Suma funcțiilor pare și impare. Funcții pare și impare

Funcțiile pare și impare sunt una dintre principalele sale proprietăți, iar paritatea ocupă o parte impresionantă a cursului școlar de matematică. Determină în mare măsură natura comportamentului funcției și facilitează foarte mult construcția graficului corespunzător.

Să definim paritatea funcției. În general, funcția studiată este considerată chiar dacă pentru valori opuse ale variabilei independente (x) situate în domeniul acesteia, valorile corespunzătoare ale lui y (funcția) sunt egale.

Să dăm o definiție mai riguroasă. Luați în considerare o funcție f (x), care este definită în domeniul D. Va fi chiar dacă pentru orice punct x situat în domeniul definiției:

• -x (punctul opus) se află, de asemenea, în domeniul dat,

• f(-x) = f(x).

Din definiția de mai sus rezultă condiția necesară domeniului de definire a unei astfel de funcții și anume simetria față de punctul O, care este originea coordonatelor, întrucât dacă un punct b este conținut în domeniul de definire al unei funcția pară, atunci punctul corespunzător - b se află și el în acest domeniu. Din cele de mai sus, deci, rezultă concluzia: o funcție pară are o formă care este simetrică față de axa ordonatelor (Oy).

Cum se determină paritatea unei funcții în practică?

Fie dat folosind formula h(x)=11^x+11^(-x). Urmând algoritmul care decurge direct din definiție, studiem în primul rând domeniul său de definire. Evident, este definit pentru toate valorile argumentului, adică prima condiție este îndeplinită.

Următorul pas este înlocuirea argumentului (x) cu valoarea sa opusă (-x).
Primim:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Deoarece adunarea satisface legea comutativă (deplasare), este evident că h(-x) = h(x) și dependența funcțională dată este pară.

Să verificăm uniformitatea funcției h(x)=11^x-11^(-x). Urmând același algoritm, obținem h(-x) = 11^(-x) -11^x. Scotând minusul, ca urmare, avem
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Prin urmare, h(x) este impar.

Apropo, trebuie amintit că există funcții care nu pot fi clasificate după aceste criterii, ele nu se numesc nici pare, nici impare.

Chiar și funcțiile au o serie de proprietăți interesante:

• ca urmare a adunării unor funcții similare, se obține una pară;
• ca urmare a scaderii unor astfel de functii se obtine una par;
• chiar, de asemenea chiar;
• ca urmare a înmulțirii a două astfel de funcții se obține una par;
• ca urmare a înmulțirii funcțiilor pare și impare se obține una impar;
• ca urmare a împărțirii funcțiilor pare și impare se obține una impar;
• derivata unei astfel de funcții este impară;
• Dacă pătram o funcție impară, obținem una par.

Paritatea unei funcții poate fi utilizată în rezolvarea ecuațiilor.

Pentru a rezolva o ecuație ca g(x) = 0, în care partea stângă a ecuației este o funcție pară, va fi suficient să-i găsiți soluțiile pentru valorile nenegative ale variabilei. Rădăcinile obținute ale ecuației trebuie combinate cu numere opuse. Una dintre ele este supusă verificării.

Același lucru este folosit cu succes pentru a rezolva probleme non-standard cu un parametru.

De exemplu, există vreo valoare pentru parametrul a care ar face ca ecuația 2x^6-x^4-ax^2=1 să aibă trei rădăcini?

Dacă ținem cont că variabila intră în ecuație în puteri pare, atunci este clar că înlocuind x cu - x ecuația dată nu se va schimba. Rezultă că, dacă un anumit număr este rădăcina lui, atunci este și numărul opus. Concluzia este evidentă: rădăcinile ecuației, altele decât zero, sunt incluse în mulțimea soluțiilor sale în „perechi”.

Este clar că numărul 0 în sine nu este, adică numărul de rădăcini al unei astfel de ecuații poate fi doar par și, firește, pentru orice valoare a parametrului nu poate avea trei rădăcini.

Dar numărul de rădăcini ale ecuației 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 poate fi impar și pentru orice valoare a parametrului. Într-adevăr, este ușor să verificați dacă setul de rădăcini ecuația dată conţine soluţii în „perechi”. Să verificăm dacă 0 este o rădăcină. Când o înlocuim în ecuație, obținem 2=2. Astfel, pe lângă „pereche” 0 este și o rădăcină, ceea ce dovedește numărul lor impar.

O funcție se numește par (impar) dacă pentru oricare și egalitatea

.

Graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa
.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Exemplul 6.2. Examinați funcțiile pare sau impare

1)
; 2)
; 3)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită cu
. Sa gasim
.

Acestea.
. Deci această funcție este egală.

2) Funcția este definită pentru

Acestea.
. Astfel, această funcție este impară.

3) funcția este definită pentru , i.e. pentru

,
. Prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară. Să o numim o funcție generală.

3. Investigarea unei funcţii pentru monotonitate.

Funcţie
se numește crescător (descrescător) pe un anumit interval dacă în acest interval fiecărei valori mai mari a argumentului îi corespunde o valoare mai mare (mai mică) a funcției.

Funcțiile care cresc (descresc) pe un anumit interval sunt numite monotone.

Dacă funcţia
diferențiabilă pe interval
și are o derivată pozitivă (negativă).
, apoi funcția
crește (descrește) în acest interval.

Exemplul 6.3. Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor

1)
; 3)
.

Soluţie.

1) Această funcție este definită pe toată axa numerelor. Să găsim derivata.

Derivata este zero daca
Și
. Domeniu de definire - axa numerică, împărțită la puncte
,
pentru intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval.

În interval
derivata este negativa, functia scade pe acest interval.

În interval
derivata este pozitivă, prin urmare, funcția este în creștere pe acest interval.

2) Această funcție este definită dacă
sau

.

Determinăm semnul trinomului pătrat în fiecare interval.

Astfel, domeniul de aplicare al funcției

Să găsim derivata
,
, dacă
, adică
, dar
. Să determinăm semnul derivatei în intervale
.

În interval
derivata este negativă, prin urmare, funcția scade pe interval
. În interval
derivata este pozitiva, functia creste pe interval
.

4. Investigarea unei funcții pentru un extremum.

Punct
se numește punctul maxim (minim) al funcției
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului asta pentru toata lumea
acest cartier satisface inegalitatea

.

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc puncte extreme.

Dacă funcţia
la punct are un extremum, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero sau nu există (o condiție necesară pentru existența unui extremum).

Punctele în care derivata este egală cu zero sau nu există sunt numite critice.

5. Condiții suficiente pentru existența unui extremum.

Regula 1. Dacă în timpul trecerii (de la stânga la dreapta) prin punctul critic derivat
schimbă semnul din „+” în „-”, apoi la punctul funcţie
are un maxim; dacă de la „-” la „+”, atunci minimul; dacă
nu schimbă semnul, atunci nu există extremum.

Regula 2. Lasă la punct
derivata prima a functiei
zero
, iar derivata a doua există și este diferită de zero. Dacă
, apoi este punctul maxim, dacă
, apoi este punctul minim al funcției.

Exemplu 6.4 . Explorați funcțiile maxime și minime:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită și continuă pe interval
.

Să găsim derivata
și rezolvați ecuația
, adică
.de aici
sunt puncte critice.

Să determinăm semnul derivatei în intervalele ,
.

La trecerea prin puncte
Și
derivata își schimbă semnul din „–” în „+”, prin urmare, conform regulii 1
sunt punctele minime.

La trecerea printr-un punct
derivata schimbă semnul de la „+” la „-”, deci
este punctul maxim.

,
.

2) Funcția este definită și continuă în interval
. Să găsim derivata
.

Prin rezolvarea ecuației
, găsi
Și
sunt puncte critice. Dacă numitorul
, adică
, atunci derivata nu există. Asa de,
este al treilea punct critic. Să determinăm semnul derivatei în intervale.

Prin urmare, funcția are un minim la punct
, maxim la puncte
Și
.

3) O funcție este definită și continuă dacă
, adică la
.

Să găsim derivata

.

Să găsim punctele critice:

Vecinătăți de puncte
nu aparțin domeniului definiției, deci nu sunt extremum t. Deci haideți să explorăm punctele critice
Și
.

4) Funcția este definită și continuă pe interval
. Folosim regula 2. Aflați derivata
.

Să găsim punctele critice:

Să găsim derivata a doua
și determinați-i semnul la puncte

La puncte
funcția are un minim.

La puncte
funcția are un maxim.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• pentru a forma conceptul de funcții pare și impare, pentru a preda capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți când cercetarea funcţiei, complot;
• să dezvolte activitatea creativă a elevilor, gandire logica, capacitatea de a compara, de a generaliza;
• a cultiva hărnicia, cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

Surse de informare:

1. Clasa de algebră 9 A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră Clasa 9 A.G. Mordkovich. Caiet de sarcini.
3. Algebră clasa a 9-a. Sarcini de învățare și dezvoltare a elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

ÎN CURILE CLASURILOR

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (Cartea cu probleme clasa a IX-a A.G. Mordkovich).

dar) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pentru X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește cu X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la angajare = - 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit algoritmul de explorare a caracteristicilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat pe diapozitiv.

Umple tabelul
	Domeniu	Zerourile funcției	Intervale de constanță		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizare de cunoștințe

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de definiție pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și - 2.
– Pentru care dintre funcțiile date în domeniul definiției sunt egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pune datele în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafice	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită.

4. material nou

– Performant acest lucru, băieți, am dezvăluit încă o proprietate a funcției, necunoscută pentru voi, dar nu mai puțin importantă decât restul - aceasta este funcția pară și impară. Scrieți subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm cum să determinăm funcțiile pare și impare, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și al trasării.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. unu Funcţie la = f (X) definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X în curs egalitatea f (–x) = f (x). Dă exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este îndeplinită. Dă exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n este un întreg, se poate argumenta că funcția este impară pentru n este impar și funcția este pară pentru n- chiar.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu este nici par, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt îndeplinite f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul întrebării dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

Definițiile 1 și 2 s-au ocupat de valorile funcției la x și - x, astfel că se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

AOD 3. Dacă set de numereîmpreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus -x, apoi mulțimea X se numeste multime simetrica.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt nesimetrice.

- Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție - o mulțime simetrică? Cele ciudate?
- Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) este par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Dar este adevărat invers, dacă domeniul unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
- Deci prezența unei mulțimi simetrice a domeniului definiției este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum putem investiga funcția pentru paritate? Să încercăm să scriem un algoritm.

Slide

Algoritm pentru examinarea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, mergeți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).Și f(X):

• dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
• dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
• dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Investigați funcția pentru paritate a) la= x 5 +; b) la= ; în) la= .

Soluţie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), mulțime asimetrică, deci funcția nu este nici pară, nici impară.

în) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

dar); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toți X, îndeplinind condiția X? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toate x care satisface x? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

*** (Atribuirea opțiunii USE).

1. Funcția impară y \u003d f (x) este definită pe întreaga linie reală. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

Conversie grafică.

Descrierea verbală a funcției.

Mod grafic.

Modul grafic de specificare a unei funcții este cel mai ilustrativ și este adesea folosit în inginerie. ÎN analiză matematică modul grafic de setare a funcțiilor este folosit ca ilustrație.

Graficul funcției f este mulțimea tuturor punctelor (x; y) ale planului de coordonate, unde y=f(x) și x „parcurge” întregul domeniu al funcției date.

O submulțime a planului de coordonate este un grafic al unei funcții dacă are cel mult un punct comun cu orice dreaptă paralelă cu axa Oy.

Exemplu. Cifrele de mai jos sunt grafice ale funcțiilor?

avantaj sarcină grafică este vizibilitatea lui. Puteți vedea imediat cum se comportă funcția, unde crește, unde scade. Din grafic, puteți afla imediat câteva caracteristici importante ale funcției.

În general, analitic moduri grafice atribuirile de funcții merg mână în mână. Lucrul cu formula ajută la construirea unui grafic. Iar graficul sugerează adesea soluții pe care nu le vei observa în formulă.

Aproape orice student cunoaște cele trei moduri de a defini o funcție pe care tocmai le-am acoperit.

Să încercăm să răspundem la întrebarea: „Există și alte moduri de a defini o funcție?”

Există o astfel de cale.

O funcție poate fi definită fără ambiguitate în cuvinte.

De exemplu, funcția y=2x poate fi definită prin următoarea descriere verbală: fiecărei valori reale a argumentului x i se atribuie valoarea sa dublată. Regula este stabilită, funcția este stabilită.

Mai mult, este posibilă precizarea verbală a unei funcții, ceea ce este extrem de dificil, dacă nu imposibil, de precizat printr-o formulă.

De exemplu: fiecare valoare a argumentului natural x este asociată cu suma cifrelor care alcătuiesc valoarea lui x. De exemplu, dacă x=3, atunci y=3. Dacă x=257, atunci y=2+5+7=14. etc. Este dificil să notezi asta într-o formulă. Dar masa este ușor de făcut.

Metoda descrierii verbale este o metodă destul de rar folosită. Dar uneori se întâmplă.

Dacă există o lege a corespondenței unu-la-unu între x și y, atunci există o funcție. Ce lege, sub ce formă este exprimată - printr-o formulă, tabletă, grafic, cuvinte - nu schimbă esența materiei.

Luați în considerare funcțiile ale căror domenii de definiție sunt simetrice față de originea coordonatelor, i.e. pentru oricine X număr în afara domeniului de aplicare (- X) aparține și domeniului definiției. Printre aceste funcții se numără par si impar.

Definiție. Se apelează funcția f chiar, dacă pentru vreunul Xîn afara domeniului său

Exemplu. Luați în considerare funcția

Ea este egală. Hai să verificăm.

Pentru oricine X egalitățile

Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este pară. Mai jos este un grafic al acestei funcții.

Definiție. Se apelează funcția f ciudat, dacă pentru vreunul Xîn afara domeniului său

Exemplu. Luați în considerare funcția

Ea este ciudată. Hai să verificăm.

Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul (0; 0).

Pentru oricine X egalitățile

Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al acestei funcții.

Graficele prezentate în prima și a treia figură sunt simetrice față de axa y, iar graficele prezentate în figurile a doua și a patra sunt simetrice față de origine.

Care dintre funcțiile ale căror grafice sunt prezentate în figuri sunt pare și care sunt impare?

Funcţie este unul dintre cele mai importante concepte matematice. Funcție - dependență variabilă la dintr-o variabilă X, dacă fiecare valoare X se potrivește cu o singură valoare la. variabil X numită variabilă sau argument independent. variabil la numită variabilă dependentă. Toate valorile variabilei independente (variabile X) formează domeniul funcției. Toate valorile pe care le ia variabila dependentă (variabilă y), formează domeniul funcției.

Graficul funcției ei numesc mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției, adică valorile variabilele sunt trasate de-a lungul abscisei X, iar valorile variabilei sunt reprezentate grafic de-a lungul axei y y. Pentru a reprezenta o funcție, trebuie să cunoașteți proprietățile funcției. Principalele proprietăți ale funcției vor fi discutate mai jos!

Pentru a reprezenta un grafic al unei funcții, vă recomandăm să utilizați programul nostru - Graphing Functions Online. Dacă aveți întrebări în timp ce studiați materialul de pe această pagină, le puteți adresa oricând pe forumul nostru. Tot pe forum vei fi ajutat sa rezolvi probleme de matematica, chimie, geometrie, teoria probabilitatilor si multe alte materii!

Proprietățile de bază ale funcțiilor.

1) Domeniul de aplicare a funcției și domeniul de funcționare.

Sfera unei funcții este setul tuturor valorilor valide valide ale argumentului X(variabil X) pentru care funcţia y = f(x) definit.
Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor valorilor reale y pe care funcția le acceptă.

În matematica elementară, funcțiile sunt studiate numai pe mulțimea numerelor reale.

2) Zerourile funcției.

Valori X, la care y=0, se numește zerouri ale funcției. Acestea sunt abscisele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa x.

3) Intervale de constanță a semnului unei funcții.

Intervalele de constanță de semn ale unei funcții sunt astfel de intervale de valori X, pe care valorile funcției y fie numai pozitive fie numai negative sunt numite intervale de constanță de semn ale funcției.

4) Monotonitatea funcției.

O funcție crescătoare (într-un anumit interval) este o funcție în care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mari a funcției.

Funcție descrescătoare (într-un anumit interval) - o funcție în care o valoare mai mare a argumentului din acest interval corespunde unei valori mai mici a funcției.

5) Funcții pare (impare)..

O funcție pară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X f(-x) = f(x). Graficul unei funcții pare este simetric față de axa y.

O funcție impară este o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(-x) = - f(x). Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Chiar și funcție
1) Domeniul de definiție este simetric față de punctul (0; 0), adică dacă punctul A aparține domeniului definiției, apoi punctul -A aparține și domeniului definiției.
2) Pentru orice valoare X f(-x)=f(x)
3) Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

funcţie impară are urmatoarele proprietati:
1) Domeniul de definiție este simetric față de punctul (0; 0).
2) pentru orice valoare X, care aparține domeniului definiției, egalității f(-x)=-f(x)
3) Graficul unei funcții impare este simetric față de originea (0; 0).

Nu toate funcțiile sunt par sau impare. Funcții vedere generala nu sunt nici pare, nici impare.

6) Funcții limitate și nelimitate.

O funcție se numește mărginită dacă există un număr pozitiv M astfel încât |f(x)| ≤ M pentru toate valorile lui x. Dacă nu există un astfel de număr, atunci funcția este nemărginită.

7) Periodicitatea funcției.

O funcție f(x) este periodică dacă există un număr T diferit de zero, astfel încât pentru orice x din domeniul funcției, f(x+T) = f(x). Astfel de cel mai mic număr se numeste perioada functiei. Tot funcții trigonometrice sunt periodice. (Formulele trigonometrice).

Funcţie f se numește periodic dacă există un număr astfel încât pentru oricare X din domeniul definirii egalitatea f(x)=f(x-T)=f(x+T). T este perioada funcției.

Fiecare funcție periodică are un număr infinit de perioade. În practică, este de obicei considerată cea mai mică perioadă pozitivă.

Valorile funcției periodice se repetă după un interval egal cu perioada. Acesta este folosit la trasarea graficelor.