Koks yra stačiakampio trikampio plotas? Kaip rasti trikampio plotą (formulės)

Elementariojoje geometrijoje stačiakampis yra figūra, susidedanti iš trijų atkarpų, sujungtų taškuose, kurių kampai du yra smailūs, o vienas – tiesus (tai yra lygus 90°). Taisyklingas trikampis pasižymi daugybe svarbių savybių, iš kurių daugelis sudaro trigonometrijos pagrindą (pavyzdžiui, jos kraštinių ir kampų santykis). Nuo mokyklos laikų visi mokame skaičiuoti stačiojo trikampio plotas, o kasdieniame gyvenime su šia geometrine figūra susiduriame gana dažnai, kartais net nepastebėdami. Jis gana plačiai pritaikomas technologijoje, todėl inžinieriams, dizaineriams ir architektams dažnai tenka spręsti tokią problemą.

Šią vertę architektai turi nustatyti projektuodami pastatus su frontonais, kurie yra fasadų užbaigimas ir trikampio formos apribotas karnizu ir iš šonų stogo šlaitais. Dažnai kampas tarp šlaitų būna tiesus, o tokiais atvejais frontonas yra stačiakampio trikampio formos. Nustatyti jo plotą būtina dėl tos paprastos priežasties, kad reikia tiksliai žinoti jo išdėstymui reikalingą statybinės medžiagos kiekį. Reikėtų pažymėti, kad frontonai yra privalomi mažaaukščių pastatų (kaimo namų, kotedžų, vasarnamių) elementai.

Stačiojo trikampio ploto radimas

a- koja

b- koja

S- stačiojo trikampio plotas

Forma taisyklingas trikampis turi daug detalių, iš kurių gaminami modernūs baldai. Kaip žinia, norint kuo efektyviau išnaudoti kambario erdvę, visi apstatymo elementai turi būti joje išdėstyti optimaliai. Galite tinkamai išnaudoti tokias sritis kaip kampai, naudodami trikampio formos lenteles, kurių viršus dažniausiai yra stačiakampiai trikampiai, kurių kojos yra greta sienų. Kurdami ir skaičiuodami šiuos elementus baldų gamybos dizaineriai naudoja formulę, pagal kurią rasti stačiojo trikampio plotą atliekamas pagal jo šonų ilgį. Be to, jie dažnai turi kurti stalų, tvirtinamų tiesiai prie sienų, dizainus, kuriuose yra atraminių elementų, kurie taip pat yra stačiųjų trikampių.

Apdailos darbus atliekantys statybininkai savo profesinėje veikloje dažnai turi naudoti stačiakampio trikampio formos keramines plyteles su vienodo arba skirtingo ilgio kojomis. Jie taip pat turi nustatyti šių elementų plotą, kad sužinotų reikiamą skaičių.

Forma taisyklingas trikampis Jame taip pat yra toks svarbus ir reikalingas matavimo įrankis kaip kvadratas. Jis naudojamas stačių kampų konstravimui ir valdymui, yra naudojamas labai plačiai ir daugelio: nuo paprastų moksleivių geometrijos pamokose iki pažangiausių technologijų kūrėjų.

Statusis trikampis realybėje yra beveik ant kiekvieno kampo. Žinios apie tam tikros figūros savybes, taip pat mokėjimas apskaičiuoti jos plotą, neabejotinai pravers ne tik sprendžiant geometrijos uždavinius, bet ir gyvenimiškose situacijose.

Trikampio geometrija

Elementariojoje geometrijoje stačiakampis yra figūra, susidedanti iš trijų sujungtų atkarpų, sudarančių tris kampus (du smailųjį ir vieną tiesų). Statusis trikampis yra originali figūra, pasižyminti daugybe svarbių savybių, kurios sudaro trigonometrijos pagrindą. Skirtingai nuo įprasto trikampio, stačiakampio formos kraštinės turi savo pavadinimus:

Hipotenuzė yra ilgiausia trikampio kraštinė, priešinga stačiajam kampui.
Kojos yra segmentai, kurie sudaro stačią kampą. Priklausomai nuo nagrinėjamo kampo, koja gali būti greta jo (sudaro šį kampą su hipotenuse) arba priešinga (gulėti priešais kampą). Nestačiakampiams trikampiams kojų nėra.

Trigonometrijos pagrindas yra kojų ir hipotenuzės santykis: sinusai, liestinės ir sekantai apibrėžiami kaip stačiojo trikampio kraštinių santykis.

Statusis trikampis realybėje

Ši figūra tapo plačiai paplitusi realybėje. Trikampiai naudojami projektuojant ir technologijose, todėl figūros plotą turi skaičiuoti inžinieriai, architektai ir dizaineriai. Tetraedrų arba prizmių – kasdieniame gyvenime nesunkiai sutinkamų trimačių figūrų – pagrindai yra trikampio formos. Be to, kvadratas yra paprasčiausias „plokščio“ stačiojo trikampio atvaizdas tikrovėje. Kvadratas – metalo apdirbimo, braižymo, statybos ir dailidės įrankis, kuriuo kampus konstruoja ir moksleiviai, ir inžinieriai.

Trikampio plotas

Geometrinės figūros plotas yra kiekybinis įvertinimas, kiek plokštumos riboja trikampio kraštinės. Įprasto trikampio plotą galima rasti penkiais būdais, naudojant Herono formulę arba naudojant tokius kintamuosius kaip įbrėžto arba apibrėžto apskritimo pagrindas, kraštinė, kampas ir spindulys. Paprasčiausia ploto formulė išreiškiama taip:

kur a yra trikampio kraštinė, h yra jo aukštis.

Stačiakampio trikampio ploto apskaičiavimo formulė yra dar paprastesnė:

kur a ir b yra kojos.

Dirbdami su mūsų internetiniu skaičiuotuvu, galite apskaičiuoti trikampio plotą naudodami tris parametrų poras:

dvi kojos;
kojelė ir gretimas kampas;
kojelė ir priešingas kampas.

Problemose ar kasdienėse situacijose jums bus pateikti skirtingi kintamųjų deriniai, todėl ši skaičiuoklės forma leidžia apskaičiuoti trikampio plotą keliais būdais. Pažvelkime į porą pavyzdžių.

Realaus gyvenimo pavyzdžiai

Keramikinė plytelė

Tarkime, virtuvės sienas norite iškloti keraminėmis plytelėmis, kurios turi stačiakampio trikampio formą. Norėdami nustatyti plytelių sunaudojimą, turite sužinoti vieno apkalimo elemento plotą ir bendrą apdorojamo paviršiaus plotą. Tarkime, kad reikia apdoroti 7 kvadratinius metrus. Vieno elemento kojų ilgis yra 19 cm, tada plytelės plotas bus lygus:

Tai reiškia, kad vieno elemento plotas yra 24,5 kvadratiniai centimetrai arba 0,01805 kvadratiniai metrai. Žinodami šiuos parametrus, galite apskaičiuoti, kad 7 kvadratinių metrų sienos apdailai reikės 7/0,01805 = 387 apdailos plytelių elementų.

Mokyklos užduotis

Tarkime, mokyklos geometrijos uždavinyje reikia rasti stačiojo trikampio plotą, žinant tik tai, kad vienos kojos kraštinė yra 5 cm, o priešingas kampas yra 30 laipsnių. Mūsų internetiniame skaičiuoklėje yra iliustracija, rodanti stačiojo trikampio kraštines ir kampus. Jei kraštinė a = 5 cm, tada jos priešingas kampas yra kampas alfa, lygus 30 laipsnių. Įveskite šiuos duomenis į skaičiuoklės formą ir gaukite rezultatą:

Taigi, skaičiuotuvas ne tik apskaičiuoja tam tikro trikampio plotą, bet ir nustato gretimos kojos bei hipotenuzės ilgį, taip pat antrojo kampo reikšmę.

Išvada

Stačiakampiai trikampiai mūsų gyvenime yra tiesiog ant kiekvieno kampo. Nustatyti tokių figūrų plotą jums pravers ne tik sprendžiant mokyklines geometrijos užduotis, bet ir kasdienėje bei profesinėje veikloje.

Priklausomai nuo trikampio tipo, yra keletas jo ploto nustatymo variantų. Pavyzdžiui, norėdami apskaičiuoti stačiakampio trikampio plotą, naudokite formulę S= a * b / 2, kur a ir b yra jo kojos. Jei norite sužinoti lygiašonio trikampio plotą, tada jo pagrindo ir aukščio sandaugą turite padalyti iš dviejų. Tai yra, S= b*h / 2, kur b yra trikampio pagrindas, o h yra jo aukštis.

Tada jums gali tekti apskaičiuoti lygiašonio stačiojo trikampio plotą. Čia į pagalbą ateina tokia formulė: S = a* a / 2, kur kojos „a“ ir „a“ būtinai turi turėti tas pačias reikšmes.

Taip pat dažnai tenka apskaičiuoti lygiakraščio trikampio plotą. Jis randamas pagal formulę: S= a * h/ 2, kur a yra trikampio kraštinė, o h yra jo aukštis. Arba pagal šią formulę: S= √3/ 4 *a^2, kur a yra kraštinė.

Kaip rasti stačiojo trikampio plotą

Ar reikia rasti stačiojo trikampio plotą, tačiau problemos teiginyje nenurodomi dviejų jo kojų matmenys vienu metu? Tada šios formulės (S= a * b / 2) tiesiogiai naudoti negalime.

Apsvarstykite keletą galimų sprendimų:

Jei nežinote vienos kojos ilgio, bet pateikti hipotenuzės ir antrosios kojos matmenys, tada kreipiamės į didįjį Pitagorą ir, pasitelkę jo teoremą (a^2+b^2=c^2), apskaičiuojame nežinomos kojos ilgį, tada naudojame jį trikampio plotui apskaičiuoti.
Jeigu duotas vienos kojos ilgis ir jai priešingo kampo laipsnis nuolydis: antrosios kojos ilgį randame pagal formulę - a=b*ctg(C).
Duotas: vienos kojos ilgis ir greta esančio kampo laipsnis nuolydis: antrosios kojos ilgiui rasti naudojame formulę - a=b*tg(C).
Ir galiausiai, atsižvelgiant į hipotenuzės kampą ir ilgį: apskaičiuojame abiejų jos kojų ilgį pagal šias formules - b=c*sin(C) ir a=c*cos(C).

Kaip rasti lygiašonio trikampio plotą

Lygiašonio trikampio plotą galima labai lengvai ir greitai rasti naudojant formulę S= b*h / 2, tačiau jei trūksta vieno iš rodiklių, užduotis tampa daug sudėtingesnė. Juk būtina atlikti papildomus veiksmus.

Galimi užduočių variantai:

Pateiktas: vienos iš kraštų ilgis ir pagrindo ilgis. Naudodami Pitagoro teoremą randame aukštį, tai yra antrosios kojos ilgį. Su sąlyga, kad pagrindo ilgis, padalintas iš dviejų, yra koja, o iš pradžių žinoma pusė yra hipotenuzė.
Duota: pagrindas ir kampas tarp šono ir pagrindo. Aukštį apskaičiuojame pagal formulę h=c*ctg(B)/2 (nepamirškite kraštinės „c“ padalinti iš dviejų).
Duota: aukštis ir kampas, kurį sudarė pagrindas ir šonas: aukščiui rasti naudojame formulę c=h*tg(B)*2, o rezultatą padauginame iš dviejų. Toliau apskaičiuojame plotą.
Žinomas: kraštinės ilgis ir kampas, susidaręs tarp jo ir aukščio. Sprendimas: bazei ir aukščiui rasti naudojame formules - c=a*sin(C)*2 ir h=a*cos(C), po to apskaičiuojame plotą.

Kaip rasti lygiašonio stačiojo trikampio plotą

Jei visi duomenys žinomi, tada pagal standartinę formulę S= a* a / 2 apskaičiuojame lygiašonio stačiojo trikampio plotą, tačiau jei užduotyje kai kurie rodikliai nenurodyti, atliekami papildomi veiksmai.

Pvz.: mes nežinome abiejų kraštinių ilgių (atsimename, kad lygiašoniame stačiakampiame trikampyje jie yra lygūs), bet duotas hipotenuzės ilgis. Taikykime Pitagoro teoremą, kad surastume tas pačias puses „a“ ir „a“. Pitagoro formulė: a^2+b^2=c^2. Lygiašonio stačiakampio trikampio atveju jis transformuojasi į: 2a^2 = c^2. Pasirodo, norint rasti koją „a“, hipotenuzės ilgį reikia padalyti iš 2 šaknies. Sprendimo rezultatas bus lygiašonio stačiakampio trikampio abiejų kojų ilgis. Toliau randame sritį.

Kaip rasti lygiakraščio trikampio plotą

Naudodami formulę S= √3/ 4*a^2 galite lengvai apskaičiuoti lygiakraščio trikampio plotą. Jei žinomas trikampio apibrėžto apskritimo spindulys, tai plotą galima rasti pagal formulę: S= 3√3/ 4*R^2, kur R yra apskritimo spindulys.

Kaip galbūt prisimenate iš savo mokyklos geometrijos mokymo programos, trikampis yra figūra, sudaryta iš trijų atkarpų, sujungtų trimis taškais, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Trikampis sudaro tris kampus, taigi ir figūros pavadinimas. Apibrėžimas gali skirtis. Trikampis taip pat gali būti vadinamas daugiakampiu su trimis kampais, atsakymas taip pat bus teisingas. Trikampiai skirstomi pagal lygių kraštinių skaičių ir kampų dydį paveiksluose. Taigi trikampiai skiriami kaip lygiašoniai, lygiakraščiai ir skalės, taip pat atitinkamai stačiakampiai, smailūs ir bukūs.

Yra daug formulių trikampio plotui apskaičiuoti. Pasirinkite, kaip rasti trikampio plotą, t.y. Kokią formulę naudoti, priklauso nuo jūsų. Tačiau verta atkreipti dėmesį tik į kai kuriuos žymėjimus, kurie naudojami daugelyje formulių apskaičiuojant trikampio plotą. Taigi, atsiminkite:

S yra trikampio plotas,

a, b, c yra trikampio kraštinės,

h yra trikampio aukštis,

R yra apibrėžto apskritimo spindulys,

p yra pusiau perimetras.

Štai pagrindiniai užrašai, kurie gali būti naudingi, jei visiškai pamiršote geometrijos kursą. Žemiau pateikiamos labiausiai suprantamos ir nesudėtingos nežinomos ir paslaptingos trikampio srities apskaičiavimo parinktys. Tai nesunku ir pravers tiek jūsų buities reikmėms, tiek padedant vaikams. Prisiminkime, kaip kuo lengviau apskaičiuoti trikampio plotą:

Mūsų atveju trikampio plotas yra: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kv. Atminkite, kad plotas matuojamas kvadratiniais centimetrais (kvcm).

Statusis trikampis ir jo plotas.

Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas kampas yra lygus 90 laipsnių (todėl vadinamas dešiniuoju). Statųjį kampą sudaro dvi statmenos linijos (trikampio atveju dvi statmenos atkarpos). Stačiame trikampyje gali būti tik vienas stačiakampis, nes... bet kurio vieno trikampio visų kampų suma lygi 180 laipsnių. Pasirodo, 2 kiti kampai turėtų padalyti likusius 90 laipsnių, pavyzdžiui, 70 ir 20, 45 ir 45 ir tt. Taigi, atsimenate pagrindinį dalyką, belieka išsiaiškinti, kaip rasti stačiojo trikampio plotą. Įsivaizduokime, kad prieš mus yra toks stačiakampis trikampis ir reikia rasti jo plotą S.

1. Paprasčiausias būdas nustatyti stačiakampio trikampio plotą apskaičiuojamas pagal šią formulę:

Mūsų atveju dešiniojo trikampio plotas yra: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kv. cm.

Iš esmės nebereikia tikrinti trikampio ploto kitais būdais, nes Tik šis pravers ir pravers kasdieniame gyvenime. Tačiau taip pat yra galimybių išmatuoti trikampio plotą smailiais kampais.

2. Taikant kitus skaičiavimo metodus, turite turėti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelę. Spręskite patys, čia yra keletas stačiakampio trikampio ploto, kurį vis dar galima naudoti, skaičiavimo parinktys:

Nusprendėme naudoti pirmąją formulę ir su nedideliais dėmėmis (nubraižėme ją sąsiuvinyje ir panaudojome seną liniuotę ir matuoklį), bet gavome teisingą skaičiavimą:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Gavome tokius rezultatus: 3,6=3,7, bet atsižvelgiant į ląstelių poslinkį, šį niuansą galime atleisti.

Lygiašonis trikampis ir jo plotas.

Jei susiduriate su užduotimi apskaičiuoti lygiašonio trikampio formulę, paprasčiausias būdas yra naudoti pagrindinę ir tai, kas laikoma klasikine trikampio ploto formule.

Bet pirmiausia, prieš surasdami lygiašonio trikampio plotą, išsiaiškinkime, kokia tai figūra. Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės yra vienodo ilgio. Šios dvi pusės vadinamos šoninėmis, trečioji – pagrindu. Nepainiokite lygiašonio trikampio su lygiašoniu trikampiu, t.y. taisyklingas trikampis, kurio visos trys kraštinės lygios. Tokiame trikampyje nėra ypatingų tendencijų kampams, tiksliau jų dydžiui. Tačiau lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs, bet skiriasi nuo kampo tarp lygių kraštinių. Taigi, jūs jau žinote pirmąją ir pagrindinę formulę; belieka išsiaiškinti, kokios kitos lygiašonio trikampio ploto nustatymo formulės yra žinomos.

Statusis trikampis yra trikampis, kurio vienas iš kampų yra 90°. Jo plotą galima rasti, jei žinomos dvi pusės. Žinoma, galite pasirinkti ilgą kelią – rasti hipotenuzą ir apskaičiuoti plotą naudodami , tačiau daugeliu atvejų tai užtruks tik ilgiau. Štai kodėl stačiojo trikampio ploto formulė atrodo taip:

Stačiojo trikampio plotas yra lygus pusei kojų sandaugos.

Stačiakampio trikampio ploto apskaičiavimo pavyzdys.
Duotas stačiakampis trikampis su kojomis a= 8 cm, b= 6 cm.
Apskaičiuojame plotą:
Plotas: 24 cm2

Pitagoro teorema taip pat taikoma stačiajam trikampiui. – dviejų kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui.
Lygiašonio stačiakampio trikampio ploto formulė apskaičiuojama taip pat, kaip ir įprasto stačiojo trikampio.

Lygiašonio stačiakampio trikampio ploto apskaičiavimo pavyzdys:
Duotas trikampis su kojomis a= 4 cm, b= 4 cm. Apskaičiuokite plotą:
Apskaičiuokite plotą: = 8 cm 2

Stačiojo trikampio ploto pagal hipotenuzę formulė gali būti naudojama, jei sąlyga yra viena koja. Iš Pitagoro teoremos randame nežinomos kojos ilgį. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į hipotenuzą c ir koja a, koja b bus lygus:
Tada apskaičiuokite plotą pagal įprastą formulę. Stačiakampio trikampio ploto formulės apskaičiavimo pagal hipotenuzą pavyzdys yra identiškas aukščiau aprašytam.

Panagrinėkime įdomią problemą, kuri padės įtvirtinti žinias apie trikampio sprendimo formules.
Užduotis: Stačiakampio trikampio plotas yra 180 kvadratinių metrų. žr., raskite mažesnę trikampio koją, jei ji 31 cm mažesnė už antrąją.
Sprendimas: pažymėkime kojas a Ir b. Dabar pakeiskime duomenis į ploto formulę: taip pat žinome, kad viena koja yra mažesnė už kitą a – b= 31 cm
Iš pirmos sąlygos mes tai gauname
Šią sąlygą pakeičiame antrąja lygtimi: