Trigonometrinė lentelė. Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas – viskas, ką reikia žinoti laikant vieningą valstybinį matematikos egzaminą

Centruota taške A.
α - kampas, išreikštas radianais.

Apibrėžimas
Sinusas (sin α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki hipotenuzės ilgio |AC|.

Kosinusas (cos α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| iki hipotenuzės ilgio |AC|.

Priimti užrašai

;
;
.

Sinuso funkcijos grafikas, y = sin x

Kosinuso funkcijos grafikas, y = cos x

Sinuso ir kosinuso savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = nuodėmė x ir y = cos x periodinis su periodu 2π.

Paritetas

Sinuso funkcija yra nelyginė. Kosinuso funkcija yra lygi.

Apibrėžimo ir vertybių sritis, ekstremumai, padidėjimas, sumažėjimas

Sinuso ir kosinuso funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje, ty visiems x (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės jų savybės pateiktos lentelėje (n – sveikas skaičius).

	y = nuodėmė x	y = cos x
Taikymo sritis ir tęstinumas	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vertybių diapazonas	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Didėja
Mažėjantis
Maxima, y = 1
Minimalus, y = - 1
Nuliai, y = 0
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0	y = 0	y = 1

Pagrindinės formulės

Sinuso ir kosinuso kvadratų suma

Sinuso ir kosinuso formulės iš sumos ir skirtumo

;
;

Sinusų ir kosinusų sandaugos formulės

Sumos ir skirtumo formulės

Sinuso išreiškimas per kosinusą

;
;
;
.

Kosinuso išreiškimas per sinusą

;
;
;
.

Išraiška per tangentą

; .

Kada turime:
; .

adresu:
; .

Sinusų ir kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelė

Šioje lentelėje parodytos sinusų ir kosinusų reikšmės tam tikroms argumento reikšmėms.

Išraiškos per sudėtingus kintamuosius

;

Eulerio formulė

Išraiškos per hiperbolines funkcijas

;
;

Dariniai

; . Išvedimo formulės >>>

N-osios eilės vediniai:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekantas, kosekantas

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės sinuso ir kosinuso funkcijos yra atitinkamai arcsinusas ir arkosinusas.

Arčinas, arcsin

Arkosinas, arkosas

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

Šiame straipsnyje yra sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelės. Pirmiausia pateiksime trigonometrinių funkcijų pagrindinių verčių lentelę, tai yra 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 laipsnių kampų sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelę ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radianas). Po to pateiksime sinusų ir kosinusų lentelę, taip pat V. M. Bradiso liestinių ir kotangentų lentelę ir parodysime, kaip naudoti šias lenteles ieškant trigonometrinių funkcijų reikšmių.

Puslapio naršymas.

Sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelė 0, 30, 45, 60, 90, ... laipsnių kampams

Bibliografija.

Algebra: Vadovėlis 9 klasei. vid. mokykla/Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Telyakovsky. - M.: Išsilavinimas, 1990. - 272 p.: iliustr. - ISBN 5-09-002727-7
Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Švietimas, 2004. - 384 p.: iliustr. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.
Bradis V. M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės: Bendrajam lavinimui. vadovėlis įstaigose. - 2 leidimas. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: iliustr. ISBN 5-7107-2667-2

Trigonometrijos tyrimą pradėsime nuo stačiojo trikampio. Apibrėžkime, kas yra sinusas ir kosinusas, taip pat smailiojo kampo liestinė ir kotangentas. Tai yra trigonometrijos pagrindai.

Leiskite jums tai priminti stačiu kampu yra kampas, lygus 90 laipsnių. Kitaip tariant, pusė pasukto kampo.

Aštrus kampas- mažiau nei 90 laipsnių.

Bukas kampas- didesnis nei 90 laipsnių. Kalbant apie tokį kampą, „bukas“ yra ne įžeidimas, o matematinis terminas :-)

Nubrėžkime statųjį trikampį. Status kampas paprastai žymimas . Atkreipkite dėmesį, kad priešinga kampo pusė pažymėta ta pačia raide, tik maža. Taigi, priešinga kampas A yra pažymėtas .

Kampas žymimas atitinkama graikiška raide.

Hipotenuzė stačiojo trikampio kraštinė yra priešinga stačiajam kampui.

Kojos- šonai, esantys priešais smailius kampus.

Priešais kampą esanti koja vadinama priešingas(kampo atžvilgiu). Kita koja, esanti vienoje iš kampo pusių, vadinama gretimas.

Sinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:

Kosinusas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Tangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - priešingos kraštinės ir gretimos santykis:

Kitas (ekvivalentiškas) apibrėžimas: smailiojo kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis (arba, kuris yra tas pats, kosinuso ir sinuso santykis):

Toliau atkreipkite dėmesį į pagrindinius sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ryšius. Jie mums pravers sprendžiant problemas.

Įrodykime kai kuriuos iš jų.

Gerai, mes pateikėme apibrėžimus ir užrašėme formules. Bet kodėl mums vis dar reikia sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento?

Mes tai žinome bet kurio trikampio kampų suma lygi.

Mes žinome ryšį tarp vakarėliams taisyklingas trikampis. Tai Pitagoro teorema: .

Pasirodo, žinodami du trikampio kampus, galite rasti trečiąjį. Žinodami dvi stačiojo trikampio kraštines, galite rasti trečiąją. Tai reiškia, kad kampai turi savo santykį, o šonai - savo. Bet ką daryti, jei stačiakampiame trikampyje žinote vieną kampą (išskyrus stačią) ir vieną kraštinę, bet jums reikia rasti kitas puses?

Su tuo susidurdavo žmonės, kurdami vietovės ir žvaigždėto dangaus žemėlapius. Juk ne visada galima tiesiogiai išmatuoti visas trikampio kraštines.

Sinusas, kosinusas ir tangentas – dar vadinami trigonometrinių kampų funkcijos- suteikti ryšius tarp vakarėliams Ir kampus trikampis. Žinodami kampą, visas jo trigonometrines funkcijas galite rasti naudodami specialias lenteles. O žinodami trikampio ir vienos iš jo kraštinių kampų sinusus, kosinusus ir tangentus, galite rasti likusias dalis.

Taip pat sudarysime sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių lentelę „geriems“ kampams nuo iki.

Atkreipkite dėmesį į du raudonus brūkšnelius lentelėje. Esant atitinkamoms kampo vertėms, liestinė ir kotangentas neegzistuoja.

Pažvelkime į keletą trigonometrijos problemų iš FIPI užduočių banko.

1. Trikampyje kampas yra , . Rasti.

Problema išspręsta per keturias sekundes.

Nes , .

2. Trikampyje kampas yra , , . Rasti.

Raskime jį naudodami Pitagoro teoremą.

Problema išspręsta.

Dažnai problemose yra trikampių su kampais ir arba su kampais ir. Prisiminkite pagrindinius jų santykius mintinai!

Jei trikampis su kampais ir kojelė priešinga kampui ties yra lygi pusė hipotenuzės.

Trikampis su kampais ir yra lygiašonis. Jame hipotenuzė yra kartų didesnė už koją.

Mes pažvelgėme į stačiųjų trikampių sprendimo uždavinius - tai yra, kaip rasti nežinomas puses ar kampus. Bet tai dar ne viskas! Vieningame valstybiniame matematikos egzamine yra daug užduočių, kur trikampio išorinio kampo sinusas, kosinusas, liestinė arba kotangentas. Daugiau apie tai kitame straipsnyje.

TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ VERČIŲ LENTELĖ

Trigonometrinių funkcijų verčių lentelė sudaryta 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 ir 360 laipsnių kampams ir atitinkamoms kampų reikšmėms vradianais. Iš trigonometrinių funkcijų lentelėje parodytas sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas, sekantas ir kosekantas. Kad būtų patogiau spręsti mokyklinius pavyzdžius, trigonometrinių funkcijų reikšmės lentelėje rašomos trupmenos pavidalu, išsaugant skaičių kvadratinės šaknies ištraukimo ženklus, o tai labai dažnai padeda sumažinti sudėtingas matematines išraiškas. Tangento ir kotangento atveju kai kurių kampų vertės negali būti nustatytos. Tokių kampų liestinės ir kotangento reikšmėms trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje yra brūkšnys. Visuotinai pripažįstama, kad tokių kampų liestinė ir kotangentė yra lygi begalybei. Atskirame puslapyje yra trigonometrinių funkcijų mažinimo formulės.

Trigonometrinės sinuso funkcijos verčių lentelėje pateiktos šių kampų reikšmės: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 laipsniais, o tai atitinka sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi radianiniu kampų matu. Mokyklinė sinusų lentelė.

Trigonometrinės kosinuso funkcijos lentelėje pateiktos šių kampų vertės: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 laipsniais, o tai atitinka cos 0 pi , cos pi – 6, cos pi – 4, cos pi – 3, cos pi – 2, cos pi, cos 3 pi – 2, cos 2 pi – radianiniu kampų matu. Mokyklinė kosinusų lentelė.

Trigonometrinės liestinės funkcijos trigonometrinėje lentelėje pateikiamos šių kampų vertės: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 laipsniais, kurie atitinka tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi radianiniu kampų matu. Šios trigonometrinių liestinių funkcijų reikšmės neapibrėžtos tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 ir laikomos lygiomis begalybei.

Trigonometrinės funkcijos kotangentui trigonometrinėje lentelėje pateikiamos šių kampų reikšmės: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 laipsniais, o tai atitinka ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 radianiniu kampų matu. Šios trigonometrinių kotangentų funkcijų reikšmės nėra apibrėžtos ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi ir laikomos lygiomis begalybei.

Trigonometrinių funkcijų sekantas ir kosekantas reikšmės pateikiamos tiems patiems kampams laipsniais ir radianais kaip sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas.

Nestandartinių kampų trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje pateiktos sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės kampams 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 laipsniais ir radianais pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radianai. Trigonometrinių funkcijų reikšmės išreiškiamos trupmenomis ir kvadratinėmis šaknimis, kad mokyklos pavyzdžiuose būtų lengviau sumažinti trupmenas.

Dar trys trigonometrijos monstrai. Pirmasis yra 1,5 pusantro laipsnio liestinė arba pi, padalintas iš 120. Antrasis yra pi kosinusas, padalintas iš 240, pi/240. Ilgiausias yra pi kosinusas, padalintas iš 17, pi/17.

Trigonometrinis sinuso ir kosinuso funkcijų reikšmių ratas vizualiai vaizduoja sinuso ir kosinuso ženklus, priklausomai nuo kampo dydžio. Ypač blondinėms kosinuso reikšmės yra pabrauktos žaliu brūkšneliu, kad būtų išvengta painiavos. Laipsnių perskaičiavimas į radianus taip pat labai aiškiai pateikiamas, kai radianai išreiškiami pi.

Šioje trigonometrinėje lentelėje pateikiamos sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės kampams nuo 0 nulio iki 90 devyniasdešimt laipsnių vieno laipsnio intervalais. Pirmųjų keturiasdešimt penkių laipsnių trigonometrinių funkcijų pavadinimus reikia žiūrėti lentelės viršuje. Pirmajame stulpelyje yra laipsniai, sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų reikšmės rašomos kituose keturiuose stulpeliuose.

Kampams nuo keturiasdešimt penkių laipsnių iki devyniasdešimties laipsnių trigonometrinių funkcijų pavadinimai rašomi lentelės apačioje. Paskutiniame stulpelyje yra laipsniai; kosinusų, sinusų, kotangentų ir liestinių reikšmės rašomos ankstesniuose keturiuose stulpeliuose. Turėtumėte būti atsargūs, nes trigonometrinės lentelės apačioje esančių trigonometrinių funkcijų pavadinimai skiriasi nuo pavadinimų lentelės viršuje. Sinusai ir kosinusai keičiami kaip tangentas ir kotangentas. Taip yra dėl trigonometrinių funkcijų reikšmių simetrijos.

Trigonometrinių funkcijų ženklai parodyti aukščiau esančiame paveikslėlyje. Sinusas turi teigiamas vertes nuo 0 iki 180 laipsnių arba nuo 0 iki pi. Sinusas turi neigiamas vertes nuo 180 iki 360 laipsnių arba nuo pi iki 2 pi. Kosinuso reikšmės yra teigiamos nuo 0 iki 90 ir 270 iki 360 laipsnių arba nuo 0 iki 1/2 pi ir 3/2 iki 2 pi. Tangentas ir kotangentas turi teigiamas vertes nuo 0 iki 90 laipsnių ir nuo 180 iki 270 laipsnių, atitinkančias reikšmes nuo 0 iki 1/2 pi ir pi iki 3/2 pi. Neigiamos tangento ir kotangento reikšmės yra nuo 90 iki 180 laipsnių ir nuo 270 iki 360 laipsnių arba nuo 1/2 pi iki pi ir nuo 3/2 pi iki 2 pi. Nustatydami trigonometrinių funkcijų požymius kampams, didesniems nei 360 laipsnių arba 2 pi, turėtumėte naudoti šių funkcijų periodiškumo savybes.

Trigonometrinės funkcijos sinusas, liestinė ir kotangentas yra nelyginės funkcijos. Šių funkcijų reikšmės neigiamiems kampams bus neigiamos. Kosinusas yra lygi trigonometrinė funkcija – neigiamo kampo kosinuso reikšmė bus teigiama. Dauginant ir dalijant trigonometrines funkcijas, reikia laikytis ženklų taisyklių.

Trigonometrinės sinusinės funkcijos verčių lentelėje pateikiamos šių kampų reikšmės
dokumentas
Atskirame puslapyje yra sumažinimo formulės trigonometrinisfunkcijas. IN stalovertybesDėltrigonometrinisfunkcijassinusasduotavertybesDėlSekantiskampus: nuodėmė 0, nuodėmė 30, nuodėmė 45 ...
Siūlomas matematinis aparatas yra pilnas kompleksinio skaičiavimo, skirto n-mačių hiperkompleksiniams skaičiams, turintiems bet kokį laisvės laipsnių skaičių n, analogas ir skirtas matematiniam netiesinių modelių modeliavimui.
dokumentas
... funkcijas lygus funkcijas Vaizdai. Iš šios teoremos turėtų, Ką Dėl radus koordinates U, V, užtenka paskaičiuoti funkcija... geometrija; daugianaris funkcijas(daugiamačiai dvimačiai analogai trigonometrinisfunkcijas), jų savybes, lenteles ir taikymas; ...
Taip pat rekomenduojame