Punkt narożny wykresu. Styczna do wykresu funkcji w punkcie

Typ pracy: 7

Stan : schorzenie

Linia y=3x+2 jest styczna do wykresu funkcji y=-12x^2+bx-10. Znajdź b , zakładając, że odcięta punktu styku jest mniejsza od zera.

Pokaż rozwiązanie

Decyzja

Niech x_0 będzie odciętą punktu na wykresie funkcji y=-12x^2+bx-10, przez którą przechodzi styczna do tego wykresu.

Wartość pochodnej w punkcie x_0 jest równa nachyleniu stycznej, tj. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Z drugiej strony punkt stycznej należy zarówno do wykresu funkcji, jak i tangens, czyli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Otrzymujemy układ równań \begin(przypadki) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(przypadki)

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1 albo x_0=1. Zgodnie z warunkiem odciętej, punkty styku są mniejsze od zera, więc x_0=-1, potem b=3+24x_0=-21.

Odpowiedź

Typ pracy: 7
Podmiot: zmysł geometryczny pochodna. Wykres stycznej do funkcji

Stan : schorzenie

Prosta y=-3x+4 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7. Znajdź odciętą punktu kontaktu.

Pokaż rozwiązanie

Decyzja

Nachylenie prostej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7 w dowolnym punkcie x_0 to y"(x_0). Ale y"=-2x+5, więc y"(x_0)=- 2x_0+5 Kątowy współczynnik prostej y=-3x+4 określony w warunku wynosi -3.Linie równoległe mają takie same współczynniki nachylenia.Dlatego znajdujemy taką wartość x_0, że =-2x_0 +5=-3.

Otrzymujemy: x_0 = 4.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu-2017. poziom profilu. Wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ pracy: 7
Temat: Geometryczne znaczenie pochodnej. Wykres stycznej do funkcji

Stan : schorzenie

Pokaż rozwiązanie

Decyzja

Z rysunku określamy, że styczna przechodzi przez punkty A(-6;2) i B(-1;1). Oznaczmy przez C(-6; 1) punkt przecięcia prostych x=-6 i y=1 oraz przez \alpha kąt ABC (na rysunku widać, że jest ostry). Wtedy prosta AB tworzy kąt rozwarty \pi -\alpha z dodatnim kierunkiem osi Ox.

Jak wiadomo, tg(\pi -\alpha) będzie wartością pochodnej funkcji f(x) w punkcie x_0. Zauważ, że tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Stąd, ze wzorów redukcyjnych, otrzymujemy: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu-2017. poziom profilu. Wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ pracy: 7
Temat: Geometryczne znaczenie pochodnej. Wykres stycznej do funkcji

Stan : schorzenie

Linia y=-2x-4 jest styczna do wykresu funkcji y=16x^2+bx+12. Znajdź b , zakładając, że odcięta punktu styku jest większa od zera.

Pokaż rozwiązanie

Decyzja

Niech x_0 będzie odciętą punktu na wykresie funkcji y=16x^2+bx+12 przez którą

jest styczna do tego wykresu.

Wartość pochodnej w punkcie x_0 jest równa nachyleniu stycznej, czyli y "(x_0)=32x_0+b=-2. Z drugiej strony punkt stycznej należy do obu wykresów funkcji i tangens, czyli 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Otrzymujemy układ równań \begin(przypadki) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(przypadki)

Rozwiązując system, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1 albo x_0=1. Zgodnie z warunkiem odciętej, punkty styku są większe od zera, więc x_0=1, potem b=-2-32x_0=-34.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu-2017. poziom profilu. Wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ pracy: 7
Temat: Geometryczne znaczenie pochodnej. Wykres stycznej do funkcji

Stan : schorzenie

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) zdefiniowanej na przedziale (-2; 8). Wyznacz liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej y=6.

Pokaż rozwiązanie

Decyzja

Linia y=6 jest równoległa do osi Ox. Dlatego znajdujemy takie punkty, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi Ox. Na tym wykresie takie punkty są punktami ekstremalnymi (punktami maksymalnymi lub minimalnymi). Jak widać, istnieją 4 punkty ekstremum.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu-2017. poziom profilu. Wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ pracy: 7
Temat: Geometryczne znaczenie pochodnej. Wykres stycznej do funkcji

Stan : schorzenie

Prosta y=4x-6 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=x^2-4x+9. Znajdź odciętą punktu kontaktu.

Pokaż rozwiązanie

Decyzja

Nachylenie stycznej do wykresu funkcji y \u003d x ^ 2-4x + 9 w dowolnym punkcie x_0 to y „(x_0). Ale y” \u003d 2x-4, co oznacza y „(x_0) \ u003d 2x_0-4. Nachylenie stycznej y \u003d 4x-7 określone w warunku jest równe 4. Linie równoległe mają te same nachylenia. Dlatego znajdujemy taką wartość x_0, że 2x_0-4 \u003d 4. Otrzymujemy : x_0 \u003d 4.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu-2017. poziom profilu. Wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ pracy: 7
Temat: Geometryczne znaczenie pochodnej. Wykres stycznej do funkcji

Stan : schorzenie

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do niej w punkcie z odciętą x_0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x_0.

Pokaż rozwiązanie

Decyzja

Z rysunku określamy, że styczna przechodzi przez punkty A(1;1) i B(5;4). Oznaczmy przez C(5; 1) punkt przecięcia prostych x=5 i y=1, a przez \alpha kąt BAC (na rysunku widać, że jest ostry). Wtedy prosta AB tworzy kąt \alpha z dodatnim kierunkiem osi Ox.

W tym artykule przeanalizujemy wszystkie rodzaje problemów w celu znalezienia

Zapamiętajmy geometryczne znaczenie pochodnej: jeśli styczna jest narysowana do wykresu funkcji w punkcie, to nachylenie stycznej (równe stycznej kąta między styczną a dodatnim kierunkiem osi ) jest równe pochodnej funkcji w punkcie punkt .

Weź dowolny punkt na stycznej o współrzędnych :

Rozważmy trójkąt prostokątny:

W tym trójkącie

Stąd

Jest to równanie stycznej narysowanej na wykresie funkcji w punkcie.

Aby napisać równanie stycznej, wystarczy znać równanie funkcji i punkt, w którym rysowana jest styczna. Następnie możemy znaleźć i .

Istnieją trzy główne typy problemów z równaniami stycznymi.

1. Dany punkt kontaktowy

2. Mając współczynnik nachylenia stycznej, czyli wartość pochodnej funkcji w punkcie.

3. Mając współrzędne punktu, przez który rysowana jest styczna, ale który nie jest punktem stycznym.

Przyjrzyjmy się każdemu rodzajowi problemu.

jeden . Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

.

b) Znajdź wartość pochodnej w punkcie . Najpierw znajdujemy pochodną funkcji

Zastąp znalezione wartości równaniem stycznym:

Otwórzmy nawiasy po prawej stronie równania. Otrzymujemy:

Odpowiedź: .

2. Znajdź odcięte punkty, w których funkcje są styczne do wykresu równolegle do osi x.

Jeżeli styczna jest równoległa do osi x, to kąt między styczną a dodatnim kierunkiem osi zero, dlatego styczna nachylenia stycznej wynosi zero. Czyli wartość pochodnej funkcji w punktach styku wynosi zero.

a) Znajdź pochodną funkcji .

b) Zrównaj pochodną do zera i znajdź wartości, w których styczna jest równoległa do osi:

Przyrównujemy każdy czynnik do zera, otrzymujemy:

Odpowiedź: 0;3;5

3 . Zapisz równania stycznych na wykres funkcji , równoległy prosty .

Styczna jest równoległa do prostej. Nachylenie tej prostej wynosi -1. Ponieważ styczna jest równoległa do tej linii, nachylenie stycznej również wynosi -1. Tj znamy nachylenie stycznej, a zatem wartość pochodnej w punkcie styku.

Jest to drugi rodzaj problemu przy znajdowaniu równania stycznego.

Tak więc otrzymujemy funkcję i wartość pochodnej w punkcie styczności.

a) Znajdź punkty, w których pochodna funkcji jest równa -1.

Najpierw znajdźmy równanie pochodne.

Zrównajmy pochodną z liczbą -1.

Znajdź wartość funkcji w punkcie .

(według stanu)

.

b) Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

Znajdź wartość funkcji w punkcie .

(według stanu).

Zastąp te wartości równaniem stycznym:

.

Odpowiedź:

4 . Napisz równanie na styczną do krzywej , przechodząc przez punkt

Najpierw sprawdź, czy punkt nie jest punktem styku. Jeżeli punkt jest punktem stycznym, to należy do wykresu funkcji, a jego współrzędne muszą spełniać równanie funkcji. Podstaw współrzędne punktu w równaniu funkcji.

Title="(!JĘZYK:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nie jest punktem kontaktowym.

Jest to ostatni rodzaj problemu do znalezienia równania stycznego. Pierwsza rzecz musimy znaleźć odciętą punktu kontaktu.

Znajdźmy wartość.

Niech będzie punktem kontaktowym. Punkt należy do stycznej do wykresu funkcji. Jeśli podstawimy współrzędne tego punktu do równania stycznego, otrzymamy poprawną równość:

.

Wartość funkcji w punkcie to .

Znajdź wartość pochodnej funkcji w punkcie .

Najpierw znajdźmy pochodną funkcji. To jest .

Pochodna w punkcie to .

Podstawmy wyrażenia dla i do równania stycznej. Otrzymujemy równanie dla:

Rozwiążmy to równanie.

Zmniejsz licznik i mianownik ułamka o 2:

Sprowadzamy prawą stronę równania do wspólnego mianownika. Otrzymujemy:

Uprość licznik ułamka i pomnóż obie części przez - to wyrażenie jest ściśle większe od zera.

Otrzymujemy równanie

Rozwiążmy to. Aby to zrobić, kwadratujemy obie części i przechodzimy do systemu.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(macierz(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))( )">!}

Rozwiążmy pierwsze równanie.

Zdecydujemy równanie kwadratowe, dostajemy

Drugi korzeń nie spełnia warunku title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Napiszmy równanie stycznej do krzywej w punkcie . W tym celu podstawiamy wartość w równaniu Już to nagraliśmy.

Odpowiedź:
.

Niech będzie dana funkcja f, która w pewnym momencie x 0 ma pochodną skończoną f (x 0). Następnie prosta przechodząca przez punkt (x 0 ; f (x 0)), mająca nachylenie f '(x 0) nazywamy styczną.

Ale co się stanie, jeśli pochodna w punkcie x 0 nie istnieje? Istnieją dwie opcje:

1. Styczna do wykresu również nie istnieje. Klasycznym przykładem jest funkcja y = |x | w punkcie (0; 0).
2. Styczna staje się pionowa. Dotyczy to na przykład funkcji y = arcsin x w punkcie (1; π/2).

Równanie styczne

Każda niepionowa linia prosta jest określona równaniem o postaci y = kx + b, gdzie k jest nachyleniem. Tangens nie jest wyjątkiem i aby skomponować jej równanie w pewnym punkcie x 0, wystarczy znać wartość funkcji i pochodną w tym punkcie.

Niech więc zostanie podana funkcja y \u003d f (x), która ma pochodną y \u003d f '(x) na segmencie. Wtedy w dowolnym punkcie x 0 ∈ (a; b) do wykresu tej funkcji można narysować styczną, którą daje równanie:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Tutaj f ’(x 0) jest wartością pochodnej w punkcie x 0, a f (x 0) jest wartością samej funkcji.

Zadanie. Dana funkcja y = x 3 . Napisz równanie na styczną do wykresu tej funkcji w punkcie x 0 = 2.

Równanie styczne: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Punkt x 0 = 2 jest nam dany, ale wartości f (x 0) i f '(x 0) trzeba będzie obliczyć.

Najpierw znajdźmy wartość funkcji. Tutaj wszystko jest proste: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Teraz znajdźmy pochodną: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Podstaw w pochodnej x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Otrzymujemy więc: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
To jest równanie styczne.

Zadanie. Skomponuj równanie stycznej z wykresem funkcji f (x) \u003d 2sin x + 5 w punkcie x 0 \u003d π / 2.

Tym razem nie będziemy szczegółowo opisywać każdej akcji – wskażemy jedynie kluczowe kroki. Mamy:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Równanie styczne:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

W tym drugim przypadku linia okazała się być pozioma, ponieważ jego nachylenie k = 0. Nie ma w tym nic złego - właśnie natknęliśmy się na punkt ekstremum.

Y \u003d f (x) i jeśli w tym momencie można narysować styczną do wykresu funkcji, który nie jest prostopadły do ​​osi x, wówczas nachylenie stycznej wynosi f ”(a). Wykorzystaliśmy już te kilka razy Na przykład w § 33 ustalono, że wykres funkcji y \u003d sin x (sinusoida) na początku tworzy kąt 45 ° z osią odciętych (dokładniej styczną do wykresu na początek tworzy kąt 45 ° z dodatnim kierunkiem osi x), a w przykładzie 5 z § 33 znaleziono punkty na podanym harmonogramie Funkcje, w którym styczna jest równoległa do osi x. W przykładzie 2 z § 33 sporządzono równanie dla stycznej do wykresu funkcji y \u003d x 2 w punkcie x \u003d 1 (dokładniej w punkcie (1; 1), ale częściej tylko wskazuje się wartość odciętej, zakładając, że jeśli znana jest wartość odciętej, to wartość rzędnej można znaleźć z równania y = f(x)). W tej sekcji opracujemy algorytm kompilacji równania stycznej do wykresu dowolnej funkcji.

Niech zostanie podana funkcja y \u003d f (x) i punkt M (a; f (a)) i wiadomo również, że f „(a) istnieje. Skomponujmy równanie stycznej z wykresem podana funkcja w dany punkt. Równanie to, podobnie jak równanie dowolnej prostej nierównoległej do osi y, ma postać y = kx + m, więc problemem jest znalezienie wartości współczynników k i m.

Nie ma problemów z nachyleniem k: wiemy, że k \u003d f ”(a). Aby obliczyć wartość m, wykorzystujemy fakt, że pożądana linia przechodzi przez punkt M (a; f (a)). Oznacza to, że jeśli podstawimy punkty współrzędnych M do równania linii prostej, otrzymamy prawidłową równość: f (a) \u003d ka + m, skąd znajdujemy to m \u003d f (a) - ka.
Pozostaje zamienić znalezione wartości współczynników wielorybów na równanie prosty:

Otrzymaliśmy równanie stycznej do wykresu funkcji y \u003d f (x) w punkcie x \u003d a.
Jeśli powiedzmy
Zastępując w równaniu (1) znalezione wartości a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2, otrzymujemy: y \u003d 1 + 2 (x-f), tj. y \u003d 2x -1.
Porównaj ten wynik z wynikiem uzyskanym w przykładzie 2 z § 33. Oczywiście stało się to samo.
Skomponujmy równanie stycznej z wykresem funkcji y \u003d tg x w punkcie początkowym. Mamy: stąd cos x f "(0) = 1. Zastępując znalezione wartości a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 do równania (1), otrzymujemy: y \u003d x .
Dlatego narysowaliśmy styczną w § 15 (patrz ryc. 62) przez początek współrzędnych pod kątem 45 ° do osi odciętej.
Wystarczy je rozwiązać proste przykłady, faktycznie użyliśmy pewnego algorytmu, który jest osadzony we wzorze (1). Wyjaśnijmy ten algorytm.

ALGORYTM DO UKŁADANIA RÓWNANIA FUNKCJI STYCZNEJ DO WYKRESU y \u003d f (x)

1) Wyznacz odcięty punkt kontaktu literą a.
2) Oblicz 1 (a).
3) Znajdź f "(x) i oblicz f" (a).
4) Podstaw znalezione liczby a, f(a), (a) do wzoru (1).

Przykład 1 Napisz równanie na styczną do wykresu funkcji w punkcie x = 1.
Użyjmy algorytmu, biorąc pod uwagę, że w ten przykład

Na ryc. 126 pokazuje hiperbolę, zbudowana jest linia prosta y \u003d 2x.
Rysunek potwierdza powyższe obliczenia: rzeczywiście linia y \u003d 2-x dotyka hiperboli w punkcie (1; 1).

Odpowiedź: y \u003d 2-x.
Przykład 2 Narysuj styczną do wykresu funkcji, tak aby była równoległa do linii prostej y \u003d 4x - 5.
Doprecyzujmy sformułowanie problemu. Wymóg „narysowania stycznej” zwykle oznacza „utwórz równanie dla stycznej”. Jest to logiczne, ponieważ jeśli dana osoba była w stanie skomponować równanie dla stycznej, jest mało prawdopodobne, aby napotkała trudności w konstruowaniu linii prostej na płaszczyźnie współrzędnych zgodnie z jej równaniem.
Użyjmy algorytmu do skompilowania równania stycznego, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie, Ale w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu jest tu niejednoznaczność: odcięta punktu stycznego nie jest wyraźnie wskazana.
Zacznijmy tak mówić. Pożądana styczna musi być równoległa do linii prostej y \u003d 4x-5. Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich nachylenia są równe. Oznacza to, że nachylenie stycznej musi być równe nachyleniu danej linii prostej: W ten sposób możemy znaleźć wartość a z równania f „(a) \u003d 4.
Mamy:
Z równania Więc są dwie styczne, które spełniają warunki zadania: jedna w punkcie z odciętą 2, druga w punkcie z odciętą -2.
Teraz możesz działać zgodnie z algorytmem.

Przykład 3 Od punktu (0; 1) narysuj styczną do wykresu funkcji
Użyjmy algorytmu do skompilowania równania stycznego, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie Zauważ, że tutaj, podobnie jak w przykładzie 2, odcięta punktu stycznego nie jest wyraźnie wskazana. Niemniej jednak działamy zgodnie z algorytmem.

Zgodnie z warunkiem styczna przechodzi przez punkt (0; 1). Podstawiając do równania (2) wartości x = 0, y = 1, otrzymujemy:
Jak widać, w tym przykładzie dopiero w czwartym kroku algorytmu udało nam się znaleźć odciętą punktu styku. Zastępując wartość a \u003d 4 równaniem (2), otrzymujemy:

Na ryc. 127 przedstawia geometryczną ilustrację rozważanego przykładu: wykres funkcji

W § 32 zauważyliśmy, że dla funkcji y = f(x), która ma pochodną w ustalonym punkcie x, zachodzi równość przybliżona:

Dla wygody dalszego rozumowania zmieniamy zapis: zamiast x napiszemy a, zamiast tego napiszemy x i odpowiednio napiszemy zamiast tego x-a. Wtedy przybliżona równość zapisana powyżej przybierze postać:

Teraz spójrz na ryc. 128. Do wykresu funkcji y \u003d f (x) w punkcie M (a; f (a)) rysowana jest styczna. Zaznaczony punkt x na osi x w pobliżu a. Jasne jest, że f(x) jest rzędną wykresu funkcji w określonym punkcie x. A czym jest f (a) + f "(a) (x-a)? Jest to rzędna stycznej odpowiadającej temu samemu punktowi x - patrz wzór (1). Co oznacza przybliżona równość (3)? obliczyć przybliżoną wartość funkcji, przyjmuje się wartość rzędnej stycznej.

Przykład 4 Znajdź przybliżoną wartość wyrażenia liczbowego 1.02 7 .
To jest o o znalezieniu wartości funkcji y \u003d x 7 w punkcie x \u003d 1,02. Korzystamy ze wzoru (3), biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie
W rezultacie otrzymujemy:

Jeśli użyjemy kalkulatora, otrzymamy: 1,02 7 = 1,148685667...
Jak widać, dokładność aproksymacji jest całkiem akceptowalna.
Odpowiedź: 1,02 7 =1,14.

A.G. Algebra Mordkovicha, klasa 10

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo w matematyce online, Matematyka w szkole pobierz

Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, dowcipy, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza przez rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane lekcje

Rozważmy następujący rysunek:

Pokazuje pewną funkcję y = f(x), która jest różniczkowalna w punkcie a. Zaznaczono punkt M współrzędnymi (a; f(a)). Poprzez dowolny punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) wykresu rysowany jest sieczny MP.

Jeśli teraz punkt P zostanie przesunięty wzdłuż wykresu do punktu M, to prosta MP obróci się wokół punktu M. W tym przypadku ∆x będzie dążył do zera. Stąd możemy sformułować definicję stycznej do wykresu funkcji.

Wykres stycznej do funkcji

Styczna do wykresu funkcji to graniczna pozycja siecznej, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Należy rozumieć, że istnienie pochodnej funkcji f w punkcie x0 oznacza, że ​​w tym punkcie wykresu istnieje tangens do niego.

W tym przypadku nachylenie stycznej będzie równe pochodnej tej funkcji w tym punkcie f’(x0). To jest geometryczne znaczenie pochodnej. Styczna do wykresu funkcji f różniczkowalnej w punkcie x0 to pewna prosta przechodząca przez punkt (x0;f(x0)) i mająca nachylenie f’(x0).

Równanie styczne

Spróbujmy uzyskać równanie stycznej do wykresu jakiejś funkcji f w punkcie A(x0; f(x0)). Równanie prostej o nachyleniu k ma postać:

Ponieważ nasze nachylenie jest równe pochodnej f'(x0), to równanie przyjmie postać: y = f'(x0)*x + b.

Teraz obliczmy wartość b. Aby to zrobić, wykorzystujemy fakt, że funkcja przechodzi przez punkt A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, stąd wyrażamy b i otrzymujemy b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Otrzymaną wartość podstawiamy do równania stycznego:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Rozważ następujący przykład: znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 w punkcie x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Podstaw uzyskane wartości do wzoru stycznej, otrzymujemy: y = 1 + 4*(x - 2). Otwierając nawiasy i przynosząc podobne terminy, otrzymujemy: y = 4*x - 7.

Odpowiedź: y = 4*x - 7.

Ogólny schemat kompilacji równania stycznego do wykresu funkcji y = f(x):

1. Określ x0.

2. Oblicz f(x0).

3. Oblicz f'(x)