Grafo kampinis taškas. Funkcijos grafiko liestinė taške

Darbo tipas: 7

Būklė

Tiesė y=3x+2 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko liestinė. Raskite b , atsižvelgiant į tai, kad lietimo taško abscisė yra mažesnė už nulį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tegu x_0 yra funkcijos y=-12x^2+bx-10 grafiko taško, per kurį eina šio grafiko liestinė, abscisė.

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, t.y. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Kita vertus, liestinės taškas priklauso ir funkcijos grafikui, ir liestinė, t.y. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Gauname lygčių sistemą \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(atvejai)

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1. Pagal abscisių būklę prisilietimo taškai yra mažesni už nulį, todėl x_0=-1, tada b=3+24x_0=-21.

Atsakymas

Darbo tipas: 7
Tema: geometrine prasme išvestinė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Tiesė y=-3x+4 lygiagreti funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko liestinei. Raskite sąlyčio taško abscisę.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos y=-x^2+5x-7 grafiko tiesės nuolydis savavališkame taške x_0 yra y"(x_0). Bet y"=-2x+5, taigi y"(x_0)=- 2x_0+5.Sąlygoje nurodytas tiesės y=-3x+4 kampinis koeficientas yra -3.Lygiagrečios tiesės turi vienodus nuolydžio koeficientus.Todėl randame tokią reikšmę x_0, kad =-2x_0 +5=-3.

Gauname: x_0 = 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Iš paveikslo nustatome, kad liestinė eina per taškus A(-6; 2) ir B(-1; 1). C(-6; 1) pažymėkite tiesių x=-6 ir y=1 susikirtimo tašką, o \alpha – kampą ABC (paveiksle matyti, kad jis smailus). Tada tiesė AB sudaro bukąjį kampą \pi -\alpha su teigiama Ox ašies kryptimi.

Kaip žinote, tg(\pi -\alpha) bus funkcijos f(x) išvestinės reikšmė taške x_0. pastebėti, kad tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Iš čia pagal redukcijos formules gauname: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Tiesė y=-2x-4 yra funkcijos y=16x^2+bx+12 grafiko liestinė. Raskite b , atsižvelgiant į tai, kad prisilietimo taško abscisė yra didesnė už nulį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tegu x_0 yra funkcijos y=16x^2+bx+12 grafiko taško abscisė, per kurią

yra šio grafiko liestinė.

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, ty y "(x_0)=32x_0+b=-2. Kita vertus, liestinės taškas priklauso ir funkcijos grafikui, ir liestinė, ty 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Gauname lygčių sistemą \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(atvejai)

Išspręsdami sistemą, gauname x_0^2=1, o tai reiškia arba x_0=-1, arba x_0=1. Pagal abscisių būklę prisilietimo taškai yra didesni už nulį, todėl x_0=1, tada b=-2-32x_0=-34.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Paveikslėlyje parodytas intervale (-2; 8) apibrėžtos funkcijos y=f(x) grafikas. Nustatykite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė lygiagreti tiesei y=6, skaičių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tiesė y=6 lygiagreti Ox ašiai. Todėl randame tokius taškus, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Šioje diagramoje tokie taškai yra ekstremalūs taškai (maksimaliai arba minimalūs taškai). Kaip matote, yra 4 ekstremalūs taškai.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Tiesė y=4x-6 lygiagreti funkcijos y=x^2-4x+9 grafiko liestinei. Raskite sąlyčio taško abscisę.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos y \u003d x ^ 2-4x + 9 grafiko liestinės nuolydis savavališkame taške x_0 yra y "(x_0). Bet y" \u003d 2x-4, o tai reiškia y "(x_0) \ u003d 2x_0-4.Sąlygoje nurodytos liestinės y \u003d 4x-7 nuolydis lygus 4. Lygiagrečios tiesės turi tokius pat nuolydžius.Todėl randame tokią reikšmę x_0 kad 2x_0-4 \u003d 4. Gauname : x_0 \u003d 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 7
Tema: Darinio geometrinė reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x_0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x_0.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Iš paveikslo nustatome, kad liestinė eina per taškus A(1; 1) ir B(5; 4). C(5; 1) pažymėkite tiesių x=5 ir y=1 susikirtimo tašką, o \alpha – kampą BAC (paveiksle matyti, kad jis smailus). Tada tiesė AB sudaro kampą \alpha su teigiama Ox ašies kryptimi.

Šiame straipsnyje mes išanalizuosime visų tipų problemas, kad galėtume rasti

Prisiminkime geometrinė išvestinės reikšmė: jei funkcijos grafike taške nubrėžta liestinė, tai liestinės nuolydis (lygus kampo tarp liestinės ir teigiamos ašies krypties liestims) yra lygus funkcijos išvestinei taške esmė .

Paimkite savavališką liestinės tašką su koordinatėmis:

Ir apsvarstykite statųjį trikampį:

Šiame trikampyje

Iš čia

Tai yra taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinės lygtis.

Norint parašyti liestinės lygtį, tereikia žinoti funkcijos lygtį ir tašką, kuriame nubrėžta liestinė. Tada galime rasti ir .

Yra trys pagrindiniai liestinių lygčių problemų tipai.

1. Suteiktas kontaktinis taškas

2. Duotas liestinės nuolydžio koeficientas, tai yra funkcijos išvestinės reikšmė taške.

3. Duotos taško, per kurį nubrėžta liestinė, bet kuris nėra liestinės taškas, koordinatės.

Pažvelkime į kiekvieną problemos tipą.

vienas . Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį taške .

.

b) Raskite išvestinės reikšmę taške . Pirmiausia randame funkcijos išvestinę

Rastas reikšmes pakeiskite į liestinės lygtį:

Atidarykime skliaustus dešinėje lygties pusėje. Mes gauname:

Atsakymas: .

2. Raskite taškų, kuriuose yra grafiko liestinės funkcijos, abscises lygiagrečiai x ašiai.

Jei liestinė lygiagreti x ašiai, tai kampas tarp liestinės ir teigiamos ašies krypties nulis, todėl liestinės nuolydžio liestinė lygi nuliui. Taigi funkcijos išvestinės reikšmė sąlyčio taškuose yra nulis.

a) Raskite funkcijos išvestinę .

b) Prilyginkite išvestinę nuliui ir raskite reikšmes, kuriose liestinė lygiagreti ašiai:

Kiekvieną veiksnį prilyginame nuliui, gauname:

Atsakymas: 0;3;5

3 . Parašykite funkcijos grafiko liestinių lygtis , lygiagrečiai tiesiai .

Liestinė lygiagreti tiesei. Šios tiesios linijos nuolydis yra -1. Kadangi liestinė yra lygiagreti šiai tiesei, liestinės nuolydis taip pat yra -1. T.y žinome liestinės nuolydį, ir tokiu būdu išvestinės vertės sąlyčio taške.

Tai yra antrasis liestinės lygties nustatymo uždavinių tipas.

Taigi, mums suteikiama funkcija ir išvestinės reikšmė sąlyčio taške.

a) Raskite taškus, kuriuose funkcijos išvestinė lygi -1.

Pirmiausia suraskime išvestinę lygtį.

Išvestinę prilyginkime skaičiui -1.

Raskite funkcijos reikšmę taške .

(pagal sąlygą)

.

b) Raskite funkcijos grafiko liestinės taške lygtį.

Raskite funkcijos reikšmę taške .

(pagal sąlygą).

Pakeiskite šias reikšmes į liestinės lygtį:

.

Atsakymas:

4 . Parašykite kreivės liestinės lygtį , einantis per tašką

Pirmiausia patikrinkite, ar taškas nėra prisilietimo taškas. Jei taškas yra liestinės taškas, tai jis priklauso funkcijos grafikui, o jo koordinatės turi tenkinti funkcijos lygtį. Funkcijos lygtyje pakeiskite taško koordinates.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} nėra sąlyčio taškas.

Tai paskutinis uždavinys ieškant liestinės lygties. Pirmas dalykas turime rasti sąlyčio taško abscisę.

Raskime vertę.

Tegul bus sąlyčio taškas. Taškas priklauso funkcijos grafiko liestinei. Jei šio taško koordinates pakeisime liestinės lygtimi, gausime teisingą lygybę:

.

Funkcijos reikšmė taške yra .

Raskite funkcijos išvestinės reikšmę taške .

Pirmiausia suraskime funkcijos išvestinę. Tai yra .

Išvestinė taške yra .

Pakeiskime išraiškas ir į liestinės lygtį. Gauname lygtį:

Išspręskime šią lygtį.

Sumažinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį 2:

Dešiniąją lygties pusę pristatome prie bendro vardiklio. Mes gauname:

Supaprastinkite trupmenos skaitiklį ir padauginkite abi dalis iš - ši išraiška yra griežtai didesnė už nulį.

Gauname lygtį

Išspręskime. Norėdami tai padaryti, abi dalis supjaustome kvadratu ir einame į sistemą.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrica(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) )) ( )">!}

Išspręskime pirmąją lygtį.

Mes nuspręsime kvadratinė lygtis, mes gauname

Antroji šaknis neatitinka sąlygos title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Parašykime kreivės liestinės lygtį taške . Norėdami tai padaryti, pakeičiame reikšmę lygtyje Mes jau įrašėme.

Atsakymas:
.

Tegu duota funkcija f, kuri tam tikru momentu x 0 turi baigtinę išvestinę f (x 0). Tada tiesė, einanti per tašką (x 0 ; f (x 0)), turinti nuolydis f '(x 0), vadinamas liestine.

Bet kas atsitiks, jei išvestinė taške x 0 neegzistuoja? Yra dvi parinktys:

1. Grafo liestinė taip pat neegzistuoja. Klasikinis pavyzdys yra funkcija y = |x | taške (0; 0).
2. Liestinė tampa vertikali. Tai galioja, pavyzdžiui, funkcijai y = arcsin x taške (1; π /2).

Tangento lygtis

Bet kuri nevertikali tiesė nurodoma y = kx + b formos lygtimi, kur k yra nuolydis. Liestinė nėra išimtis, ir norint sudaryti jos lygtį tam tikrame taške x 0, pakanka žinoti funkcijos reikšmę ir išvestinę šiame taške.

Taigi, duokime funkciją y \u003d f (x), kurios atkarpoje yra išvestinė y \u003d f '(x). Tada bet kuriame x 0 ∈ (a; b) taške galima nubrėžti šios funkcijos grafiko liestinę, kurią pateikia lygtis:

y \u003d f'(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Čia f ’(x 0) yra išvestinės reikšmė taške x 0, o f (x 0) yra pačios funkcijos reikšmė.

Užduotis. Duota funkcija y = x 3 . Parašykite šios funkcijos grafiko liestinės taške x 0 = 2 lygtį.

Liestinės lygtis: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Mums duotas taškas x 0 = 2, tačiau reikės apskaičiuoti reikšmes f (x 0) ir f '(x 0).

Pirma, suraskime funkcijos reikšmę. Čia viskas paprasta: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Dabar suraskime išvestinę: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Pakeiskite išvestinėje x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Taigi gauname: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Tai yra liestinės lygtis.

Užduotis. Sudarykite funkcijos f (x) \u003d 2sin x + 5 grafiko liestinės lygtį taške x 0 \u003d π / 2.

Šį kartą kiekvieno veiksmo detaliai neaprašysime – nurodysime tik pagrindinius žingsnius. Mes turime:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5)' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Tangento lygtis:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Pastaruoju atveju linija pasirodė esanti horizontali, nes jo nuolydis k = 0. Nėra nieko blogo – mes tiesiog užkliuvome ant ekstremumo taško.

Y \u003d f (x) ir jei šiuo metu funkcijos grafiko liestinė gali būti nubrėžta, kuri nėra statmena x ašiai, tada liestinės nuolydis yra f "(a). Mes jau panaudojome tai keletą Pavyzdžiui, § 33 buvo nustatyta, kad funkcijos y \u003d sin x (sinusoidės) grafikas pradžioje sudaro 45° kampą su abscisių ašimi (tiksliau, grafiko liestinė ties pradžia sudaro 45 ° kampą su teigiama x ašies kryptimi), o 5 pavyzdyje iš § 33 taškai buvo rasti pagal pateiktą grafiką funkcijas, kurioje liestinė lygiagreti x ašiai. 33 straipsnio 2 pavyzdyje buvo sudaryta lygtis funkcijos y \u003d x 2 grafiko liestinei taške x \u003d 1 (tiksliau, taške (1; 1), bet dažniau tik nurodoma abscisių reikšmė, darant prielaidą, kad jei žinoma abscisių reikšmė, tai ordinatės reikšmę galima rasti iš lygties y = f(x)). Šiame skyriuje mes sukursime bet kurios funkcijos grafiko liestinės lygties sudarymo algoritmą.

Tegul funkcija y \u003d f (x) ir taškas M (a; f (a)), taip pat žinoma, kad f "(a) egzistuoja. Sudarykime grafiko liestinės lygtį nurodytą funkciją duotas taškas. Ši lygtis, kaip ir bet kurios tiesės, kuri nėra lygiagreti y ašiai, lygtis turi formą y = kx + m, todėl uždavinys yra rasti koeficientų k ir m reikšmes.

Su nuolydžiu k nėra problemų: žinome, kad k \u003d f "(a). Norėdami apskaičiuoti m reikšmę, naudojame faktą, kad norima linija eina per tašką M (a; f (a)). Tai reiškia, kad jei koordinačių taškus M pakeisime tiesės lygtimi, gausime teisingą lygybę: f (a) \u003d ka + m, iš kur mes randame, kad m \u003d f (a) - ka.
Belieka pakeisti rastas banginių koeficientų vertes lygtis tiesiai:

Gavome funkcijos y \u003d f (x) grafiko liestinės lygtį taške x \u003d a.
Jei, tarkim,
Rastas reikšmes a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2 pakeisdami į (1) lygtį, gauname: y \u003d 1 + 2 (x-f), ty y \u003d 2x -1.
Palyginkite šį rezultatą su gautu 33 § 2 pavyzdyje. Natūralu, kad atsitiko tas pats.
Sudarykime funkcijos y \u003d tg x grafiko liestinės lygtį ištakoje. Mes turime: taigi cos x f "(0) = 1. Rastas reikšmes a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 pakeisdami į (1) lygtį, gauname: y \u003d x .
Štai kodėl nubrėžėme tangentoidą § 15 (žr. 62 pav.) per koordinačių pradžią 45 ° kampu abscisių ašies atžvilgiu.
Pakanka tai išspręsti paprasti pavyzdžiai, mes iš tikrųjų naudojome tam tikrą algoritmą, kuris yra įdėtas į (1) formulę. Padarykime šį algoritmą aiškų.

FUNKCIJOS LYGTYBĖS GRAFIKUI y \u003d f (x) SUDARYTI ALGORITMAS

1) Pažymėkite sąlyčio taško abscisę raide a.
2) Apskaičiuokite 1 (a).
3) Raskite f "(x) ir apskaičiuokite f" (a).
4) Rastus skaičius a, f(a), (a) pakeiskite į (1) formulę.

1 pavyzdys Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį taške x = 1.
Naudokime algoritmą, atsižvelgdami į tai šis pavyzdys

Ant pav. 126 pavaizduota hiperbolė, nutiesta tiesė y \u003d 2x.
Brėžinys patvirtina pateiktus skaičiavimus: iš tiesų, linija y \u003d 2-x paliečia hiperbolę taške (1; 1).

Atsakymas: y \u003d 2-x.
2 pavyzdys Nubrėžkite funkcijos grafiko liestinę, kad ji būtų lygiagreti tiesei y \u003d 4x - 5.
Patikslinkime problemos formuluotę. Reikalavimas „nubrėžti liestinę“ paprastai reiškia „padaryti liestinės lygtį“. Tai logiška, nes jei žmogus sugebėjo sudaryti liestinės lygtį, vargu ar jis patirs sunkumų statydamas tiesę koordinačių plokštumoje pagal jos lygtį.
Naudokime tangentinės lygties sudarymo algoritmą, atsižvelgiant į tai, kad šiame pavyzdyje, tačiau, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, čia yra dviprasmybės: liestinės taško abscisė nėra aiškiai nurodyta.
Pradėkime taip kalbėti. Norima liestinė turi būti lygiagreti tiesei y \u003d 4x-5. Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų nuolydžiai yra vienodi. Tai reiškia, kad liestinės nuolydis turi būti lygus nurodytos tiesės nuolydžiui: Taigi a reikšmę galime rasti iš lygties f "(a) \u003d 4.
Mes turime:
Iš lygties Taigi, yra dvi liestinės, kurios tenkina uždavinio sąlygas: viena taške su abscise 2, kita taške su abscise -2.
Dabar galite veikti pagal algoritmą.

3 pavyzdys Iš taško (0; 1) nubrėžkite funkcijos grafiko liestinę
Naudokime tangentinės lygties sudarymo algoritmą, atsižvelgdami į tai, kad šiame pavyzdyje Atkreipkite dėmesį, kad čia, kaip ir 2 pavyzdyje, liestinės taško abscisė nėra aiškiai nurodyta. Nepaisant to, mes veikiame pagal algoritmą.

Pagal sąlygą liestinė eina per tašką (0; 1). Į (2) lygtį pakeitę reikšmes x = 0, y = 1, gauname:
Kaip matote, šiame pavyzdyje tik ketvirtame algoritmo žingsnyje pavyko rasti prisilietimo taško abscisę. Pakeitę reikšmę a \u003d 4 į (2) lygtį, gauname:

Ant pav. 127 parodyta geometrinė nagrinėjamo pavyzdžio iliustracija: funkcijos grafikas

32 dalyje pažymėjome, kad funkcijai y = f(x), kurios išvestinė yra fiksuotame taške x, galioja apytikslė lygybė:

Tolesnio samprotavimo patogumui keičiame žymėjimą: vietoj x rašysime a, vietoj to rašysime x ir atitinkamai vietoj x-a. Tada aukščiau parašyta apytikslė lygybė bus tokia:

Dabar pažvelkite į pav. 128. Funkcijos y \u003d f (x) grafiko taške M (a; f (a)) nubrėžta liestinė. Pažymėtas taškas x x ašyje arti a. Aišku, kad f(x) yra funkcijos grafiko nurodytame taške x ordinatės. O kas yra f (a) + f "(a) (x-a)? Tai liestinės, atitinkančios tą patį tašką x, ordinatė – žr. (1) formulę. Ką reiškia apytikslė lygybė (3)? apskaičiuokite apytikslę funkcijos reikšmę, imama liestinės ordinatės reikšmė.

4 pavyzdys Raskite apytikslę skaitinės išraiškos reikšmę 1.02 7 .
Tai apie apie funkcijos y \u003d x 7 reikšmės radimą taške x \u003d 1,02. Mes naudojame formulę (3), atsižvelgdami į tai šiame pavyzdyje
Dėl to gauname:

Jei naudosime skaičiuotuvą, gausime: 1,02 7 = 1,148685667...
Kaip matote, apytikslis tikslumas yra gana priimtinas.
Atsakymas: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovičiaus algebra 10 klasė

Kalendorinis teminis planavimas matematikoje, vaizdo įrašą matematika internete, matematika mokykloje parsisiųsti

Pamokos turinys pamokos santrauka paramos rėmo pamokos pristatymo pagreitinimo metodai interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratybos savikontrolės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai diskusija klausimai retoriniai mokinių klausimai Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir daugialypės terpės nuotraukos, paveikslėliai grafika, lentelės, schemos humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai lustai smalsiems cheat sheets vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje pamokoje naujovių elementų atnaujinimas vadovėlyje pasenusių žinių pakeitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis planas metams Gairės diskusijų programos Integruotos pamokos

Apsvarstykite šį paveikslą:

Tai rodo tam tikrą funkciją y = f(x), kuri yra diferencijuojama taške a. Pažymėtas taškas M koordinatėmis (a; f(a)). Per savavališką grafiko tašką P(a + ∆x; f(a + ∆x)) nubrėžiamas sekantas MP.

Jei dabar taškas P perkeliamas išilgai grafiko į tašką M, tai tiesė MP pasisuks aplink tašką M. Šiuo atveju ∆x bus linkęs į nulį. Iš čia galime suformuluoti funkcijos grafiko liestinės apibrėžimą.

Funkcijos grafiko liestinė

Funkcijos grafiko liestinė yra sekanto ribinė padėtis, kai argumento prieaugis linkęs į nulį. Reikėtų suprasti, kad funkcijos f išvestinės egzistavimas taške x0 reiškia, kad šiame grafiko taške yra liestinė jam.

Šiuo atveju liestinės nuolydis bus lygus šios funkcijos išvestinei šiame taške f'(x0). Tai geometrinė išvestinės reikšmė. Taške x0 diferencijuojamos funkcijos f grafiko liestinė yra kokia nors tiesė, einanti per tašką (x0;f(x0)) ir turinti nuolydį f’(x0).

Tangento lygtis

Pabandykime gauti kokios nors funkcijos f grafiko liestinės lygtį taške A(x0; f(x0)). Tiesios linijos su nuolydžiu k lygtis yra tokia:

Kadangi mūsų nuolydis lygus išvestinei f'(x0), tada lygtis bus tokia: y = f'(x0)*x + b.

Dabar apskaičiuokime b reikšmę. Norėdami tai padaryti, naudojame faktą, kad funkcija eina per tašką A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, iš čia išreiškiame b ir gauname b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Gautą reikšmę pakeičiame į liestinės lygtį:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Apsvarstykite šį pavyzdį: raskite funkcijos f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 grafiko liestinės lygtį taške x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 – 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Pakeiskite gautas reikšmes į liestinės formulę, gausime: y = 1 + 4*(x - 2). Atidarę skliaustus ir suvedę panašius terminus, gauname: y = 4*x - 7.

Atsakymas: y = 4*x - 7.

Bendra liestinės lygties sudarymo schemaį funkcijos y = f(x) grafiką:

1. Nustatykite x0.

2. Apskaičiuokite f(x0).

3. Apskaičiuokite f'(x)