Stopnja je preprost ulomek. Dvig algebraičnega ulomka na potenco: pravilo, primeri

Lekcija bo obravnavala bolj posplošeno različico množenja ulomkov - to je eksponentacija. Najprej bomo govorili o naravni stopnji ulomka in primerih, ki prikazujejo podobna dejanja z ulomki. Na začetku lekcije bomo ponovili tudi dvig na naravno potenco celih izrazov in videli, kako je to uporabno za reševanje nadaljnjih primerov.

Tema: Algebraični ulomki. Aritmetične operacije nad algebrskimi ulomki

Lekcija: Gradnja algebraični ulomek do neke stopnje

1. Pravila za dvig ulomkov in celih izrazov na naravne potence z osnovnimi primeri

Pravilo za dvig navadnih in algebraičnih ulomkov na naravne stopnje:

Lahko potegnete analogijo s stopnjo celoštevilskega izraza in se spomnite, kaj je mišljeno, če ga dvignete na potenco:

Primer 1 .

Kot lahko vidite iz primera, je dvig ulomka na stepen poseben primer množenje ulomkov, ki smo ga preučevali v prejšnji lekciji.

Primer 2. a), b) - minus izgine, ker smo izraz dvignili na enakomerno moč.

Za udobje dela s stopinjami se spomnimo osnovnih pravil za dvig na naravno moč:

- produkt stopinj;

- delitev stopenj;

Dvig diplome na moč;

Stopnja dela.

Primer 3. - to nam je znano že od teme "Dvigovanje na potenco celih izrazov", razen v enem primeru: ne obstaja.

2. Najenostavnejši primeri za dvig algebraičnih ulomkov na naravne potence

Primer 4. Dvignite ulomek na potenco.

Odločitev. Ko se dvigne na enakomerno moč, minus izgine:

Primer 5. Dvignite ulomek na potenco.

Odločitev. Zdaj uporabljamo pravila za dvig stopnje na moč takoj brez ločenega urnika:

Zdaj razmislite o kombiniranih nalogah, pri katerih bomo morali ulomke dvigniti na potenco, jih pomnožiti in deliti.

Primer 6: Izvedite dejanja.

Odločitev. . Nato morate narediti zmanjšanje. Enkrat bomo podrobno opisali, kako bomo to naredili, nato pa bomo rezultat takoj navedli po analogiji:. Podobno (ali po pravilu delitve stopinj). Imamo: .

Primer 7: Izvedite dejanja.

Odločitev. . Zmanjšanje se izvede po analogiji s prej obravnavanim primerom.

Primer 8: Izvedite dejanja.

Odločitev. . AT ta primer smo še enkrat podrobneje opisali postopek zmanjševanja potenk v ulomkih, da bi to metodo utrdili.

3. Kompleksnejši primeri za dvig algebrskih ulomkov na naravne potence (ob upoštevanju predznakov in z izrazi v oklepajih)

Primer 9: Izvedite dejanja .

Odločitev. V tem primeru bomo že preskočili ločeno množenje ulomkov in takoj uporabili pravilo za njihovo množenje in ga zapisali pod enim imenovalcem. Hkrati sledimo znakom - v tem primeru se ulomki dvignejo na sode stopnje, tako da minusi izginejo. Na koncu naredimo zmanjšanje.

Primer 10: Izvedite dejanja .

Odločitev. V tem primeru je delitev ulomkov, ne pozabite, da se v tem primeru prvi ulomek pomnoži z drugim, vendar obrnjen.

Eksponentiranje je operacija, ki je tesno povezana z množenjem, ta operacija je rezultat večkratnega množenja števila samo po sebi. Predstavljajmo formulo: a1 * a2 * ... * an = an.

Na primer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Na splošno se eksponentiranje pogosto uporablja v različnih formulah v matematiki in fiziki. Ta funkcija ima bolj znanstveni namen kot štiri osnovne: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje.

Dviganje števila na potenco

Dviganje števila na potenco ni težka operacija. Povezan je z množenjem, kot je razmerje med množenjem in seštevanjem. Zapis an - kratek zapis n-tega števila številk "a", pomnoženih med seboj.

Upoštevajte kvečjemu eksponentacijo preprosti primeri preidemo na kompleksne.

Na primer, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Štiri na kvadrat (na drugo potenco) je enako šestnajst. Če ne razumete množenja 4 * 4, preberite naš članek o množenju.

Poglejmo si še en primer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kock (na tretjo potenco) je enako sto petindvajset.

Drug primer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kock je enako sedemsto devetindvajset.

Formule za eksponentiranje

Če želite pravilno dvigniti na moč, si morate zapomniti in poznati spodnje formule. V tem ni nič drugega kot naravno, glavna stvar je razumeti bistvo in potem se ne bodo le zapomnili, ampak se bodo tudi zdeli lahki.

Dvig monoma na potenco

Kaj je monom? To je produkt številk in spremenljivk v kateri koli količini. Na primer, dva je monom. In ta članek govori o dvigu takšnih monomov na potenco.

Z uporabo eksponentnih formul ne bo težko izračunati stopnjevanja monoma na potenco.

na primer (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Če povišamo monom na potenco, se vsaka komponenta monoma dvigne na potenco.

Ko dvignemo spremenljivko, ki že ima stopnjo na potenco, se stopnje pomnožijo. Na primer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Dvig na negativno potenco

Negativni eksponent je recipročna vrednost števila. Kaj je vzajemnost? Za katero koli število X je recipročna vrednost 1/X. To je X-1=1/X. To je bistvo negativne stopnje.

Razmislite o primeru (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

zakaj je tako? Ker je v stopnji minus, ta izraz preprosto prenesemo v imenovalec in ga nato dvignemo na tretjo potenco. Ravno prav?

Dvig na delni potenc

Začnimo razpravo na konkreten primer. 43/2. Kaj pomeni moč 3/2? 3 - števec, pomeni dvig števila (v tem primeru 4) na kocko. Število 2 je imenovalec, to je ekstrakcija drugega korena števila (v tem primeru 4).

Nato dobimo kvadratni koren iz 43 = 2^3 = 8. Odgovor: 8.

Torej je imenovalec delne stopnje lahko 3 ali 4 in do neskončnosti poljubno število in to število določa stopnjo kvadratni koren izvlečen iz dano številko. Seveda imenovalec ne more biti nič.

Dvig korena na moč

Če je koren dvignjen na moč, ki je enaka moči korena samega, je odgovor radikalni izraz. Na primer, (√x)2 = x. In tako v vsakem primeru enakost stopnje korena in stopnje dviga korena.

Če (√x)^4. Potem (√x)^4=x^2. Za preverjanje rešitve izraz prevedemo v izraz z delno stopnjo. Ker je koren kvadraten, je imenovalec 2. In če koren dvignemo na četrto potenco, je števec 4. Dobimo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

Kakorkoli že najboljši način samo pretvorite izraz v izraz z delno močjo. Če se ulomek ne zmanjša, bo tak odgovor pod pogojem, da koren danega števila ni dodeljen.

Eksponentiranje kompleksnega števila

Kaj je kompleksno število? Kompleksno število je izraz, ki ima formulo a + b * i; a, b sta realna števila. i je število, ki v kvadratu daje število -1.

Razmislite o primeru. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se na tečaj "Pospeši miselno štetje, NE miselna aritmetika", da se naučite hitro in pravilno seštevati, odštevati, množiti, deliti, kvadrirati in celo koreniti. V 30 dneh se boste naučili uporabljati enostavne trike za poenostavitev aritmetičnih operacij. Vsaka lekcija vsebuje nove tehnike, jasne primere in uporabne naloge.

Eksponentiranje na spletu

S pomočjo našega kalkulatorja lahko izračunate eksponentacijo števila na stopnjo:

Stopnja stopnjevanja 7

Vzpon na moč začne šolarjem prenašati šele v sedmem razredu.

Eksponentiranje je operacija, ki je tesno povezana z množenjem, ta operacija je rezultat večkratnega množenja števila samo po sebi. Predstavljajmo formulo: a1 * a2 * … * an=an .

na primer a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primeri rešitev:

Predstavitev eksponentacije

Predstavitev o stopnjevanju, namenjena sedmošolcem. Predstavitev bo morda razjasnila nekatere nerazumljive točke, vendar jih zaradi našega članka verjetno ne bo.

Izid

Upoštevali smo le vrh ledene gore, da bi bolje razumeli matematiko - prijavite se na naš tečaj: Pospešite mentalno štetje - NE miselna aritmetika.

Iz tečaja se ne boste naučili le na desetine trikov za poenostavljeno in hitro množenje, seštevanje, množenje, deljenje, računanje odstotkov, temveč jih boste tudi izdelovali v posebnih nalogah in izobraževalnih igrah! Mentalno štetje zahteva tudi veliko pozornosti in koncentracije, ki se aktivno urita pri reševanju zanimivih problemov.

Navodilo

Če je v izvoru podan v obliki navadnega ulomka, je treba operacijo izvesti v dveh korakih. Njihovo zaporedje na noben način ne bo vplivalo na rezultat - začnite, na primer, z ekstrakcijo iz števila korena stopnje, ki je navedena v imenovalcu ulomka. Na primer dvigniti na stopnje⅔ iz tega koraka je treba izvleči število 64: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Zvišajte vrednost, pridobljeno v prvem koraku, na stopnje enako številu v števcu ulomka. Rezultat te operacije bo rezultat dviga števila na ulomek stopnje. Za primer iz prejšnjega koraka lahko celoten postopek izračuna zapišemo takole: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Izhajajte iz preprostosti izračunov pri določanju zaporedja zgoraj opisanih operacij, ekstrahiranju korena in dvigu na stopnje. Na primer, če bi se zahtevalo v istem stopnje⅔, da dvignemo število 8, nato pa začnemo s kubnim korenom osmice, bi bilo , saj bi bil rezultat ulomek . V tem primeru je bolje začeti z 8 na kvadrat in nato vzeti tretji koren iz 64 in se tako izogniti ulomnim vmesnim vrednostim: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Če je eksponent v izvornih podatkih podan v decimalni obliki, ga začnite s pretvorbo v navaden ulomek in nato sledite zgoraj opisanemu algoritmu. Na primer, če želite dvigniti številko stopnje 0,75 pretvorite to številko v navaden ulomek ¾, nato izvlecite četrti koren in rezultat dvignite na kocko.

Uporabite katero koli, če potek izračunov ni pomemben, pomemben je le rezultat. Lahko je tudi skript, ki je vdelan Googlov iskalnik- z njegovo pomočjo želeno vrednost celo lažje kot z uporabo standardnega kalkulatorja Windows. Na primer, če želite dvigniti številko 15 na stopnje⅗ pojdi na domača stran mestu in v polje iskalne poizvedbe vnesite 15^(3/5). Google bo rezultat izračunov prikazal z natančnostjo do 8 znakov tudi brez pritiska na gumb za pošiljanje zahteve: 15 ^ (3 / 5) = 5,07755639.

Viri:

kako dvigniti na delno potenco

Stopnja številke razvrščeni v šoli pri pouku algebre. V življenju se takšna operacija redko izvaja. Na primer, pri izračunu površine kvadrata ali prostornine kocke se uporabljajo eksponenti, ker so dolžina, širina ter za kocko in višina enake vrednosti. Sicer pa je eksponentiranje največkrat uporabne industrijske narave.

Boste potrebovali

Papir, pero, inženirski kalkulator, tabele stopenj, programski izdelki (na primer urejevalnik preglednic Excel).

Navodilo

Pri delu z negativnim številom morate biti previdni z znaki. Ne pozabite, da bo soda stopnja (n) dala znak plus, liha - znak.
na primer
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Ničelna stopnja (n = 0) od katere koli številke bo vedno enaka ena.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Če je n = 1, števila ni treba pomnožiti s samim seboj.
Volja
7^1 = 7
329^1 = 329

Če je n = 2, je stopnja kvadrat, če je n = 3, se stopnja imenuje kocka. Izračunavanje kvadrata in kocke iz številk prvih deset je precej enostavno. Toda s povečanjem številke dvignjen na potenco, in ko se moč sama poveča, postanejo izračuni naporni. Za takšne izračune so bile razvite posebne tabele. Obstajajo tudi posebni inženirski in spletni kalkulatorji, programski izdelki. Kot najenostavnejšo programsko opremo za operacije lahko uporabite urejevalnik preglednic Excel.

Viri:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Pri reševanju nekaterih tehničnih težav bo morda treba izračunati koren tretjič stopnje. Včasih se to število imenuje tudi kubni koren. koren tretjič stopnje iz danega števila se imenuje tako število, katerega kocka (tretja stopnja) je enaka dani. To je, če y koren tretjič stopnještevilk x, potem mora biti izpolnjen naslednji pogoj: y?=x (x je enak y kocki).

Boste potrebovali

kalkulator ali računalnik

Navodilo

Šteti koren stopnje uporabite kalkulator. Zaželeno je, da to ni navaden, ampak kalkulator, ki se uporablja za inženirske izračune. Vendar tudi na tem ne boste našli posebnega gumba za ekstrakcijo korena. tretjič stopnje. Torej uporabite funkcijo, da dvignete število na pot. Ekstrahiranje korena tretjič stopnje ustreza dvigu na potenco 1/3 (ene tretjine).

Če želite številko dvigniti na 1/3, vtipkajte samo številko na tipkovnici kalkulatorja. Nato pritisnite tipko "exponentiation". Tak gumb, odvisno od vrste kalkulatorja, je lahko videti kot xy (y - v obliki nadpisa). Ker večina kalkulatorjev nima možnosti dela z navadnimi (nedecimalnimi) števili, namesto številke 1/3 vnesite njeno približno vrednost: 0,33. Za večjo natančnost izračunov je treba povečati število "trojk", na primer pokličite 0,33333333333333. Nato pritisnite gumb "=".

Šteti koren tretjič stopnje na , uporabite standardni kalkulator sistema Windows. Postopek je popolnoma podoben tistemu, ki je opisan v prejšnjem odstavku navodil. Edina stvar so gumbi za eksponentiranje. Na "računalniškem" kalkulatorju je videti kot x ^ y.

Če koren tretjič stopnjeČe morate to storiti sistematično, uporabite MS Excel. Šteti koren tretjič stopnje v Excelu vnesite znak "=" v katero koli celico in nato izberite "fx" - vstavite funkcijo. V oknu, ki se prikaže, na seznamu "Izberite funkcijo" izberite vrstico "DEGREE". Kliknite gumb V redu. V novo prikazano okno vnesite v vrstico "Številka" vrednost številke, iz katere želite izvleči koren. V vrstico "Stopnja" vnesite številko "1/3" in kliknite "V redu". V tabeli se bo prikazala želena vrednost kubičnega korena iz prvotne številke.

Pri tehničnih izračunih in pri reševanju številnih problemov je včasih potrebno koren, torej poiščite število, katerega kocka je enaka prvotni. Za izračun vrednosti kubičnega korena zadostuje inženirski kalkulator. Vendar tudi na takem kalkulatorju ni posebnega ključa za izračun kubičnega korena. Toda z nekaj preprostimi triki lahko brez takega gumba.

Boste potrebovali

inženirski kalkulator ali računalnik

Navodilo

Če želite s kalkulatorjem poiskati kubni koren, vzemite inženirsko številko in nanjo vnesite izvirno številko. Nato kliknite gumb za eksponentiranje. Zdaj vnesite vrednost indikatorja. V tem primeru mora biti (teoretično) enak 1/3. Ker pa je uporaba navadnih ulomkov tudi na inženirskem kalkulatorju težka, potem pokličite zaokroženo vrednost številke 1/3, to je: 0,33. Nato kliknite na gumb "=". Želena vrednost se prikaže na indikatorju kalkulatorja. Da bi dobili več točna vrednost, ne pokličite dveh trojk, ampak na primer 0,333333333333.

Če želite izračunati kubni koren v računalniku, zaženite program kalkulator. Če ustrezne ikone ni na namizju, naredite naslednje:
- pritisnite gumb "Start";
- izberite točko menija "Zaženi";
- v okno, ki se prikaže, vnesite vrstico »kalkulator« Če ima kalkulator, ki se prikaže na namizju, običajen videz (podoben »računovodskemu kalkulatorju«), ga preklopite v način izračuna. Če želite to narediti, izberite vrstico "Pogled" in izberite postavko "Inženiring". Zdaj vnesite številko, iz katere želite izvleči koren kocke. Nato pritisnite gumb "x^y" na kalkulatorju. Nato vnesite, na primer, 0,33. Za natančnejši rezultat lahko vnesete večjo vrednost eksponenta, na primer 0,333333333333. Za natančen rezultat vnesite eksponent "1/3" v oklepaje. To pomeni, da zaporedoma pritisnite tipke "(1/3)".

Izračun v Excelu. Zaženite sam program, pritisnite gumb "=" in izberite funkcijo "DEGREE". Nato vnesite številko, iz katere želite izluščiti koren stopnje. Nato v naslednjem oknu, ki se prikaže, vnesite ulomek "1/3" in kliknite gumb "V redu".

Povezani videoposnetki

Viri:

kako izračunati kockastih korenin

Pri reševanju aritmetičnih in algebraičnih problemov je včasih potrebno graditi ulomek v kvadratni. Najlažje to storite, ko ulomek decimalka - zadostuje navaden kalkulator. Vendar, če ulomek navadni ali mešani, potem ko dvignete takšno število na kvadratni lahko nastanejo nekatere težave.

Ugotovili smo, kakšna je stopnja števila na splošno. Zdaj moramo razumeti, kako ga pravilno izračunati, tj. dvignite številke na potencije. V tem gradivu bomo analizirali osnovna pravila za izračun stopnje v primeru celega, naravnega, ulomnega, racionalnega in iracionalnega eksponenta. Vse definicije bodo ilustrirane s primeri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept eksponentacije

Začnimo s formulacijo osnovnih definicij.

Opredelitev 1

Eksponentiranje je izračun vrednosti moči nekega števila.

To pomeni, da besedi "izračun vrednosti stopnje" in "eksponentacija" pomenita isto stvar. Torej, če je naloga "Dvignite število 0, 5 na peto potenco", je treba to razumeti kot "izračunajte vrednost moči (0, 5) 5 .

Zdaj podajamo osnovna pravila, ki jih je treba upoštevati pri takšnih izračunih.

Spomnimo se, kakšna je moč števila z naravnim eksponentom. Za potenco z bazo a in eksponentom n bo to zmnožek n-tega števila faktorjev, od katerih je vsak enak a. To se lahko zapiše takole:

Če želite izračunati vrednost stopnje, morate izvesti operacijo množenja, to je, da pomnožite osnove stopnje določeno število krat. Sam koncept diplome z naravnim kazalnikom temelji na sposobnosti hitrega množenja. Dajmo primere.

Primer 1

Pogoj: Dvignite - 2 na potenco 4.

Odločitev

Z uporabo zgornje definicije zapišemo: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Nato moramo le slediti tem korakom in dobiti 16 .

Vzemimo bolj zapleten primer.

Primer 2

Izračunaj vrednost 3 2 7 2

Odločitev

Ta vnos lahko prepišete kot 3 2 7 · 3 2 7 . Prej smo pogledali, kako pravilno pomnožiti mešana števila, omenjena v pogoju.

Izvedite te korake in dobite odgovor: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Če naloga kaže, da je treba iracionalna števila dvigniti na naravno potenco, bomo morali njihove osnove najprej zaokrožiti na številko, ki nam bo omogočila, da dobimo odgovor želene natančnosti. Vzemimo primer.

Primer 3

Izvedite kvadriranje števila π.

Odločitev

Najprej zaokrožimo na stotinke. Potem je π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Če je π ≈ 3 . 14159, potem bomo dobili natančnejši rezultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Upoštevajte, da se potreba po izračunu moči iracionalnih števil v praksi pojavi razmeroma redko. Nato lahko odgovor zapišemo kot potenco (ln 6) 3 ali, če je mogoče, pretvorimo: 5 7 = 125 5 .

Ločeno je treba navesti, kakšna je prva potenca števila. Tukaj se lahko spomnite, da bo vsako število, dvignjeno na prvo potenco, ostalo samo:

To je razvidno iz zapisnika. .

Ni odvisno od diplome.

Primer 4

Torej, (− 9) 1 = − 9 in 7 3, dvignjeno na prvo potenco, ostane enako 7 3 .

Zaradi udobja bomo ločeno analizirali tri primere: če je eksponent pozitivno celo število, če je nič in če je negativno celo število.

V prvem primeru je to enako kot dvig na naravno potenco: navsezadnje pozitivna cela števila pripadajo množici naravnih števil. Kako delati s takšnimi diplomami, smo že opisali zgoraj.

Zdaj pa poglejmo, kako pravilno dvigniti na ničelno moč. Z bazo, ki ni nič, ta izračun vedno proizvede izhod 1. Prej smo pojasnili, da je 0. potenco a mogoče definirati za katero koli pravo število, ni enako 0 in a 0 = 1 .

Primer 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ni opredeljeno.

Ostane nam le primer stopnje z negativnim celim eksponentom. Omenili smo že, da lahko takšne stopnje zapišemo kot ulomek 1 a z, kjer je a poljubno število, z pa negativno celo število. Vidimo, da imenovalec tega ulomka ni nič drugega kot navadna stopnja s pozitivnim celim številom, in že smo se naučili, kako ga izračunati. Navedimo primere nalog.

Primer 6

Dvignite 3 na moč -2.

Odločitev

Z uporabo zgornje definicije zapišemo: 2 - 3 = 1 2 3

Izračunamo imenovalec tega ulomka in dobimo 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Potem je odgovor: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Primer 7

Dvignite 1, 43 na moč -2.

Odločitev

Preoblikujte: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kvadrat izračunamo v imenovalcu: 1,43 1,43. Decimale je mogoče pomnožiti na ta način:

Kot rezultat smo dobili (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Ostaja nam, da ta rezultat zapišemo v obliki navadnega ulomka, za katerega ga je treba pomnožiti z 10 tisoč (glej gradivo o pretvorbi ulomkov).

Odgovor: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ločen primer je dvig števila na minus prvo potenco. Vrednost takšne stopnje je enaka številki, ki je nasprotna prvotni vrednosti osnove: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Primer 8

Primer: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kako povečati število na ulomno potenco

Za izvedbo takšne operacije se moramo spomniti osnovne definicije stopnje z delnim eksponentom: a m n \u003d a m n za vsako pozitivno a, celo število m in naravno n.

2. opredelitev

Tako je treba izračun ulomne stopnje izvesti v dveh korakih: dvig na celo število in iskanje korena n-te stopnje.

Imamo enakost a m n = a m n , ki se glede na lastnosti korenin običajno uporablja za reševanje problemov v obliki a m n = a n m . To pomeni, da če dvignemo število a na ulomno potenco m / n, potem najprej iz a izvlečemo koren n-te stopnje, nato pa rezultat povišamo na potenco s celim eksponentom m.

Ponazorimo s primerom.

Primer 9

Izračunaj 8-2 3 .

Odločitev

Metoda 1. Po osnovni definiciji lahko to predstavimo kot: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Zdaj izračunajmo stopnjo pod korenom in iz rezultata izvlečemo tretji koren: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Pretvorimo osnovno enakost: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Nato izvlečemo koren 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 in kvadriramo rezultat: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vidimo, da so rešitve enake. Uporabite lahko na kakršen koli način.

Obstajajo primeri, ko ima stopnja indikator, izražen kot mešano število ali decimalni ulomek. Za lažji izračun je bolje, da ga zamenjate z navadnim ulomkom in štejete, kot je navedeno zgoraj.

Primer 10

Dvignite 44,89 na potenco 2,5.

Odločitev

Pretvorimo vrednost kazalnika v navaden ulomek - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

In zdaj izvajamo vsa zgoraj navedena dejanja po vrstnem redu: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 13 5 = 1 = 20 13 501, 25107

Odgovor: 13501, 25107.

Če sta števec in imenovalec ulomnega eksponenta velike številke, nato pa izračun takih moči z racionalni kazalniki- precej težko delo. Običajno zahteva računalniško tehnologijo.

Ločeno se osredotočimo na stopnjo z ničelno bazo in ulomnim eksponentom. Izrazu v obliki 0 m n lahko damo naslednji pomen: če je m n > 0, potem je 0 m n = 0 m n = 0 ; če m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kako dvigniti število na iracionalno moč

Potreba po izračunu vrednosti stopnje, v kazalcu katere je iracionalno število, se ne pojavi tako pogosto. V praksi je naloga običajno omejena na izračun približne vrednosti (do določenega števila decimalnih mest). To se običajno izračuna na računalniku zaradi zapletenosti takšnih izračunov, zato se o tem ne bomo podrobneje zadrževali, navedli bomo le glavne določbe.

Če moramo izračunati vrednost stopnje a z iracionalnim eksponentom a , potem vzamemo decimalni približek eksponenta in odštejemo od njega. Rezultat bo približen odgovor. Bolj natančen kot je decimalni približek, natančnejši je odgovor. Pokažimo s primerom:

Primer 11

Izračunajte približno vrednost 21, 174367 ....

Odločitev

Omejimo se na decimalni približek a n = 1, 17. Naredimo izračune s to številko: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Če vzamemo na primer približek a n = 1 , 1743 , potem bo odgovor nekoliko bolj natančen: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Boste potrebovali

kalkulator, računalnik, excel aplikacija.

Navodilo

Za dvig decimalke ulomek v kvadratni, vzemite inženirskega, pokličite nanj, ki se vgrajuje kvadratni ulomek in pritisnite tipko za eksponentiranje. Na večini kalkulatorjev je ta gumb označen z "x²". Na standardnem kalkulatorju Windows je dvig na kvadratni izgleda kot "x^2". na primer kvadratni decimalni ulomek 3,14 bo enak: 3,14² = 9,8596.

Za dvig na kvadratni decimalka ulomek na običajnem (računovodskem) kalkulatorju to število pomnožite s seboj. Mimogrede, v nekaterih modelih kalkulatorjev je mogoče dvigniti številko na kvadratni tudi če ni posebnega gumba. Zato najprej preberite navodila za določen kalkulator. Včasih so na zadnji platnici ali na kalkulatorju podane "zapletene" stopnjevanja. Na primer na številnih kalkulatorjih za dvig števila do kvadratni samo pritisnite gumba "x" in "=".

Za erekcijo v kvadratni navadni ulomek (sestavljen iz števca in imenovalca), dvignite na kvadratni ločeno števec in imenovalec tega ulomka. To pomeni, da uporabite naslednje pravilo: (h / z)² = h² / z², kjer je h števec ulomka, z imenovalec ulomka Primer: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Če je postavljen v kvadratni ulomek- mešano (sestavljeno iz celega dela in navadnega ulomka), nato ga najprej pripeljemo do navaden videz. To pomeni, uporabite naslednjo formulo: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² = (ts * s + h) ² / s², kjer je ts celo število mešani ulomek Primer: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Če v kvadratni(ne) ulomki so konstantni, potem uporabite MS Excel. Če želite to narediti, v eno od tabel vnesite naslednjo formulo: \u003d DEGREE (A2; 2), kjer je A2 naslov celice, v katero bo vnesena vrednost, ki se dvigne kvadratni ulomek.Programu povedati, da je treba z vhodno številko ravnati kot ulomek yu (tj. ne pretvarjajte ga v decimalno), vnesite prej ulomekštevilka "0" in znak "presledek". Se pravi, da vnesete na primer ulomek 2/3, morate vnesti: "0 2/3" (in pritisnite Enter). V tem primeru bo v vhodni vrstici prikazan decimalni prikaz vnesenega ulomka. Vrednost in predstavitev ulomka neposredno v bo ohranjena v izvirni obliki. Poleg tega pri uporabi matematične funkcije, katerih argumenti so navadni ulomki, bo rezultat predstavljen tudi kot navaden ulomek. Zato kvadratni ulomek 2/3 bo predstavljen kot 4/9.