Punktowa linia łamana segmentu linii prostej. Punkt, linia, linia prosta, promień, odcinek, linia łamana

Punkt to abstrakcyjny obiekt, który nie ma cech pomiarowych: bez wysokości, bez długości, bez promienia. W ramach zadania ważna jest tylko jego lokalizacja

Punkt jest oznaczony liczbą lub dużą (dużą) literą łacińską. Kilka kropek - różne liczby lub różne litery aby można je było odróżnić

punkt A, punkt B, punkt C

A B C

punkt 1, punkt 2, punkt 3

1 2 3

Możesz narysować trzy punkty „A” na kartce papieru i poprosić dziecko, aby narysowało linię przez dwa punkty „A”. Ale jak rozumieć przez który? A A A

Linia to zbiór punktów. Mierzy tylko długość. Nie ma szerokości ani grubości.

Oznaczone małymi literami (małe) z literami łacińskimi

linia a, linia b, linia c

a b c

Linia może być

1. zamknięty, jeśli jego początek i koniec są w tym samym miejscu,
2. otwarte, jeśli jego początek i koniec nie są połączone

zamknięte linie

otwarte linie

Wyszedłeś z mieszkania, kupiłeś chleb w sklepie i wróciłeś do mieszkania. Jaką linię dostałeś? Zgadza się, zamknięte. Wróciłeś do punktu wyjścia. Wyszedłeś z mieszkania, kupiłeś chleb w sklepie, wszedłeś do wejścia i rozmawiałeś z sąsiadem. Jaką linię dostałeś? Otwarty. Nie wróciłeś do punktu wyjścia. Wyszedłeś z mieszkania, kupiłeś chleb w sklepie. Jaką linię dostałeś? Otwarty. Nie wróciłeś do punktu wyjścia.

1. samoprzecinające się
2. bez samoskrzyżowań

linie samoprzecinające się

linie bez samoprzecięć

1. prosty
2. linia przerywana
3. krzywy

proste linie

linie przerywane

zakrzywione linie

Linia prosta to linia, która nie jest zakrzywiona, nie ma początku ani końca, może być przedłużona w nieskończoność w obu kierunkach.

Nawet gdy jest widziany mała działka prosto, zakłada się, że biegnie w nieskończoność w obu kierunkach

Jest oznaczony małą (małą) literą łacińską. Lub dwie wielkie (duże) litery łacińskie - punkty leżące na linii prostej

linia prosta a

a

prosta AB

B A

proste linie mogą być

1. przecinają się, jeśli mają wspólny punkt. Dwie linie mogą się przecinać tylko w jednym punkcie.
   • prostopadłe, jeśli przecinają się pod kątem prostym (90°).
2. równolegle, jeśli się nie przecinają, nie mają wspólnego punktu.

równoległe linie

Przecinające się linie

prostopadłe linie

Promień jest częścią prostej, która ma początek, ale nie ma końca, może być przedłużona w nieskończoność tylko w jednym kierunku

Punktem wyjścia dla wiązki światła na zdjęciu jest słońce.

słońce

Punkt dzieli linię na dwie części - dwa promienie A A

Wiązka jest oznaczona małą (małą) literą łacińską. Lub dwie wielkie (duże) litery łacińskie, gdzie pierwsza to punkt, od którego zaczyna się belka, a druga to punkt leżący na belce

wiązka

a

belka AB

B A

Belki pasują, jeśli

1. znajduje się na tej samej linii prostej
2. zacznij od jednego punktu
3. skierowane w jedną stronę

promienie AB i AC pokrywają się

promienie CB i CA pokrywają się

C B A

Odcinek to odcinek prostej ograniczony dwoma punktami, to znaczy mający zarówno początek, jak i koniec, co oznacza, że ​​można zmierzyć jego długość. Długość segmentu to odległość między jego punktem początkowym i końcowym.

Przez jeden punkt można poprowadzić dowolną liczbę linii, w tym linie proste.

Przez dwa punkty - nieograniczona ilość krzywych, ale tylko jedna prosta

zakrzywione linie przechodzące przez dwa punkty

B A

prosta AB

B A

Kawałek został „odcięty” od linii prostej, a odcinek pozostał. Z powyższego przykładu widać, że jego długość to najkrótsza odległość między dwoma punktami. B A ✂

Segment jest oznaczony dwiema dużymi (dużymi) literami łacińskimi, gdzie pierwsza to punkt, od którego zaczyna się segment, a druga to punkt, od którego ten segment się kończy

odcinek AB

B A

Zadanie: gdzie jest prosta, promień, odcinek, krzywa?

Linia przerywana to linia składająca się z kolejno połączonych odcinków nie pod kątem 180°

Długi segment został „rozbity” na kilka krótkich.

Ogniwa polilinii (podobnie jak ogniwa łańcucha) to segmenty tworzące polilinię. Łącza przylegające to łącza, w których koniec jednego łącza jest początkiem drugiego. Sąsiadujące ogniwa nie powinny leżeć na tej samej linii prostej.

Wierzchołki polilinii (podobnie jak wierzchołki gór) to punkt, od którego zaczyna się polilinia, punkty, w których łączą się segmenty tworzące polilinię, punkt, w którym polilinia się kończy.

Polilinia jest oznaczana poprzez wymienienie wszystkich jej wierzchołków.

linia przerywana ABCDE

wierzchołek polilinii A wierzchołek polilinii B wierzchołek polilinii C wierzchołek polilinii D wierzchołek polilinii E

ogniwo łamanej AB, ogniwo łamanej BC, ogniwo łamanej CD, ogniwo łamanej DE

łącze AB i łącze BC sąsiadują ze sobą

link BC i link CD są obok siebie

link CD i link DE sąsiadują ze sobą

A B C D E 64 62 127 52

Długość polilinii jest sumą długości jej połączeń: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Zadanie: która linia przerywana jest dłuższa?, a który ma więcej szczytów? W pierwszym wierszu wszystkie linki mają tę samą długość, czyli 13 cm. W drugiej linii znajdują się wszystkie linki o tej samej długości, czyli 49 cm. Trzecia linia zawiera wszystkie linki tej samej długości, czyli 41 cm.

Wielokąt to zamknięta polilinia

Boki wielokąta (pomogą zapamiętać wyrażenia: „idź na wszystkie cztery strony”, „biegnij w stronę domu”, „po której stronie stołu usiądziesz?”) są ogniwami łamanej linii. Przyległe boki wielokąta są sąsiadującymi ogniwami linii łamanej.

Wierzchołki wielokąta są wierzchołkami polilinii. Sąsiednie wierzchołki to punkty końcowe jednej strony wielokąta.

Wielokąt jest oznaczony przez wymienienie wszystkich jego wierzchołków.

zamknięta polilinia bez samoprzecięcia, ABCDEF

wielokąt ABCDEF

wierzchołek wieloboku A, wierzchołek wieloboku B, wierzchołek wieloboku C, wierzchołek wielokąta D, wierzchołek wieloboku E, wierzchołek wieloboku F

wierzchołek A i wierzchołek B sąsiadują ze sobą

wierzchołek B i wierzchołek C sąsiadują ze sobą

wierzchołek C i wierzchołek D sąsiadują ze sobą

wierzchołek D i wierzchołek E sąsiadują ze sobą

wierzchołek E i wierzchołek F sąsiadują ze sobą

wierzchołek F i wierzchołek A sąsiadują ze sobą

strona wielokąta AB, strona wielokąta BC, strona wielokąta CD, strona wielokąta DE, strona wielokąta EF

strona AB i strona BC sąsiadują ze sobą

bok BC i bok CD sąsiadują ze sobą

strona CD i strona DE sąsiadują ze sobą

bok DE i bok EF sąsiadują ze sobą

bok EF i bok FA sąsiadują ze sobą

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Obwód wielokąta to długość polilinii: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Wielokąt z trzema wierzchołkami nazywa się trójkątem, z czterema - czworobokiem, z pięcioma - pięciokątem i tak dalej.

W tym artykule szczegółowo omówimy jedną z podstawowych koncepcji geometrii - koncepcję linii prostej na płaszczyźnie. Najpierw zdefiniujmy podstawowe terminy i notację. Następnie omawiamy względne położenie prostej i punktu, a także dwóch prostych na płaszczyźnie i podajemy niezbędne aksjomaty. Na zakończenie rozważymy sposoby na ustawienie linii prostej na płaszczyźnie i przedstawienie ilustracji graficznych.

Nawigacja po stronach.

Linia prosta na płaszczyźnie to koncepcja.

Przed podaniem pojęcia linii prostej na płaszczyźnie należy jasno zrozumieć, czym jest samolot. Reprezentacja samolotu pozwala uzyskać np. płaską powierzchnię stołu lub ściany domu. Należy jednak pamiętać, że wymiary stołu są ograniczone, a płaszczyzna rozciąga się poza te granice do nieskończoności (jakbyśmy mieli dowolnie duży stół).

Jeśli weźmiemy dobrze naostrzony ołówek i dotkniemy powierzchni „stołu” jego rdzeniem, otrzymamy obraz punktu. Więc dostajemy reprezentacja punktu na płaszczyźnie.

Teraz możesz iść do koncepcja linii prostej na płaszczyźnie.

Połóżmy na powierzchni stołu (na samolocie) kartkę czystego papieru. Aby narysować linię prostą, należy wziąć linijkę i narysować ołówkiem linię na tyle, na ile pozwalają na to wymiary linijki i użytej kartki papieru. Należy zauważyć, że w ten sposób otrzymujemy tylko część prostej. Możemy sobie tylko wyobrazić, że linia prosta w całości, ciągnąca się w nieskończoność.

Wzajemne położenie prostej i punktu.

Powinieneś zacząć od aksjomatu: na każdej prostej i na każdej płaszczyźnie są punkty.

Zwyczajowo oznacza się punkty wielkimi literami łacińskimi, na przykład punkty A i F. Z kolei linie proste są oznaczone małymi literami łacińskimi, na przykład liniami prostymi a i d.

Możliwy dwie opcje względne położenie linia i punkty na płaszczyźnie: albo punkt leży na linii (w tym przypadku mówi się również, że linia przechodzi przez punkt), albo punkt nie leży na linii (mówi się również, że punkt nie należy do linii, lub linia nie przechodzi przez punkt).

Aby wskazać, że punkt należy do określonej linii, używany jest symbol „”. Na przykład, jeśli punkt A leży na linii a, możesz pisać. Jeśli punkt A nie należy do linii a, zapisz.

Prawdziwe jest następujące stwierdzenie: przez dowolne dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta.

To stwierdzenie jest aksjomatem i powinno być przyjęte jako fakt. Ponadto jest to dość oczywiste: zaznaczamy dwa punkty na papierze, przykładamy do nich linijkę i rysujemy linię prostą. Prostą przechodzącą przez dwa dane punkty (na przykład przez punkty A i B) można oznaczyć tymi dwiema literami (w naszym przypadku prosta AB lub BA).

Należy rozumieć, że na prostej podanej na płaszczyźnie istnieje nieskończenie wiele różnych punktów, a wszystkie te punkty leżą na tej samej płaszczyźnie. Twierdzenie to potwierdza aksjomat: jeżeli dwa punkty prostej leżą na jakiejś płaszczyźnie, to wszystkie punkty tej prostej leżą na tej płaszczyźnie.

Zbiór wszystkich punktów znajdujących się pomiędzy dwoma punktami podanymi na linii prostej wraz z tymi punktami nazywamy linia prosta lub po prostu człon. Punkty ograniczające segment nazywane są końcami segmentu. Segment jest oznaczony dwiema literami odpowiadającymi punktom końców segmentu. Na przykład, niech punkty A i B będą końcami odcinka, wtedy odcinek ten może być oznaczony AB lub BA. Należy pamiętać, że to oznaczenie odcinka jest takie samo, jak oznaczenie linii prostej. Aby uniknąć nieporozumień, zalecamy dodanie do oznaczenia słowa „segment” lub „prosto”.

W przypadku krótkiego zapisu przynależności i braku przynależności do określonego punktu do określonego segmentu używane są wszystkie te same symbole i. Aby pokazać, że segment leży lub nie leży na linii prostej, stosuje się odpowiednio symbole i . Na przykład, jeśli odcinek AB należy do linii a, możesz krótko zapisać.

Powinniśmy również zastanowić się nad przypadkiem, w którym trzy różne punkty należą do tej samej linii. W tym przypadku jeden i tylko jeden punkt znajduje się między pozostałymi dwoma. To stwierdzenie jest kolejnym aksjomatem. Niech punkty A, B i C leżą na tej samej prostej, a punkt B leży między punktami A i C. Wtedy możemy powiedzieć, że punkty A i C leżą po przeciwnych stronach punktu B. Możesz również powiedzieć, że punkty B i C leżą po tej samej stronie punktu A, a punkty A i B leżą po tej samej stronie punktu C.

Aby uzupełnić obraz, zauważamy, że dowolny punkt linii prostej dzieli tę linię na dwie części - dwie Belka. W tym przypadku podany jest aksjomat: dowolny punkt O należący do prostej dzieli tę linię na dwa promienie, a dowolne dwa punkty jednego promienia leżą po tej samej stronie punktu O, a dowolne dwa punkty różnych promieni leżeć po przeciwnych stronach punktu O.

Wzajemne układanie linii prostych na płaszczyźnie.

Odpowiedzmy teraz na pytanie: „Jak dwie linie mogą znajdować się na płaszczyźnie względem siebie”?

Po pierwsze, dwie linie w samolocie mogą: zbiec się.

Jest to możliwe, gdy linie mają co najmniej dwa punkty wspólne. Rzeczywiście, na mocy aksjomatu wyrażonego w poprzednim akapicie, pojedyncza linia prosta przechodzi przez dwa punkty. Innymi słowy, jeśli dwie linie przechodzą przez dwa dane punkty, to się pokrywają.

Po drugie, dwie proste w płaszczyźnie mogą krzyż.

W tym przypadku linie mają jeden wspólny punkt, który nazywa się punktem przecięcia linii. Przecięcie linii jest oznaczone symbolem „”, np. zapis oznacza, że ​​linie aib przecinają się w punkcie M. Przecinające się linie prowadzą nas do pojęcia kąta między przecinającymi się liniami. Osobno warto zastanowić się nad położeniem linii prostych na płaszczyźnie, gdy kąt między nimi wynosi dziewięćdziesiąt stopni. W tym przypadku linie nazywają się prostopadły(polecamy artykuł linie prostopadłe, prostopadłość linii). Jeśli linia a jest prostopadła do linii b, można użyć krótkiej notacji.

Po trzecie, dwie linie na płaszczyźnie mogą być równoległe.

Z praktycznego punktu widzenia wygodnie jest rozpatrywać linię prostą na płaszczyźnie wraz z wektorami. Szczególnie ważne są wektory niezerowe leżące na danej linii lub na którejkolwiek z równoległych linii, nazywa się je wektory kierunkowe linii prostej. Artykuł kierujący wektorem prostej na płaszczyźnie podaje przykłady wektorów kierujących i pokazuje możliwości ich wykorzystania w rozwiązywaniu problemów.

Należy również zwrócić uwagę na niezerowe wektory leżące na którejkolwiek z prostych prostopadłych do podanej. Takie wektory nazywają się wektory normalne prostej. Wykorzystanie wektorów normalnych linii prostej zostało opisane w artykule wektor normalny linii prostej na płaszczyźnie.

Gdy na płaszczyźnie podane są trzy lub więcej linii prostych, powstaje zbiór różne opcje ich względne położenie. Wszystkie linie mogą być równoległe, w przeciwnym razie niektóre lub wszystkie z nich się przecinają. W tym przypadku wszystkie linie mogą przecinać się w jednym punkcie (patrz artykuł ołówek linii) lub mogą mieć różne punkty skrzyżowania.

Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić, ale przytoczymy kilka niezwykłych i bardzo często używanych faktów bez dowodu:

• jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe do siebie;
• jeśli dwie linie są prostopadłe do trzeciej linii, to są one równoległe do siebie;
• jeśli na płaszczyźnie jakaś linia przecina jedną z dwóch równoległych, to przecina również drugą linię.

Metody wyznaczania linii prostej na płaszczyźnie.

Teraz wymienimy główne sposoby, w jakie można zdefiniować konkretną linię w płaszczyźnie. Ta wiedza jest bardzo przydatna z praktycznego punktu widzenia, ponieważ na niej opiera się rozwiązywanie tak wielu przykładów i problemów.

Najpierw można zdefiniować linię prostą, określając dwa punkty na płaszczyźnie.

Rzeczywiście, z aksjomatu rozważanego w pierwszym akapicie tego artykułu wiemy, że linia prosta przechodzi przez dwa punkty, a co więcej, tylko przez jeden.

Jeżeli współrzędne dwóch nie pokrywających się punktów są wskazane w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie, to można zapisać równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Po drugie, linię można określić, określając punkt, przez który przechodzi, oraz linię, do której jest równoległa. Ta metoda jest prawidłowa, ponieważ pojedyncza linia prosta przechodzi przez dany punkt płaszczyzny równolegle do danej linii prostej. Dowód tego faktu przeprowadzono na lekcjach geometrii w liceum.

Jeżeli linia prosta na płaszczyźnie jest postawiona w ten sposób w stosunku do wprowadzonego prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich, to można ułożyć jej równanie. Jest to napisane w artykule równanie prostej przechodzącej przez dany punkt równolegle do danej prostej.

Po trzecie, linię można zdefiniować, określając punkt, przez który przechodzi, oraz jej wektor kierunkowy.

Jeżeli w ten sposób dana jest linia prosta w prostokątnym układzie współrzędnych, to łatwo jest skomponować jej kanoniczne równanie prostej na płaszczyźnie i parametryczne równania prostej na płaszczyźnie.

Czwartym sposobem określenia linii jest określenie punktu, przez który przechodzi, oraz linii, do której jest prostopadła. Rzeczywiście, przez dany punkt W płaszczyźnie prostopadłej do danej linii znajduje się tylko jedna linia. Zostawmy ten fakt bez dowodu.

Na koniec linię w płaszczyźnie można określić, określając punkt, przez który przechodzi, oraz wektor normalny linii.

Jeżeli znane są współrzędne punktu leżącego na danej prostej oraz współrzędne wektora normalnego prostej, to można zapisać ogólne równanie prostej.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Klasy 7 - 9: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla 10-11 klas liceum.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analityczna.

Prawa autorskie autorstwa sprytnych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część strony internetowej, w tym materiały wewnętrzne oraz projekt zewnętrzny nie mogą być powielane w żadnej formie ani używane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Przyjrzymy się każdemu z tematów, a na koniec odbędą się testy z tematów.

Punkt w matematyce

Jaki jest sens w matematyce? Punkt matematyczny nie ma wymiarów i jest oznaczony wielkimi literami łacińskimi: A, B, C, D, F itd.

Na rysunku widać obraz punktów A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment w matematyce

Czym jest segment w matematyce? Na lekcjach matematyki można usłyszeć następujące wyjaśnienie: segment matematyczny ma długość i końce. Odcinek w matematyce to zbiór wszystkich punktów leżących na linii prostej między końcami odcinka. Końce segmentu to dwa punkty graniczne.

Na rysunku widzimy: odcinki ,,,, i , a także dwa punkty B i S.

Linie proste w matematyce

Czym jest linia prosta w matematyce? Definicja linii prostej w matematyce: linia prosta nie ma końca i może przebiegać w obu kierunkach do nieskończoności. Linię prostą w matematyce oznaczają dowolne dwa punkty na linii prostej. Aby wyjaśnić uczniowi pojęcie linii prostej, możemy powiedzieć, że linia prosta to odcinek, który nie ma dwóch końców.

Rysunek przedstawia dwie proste linie: CD i EF.

Ray w matematyce

Co to jest promień? Definicja promienia w matematyce: Promień jest częścią prostej, która ma początek i nie ma końca. Nazwa belki zawiera dwie litery, na przykład DC. Co więcej, pierwsza litera zawsze wskazuje punkt początku belki, więc nie można zamienić liter.

Rysunek przedstawia belki: DC, KC, EF, MT, MS. Belki KC i KD - jedna belka, ponieważ mają wspólne pochodzenie.

Linia liczbowa w matematyce

Definicja osi liczbowej w matematyce: Linia, której punkty wyznaczają liczby, nazywana jest osią liczbową.

Rysunek przedstawia oś liczbową, a także promień OD i ED