Acum întrebarea este: cum să ridici un număr la ir grad rațional? De exemplu, vrem să știm ce este 10 √2. Răspunsul este, în principiu, foarte simplu. Să luăm în loc de √2 aproximarea sa sub forma unei zecimale finite drdbi - aceasta este Numar rational. Putem ridica într-un grad rațional; se rezumă la ridicarea la o putere întreagă și extragerea rădăcinii. Vom obține valoarea aproximativă a numărului. Puteți lua o fracție zecimală mai lungă (acesta este din nou un număr rațional). Apoi trebuie să extragi rădăcina de un grad mai mare; deoarece numitorul fracție rațională va crește, dar vom obține o aproximare mai precisă. Desigur, dacă luăm valoarea aproximativă a lui √2 ca o fracție foarte lungă, atunci exponențiarea va fi foarte dificilă. Cum să faci față acestei sarcini?

Calculul rădăcinilor pătrate, rădăcinilor cubice și a altor rădăcini de grad scăzut este un proces aritmetic care ne este destul de accesibil; calculând, secvențial, una după alta, scriem zecimale. Dar pentru a ridica la o putere irațională sau a lua un logaritm (pentru a rezolva problema inversă), este nevoie de o astfel de muncă încât să nu mai fie ușor de aplicat procedura anterioară. Mesele vin în ajutor. Ele sunt numite tabele de logaritmi sau tabele de puteri, în funcție de ceea ce sunt destinate. Ele economisesc timp: pentru a ridica un număr la o putere irațională, nu calculăm, ci doar întoarcem paginile.

Deși calculul valorilor colectate în tabele este o procedură pur tehnică, este totuși o chestiune interesantă și are o istorie lungă. Deci, să vedem cum se face. Vom calcula nu numai x \u003d 10 √2, dar vom rezolva și o altă problemă: 10 x \u003d 2, sau x \u003d log 10 2. Când rezolvăm aceste probleme, nu vom descoperi numere noi; acestea sunt doar probleme de calcul. Soluția va fi numere iraționale, fracții zecimale infinite și este cumva incomod să le declarăm un nou tip de numere.

Să ne gândim cum să ne rezolvăm ecuațiile. Ideea generala foarte simplu. Dacă calculăm 10 1 și 10 1/10 , și 10 1/100 , și 10 1/1000 , etc., și apoi înmulțim rezultatele, obținem 10 1,414 ... sau l0 √ 2 Făcând aceasta, vom rezolva orice problema de acest gen. Totuși, în loc de 10 1/10 etc., vom calcula 10 1/2 și 10 1/4 etc. Înainte de a începe, să explicăm de ce ne referim la numărul 10 mai des decât la alte numere. Știm că semnificația tabelelor de logaritmi depășește cu mult problema matematică a calculării rădăcinilor, deoarece

Acest lucru este bine cunoscut de oricine a folosit tabelul de logaritmi pentru a înmulți numere. Pe ce bază b să luăm logaritmi? Nu contează; La urma urmei, doar principiul este pus la baza unor astfel de calcule, proprietate comună funcţie logaritmică. După ce ați calculat logaritmii o dată pentru o bază arbitrară, puteți merge la logaritmii pentru o altă bază folosind înmulțirea. Dacă înmulțiți ecuația (22.3) cu 61, atunci va rămâne adevărată, deci dacă înmulțiți toate numerele din tabelul de logaritmi la baza b cu 61, atunci un astfel de tabel poate fi, de asemenea, utilizat. Să presupunem că cunoaștem logaritmii tuturor numerelor la baza b. Cu alte cuvinte, putem rezolva ecuația b a = c pentru orice c; există o masă pentru asta. Problema este cum să găsiți logaritmul aceluiași număr c într-o bază diferită, cum ar fi x. Trebuie să rezolvăm ecuația x a’ = c. Acest lucru este ușor de făcut deoarece x poate fi întotdeauna reprezentat ca x = b t . Găsirea lui t dat x și b este simplă: t = log b x. Să substituim acum x = b t în ecuația x a’ = c; va intra în această ecuație: (b t) a’ = b ta’ = c. Cu alte cuvinte, produsul ta' este logaritmul lui c la baza b. Deci a' = a/t. Astfel, logaritmii la baza x sunt egali cu produsele logaritmilor la baza b și numărul constant l/t. Prin urmare, toate tabelele de logaritmi sunt echivalente până la înmulțirea cu numărul l/log b x. Acest lucru ne permite să alegem orice bază pentru tabulare, dar am decis că este cel mai convenabil să folosim ca bază numărul 10. (Poate apărea întrebarea: există încă o bază naturală care face ca totul să pară mai simplu? Noi Vom încerca pentru a răspunde la această întrebare mai târziu, în timp ce toți logaritmii vor fi calculați în baza 10.)

Acum să vedem cum este compilat tabelul de logaritmi. Lucrarea începe cu extrageri succesive ale rădăcinii pătrate a lui 10. Rezultatul poate fi văzut în tabel. 22.1. Exponenții sunt înscriși în prima sa coloană, iar numerele 10 s sunt în a treia. Este clar că 10 1 \u003d 10. Creșterea puterii cu 10 la jumătate este ușoară - aceasta este Rădăcină pătrată din 10 și toată lumea știe să ia rădăcina pătrată a oricărui număr. (Rădăcina pătrată este cel mai bine luată nu în modul în care se predă de obicei la școală, ci puțin diferit. Pentru a extrage rădăcina pătrată a numărului N, alegem numărul a suficient de apropiat de răspuns, calculăm N / a și medie a' = 1/2; aceasta media va fi un nou număr a, o nouă aproximare a rădăcinii lui N. Acest proces duce foarte repede la obiectiv: numărul de cifre semnificative se dublează după fiecare pas.) Deci avem a găsit prima rădăcină pătrată; este egal cu 3,16228. Ce dă? Oferă ceva. Putem deja spune ce este 10 0,5 și cunoaștem cel puțin un logaritm.

Logaritmul de 3,16228 este foarte aproape de 0,50000. Totuși, mai trebuie să facem un mic efort: avem nevoie de un tabel mai detaliat. Să luăm o altă rădăcină pătrată și să găsim 10 1/4, care este egal cu 1,77828. Acum cunoaștem un alt logaritm: 1,250 este logaritmul lui 17,78; în plus, putem spune cu ce este 10 0,75: la urma urmei, acesta este 10 (0,5 + 0,25), adică produsul numerelor al doilea și al treilea din a treia coloană a tabelului. 22.1. Dacă faceți prima coloană a tabelului suficient de lungă, atunci tabelul va conține aproape toate numerele; înmulțind numerele din a treia coloană, obținem 10 la aproape orice putere. Aceasta este ideea de bază a tabelelor. Tabelul nostru conține zece rădăcini consecutive din 10; munca principală de întocmire a tabelului este investită în calcularea acestor rădăcini.

De ce nu continuăm să îmbunătățim acuratețea tabelelor? Pentru că deja am observat ceva. Prin creșterea 10 la o putere foarte mică, obținem o unitate cu un mic adaos. Acest lucru, desigur, se întâmplă pentru că dacă ridicăm, de exemplu, 10 1/1000 la puterea a 1000-a, atunci obținem din nou 10; este clar că 10 1/1000 nu poate fi un numar mare: este foarte aproape de unitate. Mai mult, micile adăugiri la unitate se comportă ca și cum ar fi împărțite la 2 de fiecare dată; aruncați o privire mai atentă la tabel: 1815 merge la 903, apoi la 450, 225 etc. Astfel, dacă mai calculăm o rădăcină pătrată, a unsprezecea, va fi egală cu 1,00112 cu mare precizie și am ghicit acest rezultat chiar și înainte de calcul. Puteți spune care va fi adăugarea la unu dacă ridicați 10 la puterea lui ∆/1024 deoarece ∆ tinde spre zero? Poate sa. Adunarea va fi aproximativ egală cu 0,0022511∆. Desigur, nu tocmai 0,0022511∆; pentru a calcula această adunare mai precis, ei fac următorul truc: scădeți unul din 10 s și împărțiți diferența la exponentul s. Abateri ale coeficientului obtinut in acest fel de la sa valoare exacta sunt aceleași pentru orice putere a s. Se poate observa că aceste rapoarte (Tabelul 22.1) sunt aproximativ egale. La început diferă foarte mult, dar apoi se apropie unul de celălalt, luptă în mod clar pentru un număr. Ce este acest numar? Să vedem cum se schimbă numerele coloanei a patra dacă coborâm pe coloană. În primul rând, diferența dintre două numere adiacente este 0,0211, apoi 0,0104, apoi 0,0053 și în final 0,0026. Diferența scade de fiecare dată la jumătate. Făcând încă un pas, îl vom aduce la 0,0013, apoi la 0,0007, 0,0003, 0,0002 și în final la aproximativ 0,0001; trebuie să împărțim secvențial 26 la 2. Astfel, vom coborî încă 26 de unități și vom găsi pentru limita 2,3025. (Mai târziu vom vedea că 2,3026 ar fi mai corect, dar să luăm ceea ce avem.) Folosind acest tabel, puteți ridica 10 la orice putere, dacă exponentul său este exprimat în vreun fel prin I / I024.

Acum este ușor să faceți un tabel de logaritmi, deoarece am salvat deja tot ce este necesar pentru aceasta. Procedura pentru aceasta este prezentată în tabel. 22.2, iar numerele necesare sunt preluate din a doua și a treia coloană a tabelului. 22.1.

Să presupunem că vrem să cunoaștem logaritmul lui 2. Aceasta înseamnă că vrem să știm la ce putere trebuie ridicat 10 pentru a obține 2. Poate crește 10 la puterea 1/2? Nu, va fi și așa număr mare. Privind Tabelul 22.1, putem spune că numărul de care avem nevoie se află între 1/4 și 1/2. Să începem să-l căutăm cu 1/4; împărțim 2 la 1,778…, obținem 1,124…; la împărțire, am scăzut 0,250000 din logaritmul lui doi, iar acum ne interesează logaritmul lui 1,124 .... După ce l-am găsit, vom adăuga 1/4 = 256/1024 la rezultat. Să găsim în tabelul 22.1 numărul care, atunci când se deplasează de-a lungul celei de-a treia coloane de sus în jos, ar sta imediat în spatele lui 1,124 .... Acesta este 1,074607. Raportul de 1,124... la 1,074607 este 1,046598. În final, vom reprezenta 2 ca produs al numerelor din tabel. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Pentru ultimul factor (1,000573) nu a fost loc în tabelul nostru; pentru a-i găsi logaritmul, este necesar să reprezentăm acest număr ca 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024. De aici este ușor de găsit că ∆ = 0,254. Astfel, produsul nostru poate fi reprezentat ca un zece ridicat la puterea de 1/1024 (266 + 32 + 16 + 4 + 0,254). Adunând și împărțind, obținem logaritmul dorit: log 10 2 = 0,30103; acest rezultat este corect până la a cincea zecimală!

Am calculat logaritmii exact în același mod ca și domnul Briggs din Halifax în 1620. Când a terminat, a spus: „Am calculat succesiv 54 de rădăcini pătrate din 10”. De fapt, a calculat doar primele 27 de rădăcini, apoi a făcut un truc cu ∆. A calcula de 27 de ori rădăcina pătrată a lui 10 este de fapt puțin mai dificil decât
De 10 ori ca noi. Totuși, domnul Briggs a făcut mult mai mult: a calculat rădăcinile până la a șaisprezecea zecimală, iar când și-a publicat tabelele, le-a lăsat doar 14 zecimale pentru a rotunji erorile. A compila tabele de logaritmi până la a paisprezecea zecimală prin această metodă este foarte dificil. Dar până la 300 de ani mai târziu, compilatorii de tabele de logaritmi erau ocupați să reducă tabelele domnului Briggs, aruncându-le de fiecare dată. număr diferit zecimale. Numai în ultimul timp a fost posibil, cu ajutorul calculatoarelor electronice, să alcătuiască tabele de logaritmi independent de domnul Briggs. A folosit mai mult metoda eficienta calcule bazate pe expansiunea logaritmului într-o serie.

În timp ce alcătuiam tabelele, am dat peste fapt interesant; dacă exponentul ε este foarte mic, atunci se calculează foarte ușor 10 ε ; este doar 1+2,3025ε. Aceasta înseamnă că 10 n/2,3025 = 1 + n pentru n foarte mic. În plus, am spus de la bun început că calculăm baza 10 logaritmi doar pentru că avem 10 degete pe mâini și ne este mai convenabil să numărăm în zeci. Logaritmii la orice altă bază se obțin de la logaritmi la baza 10 prin înmulțire simplă. Acum este timpul să aflăm dacă există o bază de logaritmi distinsă matematic, distinsă din motive care nu au nicio legătură cu numărul degetelor de pe mână. În această scară naturală, formulele cu logaritmi ar trebui să arate mai simple. Să facem un nou tabel de logaritmi înmulțind toți logaritmii de bază 10 cu 2,3025... Aceasta corespunde tranziției la o nouă bază - naturală sau baza e. Rețineți că log e (l + n) ≈ n sau e n ≈ 1 + n atunci când n → 0.

Este ușor să găsiți numărul e în sine; este egal cu 101/ 2,3025 sau 10 0,4342294... Adică 10 la puterea irațională. Pentru a calcula e, puteți folosi tabelul rădăcinilor lui 10. Să reprezentăm 0,434294 ... mai întâi ca 444,73 / 1024, iar numărătorul acestei fracții ca sumă 444,73 \u003d 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0,73 . Numărul e este deci egal cu produsul numerelor
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(Numărul 0,73 nu este în tabelul nostru, dar rezultatul corespunzător poate fi reprezentat ca 1 + 2,3025∆/1024 și calculat cu ∆ = 0,73.) Înmulțind toți cei 7 factori, obținem 2,7184 (cu ar trebui să fie de fapt 2,7183, dar acest rezultat este bun). Folosind astfel de tabele, puteți ridica un număr la o putere irațională și puteți calcula logaritmi numere irationale. Așa se face față iraționalității!

GU "Mediu şcoală cuprinzătoare№5 im. Bauyrzhan Momyshuly"

Departamentul de Educație al Akimat din Kostanay

PLANUL LECȚIEI

Numele complet (în întregime) Plastun Sergey Vladimirovich

Subiect Algebra

Clasa 8A-8b-1

Data 23.09.17

Surse Almaty „Mektep-2016”

Tutorial de bază

literatură suplimentară

Găsind valorile aproximative ale rădăcinii pătrate.

1. Scopul lecției: introducerea elevilor în conceptul de „apropiererădăcină pătrată” și învață cum să aplici acest concept în practică.

Sarcini:

Educational:

- să învețe să găsească valorile aproximative ale rădăcinii pătrate;

-dezvoltarea abilităților de a raționa, de a formula clar reguli, de a da exemple, de a-și aplica cunoștințele și abilitățile în practică.

rădăcină, aruncă și găsește valorile rădăcinii pătrate aritmetice.

În curs de dezvoltare:

- să dezvolte abilitățile elevilor în rezolvarea sarcinilor pe această temă;

- să dezvolte activitatea psihică a elevilor.

Educational:

- educați atenția, activitatea, responsabilitatea.

2. Tipul de lecție:combinate.

3. Forme de lucru cu elevii: frontal, individual.

4. Echipament tehnic necesar.

5. Ajutoare vizuale, materiale didactice folosit in lectie.

6. Structura și cursul lecției.

STRUCTURA ŞI PROCESUL LECŢIEI

În timpul orelor

1. Organizarea timpului .

Verificarea gradului de pregătire a clasei pentru lecție. Salutari.

2. Verificarea temelor.

3. Repetarea materialului învățat anterior.

Să începem cu repetarea. munca orală

Să ne amintim ce este o rădăcină pătrată ( rădăcină pătrată dintr-un număr nenegativ a se numește un număr al cărui pătrat este egal cu a).

(Rădăcină pătrată aritmetică) O rădăcină pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ b al cărui pătrat este egal cu a.

Rădăcina pătrată aritmetică a numărului a se notează astfel:. Semn se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice sau radical și se numește expresie radicală. Expresia sună astfel: „Rădăcina pătrată aritmetică a numărului a”.

Prin definitie rădăcină aritmetică egalitate
efectuate cu condiţia ca
.

4. Învățarea de noi materiale.

1. Calculați: 25, 16, 9, 81,

Aflați valoarea expresiei √2

- Ce trebuia sa faci?

Ce ai primit? (Elevii își arată opțiunile)

Care a fost dificultatea?

Este √2 extras complet?

Cum vom găsi?

Care sunt modalitățile de a găsi rădăcini?

Băieți, vedeți, nu avem întotdeauna de-a face cu numere care sunt ușor de reprezentat ca un pătrat al unui număr care sunt extrase complet din rădăcină.

1 METODA calculați √2 până la două zecimale Vom argumenta după cum urmează.

Numărul √2 este mai mare decât 1 deoarece 1 2< 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то.

1< √2 < 2.

Acum să încercăm să găsim numărul de zecimi.

Pentru a face acest lucru, vom pătrata fracții de la unu la doi până când obținem un număr mai mare de doi.

Să luăm un pas de împărțire de 0,1, deoarece căutăm numărul de zecimi.

Cu alte cuvinte, vom pătrata numerele: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Am primit un număr mai mare de doi, numerele rămase nu mai trebuie să fie pătrate. Numărul 1,4 2 este mai mic decât 2, iar 1,5 2 este deja mai mare decât doi, atunci numărul √2 trebuie să aparțină intervalului de la 1,4 la 1,5. Prin urmare, notația zecimală a numărului √2 pe locul al zecelea trebuie să conțină 4. √2=1,4….

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Deja la 1,42 obținem că pătratul său este mai mare decât doi, alte numere la pătrat nu au sens.

De aici rezultă că numărul √2 va aparține intervalului de la 1,41 la 1,42 (1,41< √2<1,42)

Deoarece trebuie să scriem √2 cu o precizie de două zecimale, putem deja să ne oprim și să nu continuăm calculul.

√2 ≈ 1,41. Acesta va fi răspunsul. Dacă ar fi necesar să se calculeze o valoare și mai precisă, ar trebui să se continue calculele, repetând lanțul de raționament iar și iar.

Sarcina

Calculați cu două zecimale

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Ieșire Această tehnică vă permite să extrageți rădăcina cu orice precizie predeterminată.

2 METODA Pentru a afla partea întreagă a rădăcinii pătrate a unui număr, puteți, scăzând din aceasta toate numerele impare în ordine, până când restul este mai mic decât următorul număr scăzut sau egal cu zero, să numărați numărul de acțiuni efectuate.

De exemplu, să găsim √16 astfel:

4 pași finalizați, deci √16 = 4

Sarcina. calculati

√1 √6

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Foloseste formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Găzduit la http://www.allbest.ru/

Tema calculului aproximativ al rădăcinilor este întotdeauna relevantă, deoarece există sarcini cu rădăcini pătrate în fiecare curs de discipline de științe naturale. În cursul rezolvării multor probleme matematice, precum și probleme de geometrie, fizică, chimie etc. care se ocupă de rădăcini pătrate. Pentru a extrage rădăcina pătrată, există tabele de pătrate pentru numere de două cifre, dar nu este suficient. Factorizarea rădăcinii nu este, de asemenea, o sarcină ușoară, care nu duce întotdeauna la rezultatul dorit și am decis să studiez diferite metode de extragere a rădăcinilor pătrate în vederea aplicării lor practice.

Prin urmare, scopul lucrării vizează compararea diferitelor metode de extracție aproximativă a rădăcinilor pătrate, punând în același timp următoarele sarcini: studierea materialului, identificarea celei mai eficiente metode în funcție de sarcină.

Să rezolvăm ecuația grafic. Pentru a face acest lucru, construim o parabolă și o linie dreaptă în același sistem de coordonate. Abcisele punctelor A și B sunt rădăcinile ecuației. Să rezolvăm ecuația. Este clar că această ecuație are două rădăcini și, în plus, aceste numere, ca și în cele două cazuri precedente, sunt egale în valoare absolută și opuse în semnul (). Conform desenului, nu putem indica valorile exacte ale rădăcinilor. Numărul x1 care ne interesează este situat între numerele 1 și 2, dar între numerele 1 și 2 există o mulțime infinită de numere raționale, de exemplu, etc. În lucrare se demonstrează că având doar numere raționale, nu vom putea rezolva ecuația.

Matematicienii au introdus în considerare un nou simbol, pe care l-au numit rădăcină pătrată, iar cu ajutorul acestui simbol, rădăcinile ecuației au fost scrise după cum urmează: și. Se citește: „rădăcină pătrată aritmetică a două”. Acum, pentru orice ecuație de forma în care, puteți găsi rădăcinile - acestea sunt numerele și.

Rădăcina pătrată a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal. Acest număr este indicat. Dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

Operația de găsire a rădăcinii pătrate a unui număr nenegativ se numește luarea rădăcinii pătrate.

În studiul metodelor de calcul al rădăcinii pătrate s-au găsit mai multe metode, precum: metoda aritmetică; metoda de estimare brută; coloană; calea babiloniană; metoda lui Heron și metoda lui Newton; metoda geometrică. În această lucrare sunt luate în considerare doar câteva dintre ele.

Modul aritmetic

extracția rădăcinii pătrate aproximativă

Pentru pătratele numerelor naturale, următoarele egalități sunt adevărate:

Adică, pentru a afla partea întreagă a rădăcinii pătrate a unui număr, puteți, scăzând din ea toate numerele impare în ordine, până când restul este mai mic decât următorul număr scăzut sau egal cu zero, să numărați numărul de acțiuni. efectuat.

De exemplu, să găsim rădăcina pătrată a lui 16 astfel:

Au fost efectuate 4 acțiuni, ceea ce înseamnă că rădăcina pătrată a numărului 16 este 4. În mod similar, găsim rădăcina pătrată a numărului 12:

Efectuate 3 acțiuni, rădăcina pătrată a numărului 12 este de 3 numere întregi.

Dezavantajul acestei metode este că, dacă rădăcina extrasă nu este un număr întreg, atunci puteți afla doar partea sa întreagă, dar nu mai precis. În același timp, această metodă este destul de potrivită pentru o estimare aproximativă, pentru studenții care rezolvă cele mai simple probleme de matematică care necesită extragerea unei rădăcini pătrate.

Prima metodă a lui Babilonian sau Heron

Dacă este un număr pozitiv și este o valoare aproximativă pentru în exces, atunci este o valoare aproximativă pentru în deficiență.

Dovada teoremei este luată în considerare în lucrare. Deoarece și sunt valori aproximative pentru în exces și în deficiență, și este media geometrică a numerelor și, este firesc să alegeți media aritmetică a acestor numere ca cea mai bună aproximare pentru, i.e. număr. Și pentru a obține o valoare și mai precisă pentru, trebuie să luați media aritmetică a numerelor și, i.e. număr. Astfel, unul după altul, se calculează valori aproximative din ce în ce mai precise pentru. Aproximațiile se efectuează până la cele două valori obținute și nu coincid în precizia specificată. Atunci avem formula:

. (1)

Această formulă poate fi derivată și din mai multe alte considerații.

Să, de exemplu, trebuie să extrageți rădăcina pătrată a numărului 32. Să alegem mai întâi o valoare aproximativă a acestei rădăcini, de exemplu, . Eroarea acestei valori aproximative va fi notată cu, atunci. Pentru a găsi valoarea, pătratăm ambele părți ale acestei egalități, obținem:

,

. (2)

Astfel, pentru o ecuație pătratică se obține. Dacă se rezolvă, atunci. Se pare că mergem în cercuri: pentru a găsi, trebuie să numărați și pentru a găsi, trebuie să calculați. Următoarea considerație vine în ajutor. Eroarea valorii aproximative este mică, este mai mică de unu, ceea ce înseamnă că numărul este și mai mic, deci în egalitate (2) poate fi aruncat. În acest caz, se obține o ecuație aproximativă, ceea ce înseamnă că Deci, se găsește valoarea aproximativă a corecției.

Din moment ce, atunci a doua aproximare pentru. Pentru a găsi o aproximare mai precisă pentru , repetăm ​​procesul descris.

.

Punem la patrat ambele părți și renunțăm la termenul mic:

,

.

Apoi a treia aproximare pentru este exprimată prin formula:

. De atunci.

În același mod, pornind de la o valoare aproximativă, se poate găsi următoarea aproximare. Atunci, dacă se găsește o valoare aproximativă, atunci următoarea este exprimată prin formula:

.

Mai mult, fiecare pas următor duce la aproximări din ce în ce mai precise pentru. Formula rezultată este un caz special al formulei (1), în care există un număr real.

Folosind formula (1), puteți găsi o valoare aproximativă pentru, aceasta este aproximativ egală cu 1,414213562.

Regula pentru găsirea valorii aproximative a rădăcinii pătrate a oricărui număr natural era cunoscută de matematicienii Babilonului antic cu mai bine de 4000 de ani în urmă. Au făcut tabele cu pătrate ale numerelor și rădăcini pătrate ale numerelor. În același timp, au reușit să găsească valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate a oricărui număr întreg.

Formula folosită pentru calcularea aproximărilor succesive prin metoda babiloniană poate fi scrisă după cum urmează:

.

În acest caz, se ia funcția, unde este numărul a cărui rădăcină trebuie găsită. Lucrarea clarifică acuratețea metodei babiloniene.

Această metodă era cunoscută în Grecia antică și este atribuită lui Heron din Alexandria. Atunci această metodă a fost abandonată, dar acum este folosită pentru a extrage rădăcini pătrate de pe calculatoare și computere.

Lucrările la acest studiu au arătat că studiul rădăcinilor pătrate este o necesitate obiectivă: în viața reală, există situații ale căror modele matematice conțin operația de extragere a unei rădăcini pătrate. Dar nu avem întotdeauna un calculator la îndemână. În plus, există situații în care utilizarea unui calculator este inacceptabilă, de exemplu, examenul.

Aș dori să aleg modalitatea optimă rațională de a extrage rădăcini pătrate. Desigur, metoda aritmetică, și mai ales metoda de estimare brută, sunt ușor de utilizat, dar nu exacte, deși sunt destul de potrivite pentru o primă aproximare. În plus, atunci când se aplică aceste metode de extragere a rădăcinilor pătrate, orice greșeală făcută într-un loc devalorizează complet calculele ulterioare. Situația este diferită atunci când se aplică metoda babiloniană sau metoda aproximărilor succesive. Deși este laborios, este posibil să se calculeze corect valoarea rădăcinii cu o precizie dată.

Găzduit pe Allbest.ru

Documente similare

Conceptul și esența matematică a rădăcinii pătrate, scopul său și metoda de calcul. Teoreme care afișează proprietățile rădăcinii pătrate, justificarea și demonstrarea acestora. Aplicarea caracteristicilor rădăcinilor pătrate în rezolvarea problemelor geometrice.

rezumat, adăugat la 01.05.2010


Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice din istoria matematicii. Analiza comparativă a tehnologiilor diverselor metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul doi, exemple de aplicare a acestora. O scurtă teorie a rezolvării ecuațiilor pătratice, alcătuirea unei cărți de probleme.

rezumat, adăugat 18.12.2012


Studiul metodelor de rezolvare aproximativă a ecuațiilor folosind o reprezentare grafică a funcțiilor. Investigarea metodei de determinare a rădăcinilor reale ale unei ecuații pătratice folosind un compas și o riglă pentru cele șapte ecuații date, construirea graficelor acestora.

munca de creatie, adaugata 09/04/2010


Metoda Gauss, descompunerea LU. Sweep pentru rezolvarea sistemelor liniare cu matrici de coeficienți tridiagonale. Metoda rădăcinii pătrate pentru rezolvarea sistemelor: o scurtă descriere, context teoretic, implementare, testare și listare a programului.

lucrare de termen, adăugată 15.01.2013


Sistem de ecuații algebrice liniare. Formulele de bază ale lui Cramer. Metode exacte, aproximative pentru rezolvarea sistemelor liniare. Algoritm pentru implementarea metodei rădăcinilor pătrate în limbajul de programare în mediul Matlab 6.5. Influența dimensiunii, condiționalitatea matricei.

test, adaugat 27.04.2011


Studiul metodei rădăcinii pătrate pentru o matrice simetrică ca una dintre metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare. Analiza diverșilor parametri matrici și influența lor asupra acurateței soluției: dimensionalitate, condiționalitate și dispersitate.

lucrare de termen, adăugată 27.03.2011


Istoria dezvoltării formulelor pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice. Ecuații cuadratice în Babilonul antic. Rezolvarea ecuațiilor pătratice de către Diophantus. Ecuații cuadratice în India, Khorezmia și Europa în secolele XIII - XVII. Teorema lui Vieta, notație algebrică modernă.

test, adaugat 27.11.2010


Găsirea rădăcinilor ecuațiilor (Ecuația Secțiunea 1) prin metoda: Newton, Ridder, Brent, Lobachevsky și Laguerre. Calculul rădăcinilor polinoamelor după schema lui Horner. Funcții ale unei forme arbitrare (când se utilizează pachetul Mathcad). Găsirea rădăcinilor polinoamelor.

lucrare de control, adaugat 14.08.2010


Studierea istoriei ecuațiilor pătratice. Analiza regulii generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice, stabilită de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Rezolvarea ecuațiilor pătratice cu compas și riglă, folosind o nomogramă, folosind metoda „transferului”.

În practică, este adesea necesar să se calculeze rădăcinile pătrate ale diferitelor numere. Acum acest lucru se poate face pe un calculator sau folosind un computer. Vom lua în considerare o modalitate de a calcula rădăcina pătrată a oricărui număr cu precizia necesară, fără a utiliza un computer, un calculator sau alte mijloace de calcul.

De exemplu, să încercăm să calculăm rădăcina numărului 2, cu o precizie de 0,01, adică până la două zecimale.

Să calculăm rădăcina pătrată a numărului 2

Vom argumenta după cum urmează. Numărul √2 este mai mare decât 1 deoarece 1 2< 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то. 1< √2 < 2.

Acum să încercăm să găsim numărul de zecimi. Pentru a face acest lucru, vom pătrata fracții de la unu la doi până când obținem un număr mai mare de doi. Să luăm un pas de împărțire de 0,1, deoarece căutăm numărul de zecimi. Cu alte cuvinte, vom pătrata numerele: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

• 1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Obțineți un număr mai mare de doi, numerele rămase nu mai trebuie să fie pătrate. Numărul 1,4 2 este mai mic decât 2, iar 1,5 2 este deja mai mare decât doi, atunci numărul √2 trebuie să aparțină intervalului de la 1,4 la 1,5 (1,4< √2 < 1,5). Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… . Иначе говоря, √2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

• 1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Deja la 1,42 obținem că pătratul său este mai mare decât doi, alte numere la pătrat nu au sens.

De aici rezultă că numărul √2 va aparține intervalului de la 1,41 la 1,42 (1,41< √2

Deoarece trebuie să scriem √2 cu o precizie de două zecimale, putem deja să ne oprim și să nu continuăm calculul. √2 ≈ 1,41. Acesta va fi răspunsul. Dacă ar fi necesar să se calculeze o valoare și mai precisă, ar trebui să se continue calculele, repetând lanțul de raționament iar și iar.

După cum am menționat deja mai sus, această tehnică vă permite să extrageți rădăcina cu orice precizie predeterminată.