Proprietățile sinusurilor și cosinusurilor formulei. Identități trigonometrice de bază

Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în zilele Greciei antice. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus o contribuție importantă la dezvoltarea acestei științe.

Acest articol este dedicat conceptelor și definițiilor de bază ale trigonometriei. Se discută definițiile principalelor funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Se explică și se ilustrează semnificația lor în contextul geometriei.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice, al căror argument este un unghi, au fost exprimate prin raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.

Definiții ale funcțiilor trigonometrice

Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.

Cosinusul unghiului (cos α) este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Tangenta unghiului (t g α) este raportul catetului opus față de cel alăturat.

Cotangenta unghiului (c t g α) este raportul dintre catetul adiacent și cel opus.

Aceste definiții sunt date pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic!

Să dăm o ilustrare.

În triunghiul ABC cu unghi drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul dintre catetul BC și ipotenuza AB.

Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei fac posibilă calcularea valorilor acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi.

Important de reținut!

Gama de valori sinus și cosinus: de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinus și cosinus iau valori de la -1 la 1. Gama de valori tangente și cotangente este întreaga linie numerică, adică acestea funcțiile pot lua orice valoare.

Definițiile date mai sus se referă la unghiuri ascuțite. În trigonometrie, este introdus conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată de cadre de la grade 0 la 90. Unghiul de rotație în grade sau radiani este exprimat prin orice număr real din - ∞ la + ∞.

În acest context, se poate defini sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de mărime arbitrară. Imaginează-ți un cerc unitar centrat la originea sistemului de coordonate carteziene.

Punctul de pornire A cu coordonatele (1 , 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar cu un anumit unghi α și merge la punctul A 1 . Definiția este dată prin coordonatele punctului A 1 (x, y).

Sinus (sin) al unghiului de rotație

Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) al unghiului de rotație

Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) unghiului de rotație

Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x

Cotangente (ctg) a unghiului de rotație

Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata punctului după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta nu este definită atunci când punctul de după rotație merge la punctul cu abscisă zero (0 , 1) și (0 , - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangenta. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata punctului dispare.

Important de reținut!

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.

Tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Când rezolvați exemple practice, nu spuneți „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că din context este deja clar ce este în joc.

Numerele

Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr și nu unghiului de rotație?

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t se numește un număr, care este, respectiv, egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta în t radian.

De exemplu, sinusul lui 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.

Există o altă abordare pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să o luăm în considerare mai detaliat.

Orice număr real t un punct de pe cercul unitar este pus în corespondență cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt definite în funcție de coordonatele acestui punct.

Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).

număr pozitiv t

Număr negativ t corespunde punctului în care se va deplasa punctul de plecare dacă se deplasează în sens invers acelor de ceasornic în jurul cercului și trece pe calea t .

Acum că s-a stabilit legătura dintre număr și punctul de pe cerc, trecem la definirea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Sinusul (păcatul) al numărului t

Sinusul unui număr t- ordonata punctului cercului unitar corespunzatoare numarului t. sin t = y

Cosinus (cos) al lui t

Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x

Tangenta (tg) a lui t

Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t

Aceste din urmă definiții sunt în concordanță cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestei secțiuni. Punct pe un cerc corespunzător unui număr t, coincide cu punctul la care trece punctul de plecare după întoarcerea prin unghi t radian.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corespunde unei anumite valori a tangentei. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Putem spune că sin α , cos α , t g α , c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, se poate vorbi de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei valori specifice a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k , k ∈ Z, corespund valorii tangentei. Cotangenta este definită în mod similar pentru toate numerele, cu excepția π · k , k ∈ Z.

Funcții de bază ale trigonometriei

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.

De obicei, din context este clar cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.

Să revenim la datele de la începutul definițiilor și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt în deplin acord cu definițiile geometrice date de rapoartele laturilor unui triunghi dreptunghic. Să o arătăm.

Luați un cerc unitar centrat pe un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Să rotim punctul de pornire A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să tragem din punctul rezultat A 1 (x, y) perpendicular pe axa x. În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y) . Lungimea catetului opus colțului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.

În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Aceasta înseamnă că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în acest sens, cercul trigonometric se dovedește din nou a fi cel mai bun ajutor.

Amintiți-vă definițiile cosinusului și sinusului.

Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonatele de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător rotației cu un unghi dat.

Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător rotației printr-un unghi dat.

Direcția pozitivă a mișcării de-a lungul cercului trigonometric este considerată a fi mișcarea în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonatele (1; 0)

Folosim aceste definiții pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice.

1. Rezolvați ecuația

Această ecuație este satisfăcută de toate aceste valori ale unghiului de rotație, care corespund punctelor cercului, a căror ordonată este egală cu .

Să marchem un punct cu ordonată pe axa y:

Desenați o linie orizontală paralelă cu axa x până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe un cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație ale și radianilor:

Dacă, lasând punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face oricâte viraje „inactiv” ne dorim, revenind la același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” este notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în ​​direcții pozitive, cât și în direcții negative, (sau ) poate lua orice valoare întreagă.

Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:

, , - set de numere întregi (1)

În mod similar, a doua serie de soluții are forma:

, Unde , . (2)

După cum ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul cercului corespunzător unghiului de rotație cu .

Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:

Dacă luăm această intrare (adică chiar), atunci vom obține prima serie de soluții.

Dacă luăm această intrare (adică impar), atunci vom obține a doua serie de soluții.

2. Acum să rezolvăm ecuația

Întrucât abscisa punctului cercului unitar este obținută prin rotirea prin unghi, marchem pe axă un punct cu abscisa:

Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe un cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație de și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne deplasăm în sensul acelor de ceasornic, obținem un unghi negativ de rotație:

Scriem două serii de soluții:

,

,

(Ajungem la punctul potrivit trecând din cercul complet principal, adică.

Să combinăm aceste două serii într-o singură postare:

3. Rezolvați ecuația

Linia tangentelor trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY

Marcați un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a cărei unghiuri este 1):

Conectați acest punct la origine cu o linie dreaptă și marcați punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:

Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la o distanță de radiani, putem scrie soluția după cum urmează:

4. Rezolvați ecuația

Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.

Marcam un punct cu abscisa -1 pe linia cotangentelor:

Conectați acest punct la originea dreptei și continuați-l până când se intersectează cu cercul. Această linie va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație ale și radianilor:

Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , atunci putem scrie soluția generală a acestei ecuații după cum urmează:

În exemplele date, ilustrând soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.

Cu toate acestea, dacă există o valoare care nu este tabelă în partea dreaptă a ecuației, atunci înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:

SOLUTII SPECIALE:

Marcați punctele de pe cerc a cărui ordonată este 0:

Marcați un singur punct pe cerc, a cărui ordonată este egală cu 1:

Marcați un singur punct pe cerc, a cărui ordonată este egală cu -1:

Deoarece se obișnuiește să se indice valorile cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:

Marcați punctele de pe cerc, a cărui abscisă este 0:

5.
Să marchem un singur punct pe cerc, a cărui abscisă este egală cu 1:

Marcați un singur punct pe cerc, a cărui abscisă este egală cu -1:

Și câteva exemple mai complexe:

1.

Sinusul este unul dacă argumentul este

Argumentul sinusului nostru este , deci obținem:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la 3:

Răspuns:

2.

Cosinusul este zero dacă argumentul cosinus este

Argumentul cosinusului nostru este , deci obținem:

Exprimăm , pentru aceasta ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:

Simplificați partea dreaptă:

Împărțiți ambele părți la -2:

Rețineți că semnul înainte de termen nu se schimbă, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.

Răspuns:

Și în concluzie, urmăriți tutorialul video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind un cerc trigonometric”

Astfel se încheie conversația despre rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Data viitoare vom vorbi despre cum să rezolvăm.

Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din cauza necesității de a calcula mărimi în triunghiuri dreptunghiulare. S-a observat că dacă nu se modifică valoarea gradului de măsură a unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic, atunci raportul de aspect, oricât de mult se schimbă aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.

Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, iar cosinusul este raportul catetului adiacent și ipotenuză.

Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor

Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite nu numai în triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau ascuțit, latura oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusului și sinusului.

Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele”.

Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit micului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.

Derivate

O derivată este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt folosite în geometrie și într-o serie de discipline tehnice.

Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabelare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar derivata cosinusului este sinusul, dar cu semnul minus.

Aplicație în matematică

Mai ales des, sinusurile și cosinusurile sunt folosite în rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare și a problemelor legate de acestea.

Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, împărțind forme și obiecte complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii și, adesea ocupându-se de calculele raporturilor de aspect și măsurilor de grade, au petrecut mult timp și efort calculând cosinus și sinusuri ale unghiurilor care nu sunt de tip tabel.

Apoi au venit în ajutor tabelele lui Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. În vremea sovietică, unii profesori își obligau pupiile să memoreze paginile tabelelor Bradis.

Radian - valoarea unghiulară a arcului, pe lungimea egală cu raza sau 57,295779513 ° grade.

Gradul (în geometrie) - 1/360 dintr-un cerc sau 1/90 dintr-un unghi drept.

π = 3,141592653589793238462… (valoarea aproximativă a lui pi).

Tabel cosinus pentru unghiuri: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Unghiul x (în grade)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Unghiul x (în radiani)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Începem studiul nostru de trigonometrie cu un triunghi dreptunghic. Să definim care sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.

Amintește-ți asta unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate din colțul desfășurat.

Colt ascutit- sub 90 de grade.

Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „blunt” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)

Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat. Rețineți că latura opusă colțului este notă cu aceeași literă, doar mică. Deci, se notează latura opusă unghiului A.

Un unghi este notat cu litera greacă corespunzătoare.

Ipotenuză Un triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.

Picioarele- laturi opuse colțurilor ascuțite.

Piciorul opus colțului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe o parte a colțului, se numește adiacent.

Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:

Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:

Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul opus și cel adiacent:

O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:

Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul adiacent și opus (sau, echivalent, raportul dintre cosinus și sinus):

Acordați atenție rapoartelor de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, care sunt date mai jos. Ne vor fi de folos în rezolvarea problemelor.

Să demonstrăm unele dintre ele.

Bine, am dat definiții și formule scrise. Dar de ce avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?

Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este.

Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .

Se dovedește că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând două laturi dintr-un triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Deci, pentru unghiuri - raportul lor, pentru laturi - propriul lor. Dar ce să faci dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc un unghi (cu excepția unuia drept) și o latură, dar trebuie să găsești alte laturi?

Asta s-au confruntat oamenii în trecut, făcând hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.

Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcțiile trigonometrice ale unghiului- dați raportul dintre petreceriși colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.

De asemenea, vom desena un tabel de valori sinus, cosinus, tangente și cotangente pentru unghiurile „bune” de la până.

Observați cele două liniuțe roșii din tabel. Pentru valorile corespunzătoare ale unghiurilor, tangenta și cotangenta nu există.

Să analizăm câteva probleme de trigonometrie din sarcinile Băncii de FIPI.

1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .

Problema este rezolvată în patru secunde.

În măsura în care , .

2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .

Să aflăm după teorema lui Pitagora.

Problema rezolvata.

Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și . Memorează pe de rost rapoartele de bază pentru ei!

Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.

Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.

Am luat în considerare problemele pentru rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare - adică pentru găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! În variantele examenului la matematică sunt multe sarcini în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului exterior al triunghiului. Mai multe despre asta în articolul următor.

Înțelegerea unor concepte simple: sinus și cosinus si calcul cosinus pătrat și sinus pătrat.

Sinusul și cosinusul sunt studiate în trigonometrie (știința triunghiurilor cu unghi drept).

Prin urmare, pentru început, să ne amintim conceptele de bază ale unui triunghi dreptunghic:

Ipotenuză- latura care se află întotdeauna opusă unghiului drept (unghi de 90 de grade). Ipotenuza este cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic.

Cele două laturi rămase dintr-un triunghi dreptunghic se numesc picioare.

De asemenea, amintiți-vă că cele trei unghiuri dintr-un triunghi însumează întotdeauna 180°.

Acum să trecem la cosinusul și sinusul unghiului alfa (∠α)(deci puteți apela orice unghi nedrept într-un triunghi sau puteți utiliza ca simbol x - "x", care nu schimbă esența).

Sinusul unghiului alfa (sin ∠α)- este o atitudine opus catetei (partea opusă unghiului corespunzător) ipotenuzei. Dacă te uiți la figură, atunci sin ∠ABC = AC / BC

Cosinusul unghiului alfa (cos ∠α)- atitudine adiacent la unghiul catetei față de ipotenuză. Privind din nou la figura de mai sus, atunci cos ∠ABC = AB / BC

Și doar pentru a vă aminti: cosinusul și sinusul nu vor fi niciodată mai mari decât unu, deoarece fiecare rolă este mai scurtă decât ipotenuza (și ipotenuza este cea mai lungă latură a oricărui triunghi, deoarece cea mai lungă latură este situată opus celui mai mare unghi din triunghi) .

Cosinus pătrat, sinus pătrat

Acum să trecem la formulele trigonometrice de bază: calcularea cosinusului la pătrat și a sinusului la pătrat.

Pentru a le calcula, ar trebui să vă amintiți identitatea trigonometrică de bază:

sin 2 α + cos 2 α = 1(pătratul sinus plus pătratul cosinus al unui unghi este întotdeauna egal cu unu).

Din identitatea trigonometrică tragem concluzii despre sinus:

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α

sinus pătrat alfa este egal cu unu minus cosinusul unghiului dublu alfa și toate acestea se împart la doi.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Din identitatea trigonometrică tragem concluzii despre cosinus:

cos 2 α \u003d 1 - sin 2 α

sau o versiune mai complexă a formulei: cosinus pătrat alfa este egal cu unu plus cosinusul unghiului dublu alfa și, de asemenea, împarte totul la doi.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Aceste două formule mai complexe de sinus pătrat și cosinus pătrat sunt, de asemenea, numite „reducere de putere pentru pătratele funcțiilor trigonometrice”. Acestea. a fost gradul doi, coborât la primul și calculele au devenit mai comode.