Vse o podobnih trikotnikih. Podobni trikotniki

Dva trikotnika se praviloma štejeta za podobna, če imata enako obliko, tudi če sta različnih velikosti, zasukana ali celo obrnjena na glavo.

Matematični prikaz dveh podobnih trikotnikov A 1 B 1 C 1 in A 2 B 2 C 2, prikazan na sliki, je zapisan takole:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Dva trikotnika sta podobna, če:

1. Vsak kot enega trikotnika je enak ustreznemu kotu drugega trikotnika:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 in ∠C1 = ∠C2

2. Razmerja med stranicami enega trikotnika in ustreznimi stranicami drugega trikotnika sta med seboj enaka:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Odnosi dve strani enega trikotnika na ustrezni strani drugega trikotnika sta enaki med seboj in hkrati
koti med tema stranicama so enaki:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ in $\angle A_1 = \angle A_2$
oz
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ in $\angle B_1 = \angle B_2$
oz
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ in $\angle C_1 = \angle C_2$

Podobnih trikotnikov ne smemo zamenjevati z enakimi trikotniki. Kongruentni trikotniki imajo ustrezne dolžine stranic. Torej za enake trikotnike:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Iz tega sledi, da vse enakih trikotnikov so podobni. Vendar pa niso vsi podobni trikotniki enaki.

Čeprav zgornji zapis kaže, da moramo, da bi ugotovili, ali sta dva trikotnika podobna ali ne, poznati vrednosti treh kotov ali dolžine treh stranic vsakega trikotnika, za reševanje problemov s podobnimi trikotniki, je dovolj, da poznamo katere koli tri vrednosti iz zgornjih za vsak trikotnik. Te vrednosti so lahko v različnih kombinacijah:

1) trije koti vsakega trikotnika (dolžine stranic trikotnikov ni treba poznati).

Ali pa morata biti vsaj 2 kota enega trikotnika enaka 2 kotoma drugega trikotnika.
Ker če sta 2 kota enaka, bo tudi tretji kot enak (vrednost tretjega kota je 180 - kot1 - kot2)

2) dolžine stranic vsakega trikotnika (kotov ni treba poznati);

3) dolžine obeh stranic in kot med njima.

Nato razmislimo o rešitvi nekaterih problemov s podobnimi trikotniki. Najprej si bomo ogledali probleme, ki jih je mogoče rešiti neposredno z uporabo zgornjih pravil, nato pa bomo razpravljali o nekaterih praktičnih problemih, ki jih je mogoče rešiti z metodo podobnih trikotnikov.

Praktični problemi s podobnimi trikotniki

Primer #1: Pokažite, da sta si trikotnika na spodnji sliki podobna.

rešitev:
Ker so dolžine stranic obeh trikotnikov znane, lahko tukaj uporabimo drugo pravilo:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Primer #2: Pokažite, da sta dva podana trikotnika podobna in poiščite dolžini stranic PQ in PR.

rešitev:
∠A = ∠P in ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(ker ∠C = 180 - ∠A - ∠B in ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Iz tega sledi, da sta si trikotnika ∆ABC in ∆PQR podobna. posledično:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 $ in
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Primer #3: Določite dolžino AB v tem trikotniku.

rešitev:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED in ∠A skupni => trikotniki ΔABC in ΔADE so podobni.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Primer #4: Določite dolžino AD(x) geometrijski lik na sliki.

Trikotnika ∆ABC in ∆CDE sta podobna, ker AB || DE in imajo skupno zgornji kot C.
Vidimo, da je en trikotnik pomanjšana različica drugega. Vendar moramo to matematično dokazati.

AB || DE, CD || AC in BC || EU
∠BAC = ∠EDC in ∠ABC = ∠DEC

Na podlagi zgoraj navedenega in ob upoštevanju prisotnosti skupnega kota C, lahko trdimo, da sta si trikotnika ∆ABC in ∆CDE podobna.

posledično:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 $
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktični primeri

Primer #5: Tovarna uporablja poševni transportni trak za transport izdelkov od nivoja 1 do nivoja 2, ki je 3 metre nad nivojem 1, kot je prikazano na sliki. Poševni transporter se servisira od enega konca do nivoja 1 in od drugega konca do delovne postaje, ki se nahaja na razdalji 8 metrov od delovne točke nivoja 1.

Tovarna želi nadgraditi transportni trak za dostop do novega nivoja, ki je 9 metrov nad nivojem 1, pri tem pa ohraniti kot transportnega traku.

Določite razdaljo, na kateri morate postaviti novo delovno postajo, da zagotovite, da transporter deluje na svojem novem koncu na nivoju 2. Izračunajte tudi dodatno razdaljo, ki jo bo izdelek prevozil ob prehodu na novo raven.

rešitev:

Najprej označimo vsako presečišče s posebno črko, kot je prikazano na sliki.

Na podlagi sklepanja, podanega zgoraj v prejšnjih primerih, lahko sklepamo, da sta si trikotnika ∆ABC in ∆ADE podobna. posledično

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Tako mora biti nova točka nameščena na razdalji 16 metrov od obstoječe točke.

In ker je struktura sestavljena iz pravokotnih trikotnikov, lahko izračunamo potovalno razdaljo izdelka na naslednji način:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Podobno je $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
kar je razdalja, v kateri izdelek potuje ta trenutek ob vstopu na obstoječo raven.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
To je dodatna razdalja, ki jo mora izdelek prepotovati, da doseže novo raven.

Primer #6: Steve želi obiskati svojega prijatelja, ki se je pred kratkim preselil k nova hiša. Zemljevid poti do Steva in hiše njegovega prijatelja, skupaj z razdaljami, ki jih Steve pozna, je prikazan na sliki. Pomagaj Stevu priti do prijateljeve hiše po najkrajši poti.

rešitev:

Načrt lahko geometrijsko predstavimo v naslednji obliki, kot je prikazano na sliki.

Vidimo, da sta si trikotnika ∆ABC in ∆CDE podobna, torej:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Izjava naloge navaja, da:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km in DE = 5 km

Na podlagi teh podatkov lahko izračunamo naslednje razdalje:

$BC = \frac(AB \krat CD)(DE) = \frac(15 \krat 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \krat CD)(BC) = \frac(13,13 \krat 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve lahko pride do prijateljeve hiše po naslednjih poteh:

A -> B -> C -> E -> G, skupna razdalja je 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, skupna razdalja je 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, skupna razdalja je 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, skupna razdalja je 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Zato je pot #3 najkrajša in se lahko ponudi Stevu.

7. primer:
Trisha hoče izmeriti višino hiše, pa je nima prava orodja. Opazila je, da pred hišo raste drevo in se odločila, da bo s svojo iznajdljivostjo in znanjem iz geometrije, pridobljena v šoli, določila višino objekta. Izmerila je razdaljo od drevesa do hiše, rezultat je bil 30 m. Nato je stala pred drevesom in se začela umikati, dokler ni bil nad vrhom drevesa viden zgornji rob stavbe. Trisha je označila mesto in izmerila razdaljo od njega do drevesa. Ta razdalja je bila 5 m.

Višina drevesa je 2,8 m, višina Trishinih oči pa 1,6 m. Pomagaj Trishi določiti višino stavbe.

rešitev:

Geometrijski prikaz problema je prikazan na sliki.

Najprej uporabimo podobnost trikotnikov ∆ABC in ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \krat (5 + AC) = 8 + 1,6 \krat AC$

$(2,8 - 1,6) \krat AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Nato lahko uporabimo podobnost trikotnikov ∆ACB in ∆AFG ali ∆ADE in ∆AFG. Izberimo prvo možnost.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \rightarrow H = \frac(1,6) )(0,16) = 10 m$

1.2. Opredelitev podobnih trikotnikov. Opredelitev. Za dva trikotnika pravimo, da sta podobna, če sta njuna kota enaka in so stranice enega trikotnika sorazmerne s podobnimi stranicami drugega trikotnika. Z drugimi besedami, dva trikotnika sta podobna, če ju lahko označimo s črkama ABC in A1B1C1, tako da je A= A1, B= B1, C= C1. Število k, ki je enako razmerju med podobnimi stranicami trikotnikov, se imenuje koeficient podobnosti.

Diapozitiv 9 iz predstavitve ""Podobni trikotniki" 8. razred". Velikost arhiva s predstavitvijo je 1756 KB.

Geometrija 8. razred

povzetek druge predstavitve

""Kvadrat" 8. razred" - Ustne naloge. Kvadrat. Torba s kvadratnim dnom. Bogat trgovec. Kvadrat je pravokotnik z vsemi stranicami enakimi. Kvadratno območje. Obod kvadrata. Kvadratni znaki. Naloge za ustno delo na območju kvadrata. Kvadratne lastnosti. Koliko kvadratov je prikazanih na sliki. Črni kvadrat. Naloge za ustno delo po obodu kvadrata. Trg je med nami.

"Točkovni produkt v koordinatah" - Lastnosti skalarnega produkta vektorjev. Test iz matematike. Posledica. Izmenjava kartic. nov material. Napoleonov izrek. Vektor. Skalarni produkt v koordinatah in njegovih lastnostih. Dokaz pitagorejskega izreka. Rešitev trikotnika. Geometrija. Matematični trening. Rešimo nalogo. Ime avtorja izreka.

»Formule opisanega in vpisanega kroga« – Delo z učbenikom. Trapez. Vsota dolžin nasprotnih stranic. Koti vpisanega štirikotnika. Ogljišča trikotnika. Središče kroga. Izberite pravilno izjavo. Dokončaj stavek. trikotnik. Vpisani in opisani krogi. Središče opisanega kroga. Krog. Točka presečišča. Vsota nasprotnih kotov. ustno delo. Višina.

"Geometrija "Podobni trikotniki"" - Prvi znak podobnosti trikotnikov. sorazmerni rezi. Reševanje problema. Obe strani trikotnika sta povezani s segmentom, ki ni vzporeden s tretjim. Stranice trikotnika. Vrednosti sinusa, kosinusa in tangenta. Srednja črta trikotnika. Vrednosti sinusa, kosinusa in tangente za kote 30°, 45°, 60°. Matematični narek. Glavni trigonometrična identiteta. Nadaljevanje stranic. Tretji znak podobnosti trikotnikov.

""Površina pravokotnika" Razred 8" - Poiščite površino štirikotnika. Lastnosti območja. Na strani AB je narisan paralelogram. ABCD in DSMK sta kvadrata. Območje štirikotnika ASKM. Stranice vsakega od pravokotnikov. Območje pravokotnika. Površinske enote. Poiščite površino trikotnika. Poligon je sestavljen iz več poligonov. Poiščite površino šesterokotnika. Poiščite površino kvadrata. enote. ABCD je paralelogram.

"Koncept vektorja" - Zero vektor. Odlaganje vektorja iz dane točke. Enakokraki trapez. Kaj je vektor. Kolinearni vektorji. dva neničelni vektorji. Dva neničelna vektorja sta kolinearna. Označite na risbi. Sklic na zgodovino. Vektorji smeri. Koncept geometrijskega vektorja. Naloga. Paralelogram. Vektorji. Dolžina vektorja. Vektorska enakost.

Podobni trikotniki Za dva trikotnika pravimo, da sta podobna, če sta kota enega enaka kotom drugega in so ustrezni strani sorazmerni. Koeficient sorazmernosti se imenuje koeficient podobnosti. Tako je trikotnik ABC podoben trikotniku A 1 B 1 C 1, če je A = A 1, B = B 1, C = C 1 in kjer je k koeficient podobnosti.

Prvi znak podobnosti Teorem. (Prvi znak podobnosti.) Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega trikotnika, sta si takšna trikotnika podobna. Dokaz. Naj v trikotniku ABC in A 1 B 1 C 1 A = A 1, B= B 1. Potem je C= C 1. Dokažimo to. Na žarek A 1 B 1 narišemo odsek A 1 B "enak AB in narišemo ravno črto B" C "vzporedno z B 1 C 1. Trikotnika A 1 B" C "in ABC sta enaka (po drugi kriterij za enakost trikotnikov). Po izreku o sorazmernih odsekih se zgodi enakost. Torej imamo enakost, dokazano je, da poteka enakost trikotniki so podobni.

1. vprašanje Kateri trikotniki se imenujejo podobni? Odgovor: Za dva trikotnika pravimo, da sta si podobna, če sta kota enega enaka kotom drugega in sta ustrezni strani sorazmerni.

2. vprašanje Formulirajte trikotnike. Prvi znak podobnosti Odgovor: Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega trikotnika, sta si takšna trikotnika podobna.

3. vprašanje Ali sta si katera koli dva: a) enakostranična trikotnika podobna? b) enakokraki trikotniki; c) enakokraki pravokotni trikotniki? Odgovor: a) Da; b) ne; c) da.

4. vaja Nariši trikotnik A'B'C', podoben danemu trikotniku ABC, s faktorjem podobnosti 0,5. Odgovor:

5. vaja Stranice trikotnika so 5 cm, 8 cm in 10 cm Poišči stranice podobnega trikotnika, če je koeficient podobnosti: a) 0,5; b) 2. Odgovor: a) 2,5 cm, 4 cm in 5 cm; b) 10 cm, 16 cm in 20 cm.

6. vaja Ali so pravokotni trikotniki podobni, če ima eden od njih kot 40 o, drugi pa 50 o? Odgovor: Da.

7. vaja Dva trikotnika sta podobna. Dva kota enega trikotnika sta enaka 55 o in 80 o. Poiščite najmanjši kot drugega trikotnika. Odgovor: 45 o.

Vaja 8 V podobnih trikotnikih ABC in A 1 B 1 C 1 AB = 8 cm, BC = 10 cm, A 1 B 1 = 5,6 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm. Poiščite AC in B 1 C 1 .Odgovor: AC=15cm, B 1 C 1=7cm.

Vaja 9 Trikotniki ABC in A 1 B 1 C 1 A \u003d A 1, B \u003d B 1, AB \u003d 5 m, BC \u003d 7 m, A 1 B 1 \u003d 10 m, A 1 C 1 \u0 8 m. Poiščite preostale stranice trikotnikov. Odgovor: AC = 4 m, B 1 C 1 = 14 m.

10. vaja Stranice trikotnika so povezane kot 5: 3: 7. Poišči stranice podobnega trikotnika, pri katerem: a) je obseg 45 cm; b) manjša stranica je 5 cm; c) največja stranica je 7 cm; d) razlika med večjo in manjšo stranico je 2 cm Odgovor: a) 15 cm, 9 cm, 21 cm; b) 8 cm, 5 cm, 11 cm; c) 5 cm, 3 cm, 7 cm; d) 2,5 cm, 1,5 cm, 3,5 cm.

11. vaja Na sliki označi vse podobne trikotnike. Odgovor: a) ABC, FEC, DBE; b) ABC, GFC, AGD, FBE; c) ABC, CDA, AEB, BEC; d) AOB, COD; e) ABC in FGC; ADC in FEC; DBC in EGC.

12. vaja Dva enakokraka trikotnika imata med stranicama enaka kota. Stran in osnova enega trikotnika sta 17 cm oziroma 10 cm, osnova drugega pa 8 cm. Poiščite njegovo stran. Odgovor: 13,6 cm.

13. vaja V trikotnik s stranico a in višino h spuščeno nanj je vpisan kvadrat tako, da dve njegovi oglišči ležita na tej strani trikotnika, drugi dve pa na drugih dveh straneh trikotnika. Poiščite stran kvadrata. Odgovor: .

Vaja 14 Romb ADEF je vpisan v trikotnik ABC, tako da imata skupni kot, oglišče E pa je na strani BC. Poiščite stran romba, če je AB = c in AC = b. Odgovor: .

15. vaja Ali je mogoče presekati trikotnik z ravno črto, ki ni vzporedna z osnovo, da bi od nje odrezali podoben trikotnik? V katerem primeru je nemogoče? Odgovor: Možno je, če trikotnik ni enakostranični.

16. vaja Naj sta AC in BD krožni tetivi, ki se sekata v točki E. Dokaži, da sta si trikotnika ABE in CDE podobna. Dokaz: Kot A trikotnika ABE je enak kotu D trikotnika CDE, kot so vpisani koti, ki temeljijo na enem krožnem loku. Podobno je kot B enak kotu C. Zato sta si trikotnika ABE in CDE v prvem kriteriju podobna.

17. vaja Na sliki AE = 3, BE = 6, CE = 2. Poišči DE. Odgovor: 4.

18. vaja Na sliki AB = 8, BE = 6, DE = 4. Poiščite CD. Odgovor: .

19. vaja Na sliki CE = 2, DE = 5, AE = 4. Poišči BE. Odgovor: 10.

20. vaja Na sliki CE = 4, CD = 10, AE = 6. Poišči AB. Odgovor: 15.

Vaja 21 Na sliki DL je simetrala trikotnika DEF, vpisana v krog. DL seka krožnico v točki K, ki je z premičnimi odseki povezana z ogliščema E in F trikotnika. Poiščite podobne trikotnike. Odgovor: DEK in DLF, DEK in ELK, DLF in ELK, DFK in DLE, DFK in FLK, DLE in FLK.

22. vaja Vpisana v krog ostri trikotnik ABC, AH je njegova višina, AD je premer kroga, ki seka stran BC v točki M. Točka D je povezana z ogliščema B in C trikotnika. Poiščite podobne trikotnike. Odgovor: ABH in ADC, ACH in ADB, ABM in CDM, BMD in AMC.

Vaja 23 Dokaži, da je zmnožek odsekov katere koli tetive, vlečenih skozi notranjo točko kroga, enak zmnožku odsekov premera, vlečenih skozi isto točko. Rešitev. Naj je podan krog s središčem v točki O, tetiva AB in premer CD se sekata v točki E. Dokažimo, da sta si trikotnika ACE in DBE podobna. Zato pomeni

24. vaja Skozi zunanjo točko E kroga sta potegnjeni dve ravni črti, ki krožnico sekata v točkah A, C in B, D. Dokaži, da sta si trikotnika ADE in BCE podobna. Dokaz: Kot D trikotnika ADE je enak kotu C trikotnika BCE, kot so vpisani koti, ki temeljijo na enem krožnem loku. Kot E teh trikotnikov je skupen. Zato sta si trikotnika ADE in BCE v prvem elementu podobna.

Vaja 25 Skozi zunanjo točko E kroga sta narisani dve ravni črti, ki krožnico sekata v točkah A, C in B, D. Dokaži, da je AE·CE = BE·DE. Dokaz: Trikotnika ADE in BCE sta si podobna. Torej AE: DE = BE: CE. Zato je AE CE = BE DE.

26. vaja Na sliki je AE = 9, BE = 8, CE = 24. Poišči DE. Odgovor: 27.

Vaja 27 Skozi zunanjo točko E kroga je potegnjena črta, ki krožnico seka v točkah A in B, ter tangento EC (C je stična točka). Dokaži, da sta si trikotnika EAC in ECB podobna. Dokaz. Trikotnika EAC in ECB imata skupni kot E. Kota ACE in CBE sta enaka, prav tako kota, ki temeljijo na isti tetivi. Zato sta si trikotnika EAC in ECB podobna.

Vaja 28 Skozi zunanjo točko E kroga je potegnjena črta, ki krožnico seka v točkah A in B, ter tangento EC (C je stična točka). Dokaži, da je produkt odsekov AE in BE sekanse enak kvadratu odseka CE tangente. Dokaz. Trikotnika EAC in ECB sta si podobna. Zato je AE: CE = CE: BE, torej AE BE = CE 2.

Vaja 30 V trikotniku ABC sta narisani višini AA 1 in BB 1. Dokaži, da sta si trikotnika A 1 AC in B 1 BC podobna. Dokaz. Trikotnika A 1 AC in B 1 BC sta pravokotna in imata skupen kot C. Zato sta si v dveh kotih podobna.

Vaja 31 Dokaži, da v pravokotni trikotnik navpičnica padla iz pravi kot na hipotenuzi, je geometrijska sredina projekcij krakov na hipotenuzo. (Geometrijska sredina dveh pozitivnih števil a in b je pozitivno število c, katerega kvadrat je enak ab, to je c =). Rešitev: Trikotnika ADC in CDB sta si podobna. Zato je bodisi CD 2 = AD BD, t.j. CD je geometrijska sredina AD in BD.

32. vaja V trikotniku ABC je točka H presečišče višin, točka O središče opisanega kroga. Dokaži, da je dolžina odseka CH dvakratna razdalja od točke O do premice AB. Rešitev: Naj bosta B 1, C 1 središči stranic AC in AB trikotnika ABC. Trikotnika HBC in OB 1 C 1 sta podobna, BC = 2 B 1 C 1. Zato je CH = 2 OC 1.

Izrek 1. Prvi znak podobnosti trikotnikov. Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega, so si takšni trikotniki podobni.

Dokaz. Naj sta ABC in $A_1B_1C_1$ trikotnika z $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , in zato $\angle C = \angle C_1$ . Dokažimo, da je $\trikotnik ABC \sim \trikotnik A_1B_1C_1$ (slika 1).

Postavimo odsek $BA_2$ enak odseku $A_1B_1$ na BA iz točke B in potegnemo premico skozi točko $A_2$ vzporedno s premico AC. Ta premica bo v neki točki presekala BC $С_2$ . Trikotnika $A_1B_1C_1\text( in )A_2BC_2$ sta enaka: $A_1B_1 = A_2B$ po konstrukciji, $\angle B = \angle B_1$ po predpostavki in $\angle A_1 = \angle A_2$ , ker $\angle A_1 = \ angle A$ po pogoju in $\angle A = \angle A_2$ kot ustrezni koti. Po lemi 1 za podobne trikotnike imamo: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , in zato $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Izrek je dokazan.

Izreka 2 in 3 sta vzpostavljena na podoben način.

2. izrek. Drugi znak podobnosti trikotnikov.Če sta dve strani enega trikotnika sorazmerni z dvema stranicama drugega trikotnika in sta kota med tema stranicama enaka, sta si trikotnika podobna.

3. izrek. Tretji znak podobnosti trikotnikov.Če so tri stranice enega trikotnika sorazmerne s tremi stranicami drugega trikotnika, so ti trikotniki podobni.

Izrek 1 pomeni naslednje.

Posledica 1. V podobnih trikotnikih so podobne stranice sorazmerne s podobnimi višinami, torej s tistimi višinami, ki so spuščene na podobne stranice.

Primer 1 Ali sta si dva enakostranična trikotnika podobna?

Rešitev. Ker je v enakostraničnem trikotniku vsak notranji kot enaka 60° (posledica 3), potem sta dva enakostranična trikotnika v prvem znaku podobna.

Primer 2 V trikotniku ABC in $A_1B_1C_1$ je znano, da je $\angle A = \angle A_1 ; \kotnik B = \kotnik B_1; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m. Poiščite neznane stranice trikotnikov.

Rešitev. Trikotniki, ki jih določa pogoj problema, so podobni glede na prvi znak podobnosti. Iz podobnosti trikotnikov sledi: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Zamenjava v enakost (1) podatke iz pogoja problema dobimo: $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2 ) $$ Iz enakosti (2 ) naredite dva razmerja $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \ \ \text( od koder )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$

Primer 3 Kota B in $B_1$ trikotnikov ABC in $A_1B_1C_1$ sta enaka. Stranici AB in BC trikotnika ABC 2,5-krat več strani$A_1B_1$ in $B_1C_1$ trikotnika $A_1B_1C_1$. Poiščite AC in $A_1C_1$, če je njuna vsota 4,2 m.

Rešitev. Naj slika 2 ustreza pogoju problema.

Iz pogoja problema: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 m. $$ Od tod $\trikotnik ABC \sim \trikotnik A_1B_1C_1$. Iz podobnosti teh trikotnikov sledi $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2,5\text( , ali )AC = 2,5\bullet A_1C_1 $$ Ker je AC = 2,5 A 1 C 1 , potem je AC + A 1 C 1 \ u003d 2,5 A 1 C 1 + A 1 C 1 \u003d 4,2, od koder A 1 C 1 = 1,2 (m), AC = 3 (m).

Primer 4 Ali sta trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 podobna, če sta AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4,5 cm, B 1 C 1 = 7,5 cm, A 1 C 1 \u003d 10,5 cm?

Rešitev. Imamo: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4,5) = \frac(1)(1,5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5 ) (7,5) = \frac(1)(1,5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10,5) = \frac(1)(1,5) $ $ Zato so si trikotniki v tretjem kriteriju podobni.

Primer 5 Dokaži, da se mediane trikotnika sekajo v eni točki, ki deli vsako mediano v razmerju 2:1, šteto od vrha.

Rešitev. Razmislite o poljubnem trikotniku ABC. Označimo s črko O točko presečišča njegovih median $AA_1\text( in )BB_1$ in narišemo srednjo črto $A_1B_1$ tega trikotnika (sl.3).

Odsek $A_1B_1$ je vzporeden s stranico AB, zato je $\angle 1 = \angle2 \text( in ) \angle 3 = \angle 4 $. Zato sta si trikotnika AOB in $A_1OB_1$ podobna v dveh kotih, zato sta njuni strani sorazmerni: $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1) $ $

Toda $AB = 2A_1B_1$, torej $AO = 2A_1O$ in $BO = 2B_1O$.

Podobno je dokazano, da presečišče median $BB_1\text( in )CC_1) deli vsako od njih v razmerju 2:1, štetje od vrha, in zato sovpada s točko O.

Torej, vse tri mediane trikotnika ABC se sekajo v točki O in jo delijo v razmerju 2: 1, štetje od vrha.

Komentar. Prej je bilo ugotovljeno, da se simetrale trikotnika sekata v eni točki, pravokotne simetrale na stranice trikotnika sekajo v eni točki. Na podlagi zadnje trditve je ugotovljeno, da se višine trikotnika (ali njihovih podaljškov) sekata v eni točki. Te tri točke in presečišče median se imenujejo čudovite točke trikotnik.

Primer 6 Projektor v celoti osvetli zaslon A, visok 90 cm, ki se nahaja na razdalji 240 cm Na kateri razdalji v cm od projektorja je treba postaviti platno B, visoko 150 cm, da je popolnoma osvetljeno, če nastavitve projektorja ostanejo nespremenjene.

Video rešitev.

V tem članku bomo obravnavali koncept podobnih trikotnikov ter druge koncepte in izreke, povezane s to definicijo.

Definicija podobnih trikotnikov

Upoštevali bomo naslednja dva trikotnika (slika 1).

Slika 1. Podobni trikotniki

Opredelitev 1

Dva trikotnika imenujemo podobna, če so koti in vsi koti enega trikotnika enaki kotom drugega in trikotnika in so vse podobne stranice teh trikotnikov sorazmerne, tj.

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Oznaka: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Opredelitev 2

Število $k$, ki je enako razmerju med podobnimi stranicami podobnih številk, se imenuje koeficient podobnosti teh številk.

Razmerje površin podobnih trikotnikov

S tem pojmom je povezan naslednji izrek o razmerju med površinami podobnih trikotnikov. Razmislimo o tem brez dokazov.

Izrek 1

Razmerje med površinami dveh podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti, tj

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Znaki podobnosti trikotnikov

Predstavljamo formulacije treh kriterijev za podobnost trikotnikov.

2. izrek

: Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega trikotnika, sta si takšna trikotnika podobna.

To pomeni, da če je $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$, sta si trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna (slika 2).

Slika 2. Prvi znak podobnosti trikotnikov

3. izrek

Drugi znak enakosti trikotnikov: Če sta dve strani enega trikotnika sorazmerni z ustreznima stranicama drugega trikotnika in sta kota med tema stranicama enaka, sta si trikotnika podobna.

To pomeni, če je $\angle A=\angle A_1$ in $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, potem sta trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna (slika 3) .

Slika 3. Drugi znak podobnosti trikotnikov

4. izrek

Tretji znak podobnosti trikotnikov: Če so tri stranice enega trikotnika sorazmerne s tremi ustreznimi stranicami drugega trikotnika, so ti trikotniki podobni.

To pomeni, da če je $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, sta si trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna.

Primeri nalog o pojmu podobnosti trikotnikov

Primer 1

Ali so enakokraki trikotniki podobni, če imajo

Pod enakim ostrim kotom;

Pod enakim topim kotom;

Enak pravi kot.

Rešitev.

Naj bosta enakokraka trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ z $\kotom A=\kotom A_1.$

Naj bodo $\angle A=\angle A_1$ ostri koti trikotnikov. Potem sta možna dva primera:

a) $\angle A=\angle A_1$ - koti na vrhu teh trikotnikov. Potem, ker je trikotnik $ABC$ enakokraki, potem

\[\angle B=\angle C=\frac(180-\angle A)(2)\]

Ker je trikotnik $A_1B_1C_1$ enakokraki, potem

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac(180-A_1)(2)=\frac(180-\angle A)(2)=\angle B=\angle C\]

To pomeni, $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. Po prvem kriteriju podobnosti dobimo, da sta si trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna.

b) $\angle A=\angle A_1$ - koti na dnu teh trikotnikov. Ker so trikotniki podobni, so njihovi osnovni koti enaki. Toda potem sta dva ustrezna kota enega trikotnika enaka dvema ustreznima kotoma drugega trikotnika. Torej, glede na prvi znak podobnosti trikotnikov so trikotniki podobni.

Ker je kot tup, leži na dnu teh trikotnikov. Podobno kot pri točki 1, a) dobimo, da sta si podobni.

Ker je kot pravi kot, leži na dnu teh trikotnikov. Podobno kot pri točki 1, a) dobimo, da sta si podobni.

Primer 2

Ali sta si trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna, če je $AB=17,\ BC=30,\ \ AC=42,\ (\ A)_1B_1=34,\ (\ B)_1C_1=60,\ \ A_1C_1= 84 $?

Rešitev.

Poiščite koeficient podobnosti za vsak par stranic trikotnikov:

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(17)(34)=\frac(1)(2)\] \[\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(30)( 60)=\frac(1)(2)\] \[\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(42)(84)=\frac(1)(2)\]

Dobimo

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(1)(2)\]

Zato po tretjem kriteriju podobnosti za trikotnike dobimo, da so ti trikotniki podobni.