Formula za izračun kota med črtami. Kot med črtami na ravnini

Naj so črte podane v prostoru l in m. Skozi neko točko A prostora potegnemo ravne črte l 1 || l in m 1 || m(slika 138).

Upoštevajte, da je točko A mogoče izbrati poljubno, zlasti lahko leži na eni od danih premic. Če naravnost l in m sekajo, potem A lahko vzamemo kot presečišče teh premic ( l 1 = l in m 1 = m).

Kot med nevzporednimi črtami l in m je vrednost najmanjšega od sosednjih kotov, ki nastanejo s sekanjem ravnih črt l 1 in m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Predpostavlja se, da je kot med vzporednima črtama enak nič.

Kot med črtami l in m označeno z \(\widehat((l;m)) \). Iz definicije izhaja, da če se meri v stopinjah, potem 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, in če je v radianih, potem 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Naloga. Podana je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (slika 139).

Poiščite kot med ravnima AB in DC 1 .

Ravno križišče AB in DC 1. Ker je premica DC vzporedna z premico AB, je kot med premici AB in DC 1 po definiciji enak \(\widehat(C_(1)DC)\).

Zato \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Neposredno l in m poklical pravokotno, če je \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Na primer v kocki

Izračun kota med črtami.

Problem izračuna kota med dvema ravnima v prostoru se rešuje na enak način kot v ravnini. S φ označimo kot med črtama l 1 in l 2 , in skozi ψ - kot med vektorjema smeri a in b te ravne črte.

Potem če

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (slika 206.6), potem φ = 180° - ψ. Očitno je, da v obeh primerih velja enakost cos φ = |cos ψ|. Po formuli (kosinus kota med nenič vektorji a in b je enaka pik produkt teh vektorjev, deljenih z zmnožkom njihovih dolžin) imamo

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

posledično

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Naj bodo vrstice podane z njihovimi kanoničnimi enačbami

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; in \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Nato s formulo določimo kot φ med črtama

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Če je ena od premic (ali obe) podana z nekanoničnimi enačbami, potem morate za izračun kota poiskati koordinate vektorjev smeri teh črt in nato uporabiti formulo (1).

1. naloga. Izračunajte kot med črtami

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;in\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vektorji smeri ravnih črt imajo koordinate:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Po formuli (1) najdemo

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Zato je kot med tema črtama 60°.

2. naloga. Izračunajte kot med črtami

$$ \begin(primeri)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(primeri) in \begin(primeri)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(primeri) $$

Za vodilnim vektorjem a prvo ravno črto vzamemo vektorski produkt normalnih vektorjev n 1 = (3; 0; -12) in n 2 = (1; 1; -3) ravnine, ki definirajo to premico. Po formuli \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) dobimo

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Podobno najdemo vektor smeri druge premice:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Toda formula (1) izračuna kosinus želenega kota:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Zato je kot med tema črtama 90°.

3. naloga. V trikotni piramidi MAVS so robovi MA, MB in MC medsebojno pravokotni, (slika 207);

njihove dolžine so enake 4, 3, 6. Točka D je sredina [MA]. Poiščite kot φ med črtama CA in DB.

Naj bosta SA in DB vektorja smeri premici SA in DB.

Za izhodišče koordinat vzemimo točko M. Po pogoju naloge imamo A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Zato \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Uporabljamo formulo (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

Glede na tabelo kosinusov ugotovimo, da je kot med ravnima CA in DB približno 72 °.

Navodilo

Opomba

Obdobje trigonometrična funkcija tangenta je enaka 180 stopinj, kar pomeni, da koti naklona ravnih črt po modulu ne morejo preseči te vrednosti.

Koristni nasveti

Če so koeficienti naklona med seboj enaki, je kot med takšnimi črtami 0, saj takšne premice bodisi sovpadajo bodisi so vzporedne.

Za določitev kota med križiščem je potrebno obe črti (ali eno od njiju) prenesti na nov položaj z metodo vzporednega prenosa na križišče. Po tem bi morali najti kot med nastalimi sekajočimi se črtami.

Boste potrebovali

• vladar, pravokotni trikotnik, svinčnik, kotomer.

Navodilo

Torej, naj sta podani vektor V = (a, b, c) in ravnina A x + B y + C z = 0, kjer so A, B in C koordinate normale N. Potem kosinus kota α med vektorjema V in N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Če želite izračunati kot v stopinjah ali radianih, morate iz dobljenega izraza izračunati funkcijo inverzno kosinusu, t.j. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Primer: najdi kotiček med vektor(5, -3, 8) in letalo, podano s splošno enačbo 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rešitev: zapiši koordinate vektorja normale ravnine N = (2, -5, 3). Zamenjajte vse znane vrednosti v zgornji formuli: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Povezani videoposnetki

Premica, ki ima eno skupno točko s krogom, je tangentna na krog. Druga značilnost tangente je, da je vedno pravokotna na polmer, potegnjen do točke stika, to pomeni, da tangenta in polmer tvorita ravno črto kotiček. Če sta iz ene točke A potegnjeni dve tangenti na krog AB in AC, sta med seboj vedno enaki. Definicija kota med tangentami ( kotiček ABC) je izdelan z uporabo Pitagorejskega izreka.

Navodilo

Za določitev kota morate poznati polmer kroga OB in OS ter razdaljo začetne točke tangente od središča kroga - O. Torej, kota ABO in ACO sta enaka, polmer OB, na primer 10 cm, razdalja do središča kroga AO pa 15 cm Dolžino tangente določi s formulo v skladu s Pitagorovim izrekom: AB = Kvadratni koren od AO2 - OB2 ali 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

To gradivo je posvečeno takemu konceptu, kot je kot med dvema sekajočima ravnima črtama. V prvem odstavku bomo razložili, kaj je in prikazali v ilustracijah. Nato bomo analizirali, kako lahko najdete sinus, kosinus tega kota in sam kot (ločeno bomo obravnavali primere z ravnino in tridimenzionalnim prostorom), dali bomo potrebne formule in s primeri pokazali, kako natančno se uporabljajo v praksi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Da bi razumeli, kaj je kot na presečišču dveh premic, se moramo spomniti na samo definicijo kota, pravokotnosti in presečišča.

Opredelitev 1

Dve premici sekamo, če imata eno skupno točko. Ta točka se imenuje točka presečišča obeh premic.

Vsaka črta je s presečiščem razdeljena na žarke. V tem primeru obe premici tvorita 4 kote, od katerih sta dva navpična in dva sosednja. Če poznamo mero enega od njih, lahko določimo še ostale.

Recimo, da vemo, da je eden od kotov enak α. V takem primeru bo tudi kot, ki je navpičen nanj, enak α. Da bi našli preostale kote, moramo izračunati razliko 180 ° - α. Če je α enak 90 stopinjam, bodo vsi koti pravi. Črte, ki se sekajo pod pravimi koti, se imenujejo pravokotne (pojem pravokotnosti je posvečen ločen članek).

Poglejte si sliko:

Nadaljujmo s formulacijo glavne definicije.

Opredelitev 2

Kot, ki ga tvorita dve sekajoči se črti, je mera manjšega od 4 kotov, ki tvorita ti dve premici.

Iz definicije je treba narediti pomemben zaključek: velikost vogala bo v tem primeru izražena s poljubnim pravo število v intervalu (0 , 90 ] . Če sta premici pravokotni, bo kot med njima v vsakem primeru enak 90 stopinj.

Sposobnost iskanja mere kota med dvema sekajočima se črtama je uporabna za reševanje številnih praktičnih problemov. Metodo rešitve lahko izberete med več možnostmi.

Za začetek lahko vzamemo geometrijske metode. Če vemo kaj o dodatnih kotih, jih lahko povežemo s kotom, ki ga potrebujemo, z lastnostmi enakih ali podobnih oblik. Na primer, če poznamo stranice trikotnika in moramo izračunati kot med premicama, na katerih se te stranice nahajajo, je kosinusni izrek primeren za reševanje. Če imamo v pogoju pravokoten trikotnik, potem bomo za izračune morali poznati tudi sinus, kosinus in tangent kota.

Koordinatna metoda je zelo priročna tudi za reševanje tovrstnih problemov. Pojasnimo, kako ga pravilno uporabljati.

Imamo pravokoten (kartezinski) koordinatni sistem O x y z dvema ravnima. Označimo jih s črkama a in b. V tem primeru lahko ravne črte opišemo s poljubnimi enačbami. Prvotne črte imajo presečišče M. Kako določiti želeni kot (označimo ga z α) med tema črtama?

Začnimo s formulacijo osnovnega principa iskanja kota pod danimi pogoji.

Vemo, da sta koncepta usmerjanja in normalnega vektorja tesno povezana s konceptom ravne črte. Če imamo enačbo neke premice, lahko iz nje vzamemo koordinate teh vektorjev. To lahko naredimo za dve sekajoči se vrstici hkrati.

Kot, ki ga tvorita dve sekajoči se črti, lahko najdete z:

• kot med vektorji smeri;
• kot med normalnimi vektorji;
• kot med normalnim vektorjem ene črte in smernim vektorjem druge.

Zdaj pa si oglejmo vsako metodo posebej.

1. Recimo, da imamo premico a z vektorjem smeri a → = (a x , a y) in premico b s smernim vektorjem b → (b x , b y) . Sedaj odstavimo dva vektorja a → in b → od presečišča. Po tem bomo videli, da se bodo nahajali vsak na svoji liniji. Potem imamo zanje štiri možnosti relativni položaj. Glej ilustracijo:

Če kot med dvema vektorjema ni tup, potem bo to kot, ki ga potrebujemo med sekata a in b. Če je topo, potem bo želeni kot enak kotu, ki meji na kot a → , b → ^ . Tako je α = a → , b → ^ če je a → , b → ^ ≤ 90 ° in α = 180 ° - a → , b → ^ če je a → , b → ^ > 90 ° .

Glede na to, da so kosinusi enakih kotov enaki, lahko nastale enakosti prepišemo takole: cos α = cos a → , b → ^ če a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ če a → , b → ^ > 90 ° .

V drugem primeru so bile uporabljene redukcijske formule. V to smer,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Zapišimo zadnjo formulo z besedami:

Opredelitev 3

Kosinus kota, ki ga tvorita dve sekajoči se črti, bo enak modulu kosinusa kota med njegovimi smernimi vektorji.

Splošna oblika formule za kosinus kota med dvema vektorjema a → = (a x, a y) in b → = (b x, b y) izgleda takole:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz njega lahko izpeljemo formulo za kosinus kota med dvema danima premicama:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Nato lahko sam kot najdete z naslednjo formulo:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tukaj sta a → = (a x , a y) in b → = (b x , b y) vektorja smeri danih premic.

Naj navedemo primer reševanja problema.

Primer 1

V pravokotnem koordinatnem sistemu sta na ravnini podani dve sekajoči se premici a in b. Lahko jih opišemo s parametričnimi enačbami x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R in x 5 = y - 6 - 3 . Izračunajte kot med tema črtama.

Rešitev

V pogoju imamo parametrično enačbo, kar pomeni, da lahko za to črto takoj zapišemo koordinate njenega smernega vektorja. Če želite to narediti, moramo vzeti vrednosti koeficientov pri parametru, t.j. premica x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bo imela smerni vektor a → = (4 , 1) .

Druga ravna črta je opisana s kanonično enačbo x 5 = y - 6 - 3 . Tu lahko vzamemo koordinate iz imenovalcev. Tako ima ta premica smerni vektor b → = (5 , - 3) .

Nato nadaljujemo neposredno z iskanjem kota. Če želite to narediti, preprosto nadomestite razpoložljive koordinate obeh vektorjev v zgornjo formulo α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Dobimo naslednje:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Odgovori: Te črte tvorijo kot 45 stopinj.

Podoben problem lahko rešimo tako, da poiščemo kot med normalnimi vektorji. Če imamo premico a z normalnim vektorjem n a → = (n a x , n a y) in premico b z normalnim vektorjem n b → = (n b x , n b y) , potem bo kot med njima enak kotu med n a → in n b → ali kot, ki bo mejil na n a → , n b → ^ . Ta metoda je prikazana na sliki:

Formule za izračun kosinusa kota med sekajočimi se črtami in samim tem kotom z uporabo koordinat normalnih vektorjev izgledajo takole:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tukaj n a → in n b → označujeta vektorja normale dveh danih premic.

Primer 2

Dve ravni črti sta podani v pravokotnem koordinatnem sistemu z enačbami 3 x + 5 y - 30 = 0 in x + 4 y - 17 = 0 . Poiščite sinus, kosinus kota med njima in velikost samega kota.

Rešitev

Prvotne ravne črte so podane z enačbami normalnih ravnih črt v obliki A x + B y + C = 0 . Označimo vektor normale n → = (A , B) . Poiščimo koordinate prvega vektorja normale za eno ravno črto in jih zapišemo: n a → = (3 , 5) . Za drugo vrstico x + 4 y - 17 = 0 bo imel normalni vektor koordinate n b → = (1 , 4) . Sedaj dodajte dobljene vrednosti v formulo in izračunajte skupno:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Če poznamo kosinus kota, lahko izračunamo njegov sinus z uporabo osnovnega trigonometrična identiteta. Ker kot α, ki ga tvorijo ravne črte, ni tup, potem sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

V tem primeru je α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Odgovor: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizirajmo zadnji primer – iskanje kota med premici, če poznamo koordinate vektorja smeri ene in normalnega vektorja druge.

Predpostavimo, da ima premica a smerni vektor a → = (a x , a y) in da ima premica b normalni vektor n b → = (n b x , n b y) . Te vektorje moramo odložiti od presečišča in upoštevati vse možnosti za njihov relativni položaj. Glej sliko:

Če kot med danima vektorjema ni večji od 90 stopinj, se izkaže, da bo dopolnjeval kot med a in b na pravi kot.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , če a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Če je manj kot 90 stopinj, dobimo naslednje:

a → , n b → ^ > 90 ° , nato a → , n b → ^ = 90 ° + α

Z uporabo pravila enakosti kosinusov enakih kotov zapišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pri a → , n b → ^ > 90 ° .

V to smer,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulirajmo sklep.

Opredelitev 4

Če želite najti sinus kota med dvema črtama, ki se sekata v ravnini, morate izračunati modul kosinusa kota med vektorjem smeri prve črte in normalnim vektorjem druge.

Zapišimo potrebne formule. Iskanje sinusa kota:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Iskanje samega vogala:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tukaj je a → smerni vektor prve vrstice, n b → pa je vektor normale druge.

Primer 3

Dve sekajoči se premici sta podani z enačbami x - 5 = y - 6 3 in x + 4 y - 17 = 0 . Poiščite presečni kot.

Rešitev

Iz danih enačb vzamemo koordinate usmerjevalnega in normalnega vektorja. Izkazalo se je, da je a → = (- 5, 3) in n → b = (1, 4). Vzamemo formulo α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 in upoštevamo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Upoštevajte, da smo enačbe vzeli iz prejšnjega problema in dobili popolnoma enak rezultat, vendar na drugačen način.

odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Tukaj je še en način za iskanje želenega kota z uporabo koeficientov naklona danih črt.

Imamo premico a , ki je definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu z enačbo y = k 1 · x + b 1 , in premico b , definirano kot y = k 2 · x + b 2 . To so enačbe premic z naklonom. Če želite najti presečni kot, uporabite formulo:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , kjer sta k 1 in k 2 faktorji naklona dane vrstice. Za pridobitev tega zapisa so bile uporabljene formule za določanje kota preko koordinat normalnih vektorjev.

Primer 4

V ravnini se sekata dve ravni črti, podano z enačbami y = - 3 5 x + 6 in y = - 1 4 x + 17 4 . Izračunajte presečni kot.

Rešitev

Nagibi naših premic so enaki k 1 = - 3 5 in k 2 = - 1 4 . Dodajmo jih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 in izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

odgovor:α = a r c cos 23 2 34

V sklepih tega odstavka je treba opozoriti, da se tukaj navedenih formul za iskanje kota ni treba naučiti na pamet. Za to je dovolj poznati koordinate vodil in/ali normalnih vektorjev danih črt in jih znati določiti iz različni tipi enačb. Toda formule za izračun kosinusa kota je bolje zapomniti ali zapisati.

Kako izračunati kot med sekajočimi se črtami v prostoru

Izračun takega kota je mogoče zmanjšati na izračun koordinat vektorjev smeri in določitev velikosti kota, ki ga tvorijo ti vektorji. Za takšne primere uporabljamo enako sklepanje, ki smo ga navedli prej.

Recimo, da imamo pravokoten koordinatni sistem, ki se nahaja v 3D prostoru. Vsebuje dve premici a in b s presečiščem M. Za izračun koordinat vektorjev smeri moramo poznati enačbe teh premic. Označimo vektorja smeri a → = (a x , a y , a z) in b → = (b x , b y , b z) . Za izračun kosinusa kota med njima uporabljamo formulo:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Za iskanje samega kota potrebujemo to formulo:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primer 5

Imamo ravno črto, definirano v 3D prostoru z enačbo x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Znano je, da seka z osjo O z. Izračunajte presečni kot in kosinus tega kota.

Rešitev

Kot, ki ga je treba izračunati, označimo s črko α. Zapišimo koordinate smernega vektorja za prvo ravno črto - a → = (1 , - 3 , - 2) . Za aplikativno os lahko vzamemo koordinatni vektor k → = (0 , 0 , 1) kot vodilo. Prejeli smo potrebne podatke in jih lahko dodamo želeni formuli:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kot rezultat, smo dobili, da bo kot, ki ga potrebujemo, enak a r c cos 1 2 = 45 °.

odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 °.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Vsakemu študentu, ki se pripravlja na izpit iz matematike, bo koristno, da ponovi temo »Iskanje kota med črtami«. Kot kažejo statistike, pri opravljanju certifikacijskega testa naloge v tem razdelku stereometrije povzročajo težave veliko številoštudenti. Hkrati se v USE najdejo naloge, ki zahtevajo iskanje kota med ravnimi črtami na osnovni in profilni ravni. To pomeni, da bi jih moral vsak znati rešiti.

Osnovni trenutki

Obstajajo 4 vrste medsebojne razporeditve črt v prostoru. Lahko sovpadajo, sekajo, so vzporedne ali sekajo. Kot med njimi je lahko oster ali raven.

Da bi našli kot med črtami v enotnem državnem izpitu ali na primer v rešitvi, lahko šolarji v Moskvi in ​​drugih mestih uporabljajo več metod za reševanje problemov v tem delu stereometrije. Nalogo lahko dokončate s klasičnimi konstrukcijami. Če želite to narediti, se je vredno naučiti osnovnih aksiomov in izrekov stereometrije. Študent mora biti sposoben logično graditi sklepanje in ustvarjati risbe, da nalogo pripelje do planimetričnega problema.

Uporabite lahko tudi vektorsko-koordinatno metodo z uporabo preprostih formul, pravil in algoritmov. Glavna stvar v tem primeru je pravilno izvesti vse izračune. Pomagal vam bo pri izpopolnjevanju svojih veščin pri reševanju problemov v stereometriji in drugih delih šolskega tečaja. izobraževalni projekt"Školkovo".

a. Naj sta podani dve premici, ki, kot je bilo navedeno v 1. poglavju, tvorita različne pozitivne in negativne kote, ki so v tem primeru lahko tako ostri kot topi. Če poznamo enega od teh kotov, zlahka najdemo katerega koli drugega.

Mimogrede, za vse te kote je številčna vrednost tangente enaka, razlika je lahko le v predznaku

Enačbe črt. Številke so projekcije usmerjevalnih vektorjev prve in druge premice.Kot med tema vektorjema je enak enemu od kotov, ki jih tvorijo ravne črte. Zato se problem zmanjša na določitev kota med vektorjema, Dobimo

Zaradi preprostosti se lahko dogovorimo za kot med dvema ravnima, da razumemo akutni pozitivni kot (kot na primer na sliki 53).

Potem bo tangent tega kota vedno pozitiven. Torej, če dobimo znak minus na desni strani formule (1), ga moramo zavreči, torej ohraniti samo absolutno vrednost.

Primer. Določite kot med črtami

Po formuli (1) imamo

Z. Če je označeno, katera od stranic kota je njegov začetek in katera konec, potem lahko, če vedno štejemo smer kota v nasprotni smeri urinega kazalca, iz formule (1) izvlečemo nekaj več. Kot je enostavno videti iz sl. 53 znak, pridobljen na desni strani formule (1), bo pokazal, kateri - oster ali tup - kot tvori drugo vrstico s prvo.

(Dejansko iz slike 53 vidimo, da je kot med prvim in drugim smernim vektorjem bodisi enak želenemu kotu med črtama ali pa se od njega razlikuje za ±180°.)

d. Če sta premici vzporedni, so tudi njuni vektorji smeri vzporedni. Če uporabimo pogoj vzporednosti dveh vektorjev, dobimo!

To je nujen in zadosten pogoj, da sta dve premici vzporedni.

Primer. Neposredno

so vzporedne, ker

e. Če sta premici pravokotni, so tudi njuni vektorji smeri pravokotni. Z uporabo pogoja pravokotnosti dveh vektorjev dobimo pogoj pravokotnosti dveh premic, in sicer

Primer. Neposredno

pravokotno, ker

V zvezi s pogoji vzporednosti in pravokotnosti bomo rešili naslednja dva problema.

f. Skozi točko nariši črto, vzporedno z dano premico

Odločitev se sprejme takole. Ker je želena premica vzporedna z dano, potem lahko za njen usmerjevalni vektor vzamemo enak vektor kot dana premica, to je vektor s projekcijama A in B. Potem bo zapisana enačba želene premice v obliki (§ 1)

Primer. Enačba premice, ki poteka skozi točko (1; 3), vzporedno s premo črto

bo naslednji!

g. Nariši črto skozi točko, pravokotno na dano črto

Tukaj ni več primerno vzeti vektorja s projekcijami A in kot usmerjevalni vektor, ampak je treba pridobiti vektor, ki je pravokoten nanj. Projekcije tega vektorja je torej treba izbrati glede na pogoj, da sta oba vektorja pravokotna, tj.

Ta pogoj je mogoče izpolniti na neskončno mnogo načinov, saj je tu ena enačba z dvema neznankama. Najlažje pa je, da jo vzamemo. Potem bo enačba želene premice zapisana v obliki

Primer. Enačba premice, ki poteka skozi točko (-7; 2) v pravokotni premici

bo naslednji (po drugi formuli)!

h. V primeru, ko so vrstice podane z enačbami oblike