0$

Vilken av ovanstående metoder som ska användas för att bevisa en given identitet beror på den ursprungliga identiteten.

Exempel 2

Bevisa identiteten $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Beslut: För att bevisa denna identitet använder vi den första av ovanstående metoder, nämligen vi kommer att transformera den vänstra sidan av identiteten tills den är lika med den högra sidan.

Betrakta den vänstra sidan av identiteten: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- det är skillnaden mellan två polynom. I det här fallet är det första polynomet kvadraten på summan av tre termer. För att kvadrera summan av flera termer använder vi formeln:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

För att göra detta måste vi multiplicera ett tal med ett polynom. Kom ihåg att vi för detta måste multiplicera den gemensamma faktorn utanför parentes med varje term i polynomet inom parentes. Då får vi:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Tillbaka till det ursprungliga polynomet kommer det att ta formen:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Observera att det finns ett "-"-tecken framför konsolen, vilket betyder att när konsolerna öppnas ändras alla tecken som fanns i parentesen till de motsatta.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Om vi tar med liknande termer så får vi att monomialerna $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ och $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ tar bort varandra, d.v.s. deras summa är lika med $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Så genom identiska transformationer fick vi det identiska uttrycket på vänster sida av den ursprungliga identiteten

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Observera att det resulterande uttrycket visar att den ursprungliga identiteten är sann.

Observera att i den ursprungliga identiteten är alla värden för variabeln tillåtna, vilket betyder att vi har bevisat identiteten med identiska transformationer, och det är sant för alla tillåtna värden för variabeln.

Siffrorna och uttrycken som utgör det ursprungliga uttrycket kan ersättas med uttryck som är identiskt lika med dem. En sådan omvandling av det ursprungliga uttrycket leder till ett uttryck som är identiskt lika med det.

Till exempel, i uttrycket 3+x kan talet 3 ersättas med summan 1+2 , vilket resulterar i uttrycket (1+2)+x , som är identiskt lika med det ursprungliga uttrycket. Ett annat exempel: i uttrycket 1+a 5 kan graden av en 5 ersättas med en produkt som är identisk med den, till exempel av formen a·a 4 . Detta ger oss uttrycket 1+a·a 4 .

Denna transformation är utan tvekan konstgjord och är vanligtvis en förberedelse för ytterligare transformation. Till exempel, i summan 4·x 3 +2·x 2, med hänsyn till gradens egenskaper, kan termen 4·x 3 representeras som en produkt 2·x 2 ·2·x . Efter en sådan transformation kommer det ursprungliga uttrycket att ha formen 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Uppenbarligen har termerna i den resulterande summan en gemensam faktor 2 x 2, så vi kan utföra följande transformation - parenteser. Efter det kommer vi till uttrycket: 2 x 2 (2 x+1) .

Addera och subtrahera samma tal

En annan artificiell transformation av ett uttryck är addition och subtraktion av samma tal eller uttryck samtidigt. En sådan transformation är identisk, eftersom den i själva verket är ekvivalent med att lägga till noll, och att lägga till noll ändrar inte värdet.

Tänk på ett exempel. Låt oss ta uttrycket x 2 +2 x . Om du lägger till en till den och subtraherar en, kommer detta att tillåta dig att utföra en annan identisk transformation i framtiden - välj kvadraten på binomialen: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografi.

Algebra: lärobok för 7 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 17:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 240 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 7 grader. Kl 14. Del 1. Elevens lärobok läroinstitut/ A. G. Mordkovich. - 17:e upplagan, tillägg. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Grundläggande egenskaper för addition och multiplikation av tal.

Kommutativ egenskap för addition: när termerna ordnas om ändras inte värdet på summan. För alla tal a och b är likheten sann

Den associativa egenskapen för addition: för att lägga till ett tredje tal till summan av två tal, kan du lägga till summan av det andra och tredje till det första talet. För alla tal a, b och c är likheten sann

Kommutativ egenskap för multiplikation: permutation av faktorer ändrar inte produktens värde. För alla tal a, b och c är likheten sann

Den associativa egenskapen för multiplikation: för att multiplicera produkten av två tal med ett tredje tal, kan du multiplicera det första talet med produkten av det andra och tredje.

För alla tal a, b och c är likheten sann

Fördelningsegenskap: För att multiplicera ett tal med en summa kan du multiplicera det talet med varje term och lägga till resultaten. För alla tal a, b och c är likheten sann

Det följer av additionens kommutativa och associativa egenskaper att du i vilken summa som helst kan ordna om termerna som du vill och kombinera dem i grupper på ett godtyckligt sätt.

Exempel 1 Låt oss räkna ut summan 1,23+13,5+4,27.

För att göra detta är det bekvämt att kombinera den första termen med den tredje. Vi får:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Det följer av multiplikationens kommutativa och associativa egenskaper: i vilken produkt som helst kan du ordna om faktorerna på vilket sätt som helst och godtyckligt kombinera dem i grupper.

Exempel 2 Låt oss hitta värdet på produkten 1,8 0,25 64 0,5.

Genom att kombinera den första faktorn med den fjärde och den andra med den tredje kommer vi att ha:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Fördelningsegenskapen är också giltig när talet multipliceras med summan av tre eller fler termer.

Till exempel, för alla tal a, b, c och d, är likheten sann

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Vi vet att subtraktion kan ersättas med addition genom att addera till minuend det motsatta talet till subtrahenden:

Detta tillåter ett numeriskt uttryck typ a-b betrakta summan av siffrorna a och -b, betrakta ett numeriskt uttryck av formen a + b-c-d som summan av talen a, b, -c, -d, etc. De övervägda egenskaperna för åtgärder är också giltiga för sådana summor.

Exempel 3 Låt oss hitta värdet på uttrycket 3,27-6,5-2,5+1,73.

Detta uttryck är summan av talen 3,27, -6,5, -2,5 och 1,73. Om vi tillämpar additionsegenskaperna får vi: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -fyra.

Exempel 4 Låt oss beräkna produkten 36·().

Multiplikatorn kan ses som summan av talen och -. Med hjälp av den fördelande egenskapen för multiplikation får vi:

36()=36-36=9-10=-1.

Identiteter

Definition. Två uttryck vars motsvarande värden är lika för alla värden av variablerna sägs vara identiskt lika.

Definition. En likhet som är sann för alla värden av variablerna kallas en identitet.

Låt oss hitta värdena för uttrycken 3(x+y) och 3x+3y för x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Vi fick samma resultat. Det följer av den fördelande egenskapen att i allmänhet, för alla värden på variablerna, är motsvarande värden för uttrycken 3(x+y) och 3x+3y lika.

Betrakta nu uttrycken 2x+y och 2xy. För x=1, y=2 tar de lika värden:

Du kan dock ange x- och y-värden så att värdena för dessa uttryck inte är lika. Till exempel, om x=3, y=4, då

Uttrycken 3(x+y) och 3x+3y är identiskt lika, men uttrycken 2x+y och 2xy är inte identiskt lika.

Likheten 3(x+y)=x+3y, sant för alla värden på x och y, är en identitet.

Sanna numeriska likheter betraktas också som identiteter.

Så, identiteter är likheter som uttrycker de viktigaste egenskaperna hos åtgärder på siffror:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Andra exempel på identiteter kan ges:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identitetstransformationer av uttryck

Ersättandet av ett uttryck med ett annat, identiskt lika med det, kallas identitetsförvandling eller helt enkelt genom att konvertera ett uttryck.

Identiska transformationer av uttryck med variabler utförs baserat på egenskaperna för operationer på tal.

För att hitta värdet på uttrycket xy-xz givet värdena x, y, z måste du utföra tre steg. Till exempel, med x=2,3, y=0,8, z=0,2 får vi:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Detta resultat kan erhållas i endast två steg, med hjälp av uttrycket x(y-z), som är identiskt lika med uttrycket xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Vi har förenklat beräkningarna genom att ersätta uttrycket xy-xz med det identiska lika uttryck x(y-z).

Identitetstransformationer av uttryck används i stor utsträckning för att beräkna värden på uttryck och lösa andra problem. Vissa identiska transformationer har redan utförts, till exempel minskning av liknande termer, öppnande av parentes. Kom ihåg reglerna för att utföra dessa transformationer:

för att få liknande termer måste du lägga till deras koefficienter och multiplicera resultatet med den gemensamma bokstavsdelen;

om det finns ett plustecken framför parenteserna, kan parenteserna utelämnas, och behåller tecknet för varje term inom parentes;

om det finns ett minustecken före parenteserna kan parentesen utelämnas genom att ändra tecknet för varje term inom parentes.

Exempel 1 Låt oss lägga till lika termer i summan 5x+2x-3x.

Vi använder regeln för att reducera liknande termer:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Denna transformation är baserad på multiplikationens fördelningsegenskap.

Exempel 2 Låt oss utöka parenteserna i uttrycket 2a+(b-3c).

Tillämpa regeln för att öppna parenteser som föregås av ett plustecken:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Den utförda transformationen baseras på den associativa egenskapen addition.

Exempel 3 Låt oss utöka parenteserna i uttrycket a-(4b-c).

Låt oss använda regeln för att expandera parenteser som föregås av ett minustecken:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Den utförda transformationen är baserad på den fördelande egenskapen multiplikation och den associativa egenskapen addition. Låt oss visa det. Låt oss representera den andra termen -(4b-c) i detta uttryck som en produkt (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Genom att tillämpa dessa egenskaper hos åtgärder får vi:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Identitetsyttringar, identitet. Identitetsomvandling av ett uttryck. Identitetsbevis

Låt oss hitta värdena för uttrycken 2(x - 1) 2x - 2 för de givna värdena för variabeln x. Vi skriver resultatet i en tabell:

Man kan dra slutsatsen att värdena för uttrycken 2(x - 1) 2x - 2 för varje givet värde variabel x är lika med varandra. Enligt den fördelande egenskapen för multiplikation med avseende på subtraktion 2(x - 1) = 2x - 2. Därför, för alla andra värden på variabeln x, kommer värdet av uttrycket 2(x - 1) 2x - 2 också att vara lika med varandra. Sådana uttryck kallas identiskt lika.

Till exempel är uttrycken 2x + 3x och 5x synonymer, eftersom dessa uttryck för varje värde på variabeln x förvärvar samma värden(detta följer av den fördelande egenskapen multiplikation med avseende på addition, eftersom 2x + 3x = 5x).

Betrakta nu uttrycken 3x + 2y och 5xy. Om x \u003d 1 och b \u003d 1, då är motsvarande värden för dessa uttryck lika med varandra:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Du kan dock ange x- och y-värden för vilka värdena för dessa uttryck inte kommer att vara lika med varandra. Till exempel, om x = 2; y = 0, alltså

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Följaktligen finns det sådana värden för variablerna för vilka motsvarande värden för uttrycken 3x + 2y och 5xy inte är lika med varandra. Därför är uttrycken 3x + 2y och 5xy inte identiskt lika.

Baserat på det föregående är identiteter i synnerhet likheter: 2(x - 1) = 2x - 2 och 2x + 3x = 5x.

En identitet är varje jämlikhet, som skrivs kända egenskaperåtgärder på siffror. Till exempel,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Det finns också sådana likheter som identiteter:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Om vi reducerar liknande termer i uttrycket -5x + 2x - 9, får vi att 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. I det här fallet säger de att uttrycket 5x + 2x - 9 ersattes av uttrycket 7x - 9, som är identisk med den.

Identiska transformationer av uttryck med variabler utförs genom att tillämpa egenskaperna för operationer på tal. I synnerhet identiska transformationer med öppning av parentes, konstruktion av liknande termer och liknande.

Identiska transformationer måste utföras när man förenklar uttrycket, det vill säga ersätter något uttryck med ett uttryck som är identiskt lika med det, som bör vara kortare.

Exempel 1. Förenkla uttrycket:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

För att bevisa att jämlikhet är en identitet (med andra ord, för att bevisa identitet använder man identitetstransformationer av uttryck.

Du kan bevisa identiteten på något av följande sätt:

utföra identiska transformationer av dess vänstra sida, och därigenom reducera den till formen av höger sida;
utföra identiska transformationer av sin högra sida, och därigenom reducera den till formen av den vänstra sidan;
utföra identiska transformationer av båda dess delar, och därigenom höja båda delarna till samma uttryck.

Exempel 2. Bevisa identiteten:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206-4a = 5(2a-3b)-7(2a-5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Utveckling

1) Låt oss förvandla den vänstra sidan av denna jämlikhet:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Genom identiska transformationer reducerades uttrycket på vänster sida av jämlikheten till formen av höger sida och bevisade därmed att denna jämlikhet är en identitet.

2) Låt oss förvandla den högra sidan av denna jämlikhet:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Genom identiska transformationer reducerades den högra sidan av jämlikheten till formen av den vänstra sidan och bevisade därmed att denna jämlikhet är en identitet.

3) I det här fallet är det bekvämt att förenkla både vänster och höger del av jämlikheten och jämföra resultaten:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Genom identiska transformationer reducerades de vänstra och högra delarna av jämlikheten till samma form: 26x - 44. Därför är denna jämlikhet en identitet.

Vilka uttryck kallas identiska? Ge ett exempel på identiska uttryck. Vilken jämlikhet kallas identitet? Ge ett exempel på identitet. Vad kallas ett uttrycks identitetstransformation? Hur bevisar man identitet?

(Oralt) Eller så finns det identiska uttryck:

1) 2a + a och 3a;

2) 7x + 6 och 6 + 7x;

3) x + x + x och x3;

4) 2(x-2) och 2x-4;

5) m - n och n - m;

6) 2a ∙ r och 2p ∙ a?

Är uttrycken identiska lika:

1) 7x - 2x och 5x;

2) 5a-4 och 4-5a;

3) 4m + n och n + 4m;

4) a + a och a 2;

5) 3(a-4) och 3a-12;

6) 5m ∙ n och 5m + n?

(Verbalt) Är jämlikhetens identitet:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Öppna parentes:

Öppna parentes:

Minska liknande termer:

Nämn flera uttryck som är identiska med uttryck 2a + 3a.
Förenkla uttrycket med hjälp av de permuterande och konjunktiva egenskaperna för multiplikation:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Förenkla uttrycket:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Verbal) Förenkla uttrycket:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Minska liknande termer:

1) 56-8a + 4b-a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7-9a)-(4-18a);

3) 3(2p-7)-2(g-3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Öppna parenteserna och reducera liknande termer:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p-2(3p-1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20) om x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4 om a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), om m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y om x = -1, y = 1.

Förenkla uttrycket och hitta dess värde:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4) om x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, om v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), om a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n om m = 1,8; n = -0,9.

Bevisa identiteten:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Bevisa identiteten:

1) -(m-3n) = 3n-m;

2) 7(2-p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Längden på en av triangelns sidor är en cm, och längden på var och en av de andra två sidorna är 2 cm mer än den. Skriv triangelns omkrets som ett uttryck och förenkla uttrycket.
Bredden på rektangeln är x cm och längden är 3 cm mer än bredden. Skriv rektangelns omkrets som ett uttryck och förenkla uttrycket.

1) x-(x-(2x-3));

2) 5m-((n-m) + 3n);

3) 4p- (3p- (2p- (r + 1)));

4) 5x-(2x-((y-x)-2y));

5) (6a - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Utöka parenteserna och förenkla uttrycket:

1) a-(a-(3a-1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (la - Ib).

Bevisa identiteten:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a-b-c) + 5(a-b) + 3c = 8(a-b).

Bevisa identiteten:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Bevisa att värdet av uttrycket

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) beror inte på variabelns värde.

Bevisa att för vilket värde av variabeln som helst, värdet på uttrycket

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

är samma nummer.

Bevisa att summan av tre på varandra följande jämna tal är delbar med 6.
Bevisa att om n är ett naturligt tal, så är värdet av uttrycket -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) ett jämnt tal.

Övningar att upprepa

En legering som väger 1,6 kg innehåller 15 % koppar. Hur många kg koppar finns i denna legering?
Hur många procent är nummer 20 av dess:

1) kvadratisk;

Turisten gick i 2 timmar och cyklade i 3 timmar. Totalt tillryggalade turisten 56 km. Hitta hastigheten med vilken turisten cyklade om den är 12 km/h högre än hastigheten med vilken han gick.

Intressanta uppgifter för lata elever

11 lag deltar i stadsmästerskapet i fotboll. Varje lag spelar en match med de andra. Bevisa att det när som helst under tävlingen finns ett lag som har spelat ett jämnt antal matcher eller inte har spelat några ännu.